Phương pháp hệ số phản xạ khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

Trương Thị Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN
CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————–

Trương Thị Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN
CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN THANH TUẤN

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Trần
Thanh Tuấn - người đã truyền cho em niềm đam mê khoa học và đã hướng dẫn
em tỉ mỉ, tận tình trong suốt q trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn tới nhóm Seminar tại bộ mơn Cơ học
do GS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, thầy và các anh chị đã trang bị cho em kiến
thức nền tảng và là nguồn động lực để chúng em theo đuổi nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, các công thức trong mục 2.1 học viên thu nhận được từ bài giảng của
nhóm seminar thầy Phạm Chí Vĩnh trình bày. Em xin cảm ơn tồn thể các thầy
cơ giáo trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học
Quốc Gia Hà Nội đã truyền đạt kiến thức giúp em hồn thành luận văn.
Bên cạnh đó, em cảm ơn gia đình đã ln động viên, tạo điều kiện tốt
nhất cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Trương Thị Thùy Dung


Mục lục

Lời mở đầu

4

1 Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa
R/T

6

1.1

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa . . . . . . . . . . . 15

1.3

7

1.2.1

Sóng qSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Phương pháp hệ số R/T trong bài tốn tìm band-gaps của sóng
mặt

26

2.1

Cơng thức tính vận tốc sóng trong mơi trường trực hướng . . . . 27

2.2

Bài toán phổ band-gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Band-gaps của sóng qSH và sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4

Tính tốn số phổ band-gaps của sóng qP . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

37

Danh mục các bài báo khoa học

38

2


MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo

38

3


Lời mở đầu
Trong lớp bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng mặt truyền qua mơi
trường phân lớp, các hệ số phản xạ và khúc xạ cần tìm sẽ được tìm thơng qua
các hệ số phản xạ và khúc xạ của sóng tới đi qua từng mặt phân cách giữa
các lớp bằng cách sử dụng các điều kiện biên liên tục của chuyển dịch và ứng
suất. Cách làm này tương tự như phương pháp ma trận chuyển và được giới
thiệu trong một số sách chuyên khảo về sóng như là của Achenbach (1975) [11],
Brekhovskikh (1973) [2]. Cách làm này khá thuận tiện trong lập trình tính tốn
số đối với môi trường đẳng hướng và cũng được gọi là phương pháp ma trận
chuyển hay "T-matrix" và được sử dụng trong các nghiên cứu về hệ số phản xạ
và khúc xạ như là trong Golub và các cộng sự (2012) [7, 8] khi đi khảo sát phổ
band-gaps của các sóng một thành phần SH , và sóng hai thành phần P − SV .
Tuy nhiên, phương pháp này có một nhược điểm cố hữu của phương pháp ma
trận chuyển đó là kết quả tính tốn số có thể khơng ổn định đối với sóng tới
có tần số cao như đã được phân tích kỹ trong bài báo của Chen (1993) [21],
và phương pháp này không phản ánh được rõ ràng các tính chất vật lý của bài
tốn phản xạ khúc xạ khi các đặc trưng của sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ (ví
dụ như biên độ, góc tới, góc phản xạ, khúc xạ) được chuyển qua các đại lượng
chuyển dịch và ứng suất tại các bề mặt để áp dụng điều kiện biên liên tục. Điều
này làm cho các hình ảnh vật lý về tính phản xạ và khúc xạ của sóng trong các
lớp khơng cịn được tường minh.
Trong bài báo của Chen (1993) [21] về phương pháp phản xạ và khúc xạ
tổng quát hóa, hai nhược điểm đề cập ở trên đã được khắc phục. Phương pháp
của Chen đã sử dụng trực tiếp các hệ số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa

(là các hệ số phản xạ, khúc xạ tại một mặt phân cách giữa hai bán khơng gian
nhưng chỉ thơng qua một sóng tới) bằng cách sử dụng trực tiếp các tham số biên


MỤC LỤC

độ của các sóng trong từng lớp, tương tự như trong Kennett (1983) [12] nhưng
sử dụng công thức của Luco và Apsel (1983) [14] để loại trừ các hệ số tăng theo
hàm mũ, là các hệ số gây mất ổn định tính tốn số đối với tần số cao. Do đó,
phương pháp này khơng những đã khắc phục được nhược điểm mất ổn định số
đối với miền tần số cao mà cịn cung cấp một hình ảnh rõ ràng về sự phản xạ
và khúc xạ trong từng lớp. Với những ưu điểm này, phương pháp của Chen đã
được viết thành một phần mềm tính tốn về sóng và được sử dụng một cách
rộng rãi.
Trong luận văn này, phương pháp của Chen được nghiên cứu phát triển
cho lớp vật liệu bất đẳng hướng, cụ thể là vật liệu trực hướng. Các phương trình
của Chen, ví dụ như các cơng thức của các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát
hóa, các cơng thức truy hồi để tính tốn chúng, được viết lại phù hợp đối với
môi trường vật liệu trực hướng. Các phương trình này sẽ được sử dụng để thiết
lập phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân
lớp, và được sử dụng để nghiên cứu bài tốn phản xạ, khúc xạ của sóng truyền
trong môi trường này. Luận văn sẽ tập trung đi vào tính tốn số phổ band-gaps
của sóng qSH (kí hiệu q là quasi) và sóng qP − SV , (hay cịn gọi là sóng tựa SH
và sóng tựa P − SV ), là các sóng tương tự như sóng SH và P − SV trong môi
trường đẳng hướng, khi truyền qua môi trường phân lớp trực hướng.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm hai chương.
Chương 1 sẽ đi thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp ma trận hệ
số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T và sẽ đi thiết lập phương trình tán sắc
của sóng mặt Rayleigh truyền trong mơi trường phân lớp trực hướng. Chương 2
sẽ đi sử dụng các kết quả của Chương 1 để khảo sát bài toán tìm phổ band-gaps

của sóng mặt qSH và qP − SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng.

5


Chương 1
Phương pháp ma trận hệ số phản
xạ, khúc xạ tổng qt hóa R/T
Mơ hình tổng qt của mơi trường phân lớp được nghiên cứu trong luận
văn bao gồm N lớp song song đồng nhất, trực hướng đặt giữa hai bán khơng
gian (Hình vẽ 1). Các trục chính của bán không gian và các lớp được giả thiết
là cùng phương. Sóng phẳng truyền trong mơ hình có tần số góc ω và có số sóng
theo phương ngang k . Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục Ox song song với các
lớp và có chiều hướng theo phương truyền sóng cũng là phương của một hướng
chính của vật liệu. Trục Oz có chiều dương hướng xuống dưới và có gốc tọa độ
nằm tại mặt biên của lớp trên cùng. Trong một số trường hợp, để cho công thức
đơn giản hệ tọa độ (x, y, z) có thể được thay bằng (x1 , x2 , x3 ). Các lớp có tham
(j) (j) (j) (j) (j)
(j)
số vật liệu là c(j)
11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 và ρ , trong đó j = 1, . . . , N là số thứ tự

của lớp. Bán không gian bên trên được coi là lớp thứ (0) và bán không gian bên
dưới được coi là lớp thứ (N + 1). Chương này sẽ trình bày các hệ thức cơ bản
của phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa trong mơ hình phân lớp
đang xét này. Cụ thể là các hệ số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa sẽ được
nhận tại mặt phân cách giữa hai lớp thứ (j) và thứ (j + 1). Các công thức hệ
số này sẽ được sử dụng để khảo sát bài tốn truyền sóng mặt Rayleigh và bài
tốn phản xạ, khúc xạ được trình bày trong các chương cịn lại. Các nội dung
của chương này được thực hiện tương tự như trong bài báo của Chen (1993)

[21] nhưng phát triển cho vật liệu trực hướng, thay vì vật liệu là đẳng hướng,
với các biến đổi chi tiết.
6


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

1.1

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản
Xét một mơi trường đàn hồi trực hướng đặc trưng bởi các hằng số vật

liệu c11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 và mật độ khối của mơi trường là ρ. Giả thiết các
sóng phẳng truyền trong môi trường nằm trong mặt phẳng (0, x1 , x3 ). Do đó các

Hình 1.1: Mơ hình và hệ tọa độ của môi trường trực hướng phân lớp. Các lớp và bán
khơng gian có các hướng chính của vật liệu trùng nhau

thành phần chuyển dịch của sóng phẳng trong môi trường đang xét là các hàm
phụ thuộc vào (x, z, t) hay (x1 , x3 , t) và có dạng
(1.1)

ui = ui (x1 , x3 , t)

trong đó, i = 1, 2, 3, ui là các thành phần của vector chuyển dịch.
Đối với sóng phẳng qP − SV ta có
uj = uj (x1 , x3 , t)

và u2 (x1 , x3 , t) = 0

(1.2)

trong đó, j = 1, 3.
Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần của
ứng suất và các thành phần của gradient chuyển dịch (ui,j =

7

∂ui
) trong môi
∂xj


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

trường vật liệu trực hướng (xem Ting, 1996 [17]) có dạng
σ11 = c11 u1,1 + c13 u3,3 ,
σ33 = c13 u1,1 + c33 u3,3 ,

(1.3)

σ13 = c55 (u1,3 + u3,1 ).

Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động cơ bản của sóng phẳng qP − SV
trong mụi trng cú dng
(1.4)

11,1 + 13,3 = ă

u1 ,
13,1 + 33,3 = ă
u3 ,

trong ú, du "." biu th đạo hàm theo biến thời gian t.
Từ phương trình (1.3)3 ta có
u1,3 =

1
σ13 − u3,1 .
c55

(1.5)

Rút u3,3 từ phương trình (1.3)2 ta nhận được
u3,3 =

c13
1
σ33 −
u1,1 .
c33
c33

(1.6)

Đạo hàm phương trình (1.6) theo x1 ta có
u3,31 =

1

c13
σ33,1 −
u1,11 .
c33
c33

(1.7)

Lấy đạo hàm phương trình (1.3)1 theo x1 ta có
σ11,1 = c11 u1,11 + c13 u3,31 .

(1.8)

Thay u3,31 vào phương trình (1.8) ta có
σ11,1 =

c11 −

c213
c33

u1,11 +

c13
σ33,1 .
c33

(1.9)

Từ phương trình (1.4)2 rút ra

σ33,3 = ă
u3 13,1 .

8

(1.10)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

Từ phương trình (1.4)1 ta có
σ13,3 = ă
u1 11,1 .

(1.11)

Thay 11,1 vo phng trỡnh (1.11) ta thu c
13,3 = ă
u1

c11

c213
c33

u1,11

c13
33,1 .

c33

(1.12)

Gi s hệ thống sóng qP − SV lan truyền dọc theo phương x với vận tốc sóng
c và số sóng k theo phương ngang. Số sóng k này có thể được tính bởi góc tới

và tần số sóng của tia tới. Giả sử các thành phần chuyển vị của sóng qP − SV
được biểu diễn dưới dạng hàm mũ (Xem Achenbach, 1975 [11])
u1 = U (z)ei(ωt−kx) ,

(1.13)

u2 = 0,
u3 = −iV (z)ei(ωt−kx) .

và đối với các thành phần ứng suất
σ13 = P (z)ei(ωt−kx) ,

(1.14)

σ23 = 0,
σ33 = −iS(z)ei(ωt−kx) .

Ta biểu diễn được u1,3 , u3,3 , σ13,3 , σ33,3 theo bốn đại lượng U (z), V (z), P (z), S(z) và
các tham số vật liệu c11 , c13 , c33 , c55 , ρ như sau
1
P (z) + kV (z),
c55
c13

1
u3,3 = −k U (z) +
S(z),
c33
c33
c2
kc13
σ13,3 =
S(z) + k 2 c11 − 13
c33
c33
u1,3 =

σ33,3 = −kP (z) − ρω 2 V (z),

9

(1.15)
− ρω 2 U (z),


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

Phương trình (1.15) là các phương trình chuyển động của sóng qP − SV
và được biểu diễn dưới dạng ma trận có dạng
  
0
U  


  
   −k c13
V 
d 
c33
 =



c213
dz 
 2

k c11 −
P  
c33
  

S

− ρω 2

k

1
c55

0

0

0

0

−ρω 2 −k

0





0 
U 



1 
 V 

c33  
 

c13  
k
 P 

c33  


0



(1.16)

S

Xét sóng qSH , nó có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác khơng,
thành phần chuyển dịch theo phương x1 , x3 bằng 0 nên ta có
σ23 = c44 u2,3 ,

(1.17)

σ21 = c66 u2,1 .

(1.18)

Phương trình chuyển động (bỏ qua lực khối) của sóng phng qSH cú dng
c66 u2,11 + c44 u2,33 = ă
u2

(1.19)

Thnh phần chuyển dịch và ứng suất của sóng phẳng qSH được giả thiết có
dạng (Xem Achenbach, 1975 [11])
u = (0, u2 , 0) = (0, W (z)ei(ωt−kx) , 0),

(1.20)

σ23 = T (z)ei(ωt−kx) .

(1.21)

và

Từ phương trình (1.17)1 và (1.21) ta có
u2,3 =

1
T (z).
c44

(1.22)

Từ phương trình (1.17)1 và (1.19) ta có
σ23,3 = c44 u2,33 = ă
u2 c66 u2,11
= (k 2 c66 − ω 2 ρ)W (z).

10

(1.23)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

Từ (1.22) và (1.23) ta biểu diễn được u2,3 , σ23,3 theo hai đại lượng W (z), T (z) và
các tham số vật liệu c44 , c66 , ρ. Khi đó hai phương trình này được viết lại dưới

dạng ma trận như sau










1
d  W   0
W 
c44 
=

,

dz
2
2
T
T
k c66 − ω ρ
0

(1.24)

Hai phương trình (1.16) và (1.24) là dạng ma trận của hệ phương trình

chuyển động của sóng qP − SV và qSH và chúng có thể được biểu diễn dưới dạng
ma trận tổng quát là
d
f (z) = Af (z),
dz

(1.25)

trong đó, f (z) vector chuyển dịch - ứng suất, và nó có kích cỡ 4 × 1 cho sóng
qP − SV , kích cỡ 2 × 1 cho sóng qSH . Do đó, ma trận hệ số A có kích cỡ 4 × 4

và 2 × 2 cho sóng qP − SV và sóng qSH một cách tương ứng.
Để giải các phương trình (1.16), (1.24) hoặc dưới dạng tổng quát (1.25)
ta phải biết các điều kiện biên. Ví dụ đối với bài tốn truyền sóng mặt Rayleigh,
điều kiện biên là ứng suất bằng khơng tại lớp trên cùng (tức là, tại z = 0), điều
kiện liên tục của sóng tại mỗi mặt phân cách, và điều kiện tắt dần trong bán
không gian dưới cùng. Đối với bài toán phản xạ, khúc xạ, điều kiện biên chỉ có
điều kiện liên tục tại các mặt phân cách.
Nghiệm giải tích của hệ các phương trình vi phân tuyến tính (1.25) được
biểu diễn dưới dạng như sau (xem Aki và Richards, 1980 [1]),
f (z) = EΛ(z)C,

(1.26)

trong đó E, Λ là các ma trận đã biết sẽ được trình bày bên dưới, nhưng C là các
vector hệ số cần được xác định tùy theo bài toán. Trong (1.26), f là tổ hợp tuyến
tính của các nghiệm cơ bản của phương trình (1.25), với vector C là vector các
hệ số biểu thị biên độ của các nghiệm cơ bản. Các nghiệm cơ bản được tìm dưới
dạng hàm mũ của các giá trị riêng của ma trận hệ số A trong (1.25) và ma trận
Λ là ma trận đường chéo thể hiện các nghiệm hàm mũ này. Ma trận E là ma

trận có các cột là là các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng ở trên.
Để tìm ma trận Λ và E đối với sóng qP − SV ta đi tìm bốn giá trị riêng
của ma trận A trong phương trình (1.25) và bốn vector riêng tương ứng. Các
11


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình det(A − λI) = 0, với λ
kí hiệu là giá trị riêng của ma trận A. Ta có
−λ

k2

k

c13
−k
c33
c213
c11 −
− ρω 2
c33

−λ
0

1

c55

0

1
0
c33 = (−1)1+1 (−λ)
c13
−λ k
c33

−ρω 2 −k

0

−λ
0

1
c33
c13
−λ
c33
0

−ρω 2 −k −λ

−λ

(1.27)

c13
1
0
c33
c33
c213
c13
− ρω 2 −λ k
c11 −
c33
c33
−k

+ (−1)1+2 k k 2

−k

0

c13
c33
c213
− ρω 2
c11 −
c33

−λ

−k

+ (−1)1+3

1
k2
c55

0

−λ

0
−ρω 2

1
c33
c13
+ (−1)1+4 0 = 0.
k
c33
−λ

Khai triển các định thức ta thu được
c2
c13
1
1
ρω 2 + 2k 2
−
k 2 c11 − 13 − ρω 2
c33

c33 c55
c33
2
c
1
1
+ k4
c11 − 13 − k 2 ω 2 ρ
c33
c33
c33
2
c
c2
1 2 1
1 2 c213 2
1
+ k 4 213 −
k
ρω 2 c11 − 13 +
ρ2 ω 4 −
k
ρω = 0,
c33
c55 c33
c55 c233
c33 c55 c33

λ4 + λ2

(1.28)

Thay λ = bk, vào phương trình trên ta được
c33 c55 b4 + (c13 + c55 )2 + c33 (X − c11 ) + c55 (X − c55 ) b2 + (c11 − X)(c55 − X) = 0

(1.29)
trong đó X = ρc2 . Đây là phương trình trùng phương đối với b có nghiệm
√
b21 = S + 2 P ,

√
b23 = S − 2 P ,

12

(1.30)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

trong đó,
(c13 + c55 )2 + c33 (X − c11 ) + c55 (X − c55 )
,
c33 c55
(c11 − X)(c55 − X)
P =
.
c33 c55
S=−

(1.31)

Chú ý rằng phương trình đặc trưng (1.29) của hệ phương trình vi phân chuyển
động của sóng qP − SV cũng đã nhận được trong bài báo của Vĩnh và Ogden
(2004).
Như vậy ma trận hệ số A trong (1.16) có 4 giá trị riêng, đó là b1 , b2 =
−b1 , b3 , b4 = −b3 . Các vector tương ứng với 4 giá trị riêng này có dạng




b2i c33

+ ρc2

− c55



−bi (c13 + c55 )

yi = 

 kc55 bi b2 c33 + c13 + ρc2
i



k c13 ρc2 − (b2i c33 + c13 )c55





,





(1.32)

với (i = 1, 4). Bốn vector này chính là bốn cột của ma trận E, và do đó ta có
dạng của ma trận E là

2

2

2

2

b1 c33 − c55 + ρc
b3 c33 − c55 + ρc ...



b1 (c13 + c55 )

b3 (c13 + c55 )...

E=

 −kc55 b1 (b2 c33 + c13 + ρc2 ) −kc55 b3 (b2 c33 + c13 + ρc2 )...
1
3



k[c13 ρc2 − (b21 c33 + c13 )c55 ] k[c13 ρc2 − (b23 c33 + c13 )c55 ]...


(b21 c33

− c55

+ ρc2 )

−b1 (c13 + c55 )
kc55 b1 (b21 c33 + c13 + ρc2 )

(b23 c33

− c55

(1.33)

+ ρc2 )




−b3 (c13 + c55 )

.

kc55 b3 (b23 c33 + c13 + ρc2 ) 



k[c13 ρc2 − (b21 c33 + c13 )c55 ] k[c13 ρc2 − (b23 c33 + c13 )c55 ]

Ma trận Λ là ma trận đường chéo các hàm mũ tương ứng với bốn giá trị riêng

13


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

của ma trận A đã tìm được ở trên, và nó có dạng

e−b1 z

0

0

e−b3 z

0

0

0

eb1 z

0

0

0





Λ(j) (z) = 





0


0 



0 
.

0 



(1.34)

e b3 z

Ý nghĩa vật lý của 4 giá trị riêng và 4 vector riêng tương ứng là chúng biểu thị
cho 4 sóng cơ bản truyền trong mơi trường bao gồm 2 sóng qP và qSV đi lên và
2 sóng đi xuống. Các giá trị riêng là các số sóng của 4 sóng này theo phương 0z
và các vector riêng biểu thị cho tỉ số biên độ của các thành phần của vector f .
Tương tự, đối với sóng qSH các giá trị riêng của ma trận hệ số được tìm
từ det(A − aI) = 0. Với A là ma trận hệ số được cho trong phương trình (1.24).
Ta có
1
c44 = a2 − 1 (k 2 c66 − ω 2 ρ) = 0
c44
k 2 c66 − ω 2 ρ −a
−a

Từ đó suy ra
k2

a1,2 = ∓

c66 ω 2 ρ
−
= ∓ν.
c44
c44

(1.35)

Như vậy hệ thống sóng qSH có hai giá trị riêng được kí hiệu là ν và −ν . Hai giá
trị riêng này biểu thị cho một sóng đi lên và một sóng đi xuống. Các ma trận E
và Λ đối với sóng qSH cũng được tìm tương tự như trên và có dạng


1

E=

1 

−c44 ν c44 ν,

,

(1.36)

và


−νz

e
Λ(z) = 

0


0 
eνz

.

(1.37)

Các hệ số C chưa biết trong biểu diễn nghiệm (1.26) có thể được xác định bằng
sử dụng các điều kiện biên đối với mỗi bài toán. Công thức biểu diễn nghiệm này
sẽ được dùng để khảo sát bài toán hệ số phản xạ, khúc xạ và bài tốn truyền
sóng được trình bày ở phần sau.
14


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

1.2

Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng qt hóa
Mục đích của mục này là đi tìm các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng qt

hóa tại một mặt biên phân chia giữa hai mơi trường có tính chất khác nhau.
Hai mơi trường giả sử được kí hiệu bởi (j) và (j + 1), trong đó mặt biên phân

cách giả thiết là có phương trình z = z (j) (xem Hình vẽ 1.2). Mục này sẽ trình
bày cách nhận được ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa của sóng
qSH và qP − SV trong mơi trường phân lớp trực hướng.

1.2.1

Sóng qSH
Đối với mơi trường (j) phương trình (1.26) có nghiệm được biểu diễn dưới

dạng như sau






W (j) (z)




T (j) (z)

 
=

(j)
E11
(j)
E21

(j)
E12
(j)
E22







(j)
Λd (z)

0 

(j)
Cd



(j)
Cu

(j)
Λu (z)

0



,

(1.38)

,

(1.39)

trong đó,
f (j) = W (j) (z), T (j) (z)

T

(j)

(j)

, C(j) = Cd (z), Cu (z)

T

và
(j)

E11 = 1,

(j)

E12 = 1,

(j)

(j)

E21 = −c44 ν (j) ,
(j)

Λd (z) = e−ν
(j)

Λu (z) = eν

(j)

(j)

z

z

,

(j)

(j)

E22 = c44 ν (j) ,

(1.40)
(1.41)

.

(j)
Các số hạng Λ(j)
d (z) và Λu (z) biểu diễn các sóng đi xuống và sóng đi lên

trong mơi trường (j), và Cd(j) (z) và Cu(j) (z) là các hệ số biểu diễn biên độ tương
ứng của các sóng đi xuống và sóng đi lên này.
Để giới thiệu khái niệm hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa, trước hết
ta đi định nghĩa hệ số phản xạ và khúc xạ theo nghĩa thông thường (được viết
tắt là hệ số R/T ) mà nó mơ tả ảnh hưởng của sự phản xạ và khúc xạ trên một
mặt phân cách giữa hai môi trường mà không quan tâm đến ảnh hưởng của sự
phản xạ và khúc xạ do các mặt phân cách khác gây ra (Luco và Apesel, 1983
15


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

[14]). Trong trường hợp tổng quát, tại mặt phân cách giữa bán không gian trên
(j) và bán khơng gian dưới (j + 1) có hai sóng qSH đi đến, đó là sóng trong bán

khơng gian thứ (j) đi xuống và sóng trong bán khơng gian thứ (j + 1) đi lên.
Mỗi sóng trong hai sóng này sẽ bị tách thành hai thành phần, đó là sóng phản
xạ và sóng khúc xạ đi vào trong hai bán khơng gian. Bốn sóng phản xạ và khúc
xạ này sẽ được gộp vào thành hai sóng và chúng sẽ được biểu diễn thơng qua
(j)

(j)
hai sóng tới ở trên thơng qua các hệ số phản xạ và khúc xạ Rdu
, Rud
, Tu(j) và
(j)

Td

theo cơng thức sau (Luco và Apsel, 1983 [14])

Hình 1.2: Sự phản xạ và khúc xạ của hai sóng tới qSH tại mặt phân cách của hai bán
không gian

(j+1)

Cd

(j)

(j)

(j)

(j+1)

j
= Td Cd + Rud
Cu
(j)

(j)

(j+1)

Cu = Rdu Cd + Tuj Cu

,

(1.42)

,

với Cd(j) , Cu(j+1) là hệ số biên độ của hai sóng tới, và Cu(j) , Cd(j+1) là hệ số biên
(j)
(j)
độ của hai sóng phản xạ và khúc xạ, Rdu
, Rud
, Tu(j) , Td(j) là các hệ số phản xạ

và khúc xạ tại mặt phân cách. Trong công thức (1.42), các chỉ số dưới “d” có
nghĩa là sóng đi xuống (down), “u” có nghĩa là sóng đi lên (up). Phương trình
thứ nhất của (1.42) có nghĩa là sóng đi xuống bán khơng gian (j + 1) là tổ hợp
của sóng khúc xạ của sóng đi xuống từ bán khơng gian (j) với sóng phản xạ của
16


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

sóng đi lên từ bán khơng gian (j + 1), với các hệ số tổ hợp tương ứng là Td(j) và

(j)

Rud . Phương trình thứ hai của (1.42) đối với sóng đi lên vào bán khơng gian (j)

cũng có nghĩa tương tự.
(j)
(j)
(j)
(j)
, Rdu , Tu , Td trong
Để đi tìm biểu thức tường minh của các hệ số Rud

phương trình (1.42), ta thay phương trình (1.38) vào điều kiện liên tục f (j) (z (j) ) =
f (j+1) (z (j) ) tại mặt phân cách và thu được





=



(j)
E11
(j)

E21

(j+1)

E11
(j+1)
E21

(j)
E12
(j)

E22

(j+1)
E12
(j+1)
E22










(j)
Λd (z j )

0 
(j)

Λu (z j )

0



(j)

Cu



(j+1) j
Λd
(z )





0 

(j+1)
Cd



(j+1)
Cu

(j+1) j
Λu
(z )

0

(j)
Cd



.

(1.43)

Thay các phương trình (1.42) vào hệ phương trình (1.43) ta thu được
(j) (j)

(j)

(j) (j)

(j)

(j)

(j)

(j+1)

E11 Λd (z (j) )Cd + E12 Λu (z (j) )(Rdu Cd + Tu Cu
=

(j+1) (j+1) (j)
(j) (j)
E11 Λd
(z )(Td Cd

)

(1.44)

(j) (j+1)
(j+1) (j+1) (j)
(j+1)
+ Rud Cu
) + E12 Λu
(z )Cu
,

và
(j) (j)

(j) (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j+1)

E21 Λd (z (j) )Cd + E22 Λu (z (j) )(Rdu Cd + Tu Cu
=

(j+1) (j+1) (j)
(j) (j)
E21 Λd
(z )(Td Cd

)

(1.45)

(j) (j+1)
(j+1) (j+1) (j)
(j+1)
+ Rud Cu
) + E22 Λu
(z )Cu
.

Sau khi chuyển vế một số số hạng ta được
(j+1) (j+1) (j)
(j) (j)
Λd
(z )Td Cd

E11

(j) (j)

(j)

(j) (j)

(j)

(j+1)

− E12 Λu (z (j) )Tu Cu

(j)

(j) (j)

(j+1) (j) (j) (j+1) (j)
(j) (j+1)
Λu (z )Λd
(z )Rud Cu

+ E11

(j+1) (j+1) (j)
(j+1)
Λu
(z )Cu

(j)

−E12 Λu (z (j) )Rdu Cd = E11 Λd (z (j) )Cd − E12

(1.46)
và
(j+1) (j+1) (j)
(j) (j)
Λd
(z )Td Cd

E21

(j) (j)

(j)

(j+1)

−E22 Λu (z (j) )Tu Cd

(j+1) (j+1) (j)
(j) (j+1)
Λd
(z )Rud Cu

+ E21

(j) (j)

(j)

(j) (j)

(j)

(j)

− E22 Λu (z (j) )Rdu Cu

(j+1) (j+1) (j)
(j+1)
Λu
(z )Cu
.

= E21 Λd (z (j) )Cd − E22

(1.47)
17


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

Hệ phương trình trên được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau





(j+1) (j)
(j)
(j+1)
(j)
(z )
−E12   Td (j) Rud   Λd
 E11



(j+1)


=



(j)

(j)

−E22

E21

(j)
E11

(j+1)

−E12

(j)

(j+1)

−E22

E21

Tu (j)

Rdu





(j)
Λd

0

0
(j+1)

0

z (j)

Λu

(j+1)

(j)

Λu (z (j) )


z (j)

(j)
  Cd


0






(1.48)



(j)
Cd
(j+1)

Cu

Cu




.

Từ đó ta thu được biểu diễn dưới dạng ma trận của các hệ số phản xạ, khúc xạ
như sau

 Td


(j)

(j)

Rdu

(j)
Rud

Tu (j)









 
=
(j)
E11
(j)

E21

−1 

(j+1) (j)
(z )
Λd

0

0

Λu (z (j) )

(j+1)
−E12
(j+1)

−E22

(j)





 
 

(j+1)

E21

(j)
−E12
(j)

−E22

−1





(j)
Λd (z (j) )

0
(j+1)

0

(j+1)
E11

Λu

(z (j) )


.
(1.49)

Phương trình (1.49) là cơng thức dùng để tính tốn hệ số phản xạ, khúc xạ R/T
trên bề mặt phân cách của hai bán không gian. Sau khi các hệ số R/T đã được
xác định, Kennett đã phát triển phương pháp này bằng cách định nghĩa các hệ
số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa trên mỗi bề mặt phân cách bởi công thức
dưới đây (Kennett, 1983 [12])
(j+1)

Cd

(j)

(j)

= Tˆd Cd ,

(1.50)

(j)
ˆ (j) C (j) ,
Cu = R
du d

Ý nghĩa của định nghĩa mới đưa ra bởi Kennett là như sau: Với cách định
nghĩa các hệ số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa như trên, chúng ta có thể
biểu diễn trực tiếp sóng phản xạ và khúc xạ thơng qua sóng tới đi xuống từ mơi
trường nằm trên mặt phân cách mà khơng phụ thuộc hiển vào sóng tới đi lên từ
mơi trường bên dưới. Ví dụ như trong bài tốn phản xạ/ khúc xạ, khi có một
sóng tới từ bán không gian trên đi xuống, chúng ta chỉ có thể biết thơng tin về
sóng tới này mà khơng biết thơng tin về sóng tới đi lên từ bán không gian dưới
18


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

(do sự phản xạ của các lớp phân cách bên dưới). Do đó định nghĩa của Kennett
sẽ cho ta ngay kết quả của sóng phản xạ và khúc xạ phụ thuộc vào thơng tin
của sóng tới đi xuống.
Thay phương trình (1.50) vào phương trình (1.42) ta thu được
(j) (j)
(j) (j)
(j) (j+1)
Tˆd Cd = Td Cd + Rud Cu
,

(1.51)

ˆ (j) C (j) = R(j) C (j) + Tu(j) Cu(j+1) ,
R
du d
du d

Từ phương trình (1.50) ta có thể biểu diễn Cu(j+1) như là kết quả của sự phản
xạ từ mặt phân cách thứ (j + 1) tại z = z (j+1) và thay vào (1.51) ta có
(j) ˆ (j+1) ˆ (j) (j)
(j) (j)
(j) (j)
Td Cd ,
Tˆd Cd = Td Cd + Rud R
du

(1.52)

ˆ (j) C (j) = R(j) C (j) + Tu(j) R
ˆ (j+1) Tˆ(j) C (j) .
R
du d
du d
du
d
d

Do đó, ta thu được cơng thức tính tốn truy hồi hệ số tổng qt hóa R/T như
sau
(j)
(j) ˆ (j+1) −1 (j)

Tˆd = (1 − Rud R
) Td ,
du

(1.53)

ˆ (j) = R(j) + Tu(j) R
ˆ (j+1) Tˆ(j) ,
R
du
du
du
d

với j = 1, 2, . . . , N − 1. Các giá trị đầu của công thức truy hồi này sẽ được xác
định tùy thuộc vào bài toán cụ thể.
Để tìm biểu diễn của các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng qt hóa, chú ý
trong phương trình (1.49), trong ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ được xuất hiện
các ma trận nghịch đảo của ma trận đường chéo chính Λ(z) với các thành phần
Λd (z) và Λu (z) được biểu diễn trong phương trình (1.41). Chúng ta thấy rằng

tùy theo dấu của ν , một trong hai giá trị này có giá trị lớn và giá trị còn lại là
giá trị nhỏ. Và khi tần số của sóng rất lớn, hai giá trị trên sẽ rất lớn và rất nhỏ.
Điều này làm cho việc lấy nghịch đảo ma trận Λ(z) sẽ bị mất đi các con số có
nghĩa và nó làm cho việc tính tốn số trong miền tần số cao sẽ mất ổn định.
Để khắc phục việc này, Chen (1993) [21] đã đưa ra một ý tưởng, đó là thay đổi
dạng biểu diễn nghiệm tổng quát trong (1.38) thành

 


W (j) (z)




T (j) (z)

 
=

(j)
E11

(j)
E21

(j)
E12

(j)
E22




(j)
Λd (z)

0

19


0 

(j)
Cd



(j)
Cu

(j)
Λu (z)



,

(1.54)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

với
(j)

(j)

(z−z (j−1) )

(j)

(j)

(z (j) −z)

Λd (z) = e−ν
Λu (z) = e−ν

(1.55)

,

.

Như vậy, các phần tử của ma trận đường chéo Λ(j) (z) đã được nhân với hệ số
eν

(j) (j)

và e−ν

z

(j) (j)

z

một cách tương ứng. Chính vì vậy, các hệ số biên độ Cd(j) và

(j)

Cu trong biểu diễn mới sẽ phải hấp thụ các hệ số này, do đó
(j)

(j)

Cd → Cd e−ν
(j)
Cu

→

(j) (j)

z

,

(1.56)

(j) (j) (j)
Cu e ν z .

Với cách biểu diễn nghiệm mới này, hai phần tử đường chéo của ma trận Λ(j) (z)
sẽ có giá trị cùng bậc và do đó khi lấy nghịch đảo, các con số có nghĩa sẽ khơng
bị mất đi.

Trong trường hợp này, biểu diễn ma trận của các hệ số phản xạ, khúc xạ
trong (1.49) sẽ trở thành

 



(j)
Td

(j)
Rud

(j)
Rdu

(j)
Tu

 
=

(j+1)
E11

(j)
−E12

(j+1)
E21

(j)
−E22

−1 






(j)
E11

(j+1)
−E12

(j)
E21

(j+1)
−E22







(j)

Λd (z (j) )

0 
(j+1) (j)
Λu
(z )

0

(1.57)
Chú ý rằng, cách biểu diễn mới chỉ ảnh hưởng đến ma trận biểu diễn các hệ
số phản xạ, khúc xạ mà không ảnh hưởng đến công thức truy hồi (1.53). Công
thức truy hồi này sẽ được sử dụng trong bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng
tới đi từ bán khơng gian trên truyền qua các lớp và khúc xạ tại bán khơng gian
dưới.

1.2.2

Sóng qP-SV
Đối với sóng qP − SV , hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát của sóng cũng

được tìm tương tự như trường hợp sóng qSH . Khi đó, phương trình (1.26) được
biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

 

D(j) z




(j)

z

 
=

(j)
E11

(j)
E21

(j)
E12
(j)
E22




(j)
Λd (z)

0
20


0 

(j)
Cd



(j)
Cu

(j)
Λu (z)



,

(1.58)

,


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QT HĨA R/T

trong đó ma trận các vector riêng E(j) trong phương trình (1.33) được tách thành
bốn ma trận nhỏ cấp 2 × 2 có dạng chi tiết

(j)

E11 = 




(j)

E12 = 


(j)

E21 = 




(j)
E22


=



(j)2 (j)
b1 c33
(j)

(j)
− c55

(j)

+ ρ(j) c2

(j)2 (j)
b3 c33

(j)

(j)

b1 (c13 + c55 )

(j)2 (j)
(b1 c33
(j)

(j)
− c55

(j)

(j) (j) (j)2 (j)
−kc55 b1 (b1 c33

(j)
+ c13

(j)2 (j)

(b3 c33

(j) (j) (j)2 (j)
kc55 b1 (b1 c33
(j)
k[c13 ρ(j) c2

(j)
+ c13

(j)



(j)
− c55

+ ρ(j) c2 )

(j)

(j)

(j) (j) (j)2 (j)
−kc55 b3 (b3 c33

+ ρ(j) c2 )

+ ρ(j) c2 )

(j)2 (j)
− (b1 c33

(j) (j)
+ c13 )c55 ]





và


,

−b3 (c13 + c55 )

(j) (j)
+ k 2 c13 )c55 ]

(j)2 (j)
− (b1 c33

(j)

(j)

−b1 (c13 + c55 )

(j)

k[c13 ρ(j) c2


+ ρ(j) c2

b3 (c13 + c55 )

+ ρ(j) c2 )

(j)

(j)
− c55

(j)
k[c13 ρ(j) c2

(j)
+ c13

(j)2 (j)
− (b3 c33

(j) (j) (j)2 (j)
kc55 b3 (b3 c33
(j)
k[c13 ρ(j) c2

(j)
+ c13

(j)2 (j)
− (b3 c33



(j)
 U (z) 
D (z) = 
,

(j)

(j)

V (j) (z)


,


+ ρ(j) c2 ) 

(j) (j)
+ c13 )c55 ]

(1.59)
,



+ ρ(j) c2 ) 

(j) (j)
+ c13 )c55 ]

,



(j)
 P (z) 
(z) = 
,

S (j) (z)

và ma trận đường chéo Λ(j) cũng được tách thành các ma trận con cấp 2 × 2


(j)

(j)
Λd (z)

−b
e 1
=

(z−z (j−1) )

(j)

(j−1)
)
e−b3 (z−z

0


e

(j)

Λu (z) = 

0 



(j)
−b1 (z (j)−z )

0 
(j)

(j)−z
)
e−b3 (z

0

,

.

Chú ý rằng dạng ma trận của Λ(j) (z) đã được viết lại theo ý tưởng của Chen.
Các vector hệ số được tách thành hai vector con tương ứng với sóng hướng lên
trên và hướng xuống dưới

(j)

Cd (z) = 



(j)
Cpd
(j)

Csd




(j)


,

Cu (z) = 

21

(j)
Cpu


(j)

Csu



,


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

và cũng chú ý rằng các hệ số này đã hấp thụ các hệ số thay đổi tương ứng trong
ma trận Λ(j) (z). Các ma trận hệ số phản xạ và khúc xạ R/T đối với mặt phân
(j)
(j)
(j)
cách thứ j , R(j)
ud , Rdu , Tu và Td được định nghĩa bởi hệ phương trình sau

Hình 1.3: Sự phản xạ và khúc xạ của bốn sóng tới qP-SV tại mặt phân cách của hai
bán không gian

(j+1)

Cd

(j)

(j)

(j)

(j+1)

= Td Cd + Rjud Cu
(j)

(j)

(j+1)

Cu = Rdu Cd + Tju Cu

(1.60)

,

,

Tương tự như đối với sóng SH , sử dụng điều kiện liên tục tại mỗi mặt phân
cách, ta thu được biểu thức tường minh của ma trận hệ số R/T đối với sóng

P − SV như sau


 Td


(j)

(j)

Rdu

(j)
Rud

Tu (j)





 
=

(j+1)
E11

(j)
−E12

(j+1)

−E22

E21

(j)

−1 






(j)
E11
(j)

E21

(j+1)
−E12
(j+1)

−E22







(j)
Λd

z (j)
0

0
(j+1)

Λu

(1.61)
ˆ (j) và T
ˆ (j) ,
Các ma trận hệ số R/T tổng quát hóa đối với sóng qP − SV , R
du
d

được định nghĩa tương tự như đối với trường hợp sóng qSH có dạng
(j+1)

Cd

ˆ (j) C(j) ,
=T
d
d

(j)
ˆ (j) C(j) ,
Cu = R
du d

22

(1.62)

z (j)


