Đề cương ôn tập toán 12 học kì 2 và ôn thi tốt nghiệp

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN THỌ
=========================







TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIU ÔN TP HC K 2
U ÔN TP HC K 2U ÔN TP HC K 2
U ÔN TP HC K 2


VÀ THI T
VÀ THI TVÀ THI T
VÀ THI TT NGHIP THPT 2012
T NGHIP THPT 2012T NGHIP THPT 2012
T NGHIP THPT 2012


MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN

Giáo viên :
Giáo viên : Giáo viên :
Giáo viên : NGUY
NGUYNGUY
NGUYN BÁ TUN
N BÁ TUNN BÁ TUN
N BÁ TUN


NĂM HỌC : 2011 – 2012
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 2
PHẦN GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Giả sử hàm số
( )
f x
liên tục trên khoảng
( ; )
a b
và
0
( ; )
x a b
∈ .
A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :
Nếu
( )

f x
có đạo hàm trên khoảng
( ; )
a b
và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
( ; )
x a b
∈ thì
0
'( ) 0
f x
=
.
B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :
1. ĐL 1 :
a)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
> ∀ ∈

⇒

< ∀ ∈


là điểm CĐ của
( )
f x
b)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
< ∀ ∈

⇒

> ∀ ∈

là điểm CT
của
( )
f x

2. ĐL 2 :
a)
0
0
0
'( ) 0

''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

>

là điểm cực tiểu của
( )
f x
b)
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

<

là điểm cực đại
của

( )
f x

Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau :
a)
4 2
2 3
y x x
= + −
b)
1
y x
x
= +
c)
3 2
(1 )
y x x
= − d) sin 2

y x x
= −

Gi
ả
i : a) TX
Đ
: D = R;
3 2
' 4 4 4 ( 1), ' 0 0

y x x x x y x
= + = + = ⇔ =
(L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên)
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên suy ra
0
x
=
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s

ố

Bài tập :
1- Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −
b)
3
( 1) (5 )
y x x
= + −
c)
2
1
8
x
y
x
+

=
+
d)
2
5
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
cos sin
y x x
= −

2- CMR hàm s
ố

| |
y x
=
không có
đạ
o hàm t
ạ
i
0
x

=
nh
ư
ng v
ẫ
n
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó.
3- CMR v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

m, hàm s
ố

3 2
2 1
y x mx x
= − − +
luôn luôn có m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i
và m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u.
4- Xác

đị
nh m
để
hàm s
ố

3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 
 
có c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
1
x
=
. Khi
đ
ó hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
ti
ể
u hay c
ự
c
đạ
i ? Tính c
ự
c tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng.
5- Xác
đị
nh m
để
hàm s
ố

3 2
2 1
y x x mx
= − + +

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1
x
=

Luyện tập :
1- Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
4 2
2 3
y x x
= + −
b)
9

3
2
y x
x
= − +
−
c)
3
y x x
= −
e)
[
]
2sin cos2 , 0;
y x x x
π
= + ∈

2- Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
. Xác định m sao cho :
a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau.
3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số ( )

1
n
f x x m
x
= + +
+
đạt cực đại tại điểm
2, ( 2) 2

x f
= − − = −
.
4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +
đạt cực tiểu tại điểm
0
2
x
=

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 3
5- Cho hàm số
2 2
(1)
x mx m

y
x m
− + −
=
−
. Xác định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu.
Trong trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
6- Cho hàm số
3
2
( 2) 1
3
x
y mx m x
= + + + +

a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của
trục tung.

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 4
Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1- Định nghĩa : Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên tập D
• Số
max ( )

D
M f x
= nếu ( ) ,
f x M x D
≤ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D
∈
sao cho
0
( )
f x M
=

• Số
min ( )
D
m f x
= nếu ( ) ,
f x m x D
≥ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D
∈
sao cho
0
( )
f x M

=

2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn
[ ; ]
a b
:
( )
f x
liên tục trên
[ ; ]
a b

• Tìm
[ ; ]
i
x a b
∈ mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Tính
( ), ( ); ( )

i
f a f b f x

• Tìm : GTLN =
{
}
max ( ), ( ), ( )
i
f a f x f b
; GTNN =

{
}
min ( ), ( ), ( )
i
f a f x f b

3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng
( ; )
a b
:
( )
f x
liên tục trên
( ; )
a b

x

a
0
x

b

x

a
0
x

b
'
y

−
+
'
y

+
−
y

GTNN

y

GTLN
Trong đó
0
'( ) 0
f x
=
hoặc
'( )
f x
không xác định tại
0
x

Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số :
a)
3 2
( ) 2 3 12 10
f x x x x
= − − +
trên đoạn [-3; 3] b)
4 2
( ) 3 2
f x x x
= − +
trên đoạn [2; 5]
c)
2
( ) 25
f x x
= −
trên đoạn [-4; 4] d)
( ) 2sin sin 2
f x x x
= +
trên đoạn
3
0;
2

π
 
 
 

Bài tập :
1- Tìm GTLN và GTNN c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3 2
( ) 3 9 7
f x x x x
= + − −
trên
đ
o
ạ
n [-4; 3] b)
2
( )
1
x
f x
x
−
=
−
trên
đ
o
ạ

n [-3; -2]
c)
2
( )
4
x
f x
x
=
+
trên kho
ả
ng
( ; )
−∞ +∞
d)
1
( )
sin
f x
x
= trên kho
ả
ng
(0; )
π

2- Trong s
ố
các hình ch

ữ
nh
ậ
t có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t.
3- Tìm hai s
ố
có hi
ệ
u b
ằ
ng 13 sao cho tích c
ủ
a chúng là bé nh
ấ
t.
4- Tính GTLN c
ủ
a các hàm s
ố
: a)

2
4
1
y
x
=
+
b)
3 4
4 3
y x x
= −
5- Tính GTNN c
ủ
a các hàm s
ố
: a)
| |

y x
=
b)
4
( 0)
y x x
x
= + >

Luyện tập :
1- Tìm GTLN và GTNN c

ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3
( ) 5 4
f x x x
= + −
trên
đ
o
ạ
n [- 3; 1] b)
1
( ) 2
1
f x x
x
= + +
−
trên kho
ả
ng
(1; )
+∞

c)
2
( ) 1

f x x x
= −
d)
3
( ) sin cos2 sin 2
f x x x x
= − + +
.
e)
( ) 2
x
f x
=
trên
đ
o
ạ
n
[
]
1;2
−
f)
ln
( )
x
f x
x
= trên đoạn [1 ; e
2

]
2- Trong các tam giác vuông mà c
ạ
nh huy
ề
n có
độ
dài b
ằ
ng 10, hãy xác
đị
nh tam giác có di
ệ
n tích
l
ớ
n nh
ấ
t.


Ch
ủ đề 3 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I- Sơ đồ khảo sát hàm số
=
( )
y f x
:
1- Tìm TX
Đ

2- S
ự
bi
ế
n thiên :
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 5
a- Chiều biến thiên
• Tính
'
y

• Tìm các nghiệm của phương trình
' 0
y
=
và các
điểm tại đó
'
y
không xác định
• Xét dấu
'
y
và suy ra chiều biến thiên của hàm
số.
b- Tìm cực trị
c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞,
−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm

các tiệm cận đứng và ngang (nếu có)
d- Lập bảng biến thiên
3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm
của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có)
II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức :
1- Hàm số
3 2
( 0)

= + + + ≠
y ax bx cx d a :
Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 3 2
y x x
= − −

Giải :
1) TXĐ : D = R
2) Sự biến thiên :
• Chiều biến thiên :
2
' 6 6 6 ( 1)
y x x x x
= − = −

0
' 0
1
x

y
x
=

= ⇔

=

;
0
' 0
1
x
y
x
<

> ⇔

>

,
' 0 0 1
y x
< ⇔ < <

Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0)
và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1)
• Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại

0
x
=
và y
CĐ
= - 2. Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
1
x
=
và y
CT
= - 3
•

Các gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ

i vô c
ự
c :
lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

•

B
ả
ng bi
ế
n thiên :
x
-∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +

y
-2 +∞

-∞ -3

3)
Đồ
th

ị
:












2- Hàm số
4 2
( 0)
= + + ≠

y ax bx c a :
Ví d
ụ 2
: Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị

hàm s
ố

4 2
2 2
y x x
= − +

TX
Đ
: D = R
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −

0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

= ±


3- Hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+

Ví dụ 3
: Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố

3
1

x
y
x
+
=
−


TX
Đ
: D = R \ {1}
2
4
' 0, 1
( 1)
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
'
y
không xác
đị
nh
khi
1
x
=

Ti
ệ
m c
ậ
n :
1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
− −
→ →
+
= = −∞
−

1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
+ +
→ →

+
= = +∞
−

Do
đ
ó,
đ
t
1
x
=
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
3
lim lim 1
1
x x
x
y
x
→±∞ →∞
+
= =
−

V
ậ
y
đ
t
1
y
=
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 6
III – Sự tương giao của các đồ thị :
1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
Giả sử :
1
( )
C
là đồ thị của hàm số
( )
y f x
=
và
2
( )

C
là đồ thị của hàm số
( )
y g x
=
. Số nghiệm của
phương trình
( ) ( )
f x g x
=
bằng số giao điểm của
1
( )
C
và
2
( )
C
, tọa độ giao điểm là nghiệm của PT
( ) ( )
f x g x
=
.
2- Viết phương trình tiếp tuyến :
Giả sử hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị là
( )

C
và
0 0
( ; ( )) ( )
M x f x C
∈ ;
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x x
=
.
Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại M là :
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −
3- Sự tiếp xúc của hai đường cong :
Hai đường cong
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=

tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm. Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ : Cho hàm số :
4
2
9
2
4 4
x
y x
= − −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số :
2
2
y k x
= −
Giải :
a) TXĐ : D = R;

3 2
' 4 ( 4)
y x x x x
= − = −
,
' 0 0, 2
y x x
= ⇔ = = ±

b)
4
2 4 2 2 2
3
9
2 0 8 9 0 ( 1)( 9) 0
3
4 4
x
x
x x x x x
x
=

− − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

= −


(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3
Ta có :

3
' 4 '( 3) 15, '(3) 15
y x x y y
= − ⇒ − = − =

P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt
là :

15( 3)
y x
= − +
và
15( 3)
y x
= −

c)
4
2 2 4
9
2 2 4 9
4 4
x
x k x x k
− − = − ⇔ = +

Từ đó ta có :
9
:
4

k
= −
(C) và (P) có m
ộ
t
đ
i
ể
m chung là
9
0;
4
 
−
 
 


9
:
4
k
> −
(C) và (P) có hai giao
đ
i
ể
m;
9
:

4
k
< −
(C) và (P) không c
ắ
t
nhau
Bài tập :
1 - Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
3 2
9
y x x x
= + +

b)
3
2 5
y x
= − +
c)
4 2
1 3
2 2
y x x
= + −
d)
2 4
2 3
y x x
= − − +

e)
3
1
x
y
x
+
=
−
f)
2
2 1
x

y
x
− +
=
+

2- a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
:
3
3 1
y x x
= − + +

b) D
ự

a vào
đồ
th
ị
(C), bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
3
3 0
x x m
− + =
theo tham s
ố

m
.
3- Cho hàm s
ố

3 1

2
x
y
x
+
=
+

a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
b) Vi
ế
t ph

ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ

1
x
= −
.
4- Cho hàm s
ố

3 2
( 3) 1
y x m x m
= + + + −
có
đồ
th

ị
là
( )
m
C

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 7
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là
1
x
= −

b) Xác
đị
nh m
để

( )
m
C
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
2

x
= −

5- Cho hàm s
ố

2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s

ố

đ
ã cho.
b) Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
2
y x
= +

.

BÀI TẬP TỔNG HỢP :
1- Cho hàm số
3 2
1
( ) 2 3 1
3
f x x x x
= − + − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2- Cho hàm số
4 2
6
y x x
= − − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x
= −
.
3- Cho hàm số
2 1
2

x
y
x
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
5
−
.
4- Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x
− +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
5- Cho hàm số
3 2
6 9 6
y x x x
= − + −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

(2; 4)
−
và có hệ số góc bằng k. Tìm các giá trị
của k để d là tiếp tuyến của (C).
6- Cho hàm số
4 2
2
y x x
= −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Xác định m để phương trình :
4 2
2 0
x x m
− − =
có 4 nghiệm thực phân biệt.
7- Cho hàm số
4 2 3 2
( ) 2
y f x x mx m m
= = − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m
=

b) Xác định m để đồ thị
( )
m

C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
8- Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng 2
y x m
= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
3
( O là gốc tọa độ).
9- Cho hàm số
3 2
( 4) 4
y x m x x m
= − + − +

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m
b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0

m
=
.
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng
y kx
=
tại ba điểm phân biệt.
10- Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−

a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 8
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và
B. Gọi
1 2
,
k k

lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm
m
để tổng
1 2
k k
+

đạt giá trị lớn nhất.


Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ :
1. Phương trình cơ bản :
( 0, 1)

x
a b a a
= > ≠

Nếu
0:
b
≤
PT vô nghi
ệ
m
N
ế
u
0:

b
>
PT có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
log
a
x b
=

2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Ph
ươ
ng trình có th
ể

đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n b
ằ
ng cách áp d

ụ
ng các ph
ươ
ng pháp :
đư
a v
ề

cùng c
ơ
s
ố
,
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
, l
ấ
y lôgarit hai v
ế
(lôgarit hoá)
b) Ph
ươ
ng trình có th
ể
gi
ả
i b

ằ
ng ph
ươ
ng pháp
đồ
th
ị
.
c) Ph
ươ
ng trình có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng cách áp d
ụ
ng tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ
.
II – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT :
1. Phương trình cơ bản :
log ( 0, 1)

a
x b a a
= > ≠


Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a PT :
0
x
>
, PT luôn có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
b
x a
=

2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Ph
ươ
ng trình có th

ể

đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n b
ằ
ng cách áp d
ụ
ng các ph
ươ
ng pháp :
đư
a v
ề

cùng c
ơ
s
ố
,
đặ
t
ẩ

n ph
ụ
, m
ũ
hoá hai v
ế
.
b) Ph
ươ
ng trình có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp
đồ
th
ị
.
Các ví dụ :
1. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình m
ũ
sau :

a)
3 2 3 2 0
2
(0,3) 1 (0,3) 3 3 2 0
3
x x
x x
− −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

b)
7 1 2 8 1
(0,5) .(0,5) 2 2 2 8 1 9
x x x
x x
+ − −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

2. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình m
ũ
sau :
a)
2 1 2 2 2 4
3 3 108 4.3 3.108 3 3 2
x x x x
x

−
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

b)
2
8 8 1
64 8 56 0 8 8 56 0 1
8 7 ( )
x
x x x x
x
x
x
VN

= ⇔ =
− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −


c)
2 2
2 3
3.4 2.6 9 3.2 2.2 3 3 3. 2
3 2
x x
x x x x x x x
   
− = ⇔ − = ⇔ − =

   
   
. Đặt
2
0
3
x
t
 
= >
 
 
, PT trở thành :
2
2
1 1 0
1
3
3 2 3 2 1 0 0
1
(
3
loaïi)
x
t x
t t t x
t
t

 

= ⇔ = ⇔ =

 
 

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −



3. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình lôgarit sau :
a)
3 3
log (5 3) log (7 5)
x x
+ = +
,
Đ
K :
3
5
x
> −
. PT
5 3 7 5 1

x x x
⇔ + = + ⇔ = −
(lo
ạ
i)
b)
2 2
log ( 5) log ( 2) 3
x x
− + + =
,
Đ
K :
5
x
>
.
PT
2 2
2
6
log ( 5)( 2) 3 3 10 8 3 18 0
3 (
loaïi)
x
x x x x x x
x
=

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔


= −


c)
2
log( 6 7) log( 3)
x x x
− + = −
;
Đ
K :
2
6 7 0
3 2 3 2
3 2
3 0
3
hoaëc
x x
x x
x
x
x


− + >
< − > +

⇔ ⇔ > +

 
− >
>




Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 9
PT
2 2
5
6 7 3 7 10 0 5
2 (
loaïi)
x
x x x x x x
x
=

⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ ⇔ =

=


4. Giải các phương trình lôgarit sau :
a)
2
1 1

log( 5) log5 log
2 5
x x x
x
+ − = + ;
Đ
K :
21 1
2
x
−
>
PT
2 2 2
2
log( 5) 0 5 1 6 0 2
3 ( loaïi)
x
x x x x x x x
x
=

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −


b)
4 8
2

log 4log log 13
x x x
+ + =
;
Đ
K :
0
x
>

PT
2 2 2 2 2
1 13
2log 2log log 13 log 13 log 3 8
3 3
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Bài tập :
1. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình m
ũ
sau : a)
2
5 6
5 1
x x− −

=
b)
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 
 
c)
1
7 2
x x
−
=

d)
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x
+ + +
+ = + e)
4.9 12 3.16 0

x x x
+ − =
f)
8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =

g)
2 5 2
3 3 2
x x+ +
= +
h)
2 1
5 126.5 25 0
x x+
+ + =
i)
27 12 2.8
x x x
+ = (chia cho
3
2
x
)
2. Giải các phương trình lôgarit sau :
a)
4 3
log log4 2 log
x x x

+ = + b)
5 3
3
log ( 2).log 2log ( 2)
x x x
− = −
c)
log9 log
9 6
x
x
+ =

d)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =
e)
2 5
1 2log 5 log ( 2)
x
x
+
+ = +

3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm
1
x

=
:
a)
4 5 9
x x
+ =
b)
9 2( 2).3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
c)
2
2 ( 2) 3 2 0
x
x x x
− + − + =



Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

I. Bất phương trình mũ :
1) BPT mũ cơ bản :
x
a b
>
(hoặc
, , )

x x x
a b a b a b
≥ < ≤
với
0, 1
a a
> ≠
.
Xét BPT
x
a b
>
:
• Nếu
0
b
≤
, tập nghiệm của BPT là
ℝ

• Nếu
0
b
>
và : (BPT
log
a
b
x
a a⇔ > )

+
1:
a
>
nghiệm của BPT là :
log
a
x b
>
+
0 1:
a
< <
nghiệm của BPT là :
log
a
x b
<
2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số.
II. Bất phương trình lôgarit :
1) BPT lôgarit cơ bản : log
a
x b
>
(hoặc
log , log , log )

a a a
x b x b x b
≥ < ≤

với
0, 1
a a
> ≠
.
Xét BPT log
a
x b
>
:
+
1:
a
>
log
b
a
x b x a
> ⇔ >

+
0 1:
a
< <
log 0
b
a
x b x a
> ⇔ < <

2) BPT lôgarit đơn giản : Ta biến đổi về BPT lôgarit cơ bản hoặc BPT đại số.

Các ví dụ :
1. Giải các BPT mũ sau :
a)
2 2
3 3 2 2 2
1
2 4 2 2 3 2 3 2 0
2
x x x x
x
x x x x
x
− + − +
<

< ⇔ < ⇔ − + < ⇔ − + > ⇔

>


b)
2 1 1
3 3 28 28.3 3.28 3 3 1
x x x x
x
+ −
+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 10
c)
2
2 1 0
4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
1
2 2
x
x x x x
x
x
x

< <

− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔


>
>



2. Gi
ả
i các BPT lôgarit sau :
a)
8

log (4 2 ) 2 4 2 64 2 60 30
x x x x
− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −

b)
0,2 5 0,2
2
0,2 0,2 0,2
0,2 0,2
2
2
log log ( 2) log 3
log log ( 2) log 3
log ( 2 ) log 3
x
x
x x
x x
x x
>
>



− − < ⇔ ⇔ ⇔
 
+ − <
⇔ − <






2
2
3
2 3 0
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

− − >


c)
2
3 3
3
0
0
log 5log 6 0 9 27
2 log 3
9 27
x
x
x x x
x

x
>
>


− + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
≤ ≤
≤ ≤




Bài tập :
1. Gi
ả
i các BPT m
ũ
sau :
a)
2
2 2
5 5
x x
−
   
>
   
   
b)

4
4
4 3
x
x x
<
−
c)
| 2|
3 9
x−
<
d)
16 4 6 0
x x
− − ≤

2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
1
3
log ( 1) 2
x
− ≥
b)
2
1
2
log ( 2 8) 4
x x

+ − ≥ −
c)
2
0,2 0,2
log 5log 6
x x
− < −
d)
4
4log 33log 4 1
x
x
− ≤

3. Cho
+ =
a b c
, v
ớ
i
> >
0, 0
a b
.
a) CMR :
+ <
m m m
a b c
, n
ế

u
>
1
m
b) CMR :
+ >
m m m
a b c
, n
ế
u
< <
0 1
m

HD
: S
ử
d
ụ
ng tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ
:
x

y a
=
, khi
1
a
>
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n,
0 1
a
< <
hàm s
ố

luôn ngh
ị
ch bi
ế
n.
a) Ta có :
   
+ < ⇔ + <
   
   
1

m m
m m m
a b
a b c
c c

Do :
1, 1
a b
c c
< <
. Suy ra : n
ế
u
1
m
>
thì
1
1
m
a a a
m
c c c
   
> ⇔ < =
   
   
và
m

b b
c c
 
<
 
 

Suy ra :
+
   
+ < + = =
   
   
1
m m
a b a b a b
c c c c c
(đpcm)


BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT

Bài 1 : Rút gọn :
1/
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
.

1
2
a a a
A
a
a a a
 
+ − +
 
= −
 
−
 
+
 
2/
3 3 32 2 2 2
3 3
3
3 3
3 2
3
2
:
a a a b a b a b ab
B a
a b
a ab
 
− + −

= +
 
−
−
 
 

3/
3 3
6 6
a b
C
a b
−
=
−
4/
4
:
ab ab b
D ab
a b
a ab
−
 
= −
 
−
+
 

Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/
5
4 1024
x
=
2/
1 3
1
8
32
x−
=
3/
2
5 6
3
1
2
x x− +
 
=
 
 
4/
3 7 7 3
9 7
49 3
x x

− −
   
=
   
   

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 11
5/
1 1
1
7 .4
28
x x− −
= 6/
2
2 2 20
x x+
+ =
7/
3.9 2.9 5 0
x x−
− + =
8/
1
4 2 24 0
x x+
+ − =

Bài 3 : Tính
1/
5 27
1
log .log 9
25
A
= 2/
3
2
log 2
log 3
4 9
B
= + 3/
9 8
log 2 log 27
27 4C = + 4/
3 8 6
log 6.log 9.log 2
D =
Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi :
1/ Cho
25 2
log 7 , log 5

a b
= =
. Tính
5

49
log
8
theo
,
a b

2/ Cho
2 2
log 5 , log 3

a b
= =
. Tính
3
log 135
theo
,
a b

Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1/
2
( 2 2)
x
y x x e
= − + 2/
2
( 2)
x

y x e
−
= + 3/
cos
2
x x
y e
= 4/
3
1
x
y
x
=
+

5/
2
ln(2 3)
y x x
= + +
6/
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +
7/
ln(2 1)
2 1
x

y
x
+
=
+
8/
2
ln( 1 )
y x x
= + +
Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = − 2/
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
− − + − −
+ + = + +
Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) :
1/
5 3
3 5
x x
= 2/
5 2
3 2
x x
−

= 3/
1 3
( 2) ( 2)
x x
x x
− −
+ = +
4/
( ) ( )
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
− + +
+ = +

Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) :
1/
9 5.3 6 0
x x
− + =
2/
2
2.2 15.2 8 0
x x
+ − =
3/
1 2

5 5 124
x x+ −
− =
4/
2 2 2
3 2.3 27 0
x x− −
− − =
5/
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
6/
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =

Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) :
1/
25.2 10 5 25
x x x
− + =
2/
12.3 3.15 5.5 20

x x x
+ − =

Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
3
log (2 1) 2
x
− = −
2/
2 2
log ( 2) log ( 2) 2
x x
+ − − =
3/
2
2 2
5
log log ( 25) 0
5
x
x
x
−
+ − =
+

4/
2
log (9 2 ) 3

x
x
− = −
5/
1
3
log (3 26) 2
x
x
+
− = −
6/
4 2 4
log ( 3) log 1 2 log 8
x x+ − − = −

Bài 11 : Giải các phương trình logarit sau (đặt ẩn phụ) :
1/
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
2/
2 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =

3/
3 9
3
4
(2 log ).log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−

Bài 12 : Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
1/
3 6
2 1
x
−
>
2/
5
log (3 1) 1
x
− <

3/
2
0,5
log ( 5 6) 1
x x
− + ≥ −
4/
3
1 2
log 0
x
x
−
≤

5/
1
2 2 3 0
x x
− +
+ − <
6/
2
0,5 0,5
log log 2 0
x x
+ − ≤
7/
2
1 3

3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x
− + + − ≥



Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I- Nguyên hàm :
1. Phương pháp đổi biến số :
[ ( )]. ( ) [ ( )]
f u x u x dx F u x C
′
= +
∫

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
udv uv vdu
= −
∫ ∫

II- Tích phân :
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫
b
b
a
a

f x dx F x F b F a

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 12
1. Phương pháp đổi biến số :
[ ]
b
a
f x dx f t t dt
( ) ( ) ( )
β
α
ϕ ϕ
′
=
∫ ∫
VÀ
[ ( )]. ( ) ( )
u(a)
a
b u(b)
f u x u x dx f u du
′
=
∫ ∫

2. Phương pháp tích phân từng phần :
b b
b

a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫


III. Diện tích hình phẳng :
1. Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành :
b
a
S f x dx
( )
=
∫


2. Giới hạn bởi hai đường cong :
b
a
S f x f x dx
1 2
( ) ( )
= −
∫


Nếu trên [
α
;

β
] biểu thức f
1
(x) – f
2
(x) không đổi dấu thì:
f x f x dx f x f x dx
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
 
− = −
 
∫ ∫

IV. Thể tích khối tròn xoay :
b
a
V f x dx
2
( )
π
=
∫



BÀI TẬP :
NGUYÊN HÀM

1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a)
2
( ) 3
2
x
f x x
= +
b)
1
3
( )
f x x
=
c)
2
( ) cos
f x x
=
d)
2
( ) 10
x
f x
=
e)
3 2
2
3 3 1
( )

2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +

2- Tìm :
a)
3
( )
x x dx
+
∫
b)
2
x x x
dx
x
+
∫
c)
1 cos4
2
x
dx
+
∫
d)

2
4sin
xdx
∫
e)
2
2 1
3 2
x
dx
x x
+
+ +
∫

3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của :
a)
2
3
9
( )
1
x
f x
x
=
−
b)
1
( )

5 4
f x
x
=
+
c)
2
4
( ) 1
f x x x
= −
d)
2
1
( )
(1 )
f x
x x
=
+

4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của :
a)
( ) sin
2
x
f x x=
b)
2
( ) cos

f x x x
=
c)
e
( )
x
f x x
=
d)
3
( ) ln(2 )
f x x x
=

Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1- a)
2
( ) 3 7 3
f x x x
= −
b)
( ) cos(3 4)
f x x
= +
c)
2
1
( )
cos (3 2)
f x

x
=
+
d)
5
( ) sin cos
3 3
x x
f x =
2- a)
5
3
2
( ) 1
18
x
f x x
 
= −
 
 
b)
2
1 1 1
( ) sin cos
f x
x x x
=
c)
e

3
( )
x
f x x
=
d)
e
3 9
( )
x
f x
−
=

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 13
3- a)
2
( ) cos2
f x x x
= b)
( ) ln
f x x x
= c)
4
( ) sin cos
f x x x
= d)
2

( ) cos( )
f x x x
=
4- Tìm :
a)
2
ln
x
dx
x
∫
b)
2
sin2
4 cos
x
dx
x
−
∫
c)
2
( sin )cos
x x xdx
+
∫
d)
2
ln( )
x x dx

−
∫

e)
2 2
( 0)
dx
a
x a
≠
−
∫
f)
2
cos
cos 1 sin
dx xdx
x x
 
=
 
−
 
∫ ∫
g)
sin
dx
x
∫
h)

2
sin3
x
e xdx
∫





TÍCH PHÂN

1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
1
2 2
0
1
x x dx
−
∫
(x=sint)
2
5
1
(1 )
x x dx
−
∫

1

0
( 1)
x
e dx
+
∫

1
1
( )
x x
e e dx
−
−
−
∫

1
2
1
2 1
1
x
dx
x x
−
+
+ +
∫

1
0
1
x dx
+
∫

1
3 4 3
0
(1 )
x x dx
+
∫

1
2 2
0
5
( 4)
x
dx
x +
∫

6
0
(1 cos3 )sin3
x xdx
π

−
∫

3
2
0
4
1
x
dx
x +
∫

2- Tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n :
1
ln
e
x xdx
∫

( ln , )
u x dv xdx
= =

2
0

cos2
x xdx
π
∫

ln2
2
0
x
xe dx
−
∫

2
4
cos ln(sin )
x x dx
π
π
∫

3
3
2
0
1
x dx
x
+
∫

1
cos
x
e xdx
π
∫

2
0
sin cos
x x xdx
π
∫

2
0
2 sin
x xdx
π
∫


3- Tính các tích phân sau :

dx
x x
1
2
0

5 6
− +
∫

x x dx
2 2
2
0
1
+
∫

x xdx
4
0
sin2 .cos
π
∫

x
x
e
dx
e
1
0
1+
∫

1

0
x
x
dx
e
∫

2
3
ln
e
e
dx
x x
∫

5
1 2
2 1
x x dx
−
∫

2
2
0
( cos )sin
x x xdx
π
+

∫

4
2
3
2
4 5
x
dx
x x
−
− −
∫

4- Tính :
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫

3
1
2 ln
x xdx
∫

0

(1 cos )
x x dx
π
+
∫

1
0
(2 )
x
x xe dx
+
∫

5- Tính các tích phân:

dx
x x
2
1
2
1
( 1)
+
∫

x x dx
2
2
0

( 1)
+
∫

2
0
(2 )sin
x xdx
π
−
∫


x xdx
2
2
sin3 .cos5
π
π
−
∫

x dx
1
2
0
1−
∫

x

x
e x
dx
xe
1
0
(1 )
1
+
+
∫

a
dx
a x
2
2 2
0
1
−
∫

x xdx
2
0
( 1)sin
π
+
∫

e
x xdx
2
1
ln
∫

ln2
2
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 14


6. Tính:
3
0
1+
∫
x
dx
x

64
3
1
1+
∫
x
dx
x

2
2 3
0
∫
x
x e dx

0
1 sin2
π
+
∫
xdx

2
2
0
cos2 sin
π
∫

x xdx

2
2
0
1
2 3
− −
∫
dx
x x

2
0
( sin )
π
+
∫
x x dx

2
1
ln
d
(2 ln )
e
x
x
x x
+

∫

1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 
 
∫


DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a)
4 2
0; 1; 0; 5 3 3
x x y y x x
= = = = + +
b)
2
1; 3
y x x y
= + + =
c)
2
4 ; 0
y x x y
= − =

d) ln ; 0;
y x y x e
= = =
e)
3
, 1; 8
x y y x
= = =
f)
; ; 0; cos
2
x x y y x

π
π
= − = = =
2- Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
2
2 2
y x x
= − +
, ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i nó t
ạ
i
đ
i
ể

m
(3;5)
M và
tr
ụ
c Oy
3- Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng
đượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau :
a)
2
2
y x x
= −
và
2
y x
= − +

b)
4 2
4
x
y
x
−
=
−
và hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
4- Tính hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau:
a)
3 2
1

= + +
y x x và
3
4 2
= + −
y x x b)

2
, 0, 3
y x x x
= = =
và tr
ụ
c
Ox


THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

1- Tính th
ể
tích c
ủ
a v
ậ
t th
ể
tròn xoay, sinh ra b
ở
i m

ỗ
i hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng sau
đ
ây
khi nó quay xung quanh tr
ụ
c
Ox
:
a)
2
0; 2
y y x x
= = −
b) sin ; 0; 0;
4
y x y x x
π
= = = =
c)

2
; 0; 0; 1
x
y xe y x x
= = = =

2- Tính th
ể
tích c
ủ
a v
ậ
t th
ể
tròn xoay, sinh ra b
ở
i hình elip (
E
) :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
, khi nó quay xung
quanh tr
ụ
c
Ox

.
3- Tính th
ể
tích các kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o thành khi quay hình ph
ẳ
ng xác
đị
nh b
ở
i :
a)
2 3
2 ,
y x y x
= =
quanh tr
ụ
c
Ox
b)
2
2 , 0
y x x y
= − + =
quanh tr
ụ

c
Ox
4- Xét hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
y x y x
2
2 1 , 2(1 )
= − = −

a) Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng.
b) Tính th
ể
tích kh
ố
i tròn xoay t
ạ
o thành khi quay hình ph
ẳ
ng quanh tr

ụ
c Ox.


Chủ đề 7 :
SỐ PHỨC

1- Tìm các s
ố
th
ự
c
x, y
tho
ả
:
a)
iyxiyx
)5()1()12()23(
−
−
+
=
+
+
−
b)
iyix )31(53)21( −+=−−
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam

GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 15
c) ixyyxixyyx )12()32()2()2(
+
+
+
+
−
=
−
+
+

2- Đặt dưới dạng
i
y
x
.
+
các số phức sau :
a)
2
)21)(1)(2( iiiz ++−+= b)
(
)
3
31 iz += c)
i
i
z
+

−
=
1
1
d)
i
i
z
−
−
=
3
31

e)
i
i
z
−
+
+
=
1
1
1
1
f)
2012
3
1 3

i
z
i
 
−
=
 
 
+
 
g)
iaa
ai
z
)1(2
1
2
−+
+
= h)
23253
2)( iiiz +−+=
3- Tính mô
đ
un c
ủ
a các s
ố
ph
ứ

c
a)
31
4
i
z
+
= b)
26
1
i
z
+
= c)
( )
4
3
31
)1(
i
i
z
+
+
=
4- Tìm s
ố
ph
ứ
c z tho

ả

đ
i
ề
u ki
ệ
n 10=z và ph
ầ
n th
ự
c b
ằ
ng hai l
ầ
n ph
ầ
n
ả
o
5- Tìm các s
ố
ph
ứ
c sao cho
a) iz 43
2
+−= b) iz 125
2
+−= c)

izz 43+=+

d)
(
)
(
)
0124
2
2
2
=−+++ zzzz


6- Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a) iizi 37)54()23(
+
=
+
+
−
b) ziizi )2()52()31(
+
=
+
−

+
c)
ii
i
z
25)32(
3
4
−=−+
−

7- Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a) 01
2
=++ zz b) 02
2
=+− zz c) 016910
24
=++ zz d)
z
z
=
2

8- Trên m
ặ

t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
, tìm t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ề

n :
a)
1=z
b)
21 ≤< z
c)
1≤z
d)
3 4 2
z i
− + =
e)
2 | 3 |
z z i
− = +
f)
11 <−− iz


Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 16
PHẦN HÌNH HỌC

Chủ đề 1 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
• Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là :
1
3
V Bh
=

•

Th
ể
tích V c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ
có di
ệ
n tích
đ
áy B và chi
ề
u cao h là :
V Bh
=

•

Th
ể
tích c
ủ
a kh
ố

i h
ộ
p b
ằ
ng tích di
ệ
n tích
đ
áy v
ớ
i chi
ề
u cao c
ủ
a nó.
•

Th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t b

ằ
ng tích ba kích th
ướ
c c
ủ
a nó.
•
Chú ý
:
a) T
ỷ
s
ố
th
ể
tích c
ủ
a hai kh
ố
i
đ
a di
ệ
n
đồ
ng d
ạ
ng b
ằ
ng l

ậ
p ph
ươ
ng t
ỷ
s
ố

đồ
ng d
ạ
ng.
b) Ta th
ườ
ng áp d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
sau : Cho kh
ố
i chóp S.ABC, trên các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng SA, SB, SC l
ầ

n
l
ượ
t l
ấ
y ba
đ
i
ể
m A’, B’, C’ khác v
ớ
i S. Khi
đ
ó :
. ' ' '
.
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
= ⋅ ⋅
Ví dụ :
1) Cho kh
ố
i chóp tam giác
đề
u S.ABC có
đ

áy là tam giác
đề
u c
ạ
nh a,
các c
ạ
nh bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
. Hãy tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
đ
ó.
Gi
ả
i :
K
ẻ
SH⊥(ABC). H là tr

ọ
ng tâm c
ủ
a ∆ABC.
3
2
a
CI = ,
2 3
3 3
a
CH CI= =

0 0
3
60 .tan60 3
3
a
SCI SH CH a
= ⇒ = = ⋅ =

Th
ể
tích kh
ố
i chóp là :
3
1 1 3 3
3 2 2 12
a a

V a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2) Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD. Mp(P) qua A và vuông góc SC c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
B’, C’, D’. Bi
ế
t r
ằ
ng :
' 2
,
3
SB
AB a
SB
= =
.
a- Tính t
ỷ

s
ố
th
ể
tích c
ủ
a hai kh
ố
i chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b- Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AB’C’D’
Gi
ả
i :
a) G
ọ
i SH là
đườ
ng cao c
ủ
a hình chóp S.ABCD. Mp(P) c
ắ
t hình
chóp theo thi
ế
t di
ệ

n là t
ứ
giác AB’C’D’.
Ta có : BD⊥(SAC)
⇒
BD⊥SC, do
đ
ó BD // (P), t
ừ

đ
ó suy ra (P)
c
ắ
t (SBD) theo giao tuy
ế
n B’D’ // BD
K
ẻ
HE // AC’, khi
đ
ó : EC’= EC và
' ' ' 2
3
SC SH SB
SE SH SB
= = =

Suy ra :
' 2 ' 1 ' 1

1 1
3 3 3
SC SE SC EC
SE SE SE
−
− = − ⇔ = ⇔ =

Do
đ
ó :
2 2
' 3 ' 2 ' '
3 3
SC SE EC EC CC
= = ⋅ = =
V
ậ
y C’ là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC và SC⊥(AB’C’D’)
Ta có :
. ' ' . ' ' '
. .
2 2 4 2 2 1 2
,
3 3 9 3 3 2 9

S AB D S B C D
S ABD S BCD
V V
V V
= ⋅ = = ⋅ ⋅ =

.
. ' ' ' . ' ' . ' ' ' .
4 2 1
9 9 2 3
S ABCD
S AB C D S AB C S B C D S ABCD
V
V V V V
 
= + = + =
 
 

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 17
b) Theo câu a), AC’vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ∆SAC nên AS = SC, suy ra
∆SAC đều. Từ đó ta có :
3 3
3
. . ' ' '
3 6 1 6 6 6
2 2 3 2 6 18
S ABCD S AB C D

AC a a a
SH V a V= = ⇒ = ⋅ = ⇒ =
Bài tập :
1) Cho hình h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’. Tính t
ỷ
s
ố
th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i h
ộ
p
đ
ó và th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n

ACB’D’.
2) Cho tam giác ABC vuông cân
ở
A và AB = a. Trên
đ
t qua C và vuông góc v
ớ
i mp(ABC) l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho CD = a. M
ặ
t ph
ẳ
ng qua C vuông góc v
ớ
i BD c
ắ
t BD t
ạ
i F và c
ắ
t AD t
ạ
i E. Tính
CDEF
V theo a.

3) Cho kh
ố
i chóp S.ABC có
đ
áy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các m
ặ
t bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy
m
ộ
t góc 60
0
. Hãy tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
đ
ó.
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đ
áy là tam giác vuông
ở
B. SA vuông góc v
ớ

i
đ
áy. Bi
ế
t
AB=a, BC=2a, SA=a. G
ọ
i E, F l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SB, SC. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AEF
theo a.
5) Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t. SA vuông góc v

ớ
i
đ
áy và AB=a, AD=b,
SA=c. L
ấ
y các
đ
i
ể
m B’, D’ theo th
ứ
t
ự
thu
ộ
c SB và SD sao cho AB’⊥ SB, AD’⊥ SD. Mp(AB’D’)
c
ắ
t SC t
ạ
i C’. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AB’C’D’.
6) Cho hình h
ộ
p ABCD.A’B’C’D’. G
ọ

i E, F theo th
ứ
t
ự
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh BB’ và DD’.
Mp(CEF) chia kh
ố
i h
ộ
p trên làm hai kh
ố
i
đ
a di
ệ
n. Tính t
ỷ
s
ố
th
ể
tích c

ủ
a hai kh
ố
i
đ
a di
ệ
n
đ
ó.
7) Cho hình chóp S.ABC có m
ặ
t bên SBC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy. Bi
ế
t


0
120
BAC = , tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.ABC theo a. (TN 2009)
8)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy, góc gi
ữ
a m
ặ

t ph
ẳ
ng (SBD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy b
ằ
ng 60
o
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
theo a. (TN 2010)
9)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3
a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM (ĐH Khối A 2010)

10) Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A’B’C’D’. G

ọ
i O là các giao
đ
i
ể
m các
đườ
ng chéo c
ủ
a
đ
áy d
ướ
i
ABCD, bi
ế
t OA’ = a.
a. Tính th
ể
tích hình chóp A’.ABD, t
ừ

đ
ó suy ra kho
ả
ng cách t
ừ

đỉ
nh A

đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (A’BD).
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC’ vuông góc v
ớ
i mp(A’BD).
11) M
ộ
t hình l
ă
ng tr
ụ
ABC.A’B’C’ có
đ
áy là tam giác
đề
u c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên BB’ = a, chân
đườ
ng

vuông góc h
ạ
t
ừ
B’ xu
ố
ng
đ
áy ABC trùng v
ớ
i trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a c
ạ
nh AC.
a. Tính góc gi
ữ
a c
ạ
nh bên và
đ
áy. Tính th
ể
tích hình l
ă
ng tr

ụ
.
b. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t bên AA’C’C là hình vuông.
12) Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy là tam giác ABC vuông cân t
ạ
i A, có c
ạ
nh
góc vuông b
ằ
ng a. M
ặ
t bên (SBC) vuông góc v
ớ
i
đ
áy, m
ỗ
i m
ặ
t bên còn l
ạ

i
t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc 45
0
.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng chân
đườ
ng cao hình chóp trùng v
ớ
i trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
huy
ề
n BC.

b. Tính th
ể
tích c
ủ
a hình chóp.
HD : K
ẻ

( )
SI BC SI ABC
⊥ ⇒ ⊥
. T
ừ I kẻ ,
IE AB IF AC
⊥ ⊥



0
45
SEI SFI IE IF I
⇒ = = ⇒ = ⇒
là trung điểm của BC
13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng
3
a
. Cạnh bên SB tạo
với đáy một góc bằng 60
0

.
a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy.
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 18
14) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA= SB, góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD. (CĐ B 2010)
15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH = .
G
ọ
i CM là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác SAC. Ch
ứ
ng
minh M là trung
đ

i
ể
m c
ủ
a SA và tính th
ể
tích
kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n SMBC theo a. (
Đ
H D 2010)
16) Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u có c
ạ
nh bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ

t góc 60
0
và c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a.
a. Tính th
ể
tích hình chóp.
b. Tính góc do m
ặ
t bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy.
17) Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’
đ
áy là tam giác vuông t

ạ
i B. Bi
ế
t BB’=AB=h và góc c
ủ
a
B’C làm v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc
α
.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :


'
BCA B CB
=
và tính th
ể
tích hình l

ă
ng tr
ụ
trên.
b. Tính di
ệ
n tích thi
ế
t di
ệ
n t
ạ
o nên do m
ặ
t ph
ẳ
ng (ACB’) c
ắ
t hình l
ă
ng tr
ụ
.
18) Cho hình chóp S.ABCD,
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v

ớ
i
đ
áy và
b
ằ
ng a.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t bên c
ủ
a hình chóp là nh
ữ
ng tam giác vuông.
b. T
ừ
A d
ự
ng AM
⊥
SB, AN
⊥
SD . Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng SC
⊥
mp(AMN) .
c. G
ọ
i K là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a SC và mp(AMN). Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác AMKN.
19) Cho hình lăng trụ đứng
.
EFG MNK
có đáy
EFG
là tam giác vuông cân tại
E
. Biết
2
FG u
=
, cạnh
bên
2

EM u
=
. Tính thể tích khối lăng trụ theo
u
.
20)
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thang vuông t
ạ
i
A
và
D
v
ớ
i
AD = CD = a, AB =
3
a.
C
ạ
nh bên
SA
vuông góc v
ớ

i m
ặ
t
đ
áy và c
ạ
nh bên
SC
t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc 45
0
. Tính th
ể
tích
kh
ố
i chóp
S.ABCD
theo
a
. (TN 2011)

Chủ đề 2 : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

1- Mặt nón
:
•
Diện tích xung quanh :
xq
S rl
π
= Diện tích đáy :
2
d
S r
π
= -
• Diện tích toàn phần :
tp xq d
S S S
= +
Thể tích :
2
1 1
3 3
V Bh r h
π
= =
Bài tập
:
1- Thi

ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c c
ủ
a m
ộ
t hình nón là m
ộ
t tam giác vuông cân có c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng a.
a) Tính di
ệ
n tích xung quanh và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình nón.
b) Tính th
ể
tích c
ủ
a kh

ố
i nón t
ươ
ng
ứ
ng.
c) M
ộ
t thi
ế
t di
ệ
n qua
đỉ
nh và t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc
0
60
. Tính di
ện tích của thiết diện này.
2- Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều
cạnh
2

a
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
3- Cắt hình nón đỉnh
S
bằng một mặt phẳng qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng
2
a
.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho
( )
mp SBC
tạo với đáy một góc
0
60
.
Tính diện tích tam giác SBC.
4- Cho hình chóp t
ứ giác đều .
S ABCD
có chiều cao
SO h
=
và góc

0
60
SAB = . Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 19
5- Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có các c
ạ
nh bên b
ằ
ng a và góc gi
ữ
a các m
ặ
t bên và m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy là
0
45
. Tính di
ện tích xung quanh và thể tích hình chóp đỉnh
S
và đáy là hình tròn nội
tiếp tam giác
ABC

.
6- Cho tứ diện đều EFGH có cạnh bằng
a
. Tính thể tích khối nón có đỉnh là E và mặt đáy là hình
tròn ngoại tiếp tam giác FGH.

2- Mặt trụ :
• Diện tích xung quanh : 2
xq
S rl
π
= Diện tích đáy :
2
d
S r
π
=
• Diện tích toàn phần :
tp xq d
S S S
= +
Thể tích :
2
V Bh r h
π
= =
Bài tập :
1- Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
2- Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
R 3
. A và B là hai điểm trên đường tròn đáy sao
cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
3- Cho hình lăng trụ đứng .
EFG MNK
có đáy là tam giác
EFG
vuông tại
E
. Biết
2
FG u
=
, cạnh
bên
2
EM u
=
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại
tiếp của ,
EFG MNK
∆ ∆

.
4- Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( ; )
O r
và
( '; ')
O r
. Khoảng cách giữa hai đáy là
' 3
OO r
=
. Một hình nón có đỉnh là
'
O
và có đáy là hình tròn
( ; )
O r
.
a) Gọi
1
S
là d.tích xung quanh của hình trụ và
2
S
là d.tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ
số
1
2
S

S

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó.

3- Mặt cầu :
a- Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu
( ; )
S O r
và mặt phẳng
( )
P
.
( ,( ))
h OH d O P
= =

•

h r
>
:
( )
P
không cắt
( ; )
S O r

•

h r
=
:
( )
P
tiếp xúc
( ; )
S O r
tại
H

•

h r
<
:
( )
P
cắt
( ; )
S O r
theo đường tròn có bán kính
2 2
'
r r h
= −

b- Giao của mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu
( ; )

S O r
và đường thẳng
∆
.
( , )
h OH d O
= = ∆

•

h r
>
:
∆
không cắt
( ; )
S O r

•

h r
=
:
∆
tiếp xúc
( ; )
S O r
tại
H

•

h r
<
:
∆
cắt
( ; )
S O r
tại hai điểm
,
M N

c- Diện tích mặt cầu :
2
4
S r
π
=
- Thể tích khối cầu :
3
4
3
V r
π
=

Bài tập
:
1- Cho hình chóp t

ứ
giác
đề
u .
S ABCD
có t
ấ
t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Hãy xác
đị
nh tâm và bán kính
m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp
đ
ó.
2- Cho hình h

ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có ' , ,
AA a AB b AD c
= = =
.
a) Hãy xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua tám
đỉ
nh c
ủ
a hình h
ộ
p
đ
ó.
b) Tìm bán kính c

ủ
a
đườ
ng tròn là giao tuy
ế
n c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u trên.
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 20
3- Cho tứ diện
SABC
có
, ,
SA SB SC
đôi một vuông góc nhau và , ,

SA a SB b SC c
= = =

. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
4- Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
có tấ
t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Xác
đị
nh tâm và bán
kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình l
ă
ng tr
ụ

đ
ã cho. Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
5- Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp tam giác
đề
u có c
ạ

nh
đ
áy và chi
ề
u cao b
ằ
ng
a
.
6- Cho hình chóp .
S ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình vuông c
ạ
nh a,
( )
SA ABCD
⊥
,
2
SC a
=
. CMR
hình chóp .
S ABCD
n
ộ

i ti
ế
p
đượ
c trong m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u và tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u này.


Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 21
Chủ đề 3 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng
Định lí. Trong không gian Oxyz, cho :
a a a a b b b b
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )

= =


:
a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
.
= + +



2. Ứng dụng
•

a a a a
2 2 2
1 2 3
= + +


•

B A B A B A
AB x x y y z z
2 2 2
( ) ( ) ( )
= − + − + −

•

ab a b ab
a b
a a a b b b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
.
+ +
=
+ + + +



•

a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
0
⊥ ⇔ + + =




II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình:
x a y b z c r
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
− + − + − =

Phương trình :
2 2 2
2 2 2 0
x y z ax by cz d
+ + + + + + =
với a b c d
2 2 2
0
+ + − >
là phương trình mặt cầu có
tâm I(–a; –b; –c) và bán kính
r a b c d
2 2 2
= + + −


III- PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1- Tích có hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ
a a a a
1 2 3
( ; ; )
=

,
b b b b
1 2 3
( ; ; )
=


( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ; ;
n a b a b a b a b a b a b a b
 
= = − − −
 
  
gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ
a

và
b

.
•

a

và
b

cùng phương 
, 0
a b
 
=
 
  

.
•

, ,
a b c
  
đồng phẳng 
, . 0
a b c
 
=
 
  
.
2- Phương trình mặt phẳng :
Phương trình
0
+ + + =
Ax By Cz D , trong
đ
ó
2 2 2
0
+ + ≠
A B C ,
đ
gl
phương trình tổng quát
c
ủ

a m
ặ
t ph
ẳ
ng.
Nhận xét :
N
ế
u m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t Ox, Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) v
ớ
i
0
≠
abc thì m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

còn
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng :
1
+ + =
x y z
a b c
(2)
được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn
chắn.
a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song :
Cho hai mp
1 1 1 1 1
( ) : 0
P A x B y C z D
+ + + =
,
2 2 2 2 2
( ) : 0
P A x B y C z D
+ + + =
. Ta có
1 1 1 1
( ; ; )

=
n A B C

và
2 2 2 2
( ; ; )
=
n A B C

lần lượt là vectơ pháp truyến của
1
( )
P
và
2
( )
P
, ta có:

•

1 2
( ) ( )

P P
1 2
1 2

=


⇔

≠


n kn
D kD
 

•

1 2
( ) ( )
≡
P P
1 2
1 2

=

⇔

=


n kn
D kD
 

•

1
( )
P
cắt
2
( )
P
1 2
n kn
⇔ ≠
 

b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) . 0 0
P P n n n n A A B B C C
⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
   


3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Cho (P):
0
Ax By Cz D
+ + + =
và điểm
0 0 0 0
( ; ; )

M x y z
:
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +


IV- PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 22
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) và có VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=

có
dạng:

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

, trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu a
1
, a
2
, a
3

đều khác 0 thì có thể viết PT của
∆
dưới dạng chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
Cho hai đường thẳng
d và d
′

lần lượt có VTCP là

1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )
a a a a a a a a
′ ′ ′ ′
= =
 
và
0 0 0
( ; ; )
M x y z d
∈
,
, , ,
0 0 0
'( ; ; ) '

M x y z d
∈
. Đặt
, '
n a a
 
=
 
  
, ta có các điều kiện sau:

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
d // d
′

⇔

0

≠


′
∉


n
M d
 
d

≡
d
′

⇔

0

≠


′
∈


n
M d
 

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
d cắt d
′

⇔

0
. 0
n
n MM


=


′

=

 



' . ' 0
d d a a
⊥ ⇔ =
 

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau :
d chéo d’
n.MM' 0
⇔ ≠
 


V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
Cho (P):
+ + + =
0
Ax By Cz D
, có vtpt
( ; ; )

n A B C
=

và
= +


= +


= +

0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
, có
0 0 0
( ; ; ) ,
M x y z d
∈

VTCP
1 2 3
( ; ; )
a a a a
=




. 0
//( )
( )
a n
d P
M P

=

• ⇔

∉


 

. 0
( )
( )
a n
d P
M P

=

• ⊂ ⇔


∈


 

0
d P a n
• ⇔ ≠
 
c¾t ( ) .

d P n k a
• ⊥ ⇔ =
 

( ) .


BÀI TẬP :
1- Trong Kg Oxyz cho b
ố
n
đ
i
ể
m
(0;1;1), ( 1;0;2), ( 1;1;0)
A B C
− −
và

(2;1; 2)
D
−

a) CM bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ
từ A
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
2- Trong Kg Oxyz cho bốn điểm
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)
A B C và
( 2;1; 2)
D
− −

a) CMR ABCD là một tứ diện b) Tính góc giữa các đường thẳng là các cạnh đối của tứ diện
đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A
3- Lập phương trình mặt cầu:
a) Có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). b) Đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3;
1).
c) Đi qua ba điểm
(0;8;0), (4;6;2), (0;12;4)
A B C và có tâm nằm trên
( )
mp Oyz

d) Có tâm
(1;2;3)
I và tiếp xúc với
( )

mp Oyz

4- Cho bốn điểm
(1;6;2), (4;0;6), (5;0;4), (5;1;3)
A B C D .
a) CMR bốn điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp(BCD).
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 23
d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
5- Cho hai điểm
(1; 1; 2), (3;1;1)
A B
− −
và mp
( ): 2 3 5 0
P x y z
− + − =
.
a) Tìm toạ độ điểm
'
A
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i A qua mp(P)
b) Vi

ế
t ph
ươ
ng trình mp(Q)
đ
i qua A, B và vuông góc v
ớ
i mp(P).
6- Cho mp
( ): 2 3 4 0
P x y z
− − + =
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
( ): 6 2 2 3 0
S x y z x y z
+ + + − − − =
. L
ậ
p ph
ươ
ng
trình
( )
mp
α

song song (P) và ti
ế
p xúc (S).
7- Cho
đ
i
ể
m A(0,1,-1) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
: 3
2
x t
d y t
z t
= −


=


= − +


a) Vi
ế
t pt mp(

α
) qua A và vuông góc v
ớ
i d
b) Tìm to
ạ

độ
giao
đ
i
ể
m M c
ủ
a (
α
) v
ớ
i tr
ụ
c Ox.
c) Vi
ế
t pt tham s
ố
c
ủ
a giao tuy
ế
n d’ c

ủ
a (
α
) v
ớ
i mp(Oxy).
8- Vi
ế
t pt hình chi
ế
u vuông góc d’ c
ủ
a
đ
t d :
1
1 2
3
x t
y t
z t
= +


= − +


=

trên

( ): 2 5 0
mp x y z
α
+ + − =


9- Tìm to
ạ

độ
M
’

đ
x
ứ
ng v
ớ
i M( 2, -1, 3) qua
đ
t d :
2
1 2
1
x t
y t
z
=



= − +


=


10- Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng : d
1
:
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= −


= +


= − +

và d
2
:

2 4 1
3 1 2
x y z
− − −
= =
− −

Vi
ế
t pt
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2
.
11- Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng : d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=



= − +


=

và d
2
:
1 2
3
=


= −


=

x t
y t
z t

a) Ch
ứ
ng minh :
1 2
d d
⊥

và d
1
chéo d
2
.
b) Vi
ế
t pt
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2
.
12- Cho M(2; -1; 1) và
đườ
ng th
ẳ
ng
1 1
:
2 1 2
x y z
− +
∆ = =
−

a) Tìm t

ọ
a
độ

đ
i
ể
m H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đ
i
ể
m M trên ∆
b) Tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m M’
đố
i x
ứ

ng v
ớ
i M qua ∆.
13- Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ): 2 3 4 5 0
P x y z
− + − =
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
( ): 3 4 5 6 0
S x y z x y z
+ + + + − + =

a) Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
tâm I và bán kính r c
ủ
a m

ặ
t c
ầ
u
( )
S

b) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
tâm I
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và xác
đị
nh t
ọ
a
độ
hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a I
lên (P).
14- Trong không gian t

ọa độ Oxyz cho ba điểm A( −1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).

a) Ch
ứ
ng minh tam giác ABC vuông. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
b) G
ọ
i M là
đ
i
ể
m sao cho
2
MB MC
= −
 
. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua M vuông góc v
ớ
i
đ
.th
ẳ
ng BC.
16- Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz, cho
đ
i
ể
m E(1;2;3) và m
ặ
t ph

ẳ
ng (
α
) : x + 2y – 2z + 6 = 0.
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm là g
ố
c to
ạ

độ
O và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng(
α
).
b) Vi

ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua
đ
i
ể
m E và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
α
).
17- Trong không gian v

ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz cho hai
đ
i
ể
m E(-1; 0; 1), F(3; 4; 5)
Ôn thi tốt nghiệp 2012
MATHVN.COM – Toán học Việt Nam
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 24
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng EF.
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn EF.
18- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ):( 2) ( 1) 16
S x y z
− + + + =
và mặt phẳng
( ): 2 2 0
P x y z m
− + + =
( với m là tham số).
a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với giá trị m vừa tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp
điểm của mp(P) và mặt cầu (S).

19- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0; 5), và hai mặt phẳng
(P) : 2x - y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y –z + 5 = 0.
1) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (T) đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q).