Phương trình bậc ba và hệ thức lượng giác trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

T P Ư Ị K - Ơ

?>M Đ Ỉ Ẻ O

O U Õ N G

N A M - Ũ - N 4

T

Lai Văn Đỉnh
•

H

Ư

•

S ilĨM M /n A

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ
HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành

: Phương pháp tốn sơ cấp

Mã sơ

: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Phan Huy Khải

Hà Nội - 2007

ì


MỤC LỤC

Lời nói đầu

...............................................................................................

1 CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN
1.1.

4

6

Phương trình bậc b a ..................................................................

6

1.1.1.

Định nghĩa

.....................................................................

6

1.1.2.

Các tính chất.....................................................................

6

1.1.3.

Nhận x é t ............................................................................

7

2 PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA
CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

9

2.1.

Phương trình bậc ba của ba cạnh trong tam g i á c ...........

9

2.2.

Phương trình bậc ba của p-a, p-b, p-c trong tam giác . . .

14

2.3.

Phương trình bậc ba của ha>

18

2.4.

Phương trình bậc ba của ra, Tb, rc trong tam giác

.............

23

2.5.

Phương trình bậc ba của sinA, sinB, sinC trong tam giác .

26

2.6.

Phương trình bậc ba của cosA, cosB, c o s C ........................

30

2.7.

35

2.8.

Phương trình bậc ba của sin 2—, sin 2— , sin 2— .............
¿1
¿1
A
B
C
Phương trình bậc ba của co s2—, co s2— , co s2— .............

40

2.9.

Phương trình bâc ba của cotA ,

44

hc trong tam g i á c .............

c o t C ..................

2.10. Phương trình bậc ba của ta n —, ta n — , tan —
' Ã
£
ơ
2
2
và cot^-, c o t— , c o t— ...............................................................

48

z
A
B
C
2.11. Phương trình bậc ba của ta n 2—, ta n 2-r-, tan 2— .............

53

A
B
C
2.12. Phương trình bậc ba của c o t2—, c o t2—, co t2^ - .............

53

- 2 -


ain

s

2.13. Phương trình bậc ba của

3 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ NHẬN DẠNG
TAM GIÁC ĐỂU
55
3.1.

Kiến thức chuẩn b ị .....................................................................

55

3.2.

Bài tập ứng d ụ n g ........................................................................

56

4 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VNG

69

4.1.

Bài tốn mở đ ầ u ............................................................................

69

4.2.

Các bài tập ứng d ụ n g : ...............................................................

70

Tài liệu tham khảo

..................................................................................

- 3 -

82

si


LỜI NĨI ĐẨU
Trong chương trình tốn học bậc Trung Học Phổ Thơng các bài tốn về
Lượng Giác chiếm một vị trí quan trọng. Việc chứng minh các hệ thức đã
biết theo cách khác biến đổi thơng thường và tìm ra các hệ thức mới là rất
cần thiết. Điều này giúp chúng ta rèn luyện tư duy và có hệ thống bài tập
cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như trong các kỳ thi. Dựa
trên nhận xét:

Một t am giác hoàn toàn được xác định bỏỉ ha ba

yếu tơ đó có thể được coi là ba nghiệm của

ba tương

Theo kinh nghiệm của người làm toán và các tài liệu tham khảo thì các vèu
tố độc lập đó đều có thể biểu diễn qua p, R, r. Như vậy phương trình bậc
ba tìm được sẽ có hệ số chứa p, R, r. Với lí do đó, trong luận văn chúng tơi
được Thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ tìm hiểu cách giải quyết vấn đề trên.
Trên cơ sở đó xây dựng các hệ thức Lượng Giác mới dựa vào tính chất của
phương trình bậc ba và các bất đẳng thức quen biết. Các hệ thức Lượng
Giác đó đóng vai trị quan trọng trong việc giảng dạy và học tập trong nhà
trường phổ thông.
Luận văn được chia làm bốn chương:
C hư ơ ng 1 Nêu lại định nghĩa phương trình bậc ba, phát biểu các tính chất
của phương trình bậc ba.
Chương2 Chúng tơi đi xây dựng các phương trình bậc ba của các yếu
tố độc lập trong tam giác mà hệ sô' là ba yếu tố cơ bản p, R, r. Sau đó dựa
vào các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba chúng tôi đưa ra và chứng
minh một số hệ thức Lượng Giác.
Chương3 Với tiêu đề ”Bất đẳng thức trong tam giác và nhận dạng tam
giác đều” chúng tôi dành để trình bầy về bất đẳng thức Lượng Giác trong
tam giác và nhận dạng tam giác đều. Vận dụng một số kết quả và bất đẳng
thức quen thuộc ở phổ thông chúng tôi áp dụng vào cho các hệ thức xây
dựng được ờ chương 2 ta thu được nhiều hệ thức về bất đẳng thức Lượng
Giác trong tam giác và nhận dạng tam giác đều.
- 4 -


Chương4 Chúng tôi đề cập đến việc nhận dạng tam giác vuông. Khác
với các cách nhận dạng tam giác vuông đã biết ở phổ thông là biến đổi lượng
giác. Trong chương này chúng tôi tiếp tục khai thác các hệ thức Lượng Giác
đã xây dựng ở chương 2 để nhận dạng tam giác vng qua bài tốn trung
gian ’’Tam giác A B C vuông khi và chỉ khi p = 2R +
Các hệ thức Lượng Giác trong luận văn này được xây dựng và chứng

minh theo phương pháp hoàn toàn mới, khá ngắn gọn và dễ theo dõi.
Luận văn được hồn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.
TS Phan Huy Khải. Chúng tơi bầy tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Phan
Huy Khải.
Trong quá trình học tập và làm luận văn chúng tơi nhận được sự quan
tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Đào Tạo Sau Đại Học
Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội. Chúng tơi chân trọng sự giúp đỡ quv báu
đó.
Chúng tơi cũng chân thành cảm ơn sở GDĐT Nam Định, Trường THPT
Hải Hậu B, các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ động viên chúng tơi
hồn thành khố học.
Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo và góp
ý của các thầy cơ và đồng nghiệp.
Hà Nội, tháng 11 năm 2007
Học viên
Lại Văn Định

- 5-


CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN

1.1. Phương trình bậc ba
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Phương

trìnhbậc ba là phương trình có
A xz + B x 2 + C x + D = (0A ^ O ).

Mọi phương trình bậc ba đều đưa về dạng X3 + ax2 + bx + c

1.1.2. Các tính chất.
— X\ + X2 + x 3 = —

Tính chất 1: T\

X1X2+ X2X3 +

Tính chất 2: T2 =
Tính chất 3:
’
1
Tính chất 4: T4 =
Xi

T3= X1X2X3 = —c.
1
1
-b

Xị
1
-1
Tính chất 5: T5 = ------ — — — •

X2

c

X
123 c

1
a
=— — H
X1X2 X2X3 X2X1
c
Tính chất 7: T 7 = x f + x | + x | = a 2 - 2b.
Tính chất 6: T q

1

= b.

1

H--— —•

Tính chất 8: T8 = (xi + x 2) (x 2 + x 3)(x 3 + Xi) =
Tính chất 9: Tg =

xị +

+ c.

xị +

x ị = - a 3 + 3

Tính chất 10: T10 = (xi + a:2- ^ 3)(a:2+ a:3 - x 1 ) ( x i + x 3 - X 2) = a v—4a6+8c.
- 6-


Tính chất 1 1 : Til

X i 4- x2

=— _—- H------------1-----_----=
X3

Tính chất 12 : T 12 =

X2 +X3 X3 + X\
cc

----------= — —3.
X\X2

x Ịx ị+ x \x 3 +

Tính chất 13: T l3 =

x ị+

x ị+

Tính chất 14: Với mọi k, 1 ta ln có

Tu=

(k +

ỈXi)(k +

lx 2+ ỉx3

Hệ quả 1 : Với k = l, 1=1 ta có
T[ị = (1 + 34) (1 + 2:2X 1

2:3)

Hệ quả 2: Với k = l, 1=-1 ta có
ị4= (1 — X i)(l — x2) ( l — 3:3) = 1 +
T
m

^

Xi

Xo

Tính chất 15: Tis = ——— h — -— h —— =
3:22:3
3:33:1
3:1 X2

+

+ c.

à2

-------- .

c
™ u
rr
_
XịX2, X2X3 X3X1
Tính chất 16: i 16 = —---- 1— —
----- 1— -— = 2a ----- .
£3

m

X\

1

1

x2

1

c

ò2 —2ac

Tính chất 17: Ti 7 = “ 0 + -ƯT + 0 = ----- ừ---- ã
^ *1/2 *t/ò
c
Tớnh cht 18: Ti 8 = (xi — X2) 2(X2 — X3) 2(X3 —Xi )2 = —4a3c + a 2c2

+18c —4Ị3 —27c2.
Tính chất 19: Ti 9 = (xi —X2)2 + (x2 —X3)2 + (X3 —X1)2 = 2(a2 —36).
1
1
1
Tính chất 20: T20 = ---- —------1------ ------- Ị------ —----= ----- 7----- .
Xi + X2 X2 + X3 X3 + Xi
-ab + c
m

1

1

1

—63 + 2>abc — 3c2

Tính chất 2 1 : T21 = —õ + —5- + —ĩ = -----------o---------- .
X'
x:
x:
Tính chất 22:
3b - a 2

T22 =
Xi - x 2 x 2 - x 3 x 3 - Xi
\ / - 4 a 3c + a 2c2 + 18a6c - 4Ị3 - 27c2
Tính chất 23:

T23

= (2:i - X 2)(X2 - X 3) + (x 2 - X 3)(x 3 - X i ) + (X3 - X i )(Xi - X 2) = 3

1.1.3. Nhận xét
1. Nếu ba số X i,x 2, 2:3 thỏa mãn điều kiện
Ti = Xi + x 2 + x 3)
T 2= X1X2 + 2:2X3 + X3X1,
T3 = X1X2X3
- 7-


thì ba sơ' £ ^ £ 2, £3 là nghiệm của phương trình
\X2+ T2x —T3 =
T

X3—

Thật vậy: Các số £ 1 , £ 2, £3 nếu tồn tại thì nó là nghiệm cuả phương trình
(x
^

hay

X

- ị ) (x

x 3) x 2+

£ 3 — (£1 + £2 +

x 2)(x- £ 3)

-

( £ i £2 + £22:3 +

£ 3 —TÌ£ 2 + T2X — T3 = 0.

2. Nếu £ j , £ 2,£3 là các nghiệm của phương trình

bx+ c = 0

£3 + ữ£2 +
thì — , — , — là các nghiệm của phương trình
\X£2 £3

cz3

+ bz2 + az + 1 = 0.

Thât vây: Đăt z = — =r> £ =
£

Thay vào phương trình (*) ta đươc

z

(“ )3 + ữ(“ )2 + i>(~) + c = 0

z

z

z

& czz + bz2 + az + 1 = 0
Vậy z là nghiệm của phương trình cz3 +

- 8-

+

+ 1 = 0.

(*)


CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNG BẬC BA
CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

Trong chương này ta xây dựng phương trình bậc ba của các yếu tô độc lập
trong tam giác với hệ số chứa ba yếu tố cơ bản là p, R, r. Đế xày dựng
các phương trình bậc ba ấy ta dựa vào nhận xét ở chương 1 và làm như sau:

Trước hết ta phải sử dụng biến đổi lượng giác thiết lập các hệ thức lượng
giác để đưa về dạng tính chất T i,72, 73. Cách làm này giúp ta dễ nhận biết
phương trình bậc ba, quen thuộc và thuận tiện với học sinh phổ thơng, vì
học sinh phổ thơng đã rất quen cách làm như vậy cho phương trình bậc hai.
Cách làm này là tổng quát và phát huy được kiến thức lượng giác cơ bản
trong học sinh.
Sau khi đã có các phương trình bậc ba về các yếu tố độc lập, ta sử dụng
các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba để xây dựng các hệ thức
lượng giác và chứng minh các hệ thức lượng giác đó. Cách làm này khá
ngắn gọn và tổng quát, số lượng hệ thức đưa ra cũng rất nhiều góp phần
quan trọng trong việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thơng.

2.1. Phương trình bậc ba của ba cạnh trong tam giác
B à i to á n

1.Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của tam giác ABC là nghiệm c

phương trình:

- 9 -


t 3 — 2p t2 + (p2 + r 2 + 4J?r)í — 4p/?r = 0.
Chứng minh. Theo cơng thức diện tích ta có
s = — = pr => abc — 4pR r.

( 1)

Rõ ràng a + b + c = 2p.

( 2)

Bây giờ ta chứng minh ab + bc + ca = ỊT + r 2 + 4i?r.

(3)

Theo công thức về diện tích trong tam giác ta có
p 2 + r 2 + 4i?r = p2 +
=

+ —

2 , p (p " fl)(p -ft)(p ~ c ) ,

p2
p
_ p3 + (p —a)(p — ò) (p — c) + abc
p
(a + b + c)3 + (b+ c — a )(a + c — 6)(a + 6 — c) + 8a 6c
8p
12aồc + 4a2ò + 4a2c + Ab2c + 4

+ 4c2a + 4c26

p

8
4 ab(a + b + c) + 4

bc(a+ b + c) + 4ca(a + b + c)

=

Sp

= ab + b c+ ca.
Theo nhận xét 1 thì a, b, c là ba nghiệm của phương trình
t3— 2
jB ài to á n 2. Chứng
ứng minh rằng —, 7 , - là nghiệm của phương trình:
trì
a b c
_ p2 + r 2 + 4 R r \
1
1 = 0
4
p R r2 R r
4

p t2+ (p□ + r 2 +

( An )

1
Chứng minh. Từ nhận xét 2 với việc thay t bởi - ta có điều phải chuứng minh.
t

□

Từ hai bài tốn trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình

bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác A B C .

1 1 1
p 2 + r 2 4- 4
Bài 1 . Chứng minh rằng: —
+ - —
6
a
b
c
4p R r
Chứng

(4)

minh.Cách 1: Vận dụng tính chất T ị cho phương trình (Ai) ta được (4).
Cách 2: Vận dụng tính chất T\ cho phương trình ( A n ) ta được (4).

- 10 -

□


1
1
1
1
Bài 2. Chứng minh răng: — + - — I— - =
ab bc ca
2R r '

( 5)

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất T q cho phương trình ( A ị ) ta được (5).
Cách 2: Vận dụng tính chất T2 cho phương trình (
Bài 3. Chứng minh rằng:

ta dược (5).

□

b2

a2+

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất T7 cho phương trình ( A ị ) ta dược
a2 + b2 + c?

—(—2p)2 —2{p2 + r 2 + ARr)

Cách 2: Vận dụng tính chất Ti 7 cho phương trình (.4//) ta được
1
(2 .
Ý f + r + 4 K r )(
4p R r
2 , .2 , 2 _ 2R t '
'
4pRr
'
a2+ b2 + cz =

— 0^,2
2p 2

A pR rJ
-2r 2 8

Ta có thể chứng minh trực tiếp dựa vào (2) và (3)
Bài 4. Chứng minh rằng: (

a+

b)(b+ c)(c +

inh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Tg cho phương trình ( A ị ) ta có
m

Chứng
(a +

□

b)(b + c)(c + a) = 2p(p2 + r2 + 4iĩr) — 4p/ỉr = 2p(p2 + r2 + 2i?r).
Cách 2: Ta có (a + ò )(6 + c )(c + a ) = (a + 6 + c )(a ? )+ 6 c + c a )—

Vận dụng (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.
Bài 5. Chứng minh rằng: a3 +

b3 + e3 = 2

3r2 — 6i?r).

inh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Ts cho phương trình ( A ị ) ta có
m

Chứng

a3 + ị3 + c3 = —(—2
= 8

□

p3

—6p 3

p )3+ 3 (—2
—Qpr2

p)(p24

3(—4

—24

Cách 2: Trước hết ta có
a 3 + bz + c3 = (o + b + c)3 - 3 (a + 6)(6 + c)(c + a).
Vận dụng (2) và (7) ta có
a 3 + b3 + c3 = (2p)3

3- .2p(p2 + r 2 + 2 iừ ) = 2p(p2 - 3 r2 - 6

Bài 6. Chứng minh rằng: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) = 8p r2.

- 11 -

(9)


Chứng

minh.Vận dụng tính chất

(a+b—

c ) ( b + c - à ) ( c + a —b)

—8p3+ 8

=

TịQcho phương trìn
=

p3+ 8

{ - 2 p ) 3- 4 (

□ 2>2pRr

p r2+

.
a + b b+ c
c+a
Bài 7. Chứng minh răn g :---------ị-----------1---- 7—
a

p2 + r 2 —

( 10)

2R r

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất T \\ cho phương trình (Aj ) ta có
a+b
b+ c + a _
—2p(p2+ r 2 + 4

c

a

b

2

—4pR r
_ p 2+

a+b

c

r 2+ 4

= “
2Rx =
Cách 2: Biến đổi đại số ta có
b+ c c + a
a2b + b2a + b2c + c2b + c2a + a2c

a

b

abc

'

b + c)(ab + bc + ca) — 3abc

_ (a +

abc
Vận dụng (1), (2), (3) ta có (10).

□

Bài 8. Chứng minh rằng:

a 2b2 + b2c2 +

Chứng minh. Vận dụng tính chất Ti2 cho phương trình (
a2b2+ b2c2 +

c2a 2
) ta có

c2a2= (p2

R r)2— 2(—

+ r 2+ 4

= p4 + r4 + 16fỉ2r 2 + 2

p 2r 2+ 8 r2R r + 8

= (p + r )2 + 8 R r(2 R r + r 2 — p 2).

1
□

Bài 9. Chứng minh rằng:

4 + c4 = 2

p2{p26 r2 - 8

+ 2 r2(r + 4 iỉ)2.(12)

V

inh. ận dụng tính chất Ĩ i 3 cho phương trình (,4;) ta có
m

Chứng

a 4 + bA+ c4 = (—2p)4 - 4 ( - 2 p ) V + r 2 + 4

2(p2 + r 2 + 4 i? r)2 +

4. (—2p).(—4pRr)
= 16

p 4— 16p4 — 16p2r 2 —64

1 6r2R r + 32
= 2p2{p2

p 2R r + 2p4 + 2 r4 + 32

p2R r
6
-r2 - 8

a
Bài 10. Chứng minh răng: —
&
bc

R r) + r22(r + 4i?)2.
I— - =

ac
ab
-12-

p2 — r 2 — 4
2p R r

( 13)

+4


Chứng

inh.C áchl: Vận dụng tính chất T j 5 cho phương trình
m

a
bc

b
ac

ta có

c _2

+
—A
2pRr

(p2

ab

___ ... ,
a
6
c
a 2 + ị2 + c2
Cách2: Biến đỗi đai sơ ta có : -— I------ 1— - = ----------------oc
ca
ab
abc
Vận dụng (1), (6) ta có (13).

r 2+

□

Bài 11. Chứng minh rằng:

—
a3

ỉ>3

p2 + r2 + 4 i? r \3
4pi?r
\

c3

(14)

8p R 2r2

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Tọi cho phươna trình

Chứng
a3

1

1

1

ị3

c3

ta có

—(p2+ r 2 + 4jRr)3 + 3 (—2p)(p2 -f r 2 + 4 i? r)(—4pi?r) — 3(—4
r 2+ 4i?7\3

__ I p2+

r2 +

p3 +

2Rr

4pR r
Cách

2:Vận dụng tính chất TỊ) cho phương trình A jị ta có (1

1
1 1
1 1
1
ĩp r 2 4- 9 Rr
Bài 12. Chứng minh rằng: ( - +
+ - ) ( - + - ) = ----0 9— •
a
0 0
c c
a
8 pR 2r 2

(15)

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất Tg cho phương trình A ị ị ta có
1 1 1
1 1
1 _
p2 + r2 + 4Rr 1

1
_
+ +
b
b + c ”*~a
4pRr
2R r 4pR r
Cách 2: Biến đổi đại số và áp dụng(l), (7) ta có
/ 1 , 1 \ / 1 _1_ i u l , 4 _ (Q + fr)(fr + c)(c + a)

(aì + ìb) ( bì + - - + - = c ca

2

à^c1 _

8

{4pR r)2
1

1

„

+ 2Rr) _ p 2 + r 2 + 2 iĩr

p (p 2+

Bài 13. Chứng minh răng:

„

+

1

p2 — r 2 —4Rr
8p2R 2r2

□
(16)

Chứng
minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất T i2 cho phương trình ( A n ) ta có
1
1
1 _ ^ 1 J 2 _ 2 ( p2 + r 2 + 4ifr
1
+ t4 t +
■)
a2b2 b2c2
c2a 2 R r'
v
4pRr
yv 4pRr
1
p2 + r 2 + 4i?r
2p2
—

4Rr

4R 2r 2

1
a2b2

8
p 2R 2r 2
8
Cách 2: Biến đổi đại sơ' và ap dụng (1), (7) ta có
1
a2 +
b2 + c2 _ 2
b2c2

(abc)2

(4
- 13 -

p2—
8

□

— 4R


Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau:

Bài 14. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca _
c + a + b
, 1
Bài 15. Chứng minh rằng:

p(p2+ 2
4

1
a2

1
1

& a+b

r— 8

+ 2r 2 - SRr) / r + 4B \ 2 /oN
2 + ủ + 2=
------ - + (
cz1 6 /t-r-

bz
1

s

R4

(17)

1

5

b+ c

c+ a

b

c2

+

+ 4

2p3 + 2pr2 + 4

v ’

Bàl 17. Chứng minh rằng:
a
b+ c

r2 —

( 20)

+ r2+ 2

c + aa + b

Bài 18. Chứng minh rằng:
p —a p —b
ò + c + c + a + a +6

p — _c p2 + 5 r2 + 8
_ 1 / 2r(3/? + 2r) \
2(p2 + r 2 + 2i?r)
2V
+
+

Bài 19. Chứng minh rằng:
(

a + b)c(b+ c)a

aò

(c +
cbac

_ p2 + r 2 - 2i?r
2Rr

2.2. Phương trình bậc ba của p-a, p-b, p-c trong tam giác
B à i í o á n 3. Chứng minh rằng

p —a,
t3—p t2 + r(r + 4

Chứng

s 2 = p(p

minh.Theo công thức diện tích ta có
- p()a -b)(p - c) =

p2r2=> ( p - a)(p

p - a + p - ò + p - c = 3 p -(a + 6+ c)= p .
Ta chứng minh (p - a) (p - 6) + (p - 6) (p - c) +

(24)
= r ( r + AR) (25)

ôã (> a ) ( p - b ) + ( p - b ) ( p - c ) + ( p - c ) ( p - a) = - ( ^
<* ( ^ a ) ( p - » ) + ( P- t ) ( l . - c ) + ( p - c ) ( P - a ) =
Q, aòc

(p -a )(p -fe )(p -c )

- 14 -

+ |)


_ abc

+ pò —

p2a—p2b
p
= p2 —pa —pb —pc + ab + bc + ca

—p2c + pab + pbc + p

= 3

p2

—pa —pb —pc + áb + bc + ca —2

=3

p2

—pa

= p2

—pb

—pc+

ab + bc + ca

—pa —pb + ab + p2

—pb —pc + bc + p2

= (p - a)(p - b ) + ( p - b)(p

pc

- c) +

Vậy (25) được chứng minh.
Theo nhận xét 1 ta có

p — a, p — b,p — lcà ba nghiệm của phuơna trình

í3 —
B à i to á n 4. Chứng minh rằng

p t2+ r ( r + AR )t — p r 2 = 0.

1
p — a ’ p — b' p — c

□

là ba nghiệm của phưo'112

trình
o 4
R+
r9
1
t 3 ------ — —í 2 + - z t - —7T = 0.
pr
pr
Chứng

1

( Bu)

minh.Theo nhận xét 2 với việc thay t bởi —ta có điều phải chứng minh.
t

□

Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình
bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác A B C .

'
1
1
1
4 + T
Bài 20. Chứng minh rằng: — -----1---- —— H----- -— = — —— .
p — ap — b
Chứng

p —c

. .
(26)

p

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất T ị cho phương trình ( B ị ) ta có (26).
Cách 2: Vận dụng tính chất

cho phuơng trình ( B ị ỉ) ta có (26).

□

Bài 21. Chứng minh rằng:
______I_______ I_______ -_______ I_______ ị ________ _L
(p-a)(b-b)
(p — b)(p —c)
Chứng

(27)

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Tẻ cho phương trình ( B ị ) ta có (27).
Cách 2: Vận dụng tính chất T2 cho phương trình ( B j i ) ta có (27).

□

Bài 22. Chứng minh rằng:
(p

—a )2 +

- 15 -

(p —

)b2 +

c


.Cách 1 : Vận dụng tính chất T-Ị cho phương trình
h
in
m

Chứng
{p —

a)2

+ {p —

)b2 +

ta có
{p—

c)2=

(—

Cách 2: Vận dụng (2), (7) ta có
{p — a )2 +

{p— ỉ/)2 +

{p— c)2 = 3p2 —

p2— 2p .2p + 2p 2 — 2r 2 — 8/?r = p2 — 2r 2 — 8/?

=3
Bài 23. Chứng minh rằng:
(p — a )3 +

b)3 + (p — c)3

{p —

inh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Tỹ cho phương trình { B ị ) ta có
m

Chứng

)a3 +

(p —

{p— b)3 + {p — c)3 = —(—p )3 + 3 ( - p ) r ( 4 I ĩ + r) - 3 ( - p r 2)

3p r 2— 12pRr + 3p r 2 = p(p2 — 12/?r).

= p3 —

Cách 2: Vận dụng tính chất T21 cho phương trình(B//) ta có
{ p - a )3 + { p - b )3 + { p - c )3 =
—p 2 + 3r(4i? +

3

p 2r 6

(—p 3r6) = p{p2 — 1 2 /?r).

□

Bài 24. Chứng minh rằng:
(2a —p){2b

—p){2c

= p[4r

Chứng minh. Cách 1: Ta có
p — a + p — b — {p — c) = p — a + b — c = p —
Tương tự

p —a +

p — c — (p — b) = 26 —

— c) — 2c —p.
p,

p — c + p — b — {p — a) — 2a —p.
=4> (2a - p) (2Ò - p) (2c - p)
= [p -a + p -6 -(p -c )][p -6 + p -c -(p -a )][p -c + p -a -(p -6 )].
Vận dụng tính chất T10 cho phương trình { B ị ) ta có
(2 a - p)(2ỉ> - p)(2c - p)
p)3 -

= (-

4 { -p )r { 4 R + r ) + 8{

Cách 2: Vận dụng (1), (2), (3) ta có
(2 a

-

p){2b

-

p){2 c-

p)= 8
- 16 -

abc

-4


TPƯ'ONGDHOIỀUONG '
NAM+
Cìíịh
= 8.4
pR r
4
- p(p2 +
r2+ 4 Rr)
2p2.2p - p3
lỊHỰ VíÊN
= 32 pR r
—4p3 — 4p r 2 — 16pRr + 4p3 [—Bố:
p3J
1
= 16piĩr —4 p r2 —p3 = p[4r(4i? — r) —p 2].

a
b
c
2(2i? —r)
4i? — 2r . .
Bài 25. Chứng minh rằng: ——— I--- ——4----—— = ------ ------- = ------------ (31)
p — a p — b p — rc
m
inh.Cách 1: Vận đụng (26) ta có
b

c'
„a
b„
77----L "t~ 77-------h 3 — —
----—+ 1 + —
----- + 1 H------- - + 1
p —b p —c
p — ap —b p —c

Chứng

a
----- 7
p —a

— p ( - ~ ---- i---- — 7 H---— ) — p —— — — ———
p —a p —b p —c
pr
r
a
b
c
AR + r
n 2(2 + )
=> — — +
~~~T+ — — = — _ -----3 = p—

a
p —a

a
p —b
p —c
r
Cách 2: Vận dụng tính chất Tìi cho phương trình B ị ta có
b
c
—pr(ẠR +
2
2(2 + r)

p—

p— c —p r 2 r

b

□

Bài 26. Chứng minh rằng:
p —a
(p -ò )(p -c )
Chứng
p—

+

p —b
(p -c )(p -a )

+

p2 - 2r 2 - 8f lr
• (32)
p r2

p —c
— a)(p — ị)

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất T i4 cho phương trình (Bj ) ta có
a
p —b
—c

(p - 6) (p - c)
(p - c) (p - a)
(p - a) (p - 6)
2r(4Ì? + r) — (—p )2 p2 — 2 r2 — 8-Rr
—p r 2
p r2
Cách 2:
p —a
p —
bp — c
(p - 6) (p - c)

(p - c) (p - a)
(p - ạ) (p - b)'
= (p - a )2 + (p - 6)2 + (p - c)2
( p - a ) ( p - 6) ( p - c )

Vận dụng (23), (28) ta có (32).

□

Bài 27. Chứng minh rằng:
(p - q)(p - b)
( p - 6 ) ( p - c ) + ( p - c ) ( p - q ) = r(4 H + r ) 2 + rp 2
c
a
b
ApR
Chứng
minh.Vận dụng tính chất T20 cho phương trình ( B u ) ta có
(p-a)(p -b)
(p - b)(p - c) + (p_- c)(p — a)
C 1
=

p -a

p -6

+ p
^

+ —

+ —

-17-

+ bp
—-

c

p -c

p -a

r
c


4R + r 2
__

'

pr

1
+ r2

_

(4-R + r ) 2 + p2

~ - ( - Í £ ± í ) ì + ( - - lj) ~

pr

r2

pr2

pró

- -L )

pr2

__ ((4/? + r )2 + p2)r _ r(4i? + r)2 + rp2

4pR
Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau:
Bài 28. Chứng minh rằng:

(p - a ) ( p - b ) , ( p - b)(p - c) ,
(p c- )(p - a )
------ ---------------1------ —^ --------- 1----------------= ----------- 7----------• 144)
p —c
p — ap — b
p
Bài 29. Chứng minh rằng:
1

+ 7
(p —a)3 (

1
~7\"õ T

1

p — )3

(4R + r f - ì 2 p 2R
= (■ pr
( — c)3p 3 r 3

12
pr.3

Bài 30. Chứng minh rằng:

11
1
1 ,, 1
1 . 4
(—— - H---- —r ) ( —~ T 4— _— )(“ ■— I— _ ) — 3 '
p —a p —b p — b p —c
—a
prổ
Bài 31. Chứng minh rằng:
q(p - o)

bịp - 6)

(p-b)(p-c)

c(p - c)

R

_ 4 R - 2r

a-p()c ) ( p - a ) ( p - b )

(
5, h c trong tam giác

2.3. Phương trìn h bậc ba của

J3 à i í o á n 5. Chúmh minh rằng ha, hi), hc là các nghiệm của phương trình

,3

2t R

p2 + r2 + 4Rr j2, 2p2r +
+ R
R

2pV _ n
(Ci)

Chứng minh. Theo cồng thức diện tích ta có
1
2pr

s — - a h a — pv ^ ha —
.
Tương tự ta có hị) =

2pr
2pr
hc = ——.
u
c

1
1,
hc = 2pr(-_ + ị + ~). Vận dụng (4) thì
a b c
p2 + r2 +
4Rr + r2 + 4i?r
+ hc = 2p r
ip R r
2R

Nên /ia +

hahb +

+

,1

2pr
= —

hbhc+ hch a = —— .— H .— 1— b ——

c a

a

- 18 -

(38)
1

4 p2r2(—r— )
ca

r


theo (5) ta có

hahb+

2 p2r

hbhc+ hcha —
2 R

hiỊjhc = 8

(39)

~R"’

pzrz——Theo (1) ta có
abc' „
2ĩ)w7'2

1

(40)
:h hbh: ■ 8! v è
: hc
A là nghiệm
■
Theo nhận xết 1 thì /ia,
của phương trình
p 2 _|_ r 2 _|_ 4/ ị r
2p 2r
2p2r 2
fý — - _________ _| _—t ____ —n
*
2i?
í + i? t
i? “ u-

□

B à i to á n 6. chứng
ứng minh rằng — , — , — là nghiêm
nghiệm của
C1 phương trình

ha hh
hị) h,
hc
hn
3 _ 1 2 p2 + r 2 + 4/?r _

r

4p2r 2

4pV2

=

0.

(C /i)

1

Chứng minh. Theo nhận xét 2 với việc thay t bởi - ta có điều phải chứng minh.
Ị

□

Từ hai bài tốn trên và sử đụng các tính chất về nghiệm của phương trình
bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác A B C .

,

1

1

1

Bài 32. Chứng minh rằng: 7---- f 7— f
ha
h
hc

1

.
r

(41)

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất T4 cho phương trình (Cj) ta có
2p 2r
J_ , _1 , _ 1 = ~
= 2
= Ị
ha/lủ
hc 2p2r 2
-R 2p 2r 2

~ R ~

Cách 2: Vận dụng tính chất T\ chon phương trình (C u ) ta có (41).

1
1
1
Bài 33. Chứng minh răng: — — h — — h ,
Chứng

r2 +
= ------ - 0 0-----hah bhbhc hcha

r’
□

(42)

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất T q cho phương trình (C j) ta có
_|_ ị .2 4 /Ịr
1
hdhị)

J _

1
hbh c

2 R
2„2
2p~r

J92 + r 2 + 4i?r

2^2
4p2r

Cách 2: Vận dụng tính chất T2 cho phương trình (C77) ta có (42).

□

Bài 34. Chứng minh rằng:
h ị + h ị + h l = Ỵ jp ( ( p ‘ + r 2 + 4 R r )2 - U,p‘R r)
- 19 -

(43)


Chứng

minh.Cách l:Vận dụng tính chất T7 cho phương trình

- 2» r

hl + h l + h ĩ = ( - ị±
Ể+
2R
= ¿ 2 ((p2 + 7-2 +

ta có

R

)2 - 16p2^ r ) .

Cách 2: Vận dụng tính chất T n cho phương trình ( Ca ) ta có
p2+ r 2 + ARr
1
2R
4p-r
Ki + hĩ + /ỉ2 —
2R
( Ap2r 2
4 i?2

□

((p2 + r 2 + 4 i? r)2 — 16/r i?r).

Bài 35. Chứng minh rằng:

(ha +
Chứng

hb)(hb+ hc)(h c +

p 2r(p2 + r 2 + 2Rr)

(44)

RĨ

C
inh. ách 1 : Vận dụng tính chất Tg cho phương trình (Cj) ta có

m
2p2r 2
(A„ + h ) ( h „ + K ) ( K + K ) = - ( -

+

4 lir > R

p2r(p2 + r 2 + 2Rr)
=

-

R

'

Cách 2: Vận dụng (15) và cơng thức diện tích ta có
n(ha 4-, hb)(hbu +\(U
I 1 UL ,
_ , 2Pr , Kpr 2prr
hc)(h c+
ha) — ( - £— + —Ị—)
a
0 „
c
„ 0 0 .1 1 . . 1 1 . . 1 1 .
0 3 3 ,p2 + r 2 + 2i?r " p2r(p2 + r2 + 2 R r)
-

^ < ĩ + ỉ><ỉ w

?

= 8pr (

¿ hm

1-

□

Bài 36. Chứng minh rằng:
/lạ +
hc

ha

hb
hb

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất
+
ha +
hb
hb + h c
hc
ha
hb

Chứng

(p2 + r 2 + 4 i?r)p 2r 6p 2r 2. R _
R2
R- 2ữ2r 2 “
t
R?
R
Cách 2: Biến đổi đai số ta có

-20-

hb+

(45)

cho phương trình (C ị ) ta có
+ 4
2pl r
0/ ip 2r 2 N
—
3(
n )
họ~4
R Kị __2R __ R

2p2r 2
R .

+ r 2 — 2R r

2Rr


/ìg + hb ^hb + hc

hc + hạ _
ha

hc

(hạ+ hb + hc)(hahb +
hb

Vận dụng (38), (39), (40) ta có (45).

□

Bài 37. Chứng minh rằng: h ịh Ị +

h ịh ị +

Kr

= —

Chứng minh. Vận dụng tính chất T \2 cho phương trình (Cj) ta có
h ih ị+ * » * » + ^ 4 _ < ỈÊ )* - 2 ( - £ t 5 ± í » ) ( - ^ )
4p4r 2

p2r 2{p2+ r 2 + 4

2

— r2 —ARr) —4/
■
D

2jP r 2(p2
^2

=

=

^2

+ 4 /? r)2
h j ĩ b~

2
8p2R r 2

Bài 38. Chứng minh rằng:

ha

hb
h j ĩ c + h cha +

hc _ (p2 +

(47)
r ĩ'

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất Ti5 cho phương trình (C /) ta có
2p 2r
.
p 2 +4
(
h. ______
K
,hb
2R
+
+
2„2
2 pz
hbh c
hqha

R

__ 4 p 2r (p2 + r 2 + 4 i? r)2
R
_
R
4i?2
~ —2p2r 2 “
Cách 2: Biến đổi đại số ta có
hạ

h
b
+ ^6 +
hf)hc hcha hdh/Ị)
hdhb^c
vận dụng (40), (43) ta có (47).
Bài 39. Chứng minh rằng:

2
'

□
hbhc

hẹq_

4R r
(48)

hbJR/

/ỉ((

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất Tie cho phương trình (C j) ta có

Chứng

hahb
hc

hqhb
hc

+ 4-Rr)2
8p 2R r

hbhc
ha
2p2

hb

1

hcha
hb

p2 + r 2 +_ V R

2
R
Rr

p 2 + r 2+ 4

= ~R
R
=
Cách 2: Biến đổi đại số ta có

hahb hbhc
hc ha

(ĨẺ L ỹ

_ nf

hcha

R

p2 — r 2— 4

'

hqỉxb ~4~ hf)hc ~h
hahbhc

Vận dụng (40), (46) ta có (48).
- 21 -

□


1

Bài 4». Chứng minh ràng:

+

1

1

p 2 —r 2 —4R r

ỷb +
=

-. )
(49

^

Cìnơĩg minh. Vận dụng tính chất T \7 cho phương trình (C ị ) ta có
, 2P2r\2
nỉp2 + r 2 + 4 R r

1 , 1 , 1
hị
_

H P

2(

2Ạ
2p2r 2y

Kị

hị

2p 2r 2 (p2+ r 2 + 4

4 p4r 2
R2

R— r 2 — 4

4

R?

2p2'r2

□

Bài 41. Chứng minh rằng:
Ọha

-

hb)2 + (hb

-

hc)2

+ (hc

+ r 2+ 4

- ha)2 =

Chứng minh. Cách l:Vận dụng tính chất Ti9 cho phương trình (C[ ) ta có
(ha - hb)2 +

(hb-

h c)2+

(hc

ha)2 =

-

= ;r4^((p2 + í’2 + 4i?r)2 - 24
¿tỉr
Cách 2:Biến đổi đại số ta có
(ha — hb)2 -\-{hb

hc — h a) 2 =

—h c)2 + (

2+

2) —2

□

Vận dụng (39), (43) ta có (50).
Tương tự ta chứng minh được các bài tập sau:

1

1

1

3r 2 —6

~h? + 3h + /¡3 = -¡ ^ 3 (51)
-

Bài 42. Chứng minh rằng:
Bài 43. Chứng minh rằng:
1

1 .,1

/la + h

1 .. 1

1 .

p2 + r 2 - 2R r

h

+

hhc + ha

(52)

Bài 44. Chứng minh rằng:

/ia + h b

hchb

hc

/ic

ha

hb

p 2r'

(53)

Bài 45. Chứng minh rằng:

+

=

-22-

(5 4 )


2.4. Phương trình bậc ba của r a,rb, r c trong tam giác
B à i to á n

7. Chứng minh rằng ra,rb,rc là nghiêm của phương trình

í 3 — (4
Chứng
r« =

2—

R+
T
inh.
m
pr
p —a

r an r c =

pr

ừs — p r = ra(p

p2r = 0.

( £ ;)
a=

—

—

pr

p —b
p 3r 3

p —c

(p - a)(p - b)(p - c)
p 4r 3

p 4^3
rư

2

(55)

= p(p-a)(p-b)(p-c)=
1

1
Vận dụng (26) ta có r a + Tị) + rc = pr { --------- 1--------7 +
p —a
4 R
+T
p r -------— = 4 + r.
pr
Vận dụng (27) ta có
1
+
TaTb+ n r c + rcr a = p 2r 2(
0p - à ) ( p - b ) (
__ „2-2
_ p
=
=

1
p

(56)
+

1
)
c-p{)b ) ( p - c ) ( p - a )

(57)

Theo nhận xét 1 thì ra,rb ,rc là nghiệm của phương trình

t3
B ài

R+

—(4

2 —pH□— p2r =

íốn 8. Chứng minh rằng — , -7-, — là nghiệm của phương trình
tứ

Chứng

ra rb rc
1 , 4 R + r.
1
- +
9
•* - 2

=

0

Du

.

1

minh.Theo nhận xét 2 với việc thay t bởi - ta có điều cần chứng minh.

Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình
bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác A B C .

Bài 46. Chứng minh rằng: — + — + — = _•
Chứng

ran

rc

r

(58)

minh.Cách 1 : Vận dụng tính chất T ị cho phương trình (Dj) ta có (58).
Cách 2: Vận dụng tính chất Ti cho phương trình ( D ị ị ) ta có (58).

'
1
1
1
4 +r
Bài 47. Chứng minh rằng: ——
— Ị— —— b — — = —“ 0“—•
ran
n r c r cra
p 2r
-23-

□

(59)

□


Chứng minh. Cách 1: Vận dụng tính chất r 6 cho phương trình ( D ị ) ta có (59).
Cách 2: Vận dụng tính chất T2 cho phương trình (D ị j ) ta có (59).
Bài 48. Chứng minh rằng: r a2 + rị + r c2 = (4 R + r)2 - 2p2.

□

(60)

Chứng minh. Cách 1 : Vận dụng tính chất T7 cho phương trình ( D ị ) ta có (60).
Cách 2: Vận dụng tính chất Tỵj cho phương trình ( D ị ị ) ta có
4R + ĩ,o _ , 1 N,
1
, _ _ ) 2 _ 2 (-Ị)(--9 -)
r ỉ + r ỉ + r? = - Ể r --------- 1 r
r 2r = (4 fi + r ? - 2p \

,

□

L \2

( - P“r
3 -)

ra+ Tị,)(rị) + rc)(rc +(61)
)= 4

Bài 49. Chứng minh rằng: (
Chứng

C
inh. ách 1: Vận dụng tính chất
m

cho phương trình

ta có (61).

Cách 2: Ta có
(ra+

rb)(rb+

rc)(rc+

ra) = (ra + rb + r

Vận dụng (55), (56), (57) ta có (61).

□

r a + r b rb + r c r c + r a
AR — 2r
Bài 50. Chứng minh rằn g :----------- 1------------- 1----------- = -------- — .
r cr a
Chứng
r a + rb
rc

C
inh. ách 1: Vận dụng tính chất T ịị cho phương trình ( D ị ) ta có
m
rb + r c
rc + ra _ - ( A R + r)p2
-3
1
1
9
ra
rb
- p lr
.2.
(4
R+
p2r

ra + r6

rc

rb

.
(62)

r

Cách 2: Biến đổi đại số ta có
n + Tc+ r e + r a _

'(rạ+

ra
n

rar br c

Vận dụng (55), (56), (57) ta có điẻu cần chứng minh.
Bài 51. Chứng minh rằng: r ị r ị + r ịr ị +
Chứng

□

p2(p2

2(4

+r)).

(63)

V
inh. ận dụng tính chất T i2 cho phương trình ( D ị ) ta có
m

r ịr Ị + rịr'i + r p i = (p2)2 - 2 ( - ( 4 R + r))(-j> 2) = p‘ ív ‘ - 2(4r + r)).
ra
Bài 52. Chứng minh rằng: —— + —— +

— = --------- 2 -----------•

rbrc

□

rb
rc

(64)
r cr arar b

Chứng minh. Cách 1: Vận dụng tính chất Ti5 cho phương trình (j
ta có (64).
^
^
, ra
rb
_ r ị + r 2+ r 2c
Cách 2: Biến đổi đại sổ ta có —— + —— 4---- — = — ——------- .
rcra
r ar br c

Vận dụng (55), (60) ta có điều cần chứng minh.
□
- 24 -

r


,
Tarb,
rbrc
r(:rap 2 - 2 r 2 - S R r
Bài 53. Chứng minh ràng:
ăng: —----- 1- —---- h —— = -------------------n
Chứng mình. Cách l: Vận dụng tính chất r 16 cho phương ưinh (Dí) ta có (65).
Cách 2: Biến đổi đại sd ta cớ rj£ l+ ™ ± I T
J jí _ ¿ Ế ± 4 4 ± 4 4
Vận đụng (55), (63) ta cớ điển cẩn chứng minh,

ra

T

r a r br c

.
1 I
ỉ — _______
— ‘ĩ r ị:_ị______
R 4- r)
cr-----------------Bài 54. Chứng minh rằng:

—
-) =
_9> '
9> I— ÍT
.Ị‘t 0
rvlị
vị
v rrị-

□
1[00 )

Chứng minh.. Vặn đụng tính chất
chơ phuơưa
(Dtrinh.
ỳ ra (B ỵ) ra co
T b~chơtình.
phương
1 _1__ 1Ị __ _ ự ỹ -—
2 2((—
{ —(ầU-rịầM + Jr)ì)X(—j|Ễr)' ứ~ — 2ri -L?. —
__
y * ‘T

ci

rf

-T

|p V F

1
—
__. __
Bãí 55. Chứng mmầ rằasr: —
^ũ “¡1“^7?) ff}ì)1) • "<(■
10 nho irỄmtaạE arxoh 'ịBi; 58 n:

CPntĩgmmầ. Vện (iụB£ ĩmh dhlí

15’

1

1

r^ — n ,

TTv+ r.c' r f -i- ,r0

/

" _•>. _ r-'
—T>ị(—:(4
S -rT )|p 2-rí(—? rr)

(4i? ú
~

1

-r

4

1

1

12

Râ 56. Chứng minh rằng: —r 4- —õ 4— - = ----- T—ĩ---rị
rị

4
'4
Critvĩl
4

Chứng
1
ỉ
o
ri

I

.h
n

árTCách ỉ: Vận dụng tính chất Tọi cho phương trình (D j) la có
1

o
r|

ị —p)3
J9° — 3p4r(4 i? 4- r) 4- 3p4r 2 _ ỊT — 12_f?x
•Ịp-r3
Cách 2: Vận dụng tính chất Tg cho phương trình (-Du) ta có

r|

r
--

1

r
r3

r

3(4iĩ 4- r)
“ “
p2r :

p rr

3

“f" 7)
prr

ý-V lR x
no
ỊpT3

Bàí 57. Chứng minh rằng:

rữ ’

rb

i1 _ J u l + ± _ I ) =
K
r,:
nr c Va re

4r(4i? 4- r) —

Chứng minh. Vân dụng tính chất T|() cho phương trình (
À
1
1 , 1 1
( -------Ị------------) ( ~ 4- ~
4"
)
ra rij
rc

rbr c
- 25 -

(69 )
p2^

) ta có

ra