đề cương Toán 9

Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Mục lục
Mục lục......................................................................................................................................................1
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức....................................................................................................1
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa..................................................................................2
Điều kiện để xác định là ..............................................................................................................................................2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.............................................................................................................................2
Công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai...................................................................................2
.....................................................................................................................................................................................2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán..........................................................................................4
Chủ đề 2 Hệ phơng trình..........................................................................................................................12
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:............................................................................12
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế sao cho phù hợp.....12
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản.................................................................................12
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ...........................................................................................................12
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc................................................12
Chủ đề 3 Phơng trình bậc hai và định lí Viét..........................................................................................13
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai..............................................................................................................................13
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn sao cho phù hợp............................................................13
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm...........................................................................................13
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng trình bậc hai...........................................................................13
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
....................................................................................................................................................................................14
áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm........................................................................14
Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P..............................................................................14
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.......................................14
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trớc.............................15
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số............................15
Dạng 7: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai. (Nâng cao).....................................................16
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị......................................................................................................................21
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số...........................................................................................................................................21

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình y=ax+b. Thay x, y vào
điều kiện đề bài cho tìm ra a vag b)...........................................................................................................................21
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol..................................................................................................21
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình......................................................22
Ôn tập lại phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình.............................22
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)....................................................22
Dạng 2: Toán làm chung làn riêng (toán vòi n ớc)................................................................................................22
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm..............................................................................................................22
Dạng 4: Toán có nội dung hình học...........................................................................................................................22
Dạng 5: Toán về tìm số..............................................................................................................................................23
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.................................................................................23
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.........................................................................................................................23
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức...........................................................................................................................23
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.........................................................................................................24
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng..............................................................................................................................24
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.....................................................................................................................................24
Phần II: Hình học..................................................................................................................................25
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình...........................................................................25
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn..........26
Bài tập về nhà:..........................................................................................................................................29
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.......................................................................................................29
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và ................................................................................30
chứng minh đẳng thức hình học...............................................................................................................30
Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích....................................................................30
Chủ đề 7: Toán quỹ tích. Nâng cao..........................................................................................................31
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian....................................................................31
Bài 3............................................................................................................................................................61
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.
Trờng THCS LONG IN TIN

1
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
2
1) 3x 1 8) x 3
2
2) 5 2x 9) x 2
1
2
3) 10) x 3x 7
7x 14
2
4) 2x 1 11) 2x 5x 3
3 x
5)
7x 2
- +
- -
- +
-
- - +
-
+
1
12)
2
x 5x 6
x 3 1 3x
6) 13)

7 x
x 3 5 x
1
) 14) 6x 1 x 3
2
2x x

- +
+
+
-
- -
- + +
-
7
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.

Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
Trờng THCS LONG IN TIN
2
Điều kiện để
A
xác định là
A 0
Công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
. B A B
. A B
A B
.
B

C( A B )
.
A B
B
=
=
=
=
-

2
1
2
3
4
m
2
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A
Đưa thừa số vào trong dấu căn A B
A
Trục căn thức ở mẫu
B
C
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
A
Các hằng đẳng thức và công thức phân tích thành nhân tử
.A AB B ( A B ) ; A A ( A )
.( A B )( A B ) A B; .( A )( A ) A
.A A A B B A B B ( A B ) ; A A A A ( A )
.A A A B B A B B ( A B ) ; A A A A ( A )

.A A B B ( A B )( A AB B );.A A ( A )( A A )
.A A B B ( A B )( A AB
+ = + =
- + = - - + = -
+ + + = + + + + = +
- + - = - - + - = -
+ = + - + + = + - +
- = - +
2 2
1 2 2 1 1
2 1 1 1
3 3
3 3 3 3 3 1 1
3 3
4 3 3 3 3 1 1
5 1 1 1
6 B );.A A ( A )( A A )
.A B B A AB( A B ); A A A( A )
+ - = - + +
= =
1 1 1
7 1
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
>
-
-
2 2
3 5 2
a) ; b) x (với x 0);
5 3 x

2 x 7
c) x ; d) (x 5) ; e) x
5 25 x x
Bài 2: Thực hiện phép tính.
a) ( 28 2 14 7 ) 7 7 8; d) 6 2 5 6 2 5 ;
b) ( 8 3 2 10 )( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2
c) (15 50 5 200 3 450 ): 10;
- + ì + + + -
- + - + - -
+ -
3 3
3;
3
3 3
f) 5 2 7 5 2 7
g) 20 14 2 20 14 2 ; h) 26 15 3 26 15 3
+ - -
+ + - + - -
Bài 3: Thực hiện phép tính.
2 3 6 216 1 14 7 15 5 1
a) ( ) b) ):
3
8 2 6 1 2 1 3 7 5
5 2 6 8 2 15
c)
7 2 10
- - -
- ì +
- - - -
- + -

+
Bài 4: Thực hiện phép tính.
a ) (4 15 )( 10 6) 4 15 b) (3 5) 3 5 (3 5) 3 5
c) 3 5 3 5 2 d) 4 7 4 7 7
e) 6,5 12 6,5 12 2 6
+ - - - + + + -
+ - - - - - + +
+ + - +
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 3 3
a) b)
7 24 1 7 24 1 3 1 1 3 1 1
5 2 6 5 2 6 3 5 3 5
c) d)
5 6 5 6 3 5 3 5
- -
- + + + + - - +
+ - + -
+ +
- + - +
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
6 2 5 13 48 b) 4 5 3 5 48 10 7 4 3
1 1 1 1
c) ...
1 2 2 3 3 4 99 100
a)
+ - + + + - +
+ + + +
+ + + +
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:

+
> > ạ
-
+ -
+ - > ạ
+ -
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
a b b a 1
a) : , với a 0, b 0 và a b.
ab a b
a a a a
b) 1 1 , với a 0 và a 1.
a 1 a 1
Trờng THCS LONG IN TIN
3
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
- + -
-
ì - +
-
+ +

ì
-
a a 8 2a 4 a
c) ;
a 4
1
4 2
d) 5a (1 4a 4a )
2a 1
2 2
2 3x 6xy 3y
e)
2 2
4
x y
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
= - + = =
- +
= + - = + - -
= + + + + + =
= - + + - + - + - - + =
= + + + +
1 1
2
a) A x 3x y 2y, khi x ; y
5 2 9 4 5
3
3 3
b) B x 12x 8 với x 4( 5 1) 4( 5 1);

2 2
c) C x y , biết x x 3 y y 3 3;
2 2 2 2
d) D 16 2x x 9 2x x , biết 16 2x x 9 2x x 1.
2 2
e) E x 1 y y 1 x , biết xy + + =
2 2
(1 x )(1 y ) a.
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
x 3
P
x 1 2
-
=
- -
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
2
a a 2a a
A 1.
a a 1 a
+ +
= - +
- +
a) Rút gọn A.

b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
1 1 x
C
1 x
2 x 2 2 x 2
= - +
-
- +
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
4
x
9
=
.
c) Tính giá trị của x để
C .=
1
3
Bài 4: Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
a a b
M 1 :
a b a b a a b
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
- - - -
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
a 3
.
b 2
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
2
x 2 x 2 (1 x)
P .
x 1 2
x 2 x 1
ổ ử
- + -
ữ
ỗ
ữ
= - ì

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
+ +
ố ứ
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
Trờng THCS LONG IN TIN
4
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
2 x 9 x 3 2 x 1
Q .
x 5 x 6 x 2 3 x
- + +
= - -
- + - -
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
2
3 3
x y xy

x y
x y
H :
x y
x y x y
ổ ử
- +
-
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
= -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ữ
- +
ỗ
ố ứ
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
a 1 2 a

A 1 : .
a 1
a 1 a a a a 1
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+
- + - -
ố ứ ố ứ
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
a 2007 2 2006= -
.
Bài 9: Xét biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
M .
x x 2 x 2 1 x
+ - + -
= - +
+ - + -
a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
15 x 11 3 x 2 2 x 3
P .
x 2 x 3 1 x x 3
- - +
= + -
+ - - +
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
1
P .
2
=
c) So sánh P với
3
2
.
Bài 11 :Cho biểu thức :
x x x x x
P
x x x x x
- + +
= - +
- +
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức P :
2/ Tìm x để
P =
9

2
:
Bài 12 : Cho biểu thức :
x
M x
x x x
ổ ử
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + +
ố ứ
1 2

1
1 1
1/ Tìm x để M có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức M :
3/ Tìm giá trị của M khi
x = +4 2 3
:
Bài 13 : Cho biểu thức :
x x x
A :
x
x x x x
ổ ử
+ - -
ữ
ỗ
ữ
= + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
+ - +
ố ứ
2 1 1
1
1

1 1
1/ Tìm x để A có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức P :
3/ Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và
x ạ 1
:
Bài 14 : Cho biểu thức :
x x x
P
x
x x x x
+ + +
= + -
-
- + +
2 1 1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức P :
Trờng THCS LONG IN TIN
5
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
2/ Chứng minh rằng : P <
3
1
với mọi
x 0
và
x ạ 1
:

Bài 15 : Cho biểu thức :
x x
B
x x x x x
-
= + +
- - - + -
3
1 1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức B :
2/ Tìm x để B > 0:
3/ Tìm giá trị của B khi
x =
-
53
9 2 7
:
4/ Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biểu thức :
a a a a
A
a a a
+ +
= - +
- +
2
2
1
1

1/ Rút gọn biểu thức A:
2/ Tìm giá trị của a để biểu thức
A = 2
.
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Bài 17 : Cho biểu thức :
( )
x
x x
P .
x
x x
ổ ử
-
- +
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
+ +
ố ứ
2
1

2 2
1 2
2 1
1/ Rút gọn biểu thức P :
2/ Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Bài 18 : Cho biểu thức :
x x
P
x x x x x
+ +
= + -
- + + -
2 1 1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức P :
2/ Tìm giá trị của P khi
x = -28 6 3
.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 19: Cho biểu thức :
a a a a a a a a
Q .
a
a a a
ổ ử
+ - - + -
ữ
ỗ
ữ

= + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
- -
ố ứ
2 1 2
1
1
1 2 1
1/ Rút gọn biểu thức Q :
2/ Tìm giá trị của a để Q =
+
6
1 6
.
3/ Chứng minh rằng : Q >
3
2
.
Bài 20 : Cho biểu thức :
a a
P :
a
a a a a a
ổ ử ổ ử

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+
- + - -
ố ứ ố ứ
2 1 2
1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức P :
2/ Tìm các giá trị của a sao cho P > 1.
3/ Tìm giá trị của P khi
a = -19 8 3
.
Bài 21 : Cho biểu thức :
A :
x x x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + - +
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- + - + -
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức A :
2/ Tính A khi
x = +7 4 3
.
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 22 : Cho biểu thức :
x x x
A :
x x x x x
ổ ử ổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- + - - +
2
1 1 2 1

1 1 1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức A :
2/ Tính A khi
x = +3 8
.
3/ Tìm x khi
A = 5
.
Trờng THCS LONG IN TIN
6
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 23 : Cho biểu thức :
x x
B :
x
x x x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+
- + - -
ố ứ ố ứ

1 2
1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức B :
2/ Tìm x để B > 3.
3/ Tìm x khi B = 7.
4/ Tìm B khi
x = +4 2 3
.
5/ Tìm x để B > 1.
Bài 24 : Cho biểu thức :
x
C :
x
x x x x
ổ ử
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố - ứ
- - +
ố ứ
1 1 2
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức C:
2/ Tính C khi
x = +3 2 2
.
3/ Tìm x khi
C = 5
.
Bài 25 : Cho biểu thức :
a a a a a
M :
b a
a b a b a b ab
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + -
ỗ ỗ
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
+ + + +
ố ứ ố ứ
2
1/ Tìm x để M có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức M :
3/ Khi
a
;M
b
= =
1
1
4
: Tìm a, b
Bài 26 : Cho biểu thức :
x x x
Q :
x
x x x
ổ ử ổ ử
- -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - + -

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
- + +
ố ứ ố ứ
1 1 8 3 2
1
9 1
3 1 3 1 3 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính Q khi
x = +6 2 5
.
3/ Tìm x khi
Q =
6
5
.
Bài 27 : Cho biểu thức :
x x x
U
x x x x
- - +
= + -
+ - - +
15 11 3 2 2 3

2 3 1 3
1/ Rút gọn biểu thức U:
2/ Tìm x khi
U =
1
2
.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của U.
4/ Tìm các giá trị của x nguyên để U nhận giá trị nguyên.
Bài 28 : Cho biểu thức :
x x x x
U :
x x x x x
ổ ử ổ ử
+ + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - + +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - - - +
ố ứ ố ứ
3 2 2
1
1 2 3 5 6

1/ Rút gọn biểu thức U:
2/ Tìm x để N < 0.
3/ Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Bài 29 : Cho biểu thức :
b b b b
B .
b b
ổ ửổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ -
ố ứố ứ
2 5
2 2
2 5
1/ Tìm b để B có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức B.
Bài 30 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x

- + +
= - -
- + - -
2 9 3 2 1
5 6 2 3
1/ Tìm x để Q có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức Q.
3/ Tìm các giá trị của x nguyên để Q nguyên.
Trờng THCS LONG IN TIN
7
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 31 : Cho biểu thức :
x x x x x
K .
x x x x
ổ ử
+ - - - +
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- + -
ố ứ
2
2

1 1 4 1 2003
1 1 1
1/ Tìm x để K có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức K.
3/ Tìm các giá trị của x nguyên để K nguyên.
Bài 32 : Cho biểu thức :
x x x x x x x x
P .
x
x x x x x
ổ ử
+ - + -
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
- + - -
ố ứ
2 1
1
1 2 1 2 1
1/ Tìm x để P có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức P.

3/ Tìm các giá trị của x nguyên để P nguyên.
Bài 33 : Cho biểu thức :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a
A
a a a a a a
+ +
= + +
+ + + + + +
2
4 10 2 2 20
1 2 1 3 2 3
1/ Tìm x để A có nghĩa:
2/ Rút gọn biểu thức A.
Bài 34 : Cho biểu thức :
( ) ( )
a
P
a
a a
+
= + -
-
+ -
2
3
1 1 2
1
2 1 2 1
1/ Tìm a để P có nghĩa:

2/ Rút gọn biểu thức P.
3/ Tìm các giá trị của a nguyên để P nguyên.
4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 35 : Cho biểu thức :
x x x x x x
Q x .
x x x x x x x
ổ ử
ổ ử
- + + -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= - + - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- + - +
ố ứ

1 1 1 1 1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x khi
Q =6
.
Bài 36 : Cho biểu thức :
( )
( )
a a b
a a
M :
a ab b a a b b a b a ab b
ổ ử - -
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ + - - + +
ố ứ
1
3 3 1
2 2 2
1/ Rút gọn biểu thức M:

2/ Tìm a nguyên để M nguyên.
Bài 37 : Cho biểu thức :
x x x x x
M :
x
x x x x
ổ ử ổ ử
- - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
+ - + -
ố ứ ố ứ
5 25 3 5
1
25
2 15 5 3
1/ Rút gọn biểu thức M:
2/ Tìm x nguyên để M nguyên.
3/ Tìm x để M < 1 .
Bài 38 : Cho biểu thức :
x x

P :
x
x x x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+
+ - - -
ố ứ ố ứ
2 1
1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức M:
2/ Tìm x để biểu thức
P Ê 0
.
Bài 39 : Cho biểu thức :
x x x
P
x
x x

+ +
= + +
-
- +
1 2 2 5
4
2 2
1/ Rút gọn biểu thức P:
2/ Tìm x để biểu thức
P = 2
.
Bài 40 : Cho biểu thức :
a a
P :
a a a a a
ổ ử
ổ ử
+ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= - -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- - -
ố ứ
1 1 2 1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức P:
2/ Tìm x để biểu thức
P = 3
.
Trờng THCS LONG IN TIN
8
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 41 : Cho biểu thức :
x
P x
x x x
ổ ử
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + -

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + +
ố ứ
1 4
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức P:
2/ Tìm x nguyên để P nguyên.
Bài 42 : Cho biểu thức :
x x x
Q :
x
x x x
ổ ử ổ ử
- -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - + -

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
- + +
ố ứ ố ứ
2 1 3 1 2
1
1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính Q khi
x = +6 2 5
.
Bài 43 : Cho biểu thức :
x y x y
Q
xy y xy x xy
+
= + -
+ -
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính Q khi
x x
y y
+
=

+
1
5
.
Bài 44 : Cho biểu thức :
x x
Q :
x x x x
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
+ - + +
ố ứ ố ứ
2 5 1 1
1
4 1
1 2 1 2 4 4 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x khi
Q =-

1
2
.
Bài 45 : Cho biểu thức :
x x x
Q :
x
x x x x
ổ ử ổ ử
+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
+ -
ố ứ ố ứ
9 3 1 1
9
3 3
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x khi
Q Ê - 1
.

Bài 46 : Cho biểu thức :
x x x x x
Q x
x
x x x x x
ổ ửổ ử
+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
- + + +
ố ứố ứ
2 1 8 1
9 1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
3/ Tìm x khi
Q = 3
.
Bài 47 : Cho biểu thức :
x x
Q x

x x x
ổ ử
ổ ử
+ -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- +
ố ứ
1 1 1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Chứng minh rằng :
Q 2
Bài 48 : Cho biểu thức :

x x
P
x x x x x
= - +
+ + - -
3 3 1
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức P:
2/ Tìm x để biểu thức
P 0
.
Bài 49 : Cho biểu thức :
x
Q x
x x x
ổ ử
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- + -
ố ứ
2 1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính giá trị của Q khi
x = +4 2 3
Bài 50 : Cho biểu thức :
x
Q x
x x x
ổ ử
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + +
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- + -
ố ứ
4 1
1
1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính giá trị của Q khi
x = +4 2 3
Trờng THCS LONG IN TIN
9
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 51 : Chứng minh rằng với mọi
xÊ ạ0 1
:
x x x x
x
x x
ổ ửổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ

ữ ữ
+ - = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ -
ố ứố ứ
1 1 1
1 1
Bài 52 : Chứng minh rằng với mọi
xÊ ạ0 1
:
x x x
x
x
x
ổ ửổ ử
- -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ

ỗ ỗ
-
-
ố ứố ứ
2
1 1
1
1
1
Bài 53 : Chứng minh rằng với mọi
xÊ ạ0 1
:
x x x x
x
x x
ổ ửổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ - = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ -
ố ứố ứ
1 1 1

1 1
Bài 54 : Chứng minh rằng với mọi
x< ạ0 1
:
x x
:
x x x x x x
ổ ử
+ -
ữ
ỗ
+ =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- - - +
1 1 1 1
1 2 1
Bài 55 : Chứng minh rằng với mọi
xÊ ạ
1
0
2
:
x x x x
x x x x x
ổ ử

+
ữ
ỗ
ữ
- =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ + + - +
ố ứ
3 1
1 2 1 1 2 1
Bài 56 : Chứng minh rằng với mọi
a ,b ,a b ạ0 0
:
a b a b b b
b a
a b a b a b
+ -
- - =
-
- + -
2 2
2 2 2 2
Bài 57 : Cho biểu thức :
( )
a b ab

a b b a
Q
a b ab
+ -
+
= -
-
2
4
Rút gọn biểu thức Q:
Bài 58 : Cho biểu thức :
( )
x
x
Q
x x
ổ ử
ổ ử
-
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
= + -
ỗ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
ố ứ
2 2
2
1 1
1 2 3
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x nguyên để Q nguyên
Bài 59 : Cho biểu thức :
x x x
Q x
x
x
ổ ử
+ -
ữ
ỗ
ữ
= +
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
-
+
ố ứ
1 1
3
1
1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính giá trị của Q khi
x = +4 2 3
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
Bài 60 : Cho biểu thức :
x x x
Q x
x
x
ổ ử
ổ ử
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= + -
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ố ứ
ỗ
-
-
ố ứ
1 2
1
1
1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính giá trị của Q khi
x = +4 2 3
3/ Tìm x ngyên để Q nguyên.
Bài 61 : Cho biểu thức :
x x x x x
Q :
x
x x x x
ổ ử ổ ử
- - - +
ữ ữ
ỗ ỗ

ữ ữ
= - + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
-
+ - - +
ố ứ ố ứ
3 9 3 2
1
9
6 2 3
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Bài 62 : Cho biểu thức :
Q
x x x x x
= - +
+ + - +
1 3 2
1 1 1
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Bài 63 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x

ổ ử
- - +
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ - - +
ố ứ
14 3 2
6 2 3
1/ Rút gọn biểu thức Q:
Trờng THCS LONG IN TIN
10
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên.
Bài 64 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x
+ - -
= - +
- + - -
3 1 3
4 3 3 1

1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 65 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x
- - -
= - -
- + - -
2 2 3
5 6 3 2
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 66 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x
+ + +
= + +
- + - +
44 2 2 5
3 10 5 2
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 67 : Cho biểu thức :
x x x x
Q
x x x x
+ - - -
= - +

- + - -
3 22 5 3
8 15 3 5
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 68 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x x
- + +
= - +
- - - +
29 3 5
2 15 5 3
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 69 : Cho biểu thức :
x x x
Q
x x x
ổ ử
ổ ử
- - -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + +
ố ứ
2 3
1 2
1 2
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tìm x ngyên để Q nguyên .
Bài 70 : Rút gọn biểu thức :
x x
Q
x
x x
ổ ử
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
= - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- ố ứ
- +
ố ứ
2 2
1
1
1 2
1/ Rút gọn biểu thức Q:
2/ Tính giá trị của Q khi
x = +4 2 3
Bài tập về nhà:
Bài 1: So sánh (Chú ý:
A B A BÊ Ê Ê0
a) 4 và
32
b) -
5

và -2 c)
6
2
1
và 6
2
1
Bài 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a)
53
; 2
6
;
29
; 4
2
b) 6
2
;
38
; 3
7
; 2
14
Bài 3: Rút gọn các biểu thức
a)
a b b a
:
ab a b
+

-
1
b)
a a a a
a a
ổ ửổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ -
ố ứố ứ
1 1
1 1
c)
a
:
a a a a a
ổ ử
+
ữ
ỗ
+

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
- - - +
1 1 1
1 2 1
Trờng THCS LONG IN TIN
11
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 4: Xét biểu thức A =
a a a a a
:
a
a a a a
ổ ử
- + +
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
-

- +
ố ứ
1 1 2
2
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 5: Xét biểu thức B =
a a b
:
a b a b a a b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
- - - -
2 2 2 2 2 2
1
với a > b >0
a) Rút gọn B b) Tìm giá trị của B khi a = 3b
Chủ đề 2 Hệ phơng trình.
A - Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế sao cho phù hợp
Dạng 1: Giải hệ ph ơng trình cơ bản và đ a đ ợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình

3x 2y 4 4x 2y 3 2x 3y 5
1) ; 2) ; 3)
2x y 5 6x 3y 5 4x 6y 10
3x 4y 2 0 2x 5y 3 4x 6y 9
4) ; 5) ; 6)
5x 2y 14 3x 2y 14 10x 15y 18
- = - = + =
+ = - = + =
- + = + = - =
+ = - = - =
ỡ ỡ ỡ
ù ù ù
ù ù ù
ớ ớ ớ
ù ù ù
ù ù ù
ợ ợ ợ
ỡ ỡ ỡ
ù ù ù
ù ù ù
ớ ớ ớ
ù ù ù
ù ù ù
ợ ợ ợ
Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3x 2 2y 3 6xy 2x-3 2y 4 4x y 3 54

1) ; 2) ;
4x 5 y 5 4xy x 1 3y 3 3y x 1 12
7x 5y-2
2y-5x y 27
8
5 2x
x 3y
3 4
3) ; 4)
x 1 6y 5x 6x-3y 10
y 5
3 7 5x 6y
+ - = + = - +
+ - = + - = + -
+
+
= -
+ = -
+
+ - +
+ = =
+
ỡ ỡ
ù ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
ù ù
ợ ợ
ỡ

ỡ
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
ù ù
ù
ù
ù
ợ
ợ
ù
ù
ù
Dạng 2: Giải hệ bằng ph ơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
( )
( )
2 1 3x 2 x 1 3y
3 4 7
x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2
1) ; 2) ; 3) ;
4 3 2x 5 2 5

1 9 4
x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2
2
2 x 2x y 1 0
4) ;
2
3 x 2x 2 y 1 7 0
+
+ = - = + =
+ + + + - +
- = - = - =
+ + + + - +
- + + =
- - + + =
ỡ ỡ ỡ
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ớ ớ ớ
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ù ù ù
ợ ợ ợ
ỡ
ù
ù

ù
ớ
ù
ù
ù
ợ
5 x 1 3 y 2 7
5)
2 2
2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13.
- - + =
- + + + + =
ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
ù
ợ
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr ớc
Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
( )
( )
2mx n 1 y m n
m 2 x 3ny 2m 3
ỡ
- + = -ù
ù

ớ
ù
+ + = -
ù
ợ
b) Định a và b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m
2
+ 2m 2.
Trờng THCS LONG IN TIN
12
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 3: Cho hệ phơng trình
+ = -
+ =
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
mx 4y 10 m
(m là tham số

x my 4
)
a) Giải hệ phơng trình khi m =
2
.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x
2
y
2
đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng
tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng
thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phơng trình:
( )
m 1 x my 3m 1
2x y m 5
ỡ
- - = -
ù
ù
ớ
ù
- = +
ù
ợ
a) Giải và biện luận hệ theo m.

b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y)
nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đ-
ờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
x my 2
mx 2y 1
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn nhất.

Chủ đề 3 Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải ph ơng trình bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn sao cho phù hợp
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
3
x
2
+ x + 1 =

3
(x + 1) ;
9) x
2
2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0. Hoặc dùng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2

= 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;

3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 =
0 ;
5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
2(2m 1)x 3 + m = 0
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Trờng THCS LONG IN TIN
13
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph ơng trình
bậc hai cho tr ớc.

áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm
Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.
Tính:
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
1 2
3 3
1 2
A x x B x x
1 1
C D 3x x 3x x
x 1 x 1
E x x
= + = -
= + = + +
- -
= +
4 4
1 2
F x x= +
Bài 2: Gọi x

1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá
trị của các biểu thức sau:
2
x x x x
1 1
3 2 3 2
1 1 2 2
A 2x 3x x 2x 3x x B
1 1 2 2 1 2
x x 1 x x 1 x x
2 2 1 1 1 2
2 2
3x 5x x 3x
1 1 2 2
C
2 2
4x x 4x x
1 2 1 2
= - + - = + + + - -
+ +
+ +
=
+
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
Bài 3: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( ) ( )
x x
1 2
A 3x 2x 3x 2x ; B ;
1 2 2 1
x 1 x 1
2 1
x 2 x 2
1 2
C x x ; D
1 2
x x
1 2
= - - = +
- -
+ +
= - = +
Bài 4: Cho phơng trình 2x

2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng trình hãy thiết lập
phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
= 2x
2
x
1
Bài 5: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y

1
; y
2
thoả mãn:
2
x
1
y
1
y x 2 x
1 1 2
b)
2
y x 2
x
2 2
2
y
2
x
1
a)
=
= +
= +
=
ỡ
ù
ù
ù

ù
ỡ
ù
ù
ù
ù
ớ ớ
ù ù
ù ù
ợ
ù
ù
ù
ù
ợ
Bài 6: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
x x
1 2
y y

2 2
1 2
x x y y x x
2 1 1 2 1 2
; b)
2 2
y y
y y 5x 5x 0.
1 2
1 2 1 2
3x 3x
1 2
y y
2 1
a)
+ = +
+ = +
+ + + =
+ = +
ỡ
ù
ù
ù
ỡ
ù
ù
ù
ù
ù ù
ớ ớ

ù ù
ù ù
ù
ợ
ù
ù
ù
ù
ợ
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
+ = + + = +
2
1 1 1 1
y y và x x
1 2 1
x x y y
1 2 1 2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện của đen ta khi phơng trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô nghiệm

Trờng THCS LONG IN TIN
14
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m 1)x
2
2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m 1)x
2
2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x
2
2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: a. Cho phơng trình:
( )
2
2
4 2 2
2 2m 1 x
4x
m m 6 0
x 2x 1 x 1
-

- + - - =
+ + +
.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b. Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc.
Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài cho
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn 2x
1
x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
x
1
x
2
nhận giá trị nhỏ
nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx

2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2
c) (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x

1
x
2
5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx 3m 2 = 0 ; 2x
1
3x
2
= 1
b) x
2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2
c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2

+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x
2
2
e) x
2
+ (2m 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao
cho biểu thức
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x 3
R
x x 2(1 x x )
+
=
+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.

Bài 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ph-
ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Trờng THCS LONG IN TIN
15
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Sử dụng định lý Vi-et thuận coi nh hệ phơng trình sau đó khử tham số (Bằng phơng pháp
thế hoặc phơng pháp cộng)
Bài 1: a. Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình không phụ thuộc vào tham số m.
b. Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

c. Cho phơng trình: 8x
2
4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
;
x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)
2
x
2
(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
; x
2
thoả mãn:
1 2
2 1
x x 5
x x 2
+ =-
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x

2
2(m 2)x + m 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thì: 4x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 7: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình bậc hai. (Nâng cao)
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của ph-
ơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng trình (1),
ta có thể làm nh sau:
i) Giả sử x

0
là nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ
phơng trình:
2
0 0
2 2
0 0
ax bx c 0
(*)
a'k x b'kx c' 0
ỡ
ù
+ + =
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)
ax
2

+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể
cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai tr-
ờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cùng vô nghiệm, tức là:
( )
( )
ỡ
D <
ù
ù
ớ
ù
D <
ù
ợ
3
4
0
0
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
Trờng THCS LONG IN TIN
16
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
(3)
(4)
(3) (4)
(3) (4)

0
0
S S
P P
ỡ

ù
ù
ù
ù

ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ù
=
ù
ợ
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:
bx ay c
b'x a'y c'
ỡ
+ =-

ù
ù
ớ
ù
+ =-
ù
ợ
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2

x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bài 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy
nhất.
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x
2
mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của ph-
ơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2

+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng trình:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của
phơng trình (1).
Bài Tập về nhà
Bài 1: Xác định m và tìm nghiệm còn lại biết rằng
a) Phơng trình 2x
2

- (m+3)x- 5m = 0 có một nghiệm bằng 1
b) Phơng trình 4x
2
+ (2m+ 1)x- m
2
= 0 có một nghiệm bằng -1
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau không có nghiệm cho trớc đợc viết trong dấu ( )
a) 2x
2
+ (m- 2)x+ m- 1 = 0 ( x = 2)
b) mx
2
+ (5m- 2)x +1 = 0 (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu các nghiệm của phơng trình
a) 3x
2
- 7x+ 2 = 0 b)5x
2
+ 3x- 1 = 0 c)2x
2
+ 13x+ 8 = 0
Trờng THCS LONG IN TIN
17
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
d) 4x
2
- 8x +49 = 0 e) 4x
2
-11x+ 8 = 0
Bài 4: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu

a) x
2
- 5mx+ 2m- 1 = 0 b) x
2
- 6x+ (7- m
2
) = 0
Bài 5: Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x
2
- 5x+ m = 0 b) mx
2
+ mx +3 = 0 c) x
2
- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phơng trình
a) x
2
- x+ 2(m- 1) = 0 có hai nghiệm dơng
b) 4x
2
+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m
2
x
2
+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb
Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x
2
- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x

2
- 2(m+ 4)x+ m
2
- 8 = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho
a) x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt GTLN b) x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2
đạt GTNN
Bài 9: Cho pt x
2
- (2m+ 5)x- m

2
= 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tìm m để
a) x
1
và x
2
đều lớn hơn -5 b) x
1
< 2 < x
2

Bài 10: Cho pt: x
2
- 4x
3
+ 8 = 0 có hai nghiệm x
1
và x
2
. Không giải pt , hãy tính giá trị của biểu
thức:
Q =
x x x x
x x x x
+ +
+

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
Bài 11: Tìm GTLN (nếu có) và GTNN(nếu có) của các biểu thức sau:
a) P =
x x
x x
- +
- +
2
2
1
2 3
b) Q =
x
x
-
+
2
4 3
1
c) E =
x x
x x
+ -
- +
2

2
2 1
2 3
Bài 12: Cho phơng trình x
2
- 2(m+1)x+ m- 4 = 0 (1)
1) Giải pt khi m = 1
2) Chứng minh pt(1) luôn có nghiệm với mọi m
3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu
4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt sao cho x
1
2
+x
2
2
= 22
6) Tìm GTNN của x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2

7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt và tích hai nghiệm này bằng 4
8) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 6

9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
10) Tìm m để pt (1) có nghiệm sao cho x
1
<1<x
2
11) Chứng minh biểu thức A = x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1- x
1
) không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài 13: Cho 3 phơng trình ax
2
+ 2bx+ c = 0 (1); bx
2
+ 2cx + a = 0 (2);
cx
2
+2ax+b = 0 (3)
Trong đó a,b,c khác 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các pt trên có nghiệm.
Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x
2
- 6x+ y- 2 = 0 sao cho y đạt giá tị lớn nhất

b)Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
( x )
x

-
+
2
2
1
1
c)Tìm GTNN của biểu thức Q =
x x
( x )
+ +
+
2
2
1
1
Bài 15 Giải các pt sau
Trờng THCS LONG IN TIN
18
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
a) x
2
-
( )x+ + =2 1 3 2 3 0
b) (x
2
- 5x)
2
- 30(x
2
- 5x) + 216 = 0

c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d)
x x x
+ =
- - -
1 1 1
3 2 4

Bài 16 Cho hai pt: x
2
+ (m- 1)x +m
2
= 0 và -x
2
- 2mx + m = 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong
hai pt có nghiệm.
Bài 17: Tìm m để hai pt x
2
+ mx +1 = 0 và x
2
- (m+1)x- 2m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 18: Cho pt x
2
- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0
a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x
1
và x
2

b) Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x
1

x
2
- (x
1
2
+ x
2
2
)
Bài 19 Cho pt: x
2
+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 11.
Bài 20 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
x mx m m- + - + =
2 2
2 2 6 0
b)
( ) ( )
m x m x m- - + + - =
2
1 2 1 2 0
c)
( ) ( )
m x m x m- - + - - =
2
1 2 2 2 0
d)
( )
x m x m- - - - =

2
2 1 3 5 0
e)
( )
( )
m x m m x m+ - + + + =
2 2 3
3 2 3 12 0
f)
x x x m- - - + =
2
2 2 2 0
Bài 21 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
( )
x m x m- - + - =
2 2
2 1 3 0
b)
( ) ( )
m x m x m- - - + - =
2
1 2 2 1 2 1 0
c)
( )
x m x m- - + - =
2 2
2 2 8 0
d)
( )

x m x m- + + + =
2 2
2 1 5 0
e)
( ) ( )
m x m x m- - + + + =
2
2 2 2 1 1 2 0
f)
( ) ( )
m x m x- - + + =
2
2 2 2 4 0
Bài 22 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a)
( ) ( )
m x m x m+ - - + - =
2
1 2 2 3 2 3 0
b)
( ) ( )
m x m x m- - - + - =
2
2 2 2 1 2 1 0
c)
( )
x m x m- + + - =
2 2
2 3 9 0
d)

( )
x m x m- - + - =
2 2
2 1 1 0
e)
( )
x m x m- - + - =
2 2
2 2 1 4 1 0
f)
( )
x m x m- + + + =
2
1 2 0
g)
( ) ( )
m x m x m- - - + - =
2
2 2 3 1 1 3 0
h)
( ) ( )
m x m x m- - + + + =
2
1 2 2 3 3 2 0
k )
( ) ( )
m x m x m+ - - + - =
2
3 2 2 1 2 1 0
l)

( )
mx m x m- + + + =
2
2 2 1 2 1 0
n)
( )
mx m x m- - - - =
2
2 2 3 2 3 0
m)
( ) ( )
m x m x+ - + - =
2
3 2 1 2 0
Bài 23 : Tìm các giá trị của m để các phơng trình sau :
a) Có nghiệm
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có nghiệm kép
d) Vô nghiệm
1/
( )
mx m x m- - + - =
2
2 1 4 0
2/
( ) ( )
m x m m+ - + + + =
2
1 2 2 5 0
3/

( )
x m x m- - + - =
2
2 2 2 1 0
4/
( )
x m x m- - + + =
2 2
2 1 5 0
5/
( )
x m x m- + + + =
2 2
2 2 8 0
6/
( ) ( )
m x m x m- - - - + =
2
1 2 2 3 3 2 0
7/
( ) ( )
m x m x m+ - - + - =
2
2 2 2 1 2 1 0
8/
( )
x m x m- - + - =
2 2
2 3 3 0
9/

( )
x m x m- + + - =
2 2
2 2 1 4 3 0
10/
( ) ( )
m x m x m- - - - + =
2
3 2 2 1 1 2 0
11/
( ) ( )
m x m x+ - + - =
2
3 2 1 2 0
12/
( ) ( )
m x m x m- - - + - =
2
2 2 2 1 2 1 0
Bài 24 : Biết x
1
= 2 là nghiệm của các phơng trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng,
a)
( )
x m x m- + + - =
2
2 2 3 4 0
b)
x mx m- + - =
2

4 8 0
c)
( )
x m x m- - - + =
2
2 2 1 2 1 0
d)
( )
x m x m- + - + =
2
3 2 3 4 3 0
Bài 25 : Biết
x =
1
3
2
là nghiệm của các phơng trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng.
a)
( )
x m x m- + + + =
2
2 5 4 2 0
Trờng THCS LONG IN TIN
19
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
b)
( )
x m x m- + + - =
2
4 2 3 0

c)
( )
x m x m- + + - =
2
2 2 1 5 3 0
Bài 26 :
Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 27 :
Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Bài 28
Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x

1
+ x
2
= 4.
Bài 29:
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Bài 5 : Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số).
Tìm m để
+ =
1 2
x x 5
.
Bài 30
Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 31
Cho pt: x
2
+ 3x - m
2
- 4 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 0
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
3) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình (1).

Hãy tìm giá trị của m để:
( )
x x x x+ + -
2
1 2 1 2
1 0
Bài 32
Cho phơng trình:
x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = -
2
3
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để:
x
1
(1 - 2x
2
) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2

Bài 33
Cho pt bậc hai có ẩn x:
x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0
1/ CMR phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với m.
2/ Đặt A = 2
( )
x x x x+ -
2 2
1 2 1 2
5
Trờng THCS LONG IN TIN
20
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
a) CM: A = 8m
2
- 18m + 9
b) Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 34
Cho pt: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm x
1

, x
2
. Tìm giá trị của m để 10x
1
x
2
+
x x+
2 2
1 2
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 35
Cho phơng trình bậc hai:
x
2
-2(k-2)x - 2k - 5 = 0 (k - tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với k.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. tìm giá trị của k sao cho:
x x+ =
2 2
1 2
18

Bài 36
Cho pt: (2m - 1)x

2
- 4mx + 4 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Giải phơng trình với m bất kỳ
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng m
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: (Hớng dẫn:Hàm số bậc nhất y=ax+b. Xác định giao điểm với trục
tung, giao điểm với trục hoành)
a) y = 2x 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi: ( Hớng dãn: Hàm số bậc hai y =ax
2
. Lập bảng giá trị tơng ứng
giữa x và y )
a) a = 2 ; b) a = - 1.
Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình
y=ax+b. Thay x, y vào điều kiện đề bài cho tìm ra a vag b)
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k là tham số.

a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Dạng 3: Vị trí t ơng đối giữa đ ờng thẳng và parabol
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm kép của phơng trình hoành độ
Bài 1: a. Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b. Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ
đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số
2
1
y x
2
=-
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
1
y x
4
=-
và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).

Trờng THCS LONG IN TIN
21
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số
2
1
y x
2
=-
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt
(P) tại một điểm.
Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2).
4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm
3
C ; 1
2
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
và có hệ số góc m
a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với
nhau.
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình, hệ ph ơng trình.
Ôn tập lại phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đ ờng bộ, trên đ ờng sông có tính đến dòng n ớc chảy)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB
và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau khi đợc
3
1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định và
thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B
trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B.
Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng
sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6
km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán làm chung làn riêng (toán vòi n ớc)
Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời thứ
nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công việc. Hỏi một

ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 2: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3
giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong bao
lâu mới đầy hồ.
Bài 3: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho
đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức
15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất
đợc bao nhiêu chi tiết máy?.
Bài 2: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng
1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời. Tính số dân của
mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Trờng THCS LONG IN TIN
22
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn
(thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là
4256 m
2
.
Bài 2: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện
tích tăng 500 m

2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m
2
. Tính
chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích
tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
. Tính hai cạnh góc
vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3.
Bài 3: Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
4
1
. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5
. Tìm phân số đó.
Bài 4: Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử
và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
Bài tập về nhà

Bài 1: Một thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5
h
20 phút một ca nô chạy từ A đuổi theo và kịp thuyền tại
một địa điểm cách A 20 km. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng ca nô đi nhanh hơn thuyền 12km/h.( coi
vận tốc dòng nớc là không đáng kể).
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó,
khi còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng thêm vận 10 km/h trên quãng đ-
ờng còn lại, do đó ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 3: Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một
điểm. Nếu nó chuyển động ngợc chiều thì hai giây gặp nhau. Nếu nó chuyển động cùng chiều thì 10
giây lại gặp nhau.Tính vận tốc mỗi vật.
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km rồi ngợc dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5
h
. Biết vận tốc dòng nớc là 2
km/h. Tính vận tốc ca nô khi nớc yên nặng
Bài 5: Một vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ngời ta làm một lối đi quanh vờn (thuộc đất của vờn)
rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m
2
. Tính kích thớc của vờn.
Chủ đề 6: Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai.
Dạng 1: Ph ơng trình có ẩn số ở mẫu.
Bớc 1: Đặt điều kiện cho phơng trình
Bớc 2: Quy đồng mẫu
Bớc 3: Khử mẫu, giải phơng trình thu đợc.
Giải các phơng trình sau:
2 2
x x 3 2x 1 x 3 t 2t 5t
a) 6 b) 3 c) t
x 2 x 1 x 2x 1 t 1 t 1
+ - + +

+ = + = + =
- - - - +
Dạng 2: Ph ơng trình chứa căn thức.

=
=

=
=
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
A 0 (hayB 0)
Loại A B
A B
B 0
Loại A B
2
A B

Giải các phơng trình sau:
Trờng THCS LONG IN TIN
23
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
a) 2x 3x 11 x 1 b) x 2 3x 5x 14
2
c) 2x 3x 5 x 1 d) x 1 2x 3 x 9
2
e) x 1 x 3x
- - = - + = - +
+ - = + - - = - -
- -
Dạng 3: Ph ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

A
A
A
ỡ

ù
ù
=
ớ
ù
- <

ù
ợ
nếu A 0
nếu A 0
Giải các phơng trình sau:
2 2
4 2 2 4 2 2
a) x 1 x x 3 b) x 2 2x 1 x 2x 3
c) x 2x 2 x x x 4x d) x 1 x 4x 4 3x
- + = + + - + = + +
+ + + + = - + - - + =
Dạng 4: Ph ơng trình trùng ph ơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
2 = 0 ; b) x
4
13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
8(2x + 1)
2

9 = 0.
Dạng 5: Ph ơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
Bài 1:
a) 2x
3
7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3
x
2
6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
2x
2
x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
4x + 1)
2
.
Bài 2:
a) (x
2
2x)

2
2(x
2
2x) 3 = 0 c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0
( ) ( )
1 1
2 2 2
c) x x 2 x x 3 0 d) 4 x 16 x 23 0
2
x
x
2
x x 5 3x 21
2
e) 4 0 f) x 4x 6 0
2 2
x
x x 5 x 4x 10
2
2 2
g) 3 2x 3x 1 5 2x 3x 3 24 0
- + - + = + - + + =
+ -
+ + = - + - =

+ - - +
+ - - + + + =
ổ ử
ổ ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố ứ
ố ứ
2
x 48 x 4
h) 10 0
2
3 3 x
x
2x 13x
2 2
i) 6 k) x 3x 5 x 3x 7.
2 2
2x 5x 3 2x x 3
- - - =

+ = - + + = +
- + + +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bài 3:
a) 6x
5
29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
29x +6 = 0
b) 10x
4
77x
3
+ 105x
2
77x + 10 = 0
c) (x 4,5)
4
+ (x 5,5)

4
= 1
d) (x
2
x +1)
4
10x
2
(x
2
x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
Bài tập về nhà:
Giải các phơng trình sau:
( )
1 3 1 4x x 3
1. a) b) 6
2
2 x 1 4 x 1 x
x 1
2 2
2x 2 x 2 x 2x 3 2x 2
c) x d) 8
2 2
4 x 4
x 9 x 3x 2
+

+ = + =
- +
-
+ - + - -
- = + =
-
- - +
2.
a) x
4
34x
2
+ 225 = 0 b) x
4
7x
2
144 = 0
c) 9x
4
+ 8x
2
1 = 0 d) 9x
4
4(9m
2
+ 4)x
2
+ 64m
2
= 0

e) a
2
x
4
(m
2
a
2
+ b
2
)x
2
+ m
2
b
2
= 0 (a 0)
3.
Trờng THCS LONG IN TIN
24
Tài liệu ôn tập lớp 9 GV: BI NGC MU
a) (2x
2
5x + 1)
2
(x
2
5x + 6)
2
= 0

b) (4x 7)(x
2
5x + 4)(2x
2
7x + 3) = 0
c) (x
3
4x
2
+ 5)
2
= (x
3
6x
2
+ 12x 5)
2
d) (x
2
+ x 2)
2
+ (x 1)
4
= 0
e) (2x
2
x 1)
2
+ (x
2

3x + 2)
2
= 0
4.
a) x
4
4x
3
9(x
2
4x) = 0 b) x
4
6x
3
+ 9x
2
100 = 0
c) x
4
10x
3
+ 25x
2
36 = 0 d) x
4
25x
2
+ 60x 36 = 0
5.
a) x

3
x
2
4x + 4 = 0 b) 2x
3
5x
2
+ 5x 2 = 0
c) x
3
x
2
+ 2x 8 = 0 d) x
3
+ 2x
2
+ 3x 6 = 0
e) x
3
2x
2
4x 3 = 0
6.
a) (x
2
x)
2
8(x
2
x) + 12 = 0 b) (x

4
+ 4x
2
+ 4) 4(x
2
+ 2) 77 = 0
c) x
2
4x 10 - 3
( ) ( )
x 2 x 6+ -
= 0 d)
2
2x 1 2x 1
4 3 0
x 2 x 2
ổ ử ổ ử
- -
ữ ữ
ỗ ỗ
- + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
e)
( )
x 5 x x 5 x 5+ - + - =

7.
a) (x + 1)(x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24 b) (x + 2)
2
(x
2
+ 4x) = 5
c)
2
2
1 1
3 x 16 x 26 0
x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
d)
2
2
1 1
2 x 7 x 2 0
x x
ổ ử ổ ử

ữ ữ
ỗ ỗ
+ - - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
8.
2 2
a) x 4x x 14 b) 2x x 9 x 1
2 3
c) 2x 6x 1 x 2 d) x 3x 4 x 2
2 2
e) 4x 4x 1 x 2 x 3
- = + + - = -
+ + = + + + = -
- + + - = -
3 2 3
f) x x 1 x x 1+ - = + +
9. Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm
a) x
4
4x
2
+ a = 0
b) 4y
4
2y
2

+ 1 2a = 0
c) 2t
4
2at
2
+ a
2
4 = 0.
Phần II: Hình học
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình.
Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D và E lần lợt là điểm chính giữa của các cung
AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L.
a) Chứng minh DI = IL = LE.
b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật.
c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I.
Trờng THCS LONG IN TIN
25