ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH NAM ĐỊNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TỈNH NAM ĐỊNH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 :
Rút gọn biểu thức :
Bài 2 :
Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x
2
- x - 1 = 0. Chứng
minh rằng các biểu thức P = a + b + a
3
+ b
3
, Q = a
2
+ b
2
+ a
4
+ b
4
và R =
a
2001
+ b
2001
+ a
2003
+ b
2003
là những số nguyên và chia hết cho 5.

Bài 3 :
Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m = 7.
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm.
Bài 4 :
Cho hai vòng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng tròn
này nằm trong vòng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tương ứng tại M và N.
Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
) (C
2
) cắt (C
3
) tại P. PM cắt (C
1
) tại điểm thứ
hai A và MN cắt (C
1
) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C
2
) tại điểm thứ hai D và
MN cắt (C

2
) tại điểm thứ hai C.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui.
Bài 5 :
Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên
tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.