De cuong on tap toan 12 hoc ki I

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.75 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC HÌ I TỐN 12 (2009-2010)

I/ LÝ THUYẾT

A.GIẢI TÍCH

1) Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
2) Cực trị

3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

4) Các cơng thức lũy thừa và cơng thức lơgarít
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lơgarít
6) Phương trình mũ và lơgarít

B. HÌNH HỌC

1) Quan hệ vng góc, khoảng cách, góc

2) Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu.
A1) TĨM TẮT LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH :

I. Chương I :Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số :
1) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) Định lý: (Mở rộng)
Cho hs có đạo hàm trên K

 f’(x) 0, ∀x∈K⇒ Hs f(x) đồng biến trên K
 f’(x) 0, ∀x∈K⇒ Hs f(x) nghịch biến trên K
( Dấu “=”chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm )
b) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)

+ TXĐ D = ?

+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác
định.

+ Lập BBT
+ Kết luận.

2) Cực trị của hàm số:

a)Qui tắc I ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x) )
+ Tìm TXD D= ?

+ y’(x) = ? tìm các điểm tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định
+ Lập BBT

+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
b) Định lý:

Hs y=f(x) có đạo hàm tới cấp 2 trong khoảng (x0-h;x0+h), h>0

¿y '(x0)=0
y''(x0)>0

⇒x0

¿{

là điểm cực tiểu của hàm số

¿y '(x0)=0

y''(x0)<0
⇒x0

¿{

là điểm cực đại của hàm số

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Tìm TXD D= ?

+ y’(x) = ? giải pt y’(x)=0 ⇒ x1, x2,…

+ y’’(x) = ? và tính y’’(x1); y’’(x2),…( Xem dấu của y’’ dương hay âm )
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số

3) GTLN, GTNN của hàm số:
a) Đn :

M=max

D f(x)⇔

∀x∈D:f(x)≤ M

∃x0∈D:f(x0)=M

¿{

;

m=min

D f(x)⇔

∀x∈D:f(x)≥ m

∃x0∈D:f(x0)=m

¿{

b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

+ Xét hàm số trên khoảng (a;b)

+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) khơng xác
định.

+ Lập BBT
+ Kết luận.

c) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a;b]

+ Xét hàm số trên đoạn [a;b]

+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) khơng xác

định.

+ Tính y(a)=?, y(x1)=?,….,y(b)=?

+ So sánh và kết luận : max[a; b] y=? min[a ;b] y=?
4) Tiệm cận (xem SGK)

5) Sơ đồ khảo sát hàm số (SGK)

6) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M0(x0;y0) (C ) là :

y=f '(x0)(x − x0)+y0 ( k=f’(x) là hệ số góc )

II. Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ, HS LÔGARIT

$1. Lũy thừa :

a)Lũy thừa với số mũ nguyên :
* a0 = 1 ; a− n=1

an ; 0

0 và 0-n vơ 
nghĩa

b) Tính chất căn bậc n :

n

√a.√nb=√nab
n

√a

n

√b=

n

√a

n

√b

(√na)m=

√

nam

n

√

k

√a=nk√a

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ :

a

m
n

√

nam ( Với a > 0, n,mZ, n 2)

a

n

=√na ( với a>0 , nZ, n 2)

d) Tính chất lũy thừa với số mũ thực :
Với a,b >0 và x,y R ta có :

ax.ay=ax+y

ax
ay=a

x − y

(ax)y=axy
(a.b)x=ax.bx

(

ab

)

x

=a

x

bx

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

¿
¿a>1

α>β

⇔aα>aβ
¿
¿
¿0<a<1

α<β

¿{

$2.Hàm số lũy thừa, hs mũ. Hs lơgarít

a)Các phép tốn đạo hàm cơ bản:
*(C)’=0 ( C là hằng số )

*(u ± v)’=u’ ± v’
*(k.u)’ = k.(u)’

(u.v)'=u '.v+v '.u

(

uv

)

'

=u '.v − v '.u

v2 (v 0)

b) Đạo hàm của hs đơn giản Đạo hàm của hs hợp
(xα)'=α.xα−1

(

1x

)

'

=− 1

x2
(√x)'= 1

2√x

(uα)'=α.uα −1.u '

(

1u

)

'

=−u '
u2
(√u)'= u '

2√u
(ex)'=ex

(ax)'=ax. lna

(eu)'=u '.eu

(au)'=u '.au. lna
(lnx)'=1

x

(loga|x|)'= 1
xlna

Lưu ý :

¿a>1

x>1
¿
0<a<1

0<x<1

⇒logax>0

¿{

(lnu)'=u '
u

(loga|u|)'= u '
ulna

¿a>1
0<x<1

¿
0<a<1

x>1

⇒logax<0

¿{

$3. Công thức lơgarít

a). Định nghĩa :

aα=b⇔α

=logab ;(a , b>0, a≠1)

( logab lơ ga rít cơ số a của b )

b. Tính chất :

Cho a,b > 0 và a 1 ta có :

e.Lơ ga rít của một lũy thừa :

Định lí 3:

Cho b,a > 0 , a 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

*loga1=0

*logaa=1

alogab=b

*logaaα=α

c.Lơ ga rít của một tích :

Định lí 1 :

Cho a,b,c >0, a 1 ta có :

loga(b1b2) = logab1 + logab2

Tổng quát :

loga (b1b2..bn) = logab1+logab2+..+logabn

( b1,b2…bn >0, 0< a 1 )

d.Lô ga rít của một thương :

Định lí 2 :

logab1

b2

=logab1−logab2

( b1, b2 ,a >0; a 1)

Đặc biệt :

loga1b=−logab

loga
n

√b=1
nlogab

f.Đổi cơ số :

Định lí 4 :

logab=logcb

logca

⇔logablogca=logcb

Đặc biệt :

logab= 1

logba

logaαb=
1

α logab

( α ≠0, a , b>0; a ,b ≠1¿

g. Lô ga rít thập phân, lơ ga rít tự nhiên

1. Lơ ga rít thập phân :

log10b = logb = lgb ( lốc b)

2.Lơ ga rít tự nhiên :

logeb = lnb ( lốc Nêper của b)

$5. Phương trình mũ và PT lơgarít
I.Phương trình mũ :

1.Phương trình mũ cơ bản :
ax=b (1 ) (với 0 < a 1 )

Cách giải :

b ≤0⇒PT(1)VN

*b > 0 ⇒ PT(1 ) có nghiệm duy nhất x=logab

2. Cách giải của một số pt mũ đơn giản :
a) Đưa về cùng cơ số :

af(x) = ag(x) (với 0 < a 1 )

⇔ f(x)= g(x)

b) Đặt ẩn phụ :

Đặt t = af(x) > 0 dưa về pt dạng :

A.t2 + B.t + C = 0

Hoặc : A.t3 + B.t2 + C.t +D = 0 , …

c) Lơ ga rít hóa :

VD4 : Giải các pt sau :

a3¿x. 2x

=1¿b¿3x. 8
x
x+2

=6¿

HD :

a)Lấy lơ ga rít cơ số 3 hai vế ta được :

II. PT LƠ RA RÍT

1.PT lơ ga rít cơ bản :

logax = b ( 0 < a 1)

⇔x=ab ( với b∈R¿

2.Cách giài một số PT lơ ga rít đơn giản :

a)Đưa về cùng cơ số :

¿f(x)>0,(hay :g(x)>0)
f(x)=g(x)

logaf(x)=logag(x)

⇔ {

b)Đặt ẩn số phụ :

Đặt t= logax đưa pt về dạng :

* At2 +Bt +C = 0

* At3 + Bt2 +Ct +D = 0

Giải tìm t suy ra x
c)Mũ hóa :

VD4 : Giải pt

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

log3(3x. 2x
2

)=log31

⇔log33x+log32x2=0

⇔x(1+xlog32)=0⇔
x=0

x=− 1

log32=−log23

¿
¿
¿
¿
¿
¿

b)ttự

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
A.GIẢI TÍCH

Bài 1 : Cho hàm số y = x3 –mx2 +mx -1, (Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m= -1, kí hiệu đồ thị (C )

2) Viết PTTTT tại các giao điểm của (C ) với trục hoành
3) Biện luận theo k số nghiệm của PT : x3 + x2 – x –k = 0
4) Tìm m để hàm số có cực trị

5) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2

6) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định

7) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

Bài 2 : Cho hàm số y=1

3x

3−(m−1

)x2−(m−2)x

1) Khảo sát hs khi m= 2, kí hiệu đồ thị (C )

2) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất
3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho xCĐ+2xCT =4

Bài 3 : Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 +2m – 1 ,(Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m = 1, kí hiệu đồ thị (C )

2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó song song với trục hồnh
3) Biện luận theo a số nghiệm PT : -x4 +4x2 +a +1 = 0

4) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 1
5) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị
6) Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Bài 4 : Cho hàm số y=mx+5

x −2 , ( Cm)

1) Khảo sát hàm số khi m = 2, kí hiệu đồ thị (C)

2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y = 9x
+2009

3) Tìm những điểm thuộc ( C) có tọa độ ngun

4) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tống khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm
cận có giá trị nhỏ nhất

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6) CMR tích khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (C ) đến 2 đường tiệm cận
bằng một hằng số.

7) CMR đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x +a tại 2 điểm phân biệt M và N.
Tìm a để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 : Cho hàm số y=− x
2

+2 mx−2m+1
x −2

1) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
2) Tìm m để hàm số có cực trị

Bài 6 : 1)Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=− x+1− 4

x+2 trên [-1;2]

2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos3x – cosx +2 trên [0; π

2 ]
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1-x2)3 trên [-1;1]

4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 22x +1 trên [0;2]
5) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=log1

(x2+4) trên [-1;1]

6) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin4x + cos4x +sinxcosx

7)Cho hàm số y = x3 – mx2 +2(m+2)x – 3m+3 có đồ thị là (Cm), m là tham số
Tìm m để (Cm) nhận I(1;2) làm tâm đối xứng.

Bài 7 : 1) Áp dụng cơng thức tính : A=16log154
+8log49

+5
4
3 log8

3
√5

B=81log153

+27log36

3 log89 C=3

√

5
1
log57

+ 1

√−log 0,1

2) a) Biết log5=a. Tính log125000 ; log0,00625 ; log 1

√51000 theo a

b) Viết biểu thức sau dưới dạng rút gọn lũy thừa với cố mũ hữu tỉ 6

√

b3 5

√

b√3b

3) Cho y=exlnx. CMR : y''− y '=xex−ex

x2

Bài 8 : Vẽ đồ thị các hàm số : a) y=x−3 b) y=52x c) y=

(

)

x

Bài 9 : 1) Tìm tập xác định của hàm số a) 2x −6¿

1
3
y=¿
b) y = log2(4x+7) c) y= log5(5-x2) d) y=log

(

2x −3
4− x

)

2)Cho hs x

2
+1¿4

y=esin 2x+ln

√

x2+2+log7¿ . Tính y’(0)

Bài 10 : Rút gọn các biểu thức sau :

1) 0,25¿
−5

2
A=

(

)

−0,75

+¿ 2)
−1

3+¿+a
2
3

a¿

¿
a

4
3¿

B=¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2b¿−1+

(

a

)

−1

C=

(

2b+a

)

−1

4) D= (a√3−1)
√3+1
a√5−3.a4−√5+a

√2.

(

1a

)

√2−1

Bài 11 : a) Cho m = log52 và n = log53. Hãy phân tích log√5432 theo m và n
b) Cho a= log712 và log1224 = b. Hãy phân tích log5168 theo a và b.

Bài 12 : Giải các pt

1)6x -5 = 0 ; 2) 25x +5 = 0 ;3) 62x-3 = 1

4) 22x+1 +4x+1 = 5 ;5)25x = 510 ;6) (0,5)x-21 = 4x; 1,5¿

9x −31
=

(

)

x+1

7¿ ¿

8)25x -5x+1 -6 = 0 ; 9) 144x -12x+1 +11 = 0 ; 10) 27x -9x +1+8 = 0
Bài 13 : Giải các PT sau :

1) 7(x −2)(3− x)

=1 2)

(

34

)

5x −3

(

)

(8x −9)

3) 81x + 9x+1 -10 = 0 4) 2x + 2x-1 +2x-2 = 56
5) 4x+32

+9x=6x+1 6) 5 .5x+4 . 5−(x+1)−5=0 7) log3x +log3(x-2) = 1
8) log2(x

+8)=log2x+log26 9) 3 log32x −28 log3x+9=0

10) log(x3−8)−log(x2+2x+4)=1 11) log1
2x

− 1

log2x −1=1
12) log2(x-1)+log2(x-3) = 3 ; 13) log2x +log4x +log8x = 22

14)

alog¿32x −4 log3x+3=0¿b¿5 log

22(x −2)+6 log2(x −2)+1=0¿c¿log

53x −log

52x −4 log5x+4=0¿d¿(log

72x −3)(log

22x −4)=0¿

B.HÌNH HỌC:
B1) Lý thuyết :

1) Thể tích khối đa diện
a)Thể tích khồi lập phương :

V=a3

b)Thể tích khối hộp chữ nhật :

V= a.b.c

b
c

c) Thể tích khối lăng trụ :

2)Mặt trịn xoay :

a) Diện tích xung quanh của hình nón :
Sxq=π.r.l

(r bán kính, l đường sinh )

b) Diện tích tồn phần của hình nón:
Stp=π.r.l+π.r2

c) Thể tích khối nón :
V=1

3π.r

2.h

h
l

(r bán kính, h chiều cao )

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

V= B.h

(B diện tích đáy, h chiều cao)
d) Thể tích khối chóp :

V=1

3B.h

e) Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABC
và khối chóp S.A’B’C’ là :

VVS.A ' B 'C '
S.ABC

=SA'

SA .

SB'

SB .
SC'

A C

B
S

e) Diện tích tồn phần của hình trụ :
Stp=2π. rl+2π.r

f) Thể tích của khối trụ :
V=π.r2.h

r
l

(r bán kính đáy, h chiều cao)
g) Diện tích của mặt cầu :
S=4π.r2

h) Thể tích khối cầu :
V=4

3 π.r

r
A

O B

B2) Bài tập :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a . Góc giữa SC và
mặt đáy bằng 300 , SA vng góc với ( ABCD) .

1) CM mặt bên SBC là tam giác vng
2)Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

Bài 2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Hình
chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng 600.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) Tính tỉ số thể tích hình chóp A’.ABC và lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 3: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy , diện tích xung
quanh của hình trụ là 904 cm2

1) Tính bán kính đáy

2) Tính thể tích của khối trụ .

Bài 4 : Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục là tam giác vng cân có cạnh 2a 3
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón .

Bài 5 : Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
1) Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp

2) Tính diện tích tồn phần của hình nón

3) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối cầu đó

Bài 6 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB=a, AC=AD=BC=BD=CD=a

√3 .

HẾT.