BÀI 1 HE DOI XUNG LOAI 1

CHỦ ĐỀ: CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.
Vấn đề 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

1. Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng
g  x, y   g  y , x 
và
.

�
�f  x, y   0
�
�g  x, y   0 với f  x, y   f  y, x 

f  x, y 
g  x, y 
2. Nhận dạng: khi ta hốn đổi vị trí của x và y thì
và
khơng thay đổi.
3. Phương pháp giải
+ Đặt S  x  y và P  xy .
+ Thế các ẩn S , P vào hệ phương trình ban đầu ta được một hệ phương trình mới.
+ Giải hệ phương trình mới đó ta tìm được các ẩn S , P .
+ Tìm nghiệm

 x; y 

2
bằng cách giải phương trình bậc hai t  St  P  0 .

4. Áp dụng

Câu 1. Giải hệ phương trình

�x  y  4
�2
2
�x  xy  y  13

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Diệu Linh ; Fb:

Dieulinh Nguyen

Từ đề bài ta có:
�
�x  y  4
�x  y  4
�x  y  4
�x  y  4
�
�
�
�2
�
�
�
2
2
 x  y   xy  13 �16  xy  13 �xy  3 .

�x  xy  y  13 �
2
Khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t là t  4t  3  0 .

t 1
�
t 2  4t  3  0 � �
t  3.
�
Ta có
�x  1
�x  3
�
�
Khi đó ta có �y  3 hoặc �y  1 .
�x  1
�x  3
�
�
Vậy nghiệm của hệ phương trình là �y  3 hoặc �y  1 .
�x 4  x 2 y 2  y 4  481
�2
x  xy  y 2  37
Câu 2. Giải hệ phương trình �
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Diệu Linh ; Fb:
Từ đề bài ta có:

Dieulinh Nguyen


2
�
�x 4  x 2 y 2  y 4  481 �
x 2  y 2   x 2 y 2  481

�
��
�2
2
2
2
�x  xy  y  37
�
�x  xy  y  37

.

�x 2  y 2  S
�
xy  P
Đặt �
.
2
2
74S  1850
�S 2  P 2  481 �
�S  25

�S   37  S   481 �
�
��
��
�
�
S  P  37
�P  37  S
�P  12 .
�P  37  S
Khi đó ta có �
2
2
�
�x 2  y 2  25
�x  y  �7
x  y   2 xy  25 �
x  y   49
�

�

��
��
��
�
xy  12
�xy  12 .
�xy  12
�xy  12

Khi đó ta có �

�x  y  7
�
Trường hợp 1 : �xy  12 .
2
Khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t là t  7t  12  0 .

t4
�
t 2  7t  12  0 � �
t  3.
�
Ta có
�x  4
�x  3
�
�
Khi đó ta có �y  3 hoặc �y  4 .
�x  y  7
�
Trường hợp 2 : �xy  12 .
2
Khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t là t  7t  12  0 .

t  4
�
t 2  7t  12  0 � �
t  3 .
�

Ta có
�x  4
�x  3
�
�
Khi đó ta có �y  3 hoặc �y  4 .
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là:

S    3; 4  ;  4;3 ;  3;  4  ;  4;  3 

.

�x  y  6
�2
x  y2  m
Câu 3. Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình �
theo các giá trị của tham số m .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Diệu Linh ; Fb:
Từ đề bài ta có:

�x  y  6
�
�x  y  6
�x  y  6
�x  y  6
�
��
��
� � 36  m

�2
2
2
 x  y   2 xy  m �36  2 xy  m �xy 
�x  y  m
�
�
2 .

Dieulinh Nguyen


Khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t là

t 2  6t 

36  m
0
2
.

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi  �0 .
Tức là

36 2��
 36 m�۳
 0

36 m 18

m 18

.

2
Với m  18 thì hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai t  6t  9  0
2
Ta có: t  6t  9  0 � t  3 .

�x  3
�
Khi đó hệ phương trình có một nghiệm �y  3 .
Với m  18 thì hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai

t 2  6t 

36  m
0
2
.

Khi đó hệ phương trình có hai nghiệm.
Kết luận: Với m  18 thì hệ phương trình có một nghiệm.
Với m  18 thì hệ phương trình có hai nghiệm.
�x 2  y 2  208
�
xy  96
Câu 4. Giải hệ phương trình �
Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Sang; Facebook: Thanh Sang Trần

2
2
2
�
�
�x 2  y 2  208
x  y   2 xy  208 �
x  y   2.96  208
x  y   400
�

�

�

��
��
��
�
�xy  96
�xy  96
�xy  96
�xy  96

�
�x  y  20
�
�
�xy  96
�

�
�
�x  y  20
�
�
�xy  96
�

�x  y  20
�
2
Trường hợp 1: �xy  96 . Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t  20t  96  0
�
�x  8
�
�
�y  12
�
�
�x  12
�
�
�y  8
Nên �

�x  y  20
�
2
Trường hợp 2: �xy  96
. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t  20t  96  0

Nên

�
�x  8
�
�
�y  12
�
�
�x  12
�
�
�
�y  8

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho

S    8;12  ,  12;8  ,  12; 8  ,  8; 12  

�x 2  y 2  x  y  8
�
xy  x  y  5
Câu 5. Giải hệ phương trình �
Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Sang; Facebook: Thanh Sang Trần

�x 2  y 2  x  y  8 �
( x  y ) 2  2 xy  x  y  8

��
�
�xy  x  y  5
�xy  x  y  5
�S  x  y
�
2
Đặt �P  xy Điều kiện: S  4 P �0

�S 2  2 P  S  8 �S 2  10  2 S  S  8
��
�
PS 5
�
�P  5  S
Hệ phương trình trên trở thành
�
�S  6
( L)
�
S


6
�
�
�
P

11

�S 2  3S  18  0
��
�
��
� ��
S 3 � �
�
P

5

S
�S  3
�
�P  5  S
�
�
�
�
�P  2
2
Khi đó ta có x, y là nghiệm của phương trình bậc hai t  3t  2  0

Nên

�
�x  1
�
�
�y  2

�
�
x2
�
�
�
y 1
�
�

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho

Câu 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

S    1; 2  ,  2;1 

�x  y  8
�2
2
�x  y  1  m

Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Sang, Facebook: Thanh Sang Trần

�x  y  8
�
�x  y  8
�x  y  8
�x  y  8
�

��
��
��
�2
65  m
2
2
 x  y   2 xy  1  m �64  2 xy  1  m �xy 
�x  y  1  m
�
�
2 .
Khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t là

t 2  8t 

65  m
0
2
.


Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi  ' �0 .
65  m
�16
���۳ 0
2

32 65 m 0

m 33.

�x 2 y  xy 2  2
�
Câu 7. Giải hệ phương trình �x  y  xy  1

Lời giải
�S .P  2
�
S  x  y ; P  xy S  4 P �0
Đặt
. Hệ phương trình trở thành: �S  P  1



2



Suy ra S, P là nghiệm của phương trình
X 1
�
X2  X 2 0� �
X  2
�
�S  1
�x  y  1
�
�
TH1: �P  2 . Ta có �xy  2 . Do đó x, y là nghiệm của phương trình

X  1
�
X2  X 2  0 � �
X 2
�
�S  2
�x  y  2
�
�
TH2: �P  1 . Ta có �xy  1
. Do đó x, y là nghiệm của phương trình

X 2  2 X  1  0 � X  1
 1; 2  ;  2;  1 ;  1;  1 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Câu 8.

�x  y  xy  7
�2
2
Giải hệ phương trình �x  y  13

Đặt

S  x  y; P  xy  S 2  4 P �0 

Lời giải
. Hệ phương trình trở thành

�S  P  7
�P  7  S
�P  7  S
�P  6
� �2
��
��
�2
S  2S  1  0
�S  1
�S  1
�S  2 P  13 �

�x  y  1
�
Ta có �xy  6
. Do đó x, y là nghiệm của phương trình
X  3
�
X 2  X 6  0 � �
X 2
�
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Câu 9.

 3; 2  ;  2; 3 .

2
2

�
�x  y  xy  x  y
�3
x  y 3  16
Giải hệ phương trình �

Lời giải


Đặt

S  x  y; P  xy  S 2  4 P �0 

. Hệ phương trình trở thành
S P4
�
� 1 2
� 1 2
2
�
�S  P  S  2 P
�
�P   S  S 
�P   S  S 
� 20
�� 3
�� 3
��
�3
�P 

�
3  L
�
�S  3SP  16
�S 3  3SP  16
�S 2  16
�
�
�
�
�S  4
�

�x  y  4
�
Ta có �xy  4
. Vậy x, y là nghiệm của phương trình

X 2  4X  4  0 � X  2
 2; 2  .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
�x 2 y  xy 2  30
�3
x  y 3  35
Câu 10. Giải hệ phương trình �

Lời giải
Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện S �4 P . Hệ phương trình trở thành
2

� 30
P
�
�SP  30
� S
��
� 2
S 5
�S ( S  3P )  35 �S �S 2  90 � 35 � �
�
�
�
��
S �
�
�P  6 .
�x  y  5 �x  2 �x  3
��
��
�
xy

6
y

3
�
�
�y  2
Ta có

Vậy nghiệm của hệ là

 3; 2  ,  2;3 .

.