Đề thi học sinh giỏi trường THPT BC Nguyễn Đình Liễn

SỞ GDĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT BC NGUYỄN ĐÌNH LIỄN
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
MÔN TOÁN
THỜI GIAN 180 PHÚT
Câu 1(2đ): Giải phương trình

2 3
2 5 1 7 1x x x
+ − = −
Câu 2(2đ): Giải hệ phương trình

{
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =
+ + =
Câu 3(2đ): Tình gới hạn sau

3 2
0
2 1 1
lim
sin
x
x x
x

→
+ − +
Câu 4(3đ): Nhận dạng tam giác ABC biết:
2 2 2
1 1 1
4
sin sin sinA B C
+ + =
Câu 5(1đ): Cho 2 số thực dương x; y thỏa mãn:
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P = x + xy
………………………………………………………………………………...
Họ và tên:…………………………………. SBD:…………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
Câu 1(2đ): Giải PT
2 3
2 5 1 7 1x x x
+ − = −
(1) ĐK:
1x
≥

2 2
(1) 2( 1) 3( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x
⇔ + + + − = − + +
Đặt:
2

1 ( 0); 1 ( 0)x a a x x b b
− = ≥ + + =
f
. Khi đó pt trở thành

2 2
2 3 7 (2 )( 3 ) 0b a ab b a b a
+ = ⇔ − − =

2
2
2 1 2 1
3
1 3 1
a b x x x
b a
x x x
= − = + +
=
+ + = −


⇔ ⇔




4 6x
⇔ = ±
Câu 2(2đ): Giải hệ PT

{
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =
+ + =

{ {
2 2
2
( 2 )(2 ) 9 2 3
2 3
( 2 ) (2 ) 6
x x x y x x
x y
x x x y
+ + = + =
+ =
+ + + =
⇔ ⇔

{
1
1
x
y
=

=
⇔
hoặc
{
3
9/2
x
y
=−
=
Câu 3(2đ): A =
3 2
0
2 1 1
lim
sin
x
x x
x
→
+ − +

3 2
0 0
( 2 1 1) ( 1 1)
lim lim
sin
x x
x x x
x x

→ →
+ − − + −
=

3 2
0 0
2 1 1 1 1
lim lim
x x
x x
x x
→ →
+ − + −
= −
=
2 2 3 2
0 0
3
2
lim lim
2 1 1
( 1) 1 1
x x
x
x
x x
→ →
−
+ +
+ + + +

= 1
Câu 4(3đ): P =
2 2 2
1 1 1
sin sin sinA B C
+ +

3 2 2 2
3
sin .sin .sinA B C
≥
Mà : sinA.sinB.sinC
3 3
8
≤

⇒

2 2 2
27
sin .sin .sin
64
A B C
≤
nên
3.4
4
3
P
≥ =

. Dấu “=” xảy ra khi A = B = C
Mà theo gt ta có: P = 4 suy ra
ABC∆
đều
Câu 5(1đ): P = x + x.y với
2 2
1x y+ =
. Áp dụng BĐT Côsi ta có:

2
3
2( ) 2 3
4
x x
+ ≥
(1)

2 2
3 2 3 .x y x y
+ ≥
(2)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

2 2
3
3( ) 2 3( . )
2
x y x x y
+ + ≥ +

9 3 3
2 3( . ) .
2 4
x x y x x y
⇔ ≥ + ⇔ + ≤
Vậy Pmax =
3 3 3 1
à y =
4 2 2
x v
⇔ =