de thi olimpic toan quocte 2010
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (21.08 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
51 INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
<i>NGÀY 1</i> :
Bài 1 : Tìm tất cả các hàm <i>f</i> :<i>R</i>→<i>R</i> thoả mãn <i>f</i>(
[ ]
<i>x</i> <i>y</i>)= <i>f</i>(<i>x</i>)[
<i>f</i>(<i>y</i>)]
∀<i>x</i>,<i>y</i>∈<i>R</i>.Ở đây
[ ]
<i>u</i> là phần nguyên của số thực <i>u</i>.Bài 2 : Cho tam giác <i>ABC</i> với <i>I</i> là tâm nội tiếp và ℑ là đường tròn ngoại tiếp tam giác. <i>AI</i>cắt
ℑ tại điểm thứ hai <i>D</i> ( khác <i>A</i> ) .Gọi <i>E</i> là một điểm trên cung <i>BDC</i> và <i>F</i> nằm trên đoạn <i>BC</i>
sao cho
2
<i>BAC</i>
<i>CAE</i>
<i>BAF</i> =∠ < ∠
∠ . Chứng minh giao điểm của <i>EI</i> và <i>DG</i> nằm trên ℑ. Ở đây <i>G</i> là
trung điểm của <i>IF</i>.
Bài 3 : Tìm tất cả các hàm <i>g</i>:<i>N</i>→<i>N</i> sao cho (<i>g</i>(<i>m</i>)+<i>n</i>)(<i>m</i>+<i>g</i>(<i>n</i>)) là một số chính phương với
mọi số tự nhiên <i>m</i>,<i>n</i>.
<i>NGÀY 2</i> :
Bài 4 : Gọi <i>P</i> là một điểm nằm trong tam giác <i>ABC</i> ( với điều kiện <i>CA</i>≠<i>CB</i> ). Các đường thẳng
<i>BP</i>
<i>AP</i>, và <i>CP</i> cắt đường tròn ℑngoại tiếp của tam giác <i>ABC</i> lần lượt tại <i>K</i>,<i>L</i> và <i>M</i>. Tiếp tuyến
của đường tròn ℑ tại <i>C</i> cắt đường thẳng <i>AB</i> tại <i>S</i>. Chứng minh rằng nếu <i>SC</i>=<i>SP</i> thì <i>MK</i>=<i>ML</i>.
Bài 5 : Mỗi chiếc hộp trong các hộp <i>B</i>1,<i>B</i>2,<i>B</i>3,<i>B</i>4,<i>B</i>5,<i>B</i>6 ban đầu gồm có một đồng xu. Xét 2 loại
hoạt động sau :
Loại 1 ) Chọn một hộp không rỗng <i>Bj</i>( 1≤ <i>j</i>≤5), lấy đi một đồng tiền trong hộp <i>Bj</i> và thêm hai
đồng tiền vào hộp <i>Bj</i>+1.
Loại 2 ) Chọn một hộp không rỗng <i>Bk</i>( 1≤<i>k</i>≤4), lấy đi một đồng tiền trong hộp <i>Bk</i> và hoán đổi
các đồng tiền ( có thể rỗng ) hai hộp <i>B<sub>k</sub></i><sub>+</sub><sub>1</sub> và <i>B<sub>k</sub></i><sub>+</sub><sub>2</sub> với nhau.
Xác định xem có tồn tại một dãy hữu hạn các hoạt động của các loại như trên mà năm hộp
5
4
3
2
1,<i>B</i> ,<i>B</i> ,<i>B</i> ,<i>B</i>
<i>B</i> trở thành rỗng và hộp <i>B</i><sub>6</sub> chứa 20102010
2010 đồng xu.
Bài 6 : Gọi <i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>,... là một dãy số thực dương và <i>s</i> là một số nguyên dương thỏa mãn :
{
|1 1}
max + ≤ ≤ −
= <i>a</i> <i>a</i> − <i>k</i> <i>n</i>
<i>an</i> <i>k</i> <i>n</i> <i>k</i> với mọi <i>n</i>><i>s</i>.
</div>
<!--links-->
