giai tich khong gian cuc hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KHƠNG GIAN</b>

<b>Bài tốn 1:</b> Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình:

(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vaø (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Với A1: B1: C1 A2: B2: C2 và điểm MO (xo; yo; zo) khơng thuộc (P1) và (P2). Lập phương trình mặt phẳng

phân giác của góc tạo bởi (P1), (P2) chứa điểm MO hoặc góc đối đỉnh của nó.

<b>Phương pháp thực hiện</b>: Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài tốn khi đó M (x; y; z)  (P)

 M và MO cùng phía với (P1)

M và MO cùng phía với (P2)

d (M, (P1) = d (M1, (P2))

(A1x + B1y + C1z + D1) (A1xO + B1yO + C1zO + D1) >O

 (A2x + B2y + C2z + D2) (A2xO + B2yO + C2zO + D2) >O

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

A x B y C z D

A x B y C z D

A B C

<i>A</i>

B C























Từ hệ trên ta có được phương trình mặt phẳng (P) cần tìm.

<i><b>Bài tốn 2</b></i><b>:</b><i><b> </b></i> Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)

<b>Phương pháp thực hiện</b>: Gọi (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Khi đó, điểm M (x; y; z)  (P): 

M và A cùng phía với (BCA)

M và D cùng phía với (ABC)
d (M, (ABC) = d (M, (BCD))
Từ hệ đó ta có được phương trình mặt phẳng cần tìm.

<i><b>Bài tốn 3:</b></i> Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vng góc với hai đường thẳng (d1)

và (d2) cho trước.

<i><b>Chú ý</b></i>: Bài tốn cịn có thể phát hiểu dưới dạng khác “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
A song song với mặt phẳng (P) và vng góc với đường thẳng (d1)”.

<b>Phương pháp thực hiện</b>:

<b>Cách 1:</b> - Bước 1: Xác định các VTCP của (d1), (d2)

- Bước 2: Gọi

<i>u</i>



là một VTCP của đường thẳng (d), ta có:

<i>u</i>

1



<i>u</i>

&

<i>u</i>

2



<i>u</i>

















































































































1 2

[ ; ]

<i>u</i>

<i>u u</i>







 

- Bước 3: Viết phương trình (d) thỏa

Qua A

Và có VTCP

<i>u</i>



<b>Cách 2</b><i><b>:</b></i> - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1

) thỏa:

Qua A
(P1)  (d1)

- Bước 3: Khi đó (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa: Qua A và

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Chú ý:</b></i> Nếu ta chọn cách 2 thì lập phương trình tổng qt,rồi từ đó đưa về phương trình tham số và chính tắc
, cịn cách 1 thì lập phương trình tham số và chính tắc.

<b> </b><i><b>Bài tốn 4:</b></i> Lập phương trình đường thẳng đi qua A vng góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng

(d2).

<i><b>Chú ý:</b></i> Bài tốn cịn có thể phát biểu dưới dạng: “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vng
góc với 1 vectơ (hoặc song song với một mặt phẳng) và cắt đường thẳng (d1)”.

<b>Phương pháp thực hiện</b>

: Ta có thể thực hiện một trong ba cách sau:

<b>Cách 1:</b> - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa

Qua A và
(d1)  (P1)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa

Qua A và
(d2)  (P2)

- Bước 3: Kết luận.

* Nếu (P1)  (P2): Bài tốn có vơ số nghiệm.

* Nếu (P1)  (P2): Gọi (d) là giao tuyến của (P1) và (P2):

+ d // d2 thì bài tốn vơ nghiệm.

+ Cịn lại, ta kết luận d là đường thẳng cần dựng.

<b>Cách 2</b><i><b>:</b></i> - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa:

Qua A vaø
(d1)  (P)

- Bước 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

* Nếu không tồn tại giao điểm. Kết luận vô nghiệm.

* Nếu có vơ số giao điểm (d2 (P2)). Kết luận có vơ số đường thẳng trong (P) đi qua A cắt (d2).

* Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện bước 3.

- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) thỏa Qua A và có_VTCP



<i>_AB</i>

<b>Cách 3</b><i><b>:</b></i> Được thực hiện khi (d2) cho dưới dạng tham số.

- Bước 1: Giả sử (d) cắt (d2) tại B, khi đó tọa độ B thỏa phương trình tham số của (d2), từ đó suy ra

AB. Xác định tọa độ

<i>u</i>

1



là VTCP của (d1).

- Bước 2: Vì (d)  (d1) 

<i>AB u</i>

.

1



0

 

=> tọa độ điểm B.

- Bước 3: Lập phương trình (d) thỏa Qua A và có_VTCP



<i>_AB</i>

<i>Chú ý:</i> Cách 1 dẫn đến lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d), sau đó đưa về chính tắc hay tham
số , còn ta sử dụng cách 2 và 3 thì đưa về lập phương trình chính tắc và tham số.

<i><b>Bài tốn 5</b></i><b>:</b><i><b> </b></i> Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt hai đường thẳng (d1 và (d2).

Bài tốn cịn được mở rộng khi ta thay điều kiện điểm A bằng điều kiện:
- (d) // (d3) và cắt (d1) và (d2) hoặc là:

- (d)  (P) và cắt (d1) và (d2) (trong đó d3 là đường thằng, (P) là mặt phẳng cho trước).

Phương pháp thực hiện:

<b>Cách 1:</b> - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa

Qua A vaø
(d1)  (P1)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa

Qua A và
(d2)  (P2)

- Bước 3: Kết luận d là giao của (P1) và (P2)

+ Nếu (P1) song song hoặc trùng (P2) thì vơ nghiệm

+ Nếu d // d1 hoặc d // d2 thì vơ nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Cách 2:</b> - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d1.

- Bước 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

+ Nếu không tồn tại giao điểm, kết luận vô nghiệm.

+ Nếu có vơ số nghiệm, kết luận bài tốn có vơ số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong (P)
đi qua A.

+ Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện được tiếp theo bước 3:
- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và có VTCP

<i>AB</i>



.

<i>Lưu ý:</i> là ta cân kiểm chứng (d) không song song với (d1).

<b>Cách 3: </b> - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d1) và (d2) theo thứ tự B và C. Khi đó tọa độ B, C theo thứ tự thỏa mãn các

phương trình tham số của (d1) và (d2).

- Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác định tọa độ B, C.
- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và B.

<i><b> Bài tốn 6</b></i><b>:</b> Lập phương trình đường thẳng (d) qua A, vng góc với (d1)và nằm trong mặt phẳng (P).

- Bước 1: Lập phương trình (đường thẳng) mặt phẳng (Q) thỏa:

(Q) : qua A

(Q)  (d1) 

(Q) : qua A
coù VTCP

<i>u</i>



- Bước 2: Khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q).

<b> </b><i><b>Bài toán 7</b></i><b>:</b><i><b> </b></i> Lập phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

<b>Cách 1: </b> - Bước 1: Gọi d là đường vng góc chung của (d1) và (d2), khi đó một VTCP

<i>a</i>



của (d) thỏa mãn:

1

&

2

[ ; ]

1 2

<i>a</i>



<i>a</i>

<i>a</i>

 

<i>a</i>

<i>a</i>



<i>a a</i>











 











 











 











 











 











 











 











 











 











 











 











 











 











 

- Bước 2: Gọi P1 là mặt phẳng chứa (d) và (d1) khi đó:

(P1) qua M1 (d1)

 (P1):

qua M1 (d1)

=> (P1)

có cặp VTCP

<i>a</i>

1

&

<i>a</i>

























































ø VTPT

<i>n</i>

1



[ ; ]

<i>a a</i>

1



 

- Bước 3: Gọi (P2) là mặt phẳng chứa (d) và (d2), khi đó:

(P2) qua M2 (d2)

 (P2):

qua M2 (d2)

=> (P2)

có cặp VTCP

<i>a</i>

2

&

<i>a</i>

























































VTPT

<i>n</i>

2



[ ; ]

<i>a a</i>

2



 

- Bước 4: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2)

<b>Cách 2:</b> - Bước 1: Gọi A, B theo thứ tự là chân đường vng góc chung với (d1) và (d2).

- Bước 2: Từ đó suy ra tọa độ A, B theo phương trình tham số của (d1) và (d2).

- Bước 3: Từ điều kiện:

(d)  (d1)



1

<i>AB</i>



<i>a</i>







1

.

0

<i>AB a</i>



 

=>
t

=> tọa độ A, B
(d)  (d2)

2

<i>AB</i>



<i>a</i>





2

.

0

<i>AB a</i>



 

u

<i><b>Bước 4:</b></i> Khi đó phương trình đường vng góc chung (d) được cho bởi qua A và có VTCP



<i>AB</i>

.

<i>Chú ý:</i> Nếu (d1), (d2) chéo nhau và vng góc, ta cịn có thể thực hiện như sau:

- Bước 1: Dựng mặt phẳng (P1) thỏa

(d1)  (P1)

(d2)  (P1)

- Bước 2: Dựng mặt phẳng (P2) thỏa

(d2)  (P2)

(d1)  (P2)

- Bước 3: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2).

<b> </b><i><b>Bài tốn 8</b></i><b>:</b> Lập phương trình đường thẳng (d1) là hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (P).

a) Nếu (d)  (P) ta có hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao điểm của (d) vaø (P).

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

- Bước 1: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vng góc của A lên (P).

- Bước 2: Phương trình đường thẳng (d1) được cho bởi : (d1)// (d) & qua HA

c) Nếu (d) cắt (P) ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (P)

+ Bước 2: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vng góc của A lên (P).

+ Bước 3: Phương trình (d1) được cho bởi: qua HA và VTCP

<i>IH</i>

<i>A</i>



là hình chiếu vuông góc của A lên (P).

<b> </b><i><b>Bài toán 9</b></i><b>:</b><i><b> </b></i> Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A lên mặt phẳng (P).

<b>Cách 1</b><i><b>:</b></i> - Xác định VTPT n của mặt phẳng (P)

- Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vng góc với (P).
- Hình chiếu vng góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P).

<b>Cách 2</b>:<b> </b> - Xác định VTPT

<i>n</i>



của mặt phẳng (P).- Giả sử H (x; y; z) là hình chiếu vng góc của A lên (P),
suy ra:

 

 

 

//

<i>H</i>

<i>P</i>

<i>H</i>

<i>P</i>

<i>AH</i>

<i>P</i>

<i>AH n</i>



















































































Tọa độ của H.

<i><b>Bài tốn 10</b></i>: Viết phương trình đường thẳng d2 đối xứng với đường thẳng d1 cho trước qua mặt phẳng (P)

cho trước .

Phương pháp thực hiện:
a.Nếu

<i>d</i>

1



 

<i>P</i>

, ta có ngay

<i>d</i>

1



<i>d</i>

2

b.Nếu d1// (P), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:Lấy điểm A



_(d₁_{), từ đó xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P).}
Bước 2:Phương trình d2 được xác định: qua B và d2//d1.

c.Nếu d1 cắt (P), ta thực hiện các bước sau:

Bước1: Xác định tọa độ giao điểm I của d1 với (P).

Bước 2: Lấy điểm A



_(d1), từ đó xác định tọa độ giao điểm A1 đối xứng với A qua (P).

Bước 3: Phương trình d2 lập bởi VTCP

<i>IA</i>

1



vaø qua A1.

<i><b>Bài tốn 11</b></i>: Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng d.

Phương pháp thực hiện:

<b>Caùch 1:</b>

Bước 1: Xác định VTCP

<i>a</i>



của đường thẳng d.

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên đường thẳng d, suy ra tọa độ H thỏa mãn phương trình
tham số của d.

Bước 3: Ta có điều kiện:

<i>AH</i>



( )

<i>d</i>



<i>AH</i>



<i>a</i>



<i>AH a</i>

.

 

0





 

tọa độ H

<b>Caùch 2</b>:

Bước 1: Xác định VTCP

<i>a</i>



của đường thẳng d.

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)thỏa mãn : qua A và vng góc với d.
Bước 3: Hình chiếu vng góc của A chính là giao điểm của d và mặt phẳng P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->