Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN LONG

ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ
VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN LONG

ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ
VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội - Năm 2016

Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . .
1.1.1 Khơng gian metric . . . . .
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị . .
1.2.2 Tính liên tục của ánh xạ đa
1.3 Cận sai số của một hệ tuyến tính .
1.3.1 Cận sai số . . . . . . . . . .
1.3.2 Giá trị riêng Pareto . . . . .

. .
. .
. .
. .
. .
trị
. .
. .
. .

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị
2.1 Định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Định lí điểm bất động của Nadler . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Định lí điểm bất động của Mizoguchi và Takahashi . . .
2.2 Định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị không nhất thiết phải
ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Hệ quả 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Hệ quả 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ví dụ tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị không co . .
3 Bài toán quan hệ biến phân (VRP)
3.1 Bài toán quan hệ biến phân . . . . . . . . .
3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của bài tốn VRP
3.3 Thuật tốn tìm nghiệm của VRP . . . . . .
3.4 Định lí 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Định lí 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. .
. .
. .
. .
là
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
8
11
11
15
16
16
17
19
20
20
20
21
23
27
28
28
30
30

31
34
39
39
42
43


Mở đầu
Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả quan trọng của giải
tích hàm. Nguyên lí ánh xạ co Banach đã được nhiều nhà toán học trên thế giới
nghiên cứu và tổng quát hóa về cả lí thuyết cũng như các ứng dụng, trong đó có
mở rộng sang giải tích đa trị. Các bài báo của Markin [9] và của Nadler [11] là
các kết quả nghiên cứu theo hướng mở rộng ánh xạ co cho ánh xạ đa trị, trong đó
khoảng cách Hausdorff được sử dụng để định nghĩa ánh xạ co đa trị. Abdul Latif
và Đinh Thế Lục [4] đã mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị không nhất thiết
phải là ánh xạ co nhưng vẫn tồn tại điểm bất động.
Năm 2008, Đinh Thế Lục đã đưa ra một lớp bài toán mới, bài tốn Quan hệ biến
phân nhằm nghiên cứu một mơ hình tổng qt, theo nghĩa một số lớp bài tốn
quen thuộc như bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức
biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán bất đẳng thức biến
phân,... nằm trong mơ hình bài tốn quan hệ biến phân.
Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân có mục
đích trình bày mối quan hệ giữa Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của
quan hệ biến phân.
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia thành 3 chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho chương sau, nhắc lại một số kiến thức
về giải tích hàm, trình bày một số khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị; tính
liên tục của ánh xạ đa trị, cận sai số của một hệ bất phương trình tuyến tính.

Chương 2. Định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị
Mục đích chính của chương này là trình bày định lí điểm bất động của ánh xạ co
đa trị của Nadler Jr. [11], là mở rộng của nguyên lí ánh xạ co Banach cho ánh xạ
đa trị; định lí điểm bất động của Noriko Mizoguchi và Wataru Takahashi [10]; định
lí điểm bất động của ánh xạ đa trị khơng nhất thiết phải là ánh xạ co của Abdul
Latif và Đinh Thế Lục [4].
Chương 3. Bài toán quan hệ biến phân (VRP)
Chương này luận văn trình bày bài tốn quan hệ biến phân, điều kiện tồn tại
nghiệm của bài toán quan hệ biến phân và thuật tốn tìm nghiệm của bài tốn
quan hệ biến phân tuyến tính; định lí tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến
2


phân trong trường hợp ánh xạ đa trị không phải là ánh xạ co.
Luận văn Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân được
trình bày một cách có hệ thống (với một số chứng minh được giải thích cụ thể và
chi tiết) về điều kiện tồn tại nghiệm và thuật tốn tìm điểm bất động của bài toán
quan hệ biến phân.

3


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng.
Thầy đã dành thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tơi trong
q trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tơi xin gửi tới q thầy cơ Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng
dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Tây
(nơi tôi đang công tác), các đồng chí đồng nghiệp đang cơng tác và giảng dạy tại
Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Tây, trong thời gian qua đã luôn động viên, tạo
điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ được giao.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ,
động viên tôi để tôi hồn thành tốt nhiệm vụ của mình.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Văn Long

4


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi,
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Các kết quả trình bày trong
luận văn này là trung thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Văn Long

5


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các khái niệm
khơng gian metric, khơng gian tơpơ, ngun lí ánh xạ co Banach,... và khái niệm
ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị, định lí ánh xạ co đa trị,... và một số

kiến thức cơ bản cần thiết cho việc trình bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tơpơ và giải tích hàm
Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1.1
Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R được
gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu là (X, d)
hay thường được viết là X . Các phần tử của X gọi là các điểm, số d(x, y) được gọi
là khoảng cách giữa hai điểm x và y trong X .
Hệ tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.2
Cho X là một không gian metric, một điểm x ∈ X và A ⊂ X . Khoảng cách từ điểm
x đến tập A được xác định bởi d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff)
Cho X, Y là hai không gian metric và A, B lần lượt là các tập con trong X, Y.
Khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi
h(A, B) = max {sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)},
a∈Ab∈B

hay

6

b∈B a∈A


h(A, B) = max {supd(a, B), supd(b, A)}.
a∈A

b∈B

Định nghĩa 1.1.4
Trong không gian metric X . Một dãy {xn } được gọi là dãy cơ bản nếu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.

Định nghĩa 1.1.5
Dãy số {xn } trong khơng gian metric X được gọi là có giới hạn hoặc hội tụ nếu
tồn tại một số thực x sao cho ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , d(xn − x) < . Số x được gọi
là giới hạn của dãy {xn } và được kí hiệu là x = lim xn hay viết gọn là x = lim xn ,
n→∞

hoặc là xn → x khi n → ∞.
Nhận xét 1.1.1
Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản. Thật vậy, nếu xn → x, khi n → ∞ thì
ta có d(xn , x) → 0 khi n → ∞ và d(xm , x) → 0 khi m → ∞.
Khi đó, theo tiên đề tam giác ta có
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) → 0, (khi

m, n → ∞).

Suy ra d(xn , xm ) → 0 (khi m, n → ∞). Do đó dãy {xn } là một dãy cơ bản.

Nhưng ngược lại, một dãy cơ bản trong một không gian metric bất kỳ không nhất
thiết hội tụ.
Chẳng hạn, nếu xét khoảng (0; 1) là một không gian metric với d(x, y) = |x −
1
y|, ∀x, y ∈ (0, 1) thì dãy
, n = 1, 2, · · · là dãy cơ bản và
n
1
, n = 1, 2, · · · không hội tụ trong không gian ấy.
dãy
n

1
n

→0∈
/ (0; 1), do đó

Định nghĩa 1.1.6
Khơng gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X )
được gọi là một không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.7
Ánh xạ f : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu
∃k > 0 : d (f (x), f (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Nếu k = 1 thì f được gọi là ánh xạ không giãn.
Nếu 0 < k < 1 thì f được gọi là ánh xạ co.
Định lí 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Mọi ánh xạ co f từ khơng gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động
x¯ duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức f (¯

x) = x¯.
Chứng minh
Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X . Xây dựng dãy lặp xn = f (xn−1 ), n = 1, 2, · · · Theo
định nghĩa ánh xạ co ta có:
d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ r.d(xn−1 , xn ),
7


d(xn−1 , xn ) ≤ r.d(xn−2 , xn−1 ),
·········
d(x1 , x2 ) ≤ r.d(x0 , x1 ).

Từ đó suy ra với mọi n ta có:
d(xn , xn+1 ) ≤ r.d(xn−1 , xn ) ≤ r2 .d(xn−2 , xn−1 ) ≤ · · · ≤ rn .d(x0 , x1 ).

Vậy khi m > n, ta có
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xm )
≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+2 , xm )
≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+2 , xn+3 ) + · · · + d(xm−1 , xm )
≤ (rn + rn+1 + rn+2 + · · · + rm−1 )d(x0 , x1 )
≤ rn (1 + r + r2 + · · · + rm−n−1 )d(x0 , x1 )
= rn

1 − rm−n
d(x0 , x1 )
1−r

⇒ d(xn , xm ) ≤ r

n1 − r

m−n

1−r

d(x0 , x1 )

Vì r ∈ (0; 1) nên rõ ràng d(xn , xm ) → 0 khi m, n → ∞, tức là dãy {xn } là một dãy
cơ bản trong X và vì X là khơng gian metric đủ nên xn phải dần tới giới hạn x.
Ta có xn = f (xn−1 ) mà sxn → x, f (xn ) → f (x) vì d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ rd(xn−1 , x) → 0.
Vậy f (x) = x, nghĩa là x là điểm bất động của f .
Ta chứng minh điểm bất động x là duy nhất. Thật vậy, giả sử y cũng là một điểm
bất động của f , tức là f (y) = y . Khi đó
d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ rd(x, y)
⇒ d(x, y) ≤ rd(x, y), r ∈ (0; 1).

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi d(x, y) = 0 ⇒ x = y .
1.1.2

Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.8 (Không gian tôpô)
Cho tập X = ∅. Một họ τ các tập con của X được gọi là một tơpơ trên X nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô.
8

Định nghĩa 1.1.9
Giả sử (X, τX ) và (Y, τY ) là hai khơng gian tơpơ.
Xét tích Descartes X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y } và τ = {A × B|A ∈ τX , B ∈ τY } thì
τ là một tơpơ trên X × Y . Khi đó (X × Y, τ ) được gọi là khơng gian tơpơ tích của
các khơng gian tơpơ (X, τX ) và (Y, τY ).
Định nghĩa 1.1.10
Cho hai tơpơ τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa
là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2 .
Định nghĩa 1.1.11
Cho (X, τ ) là khơng gian tơpơ.
• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.12
Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập U được gọi là một lân
cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi A = {x} thì ta nói U là
một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.1.13
Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi là cơ sở lân cận của điểm
x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U .
Định nghĩa 1.1.14
Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của X . Đối với mỗi phần tử
bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.
(ii) x là điểm ngồi của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong X\A.
(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và khơng là điểm
ngồi của A. Hay nói cách khác x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x
đều có giao khác rỗng với A và X\A.
Định nghĩa 1.1.15

Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta gọi phần trong của A là
hợp của tất cả các tập mở nằm trong A.
o
Kí hiệu là A hoặc intA.
Nhận xét 1.1.2
o
A là tập mở lớn nhất trong A.
Định nghĩa 1.1.16
Giả sử A là tập con bất kì của khơng gian tơpơ (X, τ ). Ta gọi bao đóng của A là
giao của tất cả các tập đóng nằm trong A.
9


Kí hiệu là A¯ hoặc clA.
Nhận xét 1.1.3
A¯ là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.1.17
Cho X, Y là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại
điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.1.18
Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 − không gian)
nếu mọi cặp điểm x, y ∈ X, x = y đều tồn tại một lân cận U của x và V của y sao
cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.19 Khơng gian tuyến tính
Giả sử tập hợp X = ∅ được trang bị phép toán cộng và phép toán nhân với một số
trên X , tức là:
Phép cộng xác định trên X × X và lấy giá trị trong X :
(x, y) −→ x + y, ∀x, y ∈ X.

Phép nhân vô hướng xác định trên R × X và lấy giá trị trong X :
(λ, x) −→ λx, ∀λ ∈ R, ∀x ∈ X.

Khi đó, (X, +, ·) được gọi là một không gian tuyến tính (hay khơng gian véctơ) nếu
các tiên đề sau đây được thỏa mãn:
(1) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y ∈ X.
(2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X.
(3) Tồn tại một phần tử 0 ∈ X sao cho x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ X.
(4) Với mỗi phần tử x ∈ X, ∃ − x ∈ X sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0.
(5) λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ X.
(6) (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ X.
(7) (λµ)x = λ(µx), ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ X.
(8) 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.20 (Khơng gian tơpơ tuyến tính)
Cho X là một không gian véctơ và τ là một tôpô trên X. (X, τ ) được gọi là một
không gian tôpô tuyến tính (hay khơng gian véctơ tơpơ ) nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(i)(X, τ ) là một không gian tơpơ.
(ii) Phép cộng hai véctơ + : X × X → X, (x, y) −→ x + y là một ánh xạ liên tục
của hai biến x, y , tức là với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux
của điểm x và một lân cận Uy của điểm y sao cho nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì ta có
x +y ∈V.
10


(iii) Phép nhân véctơ với một số thực λx : R × X → X, (λ, x) −→ λx là ánh xạ liên
tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx đều có một số > 0 tùy ý và
một lân cận U của x sao cho |α − α| < , x ∈ U thì ta có α x ∈ V .

1.2

1.2.1

Ánh xạ đa trị
Định nghĩa ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.2.1
Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta
nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của
Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y .
Ví dụ 1.2.1
Ánh xạ F : R ⇒ R xác định bởi:

[0; 1]
nếu x ∈ Q;
F (x) =
(1.1)
[−1; 0] nếu x ∈
/ Q,
là ánh xạ đa trị trên R.
Ví dụ 1.2.2
Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi
F (x) = {y ∈ Rn : y − x ≤ 1}

(1.2)

là một ánh xạ đa trị trên Rn , nó biến mỗi điểm thành một hình cầu đóng tâm x
bán kính bằng đơn vị.
Ví dụ 1.2.3
Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi


[−1; 1] nếu x = 0;
F (x) =
(1.3)
0
nếu x = 0.
là một ánh xạ đa trị trên Rn .
Ví dụ 1.2.4
Ánh xạ F : R ⇒ R được cho bởi công thức



{0}
nếu x = 0;


F (x) = [−1; 1] nếu x = 0;



1
nếu x > 0.
là một ánh xạ đa trị trên R.
Nhận xét 1.2.1
11

(1.4)


Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh
xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y bằng kí hiệu quen

thuộc f : X → Y .
Định nghĩa 1.2.2
Đồ thị graphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y
tương ứng được xác định bằng các cơng thức
graphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ;
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅};

rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.
Định nghĩa 1.2.3. Tập lồi
Giả sử A là một tập hợp khác rỗng trong không gian véctơ thực, nếu với mọi
x, y ∈ A và với mọi t ∈ [0; 1] ta có tx + (1 − t)y ∈ A thì ta nói A là một tập lồi.
Định nghĩa 1.2.4
Cho X, Y là các khơng gian véctơ. Khi đó X × Y cũng là khơng gian véctơ. Ta nói
ánh xạ đa trị F là:
1. Ánh xạ đa trị lồi nếu graphF là tập lồi trong khơng gian tích X × Y.
2. Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.
Nhận xét 1.2.2
Giả sử X, Y là các tập lồi của khơng gian tuyến tính. Khi đó, ánh xạ đa trị
F : X ⇒ Y được gọi là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ X và
t ∈ [0, 1] thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).
(1.5)
Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là graphF là lồi. Lấy hai phần tử x1 , x2
bất kì sao cho y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ), khi ấy (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ graphF. Với t ∈ [0, 1] ,
do graphF lồi nên
(tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ graphF.

Suy ra, ty1 + (1 − t)y2 ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) đúng với mọi y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ).
Vì thế,
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Trong trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F là lồi khi
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ).

(1.6)

Ta nhận thấy rằng (1.5) tương thích với (1.6).
Thật vậy, giả sử f : X → R là ánh xạ đơn trị. Hàm F được xác định bởi F (x) =
f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0} , với f là hàm lồi, sẽ là ánh xạ đa trị lồi.

12


Thật vậy, với t = 0 hoặc t = 1 thì kết quả (1.5) đúng. Khi đó F là ánh xạ đa trị lồi.
Nếu 0 < t < 1 thì ta có
tF (x1 ) = t f (x1 ) + R+ = tf (x1 ) + R+ ,
(1 − t)F (x2 ) = (1 − t) f (x2 ) + R+ = (1 − t)f (x2 ) + R+

Lấy w ∈ tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ). Khi đó tồn tại s1 , s2 ∈ R+ sao cho
u = tf (x1 ) + ts1 ,
v = (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2 .

Do f là hàm lồi nên tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2 ). Suy ra tồn tại α ≥ 0
sao cho
tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) = f (tx1 + (1 − t)x2 ) + α.

Xét
w =u+v
= tf (x1 ) + ts1 + (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + α + ts1 + (1 − t)s2

= f (tx1 + (1 − t)x2 ) + β
∈ F (tx1 + (1 − t)x2 )

với β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0
Vậy tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ). Hay F là ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.2.5
Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 ,

là ánh xạ đa trị lồi.
Thật vậy, xét đồ thị của ánh xạ đa trị F (x) trong khơng gian R2 . Khi đó, graphF
là một tập lồi trong R2 suy ra F (x) là một ánh xạ đa trị lồi.
Ví dụ 1.2.6
Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

0
nếu x = 0;
(1.7)
F (x) =
[−1, 1] nếu x = 0
1
2

không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t = .
Khi ấy ta có
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) =
13

1
{[−1, 1] + [−1, 1]}

2


=

1
[−2, 2]
2

F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0}

Nhận xét 1.2.3
Từ nhận xét 1.2.2 ta có ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là ánh xạ đa trị lõm
nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊇ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Định nghĩa 1.2.5
Cho X và Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.
1. F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu graphF là tập
đóng trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
2. F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ domF.
3. F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu graphF là tập mở
trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
4. F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi x ∈ domF.
Nhận xét 1.2.4
Trong không gian metric, nếu ánh xạ đa trị F có graphF đóng thì F (x) là đóng với
mọi x ∈ domF. Thật vậy, lấy dãy (xn , yn ) ∈ graphF sao cho (xn , yn ) hội tụ tới (¯
x, y¯).
Do (xn , yn ) ∈ graphF nên yn ∈ F (xn ). Mặt khác, graphF là đóng nên y¯ ∈ F (¯
x), tức

là với mọi dãy xn → x¯, với yn ∈ F (xn ) thì y¯ ∈ F (¯
x). Vậy F (¯
x) là đóng với mọi
x ∈ domF.

Ví dụ 1.2.7
Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

[−1, 1] nếu x = 0;
F (x) =
0
nếu x = 0.

(1.8)

Lấy dãy (xn , yn ) ∈ graphF bất kì, (xn , yn ) → (¯
x, y¯).
Vì (xn , yn ) ∈ graphF nên yn ∈ F (xn ) hay yn ∈ [−1, 1] với mọi n.
Do đoạn [−1, 1] là compact và yn → y¯ nên y¯ ∈ [−1, 1].
Trường hợp 1: Nếu xn → x¯ = 0 thì F (¯
x) = [−1, 1].
Do đó y¯ ∈ F (¯
x) hay (¯
x, y¯) ∈ graphF .
Trường hợp 2: Nếu xn → x¯ = 0 thì tồn tại N > 0 sao cho xn = 0 với mọi n ≥ N.
Do yn ∈ F (xn ) và F (xn ) = 0 với mọi n ≥ N nên yn = 0 với mọi n ≥ N.
Suy ra yn → y¯ = 0 hay (¯
x, y¯) = (¯
x, 0) ∈ graphF.
Vậy graphF là đóng.

Ví dụ 1.2.8
14


Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

(−1, 1) nếu x = 0;
F (x) =
0
nếu x = 0
khơng phải là ánh xạ đa trị đóng vì

1
1
,1 −
n
n

(1.9)

∈ gphF và

1
→ 0,
n

1−

1
n

→1

nhưng điểm (0; 1) ∈
/ graphF.
1.2.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y .
Định nghĩa 1.2.6
Ánh xạ F là:
(i) Nửa liên tục trên tại x0 ∈ domF (kí hiệu usc) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y
thỏa mãn F (x0 ) ⊂ V, tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ⊂ V với mọi
x ∈ U ∩ domF ;

(ii) Nửa liên tục dưới tại x0 ∈ domF (kí hiệu lsc) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa
mãn F (x0 ) ∩ V = ∅, tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ∩ V = ∅ với mọi
x ∈ U ∩ domF ;

(iii) Liên tục tại xa0 ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
tại x0 .
Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liên tục ở trên tập X .
Ví dụ 1.2.9
Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

[−1, 1] nếu x = 0;
F (x) =
(1.10)
0

nếu x = 0.
Ánh xạ đa trị F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa liên
−1 1
tục trên tại x = 0. Thật vậy, lấy một lân cận mở V =
,
của F (0). Khi ấy với
2

2

mọi lân cận U = (−δ1 , δ2 ) của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [−1, 1] ⊂ V.
Do đó ánh xạ F không là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
Mặt khác, với mọi lân cận V sao cho F (0) ∩ V = ∅. Vì F (0) = {0} nên 0 ∈ V, do đó
ta có thể coi V = (− 1 , 2 ). Chọn U = (−δ, δ) bất kì, khi ấy ta có
F (x) ∩ V = [−1, 1] ∩ (− 1 , 2 ) = (− 1 , 2 ) với ∀x = 0, x ∈ U.

Vậy ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.
Ví dụ 1.2.10
15


Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =


0

nếu x = 0;

(1.11)

[0, 1] nếu x = 0.
Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa liên tục
dưới tại x = 0. Thật vậy, lấy lân cận V của F (0) sao cho F (0) ⊂ V. Vì F (0) = [0, 1]
nên ta có thể coi V = (− , + 1). Chọn U = (−δ, δ), khi ấy ta có 0 = F (x) ⊂ V với
mọi x ∈ U, x = 0.
Vậy ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
1 3
Mặt khác, lấy một lân cận mở V = , .
2 2
1 3
1
Khi ấy F (0) ∩ V = [0; 1] ∩ ( , ) = ( ; 1] = ∅.
2 2
2
Với mọi lân cận U = (−δ1 , δ2 ) của 0 thì x ∈ U, x = 0 ta có F (x) = {0} nên F (x)∩V = ∅.

Do đó ánh xạ F không là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0.
Ví dụ 1.2.11
Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R được cho bởi công thức:

F (x) =




{0}



nếu x < 0;

[−1, 1]




{1}

nếu x = 0;

(1.12)

nếu x > 0.

Ánh xạ đa trị F là ánh xạ nửa liên tục trên trong R, nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục dưới tại x = 0.

1.3
1.3.1

Cận sai số của một hệ tuyến tính
Cận sai số

Cho hệ tuyến tính Ax ≤ b trong khơng gian Rn , trong đó A là ma trận cấp k × n,
b là một véctơ k chiều. Tập nghiệm của hệ được kí hiệu là P . Khi đó P là một nón
lồi, tức là
(1) ∀x ∈ P thì λx ∈ P ;
(2) ∀x1 , x2 ∈ P thì αx1 + (1 − α)x2 ∈ P, ∀α ∈ [0; 1].

Khi x là một nghiệm của hệ Ax ≤ b, tức là x ∈ P thì d(x, P ) = 0.
Khi x không phải là nghiệm của hệ tuyến tính Ax ≤ b, việc đo khoảng cách từ x
đến tập nghiệm P là rất quan trọng.
Khoảng cách từ điểm x tới tập nghiệm P của một hệ bất phương trình đại số tuyến
tính được tính theo cơng thức (xem Bergthaller [7]):

16


d(x, P ) = max
I∈I

(λ, AI x − bI )
,
ATI λ
λ∈R|I| \{0}
max

(1.13)

với |I| là lực lượng của tập I. I là tập con của tập các chỉ số, I ⊆ {1, 2, 3, ..., k} thỏa
mãn hai điều kiện dưới đây:
(1) I = ∅ và các dòng ai , i ∈ I của ma trận A là độc lập tuyến tính.
(2) Tồn tại phần tử y ∈ P sao cho I bao hàm trong tập chỉ số I(y) tại y ,tức là
ai y = bi , i ∈ I , (AI là ma trận con của ma trận A) của các dòng ai , i ∈ I và ATI là
ma trận chuyển vị,
d(x, P ) ≤ αd(Ax − b, −Rk+ ) = α

(Ax − b)+ ,

(1.14)

trong đó (Ax − b)+ là véctơ nhận được từ (Ax − b) bằng cách thay thế tất cả các
véctơ khơng bởi số 0, cịn Rk+ = {(x1 , x2 , · · · , xk ) | xi ≥ 0, i = 1, 2, · · · , k}.
Hằng số α được gọi là cận sai số của một hệ hay còn gọi là hằng số Hoffman.
1.3.2

Giá trị riêng Pareto

Kí hiệu Mn là tập tất cả các ma trận vng thực cấp n × n.
Để cho thuận tiện ta đồng nhất một ánh xạ tuyến tính A : Rn+ → Rn+ với một ma
trận vng thực A cấp n × n.
Chúng ta xét một hệ tuyến tính đối xứng
x ≥ 0,

Ax − λx ≥ 0,

x, Ax − λx = 0,

(1.15)

liên kết với nón Pareto Rn+ , trong đó ma trận A ∈ Mn .
Ta định nghĩa x ≥ 0 khi và chỉ khi x ∈ Rn+ , tức là
x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

trong đó xi ≥ 0 ∀ i = 1, 2, · · · , n.

Định nghĩa 1.3.1
Cho A ∈ Mn . λ ∈ R được gọi là giá trị riêng Pareto của ma trận A nếu tồn tại
véctơ x ∈ Rn , x = 0 thỏa mãn hệ (1.15). Khi đó x được gọi là véctơ riêng Pareto

của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λ.
Tập tất cả các giá trị riêng Pareto của ma trận A ∈ Mn được gọi là phổ Pareto của
ma trận A và được kí hiệu là Π(A).
Nhận xét 1.3.1
Vì Rn+ là một nón lồi đóng, theo Hệ quả 2.1 trong [12], mỗi một ma trận A ∈ Mn
đều có một giá trị riêng Pareto nhỏ nhất.
Khi đó, cận sai số tốt nhất cũng được kí hiệu là α, nhận được bằng cách cực đại
hóa hàm

−1
d(x, P )
,x ∈
/ P , nó được cho bởi cơng thức α = max[γ(I)] 2 , I ∈ I,
(Ax − b)+

17


trong đó γ(I) là giá trị riêng Pareto nhỏ nhất của ma trận AI ATI , hay γ(I) chính
là nghiệm của bài tốn cực đại hóa y T AI ATI y trên tập
|I|

y 2 = 1}.

{y ∈ R+ :

Nếu ta kí hiệu P là tập nghiệm của hệ nhiễu Ax ≤ b thì
h(P, P ) ≤ α

b−b

18

khi P, P = ∅.

(1.16)


Chương 2

Định lí điểm bất động của ánh xạ đa
trị
Một trong những kết quả quan trọng của giải tích hàm là nguyên lí ánh xạ co
Banach, được phát biểu như sau:
Nếu f : X → X là một ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (X, d), tức là tồn
tại r ∈ (0; 1) sao cho d(f (x), f (y)) ≤ r.d(x, y), ∀x, y ∈ X thì f có một điểm bất động
duy nhất.
Hơn thế nữa, điểm bất động đó có thể tìm được bằng một thuật toán lặp đơn giản.
Cụ thể là, bắt đầu từ một điểm x0 ∈ X ban đầu bất kì, dãy lặp xn+1 = f (xn ) với
n = 0, 1, 2, ... sẽ hội tụ tới điểm bất động.
Từ khi nguyên lí Banach được cơng bố, đã có rất nhiều nhà tốn học nghiên cứu
và mở rộng ngun lí này. Trong số đó, sự mở rộng sang ánh xạ đa trị đã thu hút
được rất nhiều nhà toán học quan tâm bởi vì có rất nhiều ứng dụng trong giải
tích phi tuyến. Chẳng hạn như, các nghiên cứu của Markin [9] và của Nadler [11]
là một trong những nghiên cứu đầu tiên theo hướng đi này, trong đó khoảng cách
Haussdorff được sử dụng để định nghĩa ánh xạ co đa trị.
Chương 2 trình bày định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị của Nadler [11],
định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị của Mizoguchi và Takahashi [10] là
một định lí tổng quát hơn của định lí điểm bất động của Nadler [11]. Tuy nhiên,
trong những trường hợp ánh xạ đa trị không phải là ánh xạ co thì có tồn tại điểm

bất động hay khơng? - Abdul Latif và Đinh Thế Lục [4] đã chứng minh được rằng
trong những trường hợp ánh xạ đa trị không nhất thiết phải là ánh xạ co nhưng
vẫn tồn tại điểm bất động và trình bày cách sử dụng hai hàm khác nhau để đánh
giá khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp nhau trong q trình tính điểm bất động
của ánh xạ đa trị không nhất thiết phải là ánh xạ co.
Trong chương này, chúng ta giả sử (X, d) là một không gian metric đầy đủ, A là

19


một tập con khác rỗng của X , khoảng cách từ a ∈ X tới A được kí hiệu bởi
d(a, A) = inf d(a, x).
x∈A

Khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B được kí hiệu bởi
h(A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

2.1
2.1.1

b∈B

Định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị
Định nghĩa

Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ. Một ánh xạ đa trị F : X → P (X),
trong đó P (X) là tập hợp các tập con của X, ánh xạ đa trị F được gọi là h - co nếu
tồn tại k ∈ (0; 1) sao cho h(F (x), F (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X.
Mở rộng của nguyên lí ánh xạ co Banach cho ánh xạ đa trị ta thu được định lí

điểm bất động của Nadler [11].
Kí hiệu CB(X) = {C ⊂ X, C = ∅, đóng và bị chặn trongX}
2.1.2

Định lí điểm bất động của Nadler

Giả sử (X, d) là một không gian metric đầy đủ và ánh xạ F : X → CB(X), là một
ánh xạ h - co, nghĩa là tồn tại k ∈ (0; 1) sao cho h(F (x), F (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X
thì ánh xạ co đa trị F có điểm bất động, tức là ∃x ∈ X sao cho x ∈ F (x).
Chứng minh
Chọn k1 ∈ (k; 1) và x0 ∈ X . Sau đó lấy x1 ∈ F (x0 ) thỏa mãn x1 = x0 , tức là
d(x1 , x0 ) > 0. Nếu khơng tồn tại x1 thỏa mãn như trên thì chứng tỏ rằng x0 là điểm
bất động của F .
Vì
d(x1 , F (x1 )) ≤

sup d(x, F (x1 ))
x∈F (x0 )

≤ max { sup d(x; F (x1 )), sup d(y, F (x0 ))}
x∈F (x0 )

y∈F (x1 )

= h(F (x0 ), F (x1 )) ≤ k.d(x0 , x1 ) < k1 .d(x0 , x1 ).

Theo tính chất của sup, ta có x2 ∈ F (x1 ) sao cho d(x1 , x2 ) < k1 .d(x0 , x1 ).
Tương tự như vậy và bằng quy nạp ta chọn được một dãy {xn }, n ≥ 1 sao cho
xn+1 ∈ F (xn ), ∀n ≥ 1 và d(xn , xn+1 ) ≤ k1n .d(x0 , x1 ), ∀n ≥ 1.
Từ đó ta có dãy {xn } ⊂ X, n ≥ 1 là một dãy Cauchy.

Do (X, d) là một không gian metric đầy đủ nên {xn } → x ∈ X .
Bây giờ ta chứng minh x ∈ F (x), khi đó x là điểm bất động của F . Thật vậy, ta có
d(xn+1 , F (x)) ≤ h(F (xn ), F (x)) ≤ kd(x, x0 ) → 0.
20


Vì vậy, d(x, F (x)) = 0. Do đó ta có x ∈ F (x).
Nhận xét 2.1.1
i) Điểm bất động trong định lí 2.1.2 có thể khơng là điểm bất động duy nhất.
Thật vậy, nếu F (x) = X, ∀x ∈ X thì khi đó ta chọn bất kì x ∈ X ⇒ x ∈ F (x), tức là
x là điểm bất động của F .
(ii) Tập các điểm bất động của F kí hiệu là F ix(F ) là tập đóng.
Thật vậy, lấy dãy xn ⊂ F ix(F ). Giả sử xn → x, ta chứng minh x ∈ F ix(F ), nghĩa
là chứng minh x ∈ F (x). Thật vậy, ta có d(xn , F (x)) ≤ h(F (xn ), F (x)) ≤ k.d(xn , x),
trong đó d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Suy ra d(xn , F (x)) = 0 ⇒ x ∈ F (x). Vậy F ix(F ) là đóng.
2.1.3

Định lí điểm bất động của Mizoguchi và Takahashi

Định lí
Giả sử (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T : X → CB(X) là một ánh xạ
đa trị, trong đó kí hiệu CB(X) là tập hợp các tập con lồi, đóng của tập hợp X ,
thỏa mãn
h(T (x), T (y)) ≤ k(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X, x = y,

trong đó k : (0; +∞) → [0, 1) sao cho lim sup k(r) < 1 với mỗi t ∈ [0; +∞).
r→t+

Khi đó T có điểm bất động, tức là tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 ∈ T (x0 ).

Chứng minh
Giả sử T khơng có điểm bất động, tức là d(x, T (x)) > 0, ∀x ∈ X . Từ giả thiết với
mỗi t > 0 tồn tại các số dương M (t) và e(t) sao cho k(r) ≤ M (t) < 1 với mọi r thỏa
mãn t < r < t + e(t). Chúng ta chọn bất kì x1 ∈ X và đặt t1 = d(x1 , T (x1 )).
Trường hợp 1: d(x1 , T (x1 )) < d(x1 , y), ∀y ∈ T (x1 ), chọn một số dương d(t1 ) sao cho
d(t1 ) < min {e(t1 ), (

Đặt (x1 ) = min {

1
− 1)t1 }.
M (t1 )

d(t1 )
, 1}. Khi đó, tồn tại x2 ∈ T (x1 ) sao cho
t1

d(x1 , x2 ) < d(x1 , T (x1 )) + (x1 )d(x1 , T (x1 )) = (1 + (x1 ))d(x1 , T (x1 )).

Chú ý rằng x1 = x2 , theo giả thiết T khơng có điểm bất động và từ
d(x2 , T (x2 )) ≤ h(T (x1 ), T (x2 )) ≤ k(d(x1 , x2 ))d(x1 , x2 ),

chúng ta có
d(x1 , T (x1 )) − d(x2 , T (x2 )) ≥ d(x1 , T (x1 )) − k(d(x1 , x2 ))d(x1 , x2 )
>

1
d(x1 , x2 ) − k(d(x1 , x2 ))d(x1 , x2 )
1 + (x1 )

21


={

1
− k(d(x1 , x2 ))}d(x1 , x2 ).
1 + (x1 )

(2.1)

Hơn nữa,
t1 = d(x1 , T (x1 )) < d(x1 , x2 ) < d(x1 , T (x1 )) + (x1 )d(x1 , T (x1 )) ≤ t1 + d(t1 ) < t1 + e(t1 ).

Bởi vậy, k(d(x1 , x2 )) ≤ M (t1 ) < 1.
Từ (x1 ) ≤

d(t1 )
1
1
<
− 1, chúng ta có
> M (t1 ) và do đó
t1
M (t1 )
1 + (x1 )
1
− k(d(x1 , x2 )) > 0.
1 + (x1 )

Trường hợp 2: d(x1 , T (x1 )) = d(x1 , x2 ) với mỗi x2 ∈ T (x1 ), chúng ta có
d(x1 , T (x1 )) − d(x2 , T (x2 )) ≥ d(x1 , T (x1 )) − h(T (x1 ), T (x2 ))
≥ d(x1 , T (x1 )) − k(d(x1 , x2 ))d(x1 , x2 )
> {1 − k(d(x1 , x2 ))}d(x1 , x2 ).

Tiếp theo, đặt t2 = d(x2 , T (x2 )). Trong trường hợp d(x2 , T (x2 )) < d(x2 , y), ∀y ∈ T (x2 ),
với e(t2 ) và M (t2 ), ta chọn d(t2 ) với
0 < d(t2 ) < min {e(t2 ), (

1
− 1)t2 }
M (t2 )

và tập
(x2 ) = min {

d(t2 ) 1 t1
, , − 1}.
t2 2 t2

Sử dụng phương pháp tương tự như ở trên, chúng ta nhận được x3 ∈ T (x2 ) thỏa
mãn
d(x2 , x3 ) < (1 + (x2 ))d(x2 , T (x2 ))

và
d(x2 , T (x2 )) − d(x3 , T (x3 )) ≥ {

Từ (x2 ) ≤

1

− k(d(x2 , x3 ))}d(x2 , x3 ) > 0.
1 + (x2 )

t1
− 1 suy ra
t2
d(x2 , x3 ) < (1 + (x2 ))d(x2 , T (x2 )) ≤ d(x1 , T (x1 )) ≤ d(x1 , x2 ).

Trong trường hợp d(x2 , T (x2 )) = d(x2 , x3 ) với mỗi x3 ∈ T (x2 ), chúng ta cũng có
d(x2 , T (x2 )) − d(x3 , T (x3 )) ≥> {1 − k(d(x2 , x3 ))}d(x2 , x3 ) > 0

và
d(x2 , x3 ) = d(x2 , T (x2 )) < d(x1 , T (x1 )) ≤ d(x1 , x2 ).

Vì vậy, bằng quy nạp, chúng ta có thể xây dựng một dãy {xn } trong X với xn+1 ∈
T (xn ), (n = 1, 2, 3, · · · , ) sao cho dãy {d(xn , xn+1 )} và dãy {d(xn , T (xn ))} là những
dãy số dương giảm dần và
d(xn , T (xn )) − d(xn+1 , T (xn+1 )) ≥ {

1
− k(d(xn , xn+1 ))}d(xn , xn+1 ),
1 + δ(xn )
22


1
n

trong đó δ(xn ) là số thực thỏa mãn 0 ≤ δ(xn ) ≤ , (n = 1, 2, 3, · · · , ). Khi đó dãy các
số thực dương {d(xn , xn+1 )} giảm dần và hội tụ tới một số không âm.

Bằng giả thiết,
lim supk(d(xn , xn+1 )) < 1.
n→∞

Đặt an =

1
− k(d(xn , xn+1 )), (n = 1, 2, 3, · · · ), chúng ta có
1 + δ(xn )
1
− lim supk(d(xn , xn+1 )) > 0
n→∞ 1 + δ(xn )
n→∞

lim inf an ≥ lim
n→∞

và do đó tồn tại b > 0 sao cho
d(xn , T (xn )) − d(xn+1 , T (xn+1 )) ≥ b.d(xn , xn+1 )

với mỗi n đủ lớn, dãy các số dương {d(xn , d(xn ))} giảm dần là dãy hội tụ và chúng
ta có
m−1

d(xn , xm ) ≤

d(xi , xj+1 )
j=n

1

≤ .
b

m−1

{d(xi , T (xj )) − d(xi+1 , T (xj+1 ))}
j=n

1
= .{d(xn , T (xn )) − d(xm , T (xm ))} → 0
b

khi m, n → ∞ và do đó dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x0 ∈ X .
Nếu x0 = xn , thì
h(T (x0 ), T (xn )) ≤ k(d(x0 , xn ))d(x0 , xn ) ≤ d(x0 , xn ),

còn nếu x0 = xn thì h(T (x0 ), T (xn )) ≤ d(x0 , xn ) theo Bổ đề 2 trong [13] ta có
x0 ∈ T (x0 ). Điều này là mâu thuẫn với giả sử T khơng có điểm bất động ở trên. Do
vậy, giả sử trên là sai, tức là T có điểm bất động. Định lí được chứng minh.

2.2

Định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị không nhất thiết
phải là ánh xạ co

Các định lí 2.1.2 (Định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị của Nadler [11])
và định lí 2.1.3 (Định lí điểm bất động của ánh ánh xạ co đa trị của Mizoguchi và
Takahashi [10]) đã chỉ ra rằng luôn tồn tại điểm bất động của ánh xạ co đa trị,
nhưng trong hầu hết các trường hợp còn lại của ánh xạ đa trị F thường khơng
phải là ánh xạ co thì việc chỉ ra tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị F trở lên

phức tạp hơn rất nhiều và làm cách nào để có thể xác định được có hay khơng có
điểm bất động của ánh xạ đa trị trong trường hợp không nhất thiết phải là ánh
23