Phương trình bậc hai và hệ thức vi-et

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Tìm giá trị của tham số m để phơng trình

2
( 1) 5 20 0x m m x m+ + + + =
Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

2
3 0x mx+ + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0x x m + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 : Cho phơng trình

2
( 4) 2 2 0m x mx m + =
(1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x =
2
.

b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình

2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) CMR : M =
( ) ( )
2 1 1 2
1 1x x x x +
không phụ
thuộc m.
Bài tập 6 : Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0x m x m + =
(1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =
2 2
1 2
x x+
(
1 2
,x x

là nghiệm của phơng trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2
1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c
x cx a
+ + =
+ + =
+ + =

Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình

2 2
( 1) 2 0x a x a a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a.
b)
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) . Tìm min B =
2 2
1 2
x x+

.
Bài tập 9: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 5 0x a x a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a.
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1x x< <
.
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 6.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 10: Cho phơng trình

2
2 (2 1) 1 0x m x m+ + =
(1)
a) m = ? thì (1) có hai nghiệm

1 2
,x x
thoả mãn
1 2
3 4 11x x =
.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình

2
2
(2 ) 3 0(1)
( 3 ) 6 0(2)
x m n x m
x m n x
+ =
+ =

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2
0( 0)ax bx c a+ + =
(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

2 2
( 1) 0( 0)kb k ac k + =
Bài tập 13: Cho phơng trình

2
2( 4) 7 0mx m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
2 0x x =
.
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 14: Cho phơng trình

2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m + + + + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa

1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình

2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0m x m x m m + + + =
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
c) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
1 1
A
x x
= +
+ +
;
d) Tìm m để A = 2.
Bài tập 16: Cho phơng trình

2
4 0x mx =

(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2
2( ) 7x x
A
x x
+ +
=
+
.
c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình
2
7 0x kx+ + =
có hai nghiệm hơn kém nhau
một đơn vị.
Bài tập 18: Cho phơng trình

2
( 2) 1 0x m x m + + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19: Cho phơng trình

2
( 1) 0x m x m + + =
(1)
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình . Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 5.
Bài tập 20: Cho phơng trình

2 2
(2 1) 3 0x m x m m+ + + + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình

2
12 0x x m + =
(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
toả mãn
2
2 1
x x=
.
Bài tập 22: Cho phơng trình

2
( 2) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1x x+ + =
.
Bài tập 23: Cho phơng trình

2

2( 1) 3 0x m x m + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 5.
b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
c) Tính A =
3 3
1 2
1 1
x x
+
theo m.
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình

2
( 2) 2 4 0m x mx m + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Bài tập 25: Cho phơng trình

2
0x px q+ + =
(1)
a) Giải phơng trình khi p =
( )

3 3 +
; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2, 1x x= =
c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
thì phơng trình
2
1 0qx px+ + =
có hai nghiệm d-
ơng
3 4
,x x
d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
1 2
3 3x va x
;
2
1
1
x
và
2
2
1
x

;
1
2
x
x
và
2
1
x
x
Bài tập 26: Cho phơng trình

2
(2 1) 0x m x m =
(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
1x x =
;
c) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6x x x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2

2( 1) 2 10 0x m x m + + + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
Bài tập 28: Cho phơng trình

2
( 1) (2 3) 2 0m x m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phơng trình

2 2
2( 2) ( 2 3) 0x m x m m + + =
(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn
1 2

1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 30: Cho phơng trình

2
0x mx n+ + =
có 3
2
m
= 16n.
CMR hai nghiệm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 31 : Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình
2
2 3 5 0x x =
. Không giải phơng trình ,
hãy tính : a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
2

1 2
( )x x
; c)
3 3
1 2
x x
+
d)
1 2
x x
Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a)
3
và 2
3
; b) 2 -
3
và 2 +
3
.
Bài tập 33 : CMR tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :
a)
3 5
3 5

+
; b)
2 3
2 3
+

; c)
2 3+
Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình
2
2 1 0x x =
;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình
2
2 0x mx+ =
Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình

2
0x mx n+ + =
cũng là m và n.
Bài tập 35: Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0x mx m + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình
phuơng nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0x x + =
(1)
Tính

1 2 2 1
x x x x+
( Với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình

2
(2 1) 2 1 0m x mx + =
(1)
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
1x x =
Bài tập 38 : Cho phng trỡnh x
2
- (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k l tham s).
Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim.
Bài tập 39:
Tìm các giá rị của a để ptrình :

( )
032)3(

222
=++ axaxaa
Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?
Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :

2
8 0x x m + =

để 4 +
3
là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn
một nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn lại ấy?
Bài tập 41: Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt mọi m.
3) Tìm m để
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói
trong phần 2/ ) .
Bài tập 42:

Cho phng trỡnh
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bài tập 43:
Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2
m + 1 = 0 vi m l tham s v x l n s.
a) Gii phng trỡnh vi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x
1
,x
2
.
c) Vi iu kin ca cõu b hóy tỡm m biu thc A = x
1
x
2
- x
1
- x
2
t giỏ tr nh nht.
Bài tập 44:
Cho phơng trình ( ẩn x) : x
4
- 2mx
2
+ m

2

3 = 0
1) Giải phơng trình với m =
3
2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x
2
- 2mx + m
2


2
1
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối
bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét


53
4
1
+
=x
và
53

4
2

=x
1) Tính : P =
44
53
4
53
4









+








+
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :

012
2
=+ mxxx
có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2
2
(2 3) 6 0
2 5 0
x m x
x x m
+ =
+ + =
( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0x m x m + + =
với x là ẩn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn điều kiện
2 2
1 2
4 2x x =
Bài tập 50: Cho phơng trình :

( ) ( )
2
2 1 2 3 0m x m x m+ + + =
( x là ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 52: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu .
b) Gọi
1
x
là nghiệm âm của phơng trình . Hãy tính giá trị biểu thức :
8
1 1 1
10 13P x x x= + + +

Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:
x
2
- 2(m 2 ) x + m - 2 =0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài tập 54:
Cho phơng trình : x

2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm
1 2
,x x
của (1) thoả mãn :
2 2
1 2
14x x+ =
.
Bài tập 55:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

a) Cho a =
11 6 2 , 11 6 2b+ =
. CMR a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với
hệ số nguyên.
b) Cho
3 3
6 3 10, 6 3 10c d= + =
. CMR
2 2
,c d
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai
với hệ số nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

2 2
2( 1) 1 0x m x m m+ + + + + =

(x là ẩn, m là tham số).
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn :
1 2
3x x+ =
.
3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y =
2 2
2( 1) 1x m x m m+ + + + +
chứa đoạn
[ ]
2;3
.
Bài tập 57:Cho phơng trình : x
2
- 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài tập 58: Cho phơng trình :
2 2
6 6 0.x x a a+ + =
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.
2) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình này. Hãy tìm giá trị của a sao cho
3

2 1 1
8x x x=
Bài tập 59: Cho phơng trình :
mx
2
-5x ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.
a) Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
, hãy tính theo m giá trị của
biểu thức B =
2 2
1 2 1 2
10 3( )x x x x +
. Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:
a) Cho phơng trình :
2 2
2 1 0x mx m + =
( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị
nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn điều kiện
1 2
2000 2007x x< < <
b) Cho a, b, c, d

R . CMR ít nhất một trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức
2 2 2
a b ab c+ =
. CMR phơng trình
2
2 ( )( ) 0x x a c b c + =
có hai nghiệm phân biệt.
2) Cho phơng trình
2
0x x p + =
có hai nghiệm dơng

1 2
,x x
. Xác định giá trị của p khi
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62: Cho phơng trình : (m + 1 ) x
2

( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 63: Cho phơng trình :
2 2
3 2 2 10 4 0x y xy x y + + =
(1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mãn
2 2
10x y+ =
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :

2
1 1 1
0a x b x c+ + =
và
2

2 2 2
0a x b x c+ + =

Có nghiệm chung. CMR :
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
.a c a c a b a b b c b c =
Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m + + =

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng minh :
1 2 1 2
9
8
x x x x+ +
Bài tập 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2 2 2 0x mx m+ + =

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm.

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 2 1 2
2 4A x x x x= + +
.
Bài tập 67: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
với m

1. (1)
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình

2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =
vô nghiệm .
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a
+ + =
+ + =

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR :
2 2 2 2
4m n p q+ + +
.
Bài tập 70: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
0x bx c+ + =
có các nghiệm
1 2
,x x
; phơng trình
2 2
0x b x bc + =
có các nghiệm
3 4
,x x
.
Biết
3 1 4 2

1x x x x = =
. Xác định b, c.
Bài tập 71 : Giải các phơng trình sau
a) 3x
4
- 5x
2
+2 = 0
b) x
6
-7x
2
+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2
+ 3x =
xx +
2

+1
f) (x +
x
1
) - 4 (
)
1
x
x +
+6 =0
g)
121
2
= xx
h)
20204 = xx
i)
(10
48
3
2
2
=+
x
x
)
4
3 x
x

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

a) x
2
-
5
x - 5 =0 b) -
5
.x
2
- 2 x +1=0
c) ( 1 -
03)13()3
2
=++x
d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0
e) (x
2
+2x +1)
2
-12 (x
2
+2x +1) +35 = 0 f) (x
2
-4x +3)(x

2
-12x +35)=-16
g) 2x
2
+ 2x =
xx +
2
+1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x
2
-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là

x
1
, x
2
.
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau:
2
2
2
1
11
xx
A +=
;
=B
2
2
2

2
1
1
44
x
x
x
x
+

;
5
2
5
1
xxC +=
;
7
2
7
1
xxD +=
2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x
1
- 3, v = 2x
2
-3
b) u =
1x

1
1

, v =
1x
1
2

.
Bài tập 74 . Cho hai phơng trình : x
2
- mx +3 = 0 và x
2
- x +m+2= 0 .
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x
2
- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
b) Tìm a sao cho
1
x
1
+
2

x
1
<3 .
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x
1
, x
2
.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0 .
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
1
xxC
+=
Bài tập 77:
Cho phơng trình mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)

a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị
tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1
; x
2
của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m
Bài tập 78: Cho phơng trình mx
2
2( m -2) x + (m 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm
x
1
;x
2
của PT thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2

= 1
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x
2
2x + 3 = 0
Bài tập 80 Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) = 0
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có các nghiệm x
1
; x
2

. Lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
; x
2
độc lập với m .
Bài tập 82Cho PT x
2
2(a 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a
b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2

2
= 6.
Bài tập 83: Cho PT : x
2
10x m
2
= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2
2m 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x

2
thoả mãn 2x
1
+ 3x
2
= 5
4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= m
2
2m + 3 .
Bài tập 85: Cho PT : x
2
(a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x
2
5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phơng trình bậc hai có các nghiệm
y
1
; y

2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x
2
(m 1) x m
2
+m 2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2
.Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2
mx m 1 = 0 (*)

a) C/mr PT (*) có nghiệm x
1
; x
2
với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT
và GT m tơng ớng .
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
6x
1
.x
2

1) Chứng minh A = m
2

-8m + 8
2) Tìm m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng .
Bài tập 89: Cho phơng trình x
2
2(a- 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x
1
,x

2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
=6
Bài tập 90: Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x + m 4 = 0 ( *)
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của PT (*)
Chứn minh rằng : M = (1 x
1

) x
2
+ (1 x
2
)x
1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x
2
(1- 2n) x + n 5 = 0
a) Giải PT khi m = 0
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm cảu PT đã cho
Chứng minh rằng biểu thức : x
1
(1 + x
2
) + x
2
(1 +x
1
)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình x
2
+ ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên
Chứng minh rằng a

2
+ b
2
là hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

x
2
+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
Bài tập 94: Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a.c

0) và cx
2
+ dx + a = 0 có các nghiệm x
1
;
x
2
và y
1
; y
2
tơng ớng C/m x
1
2
+ x

2
2
+ y
1
2
+ y
2
2


4
Bài tập 95: Cho các phơng trình x
2
+ bx +c =0 (1) và x
2
+cx +b = 0 (2)
Trong đó
2
111
=+
cb
Bài tập 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
px
2
+ x +q = 0 và x
3

; x
4
là nghiệm của phơng trình qx
2
+ x + p = 0
C/m :
1 2 3 4
. . 2x x x x+
Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình sau
có nghiệm :

2 2 2
1 0; 1 0; 1 0x ax b x bx c x cx a+ + = + + = + + =
Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x
2
+ (m+2) x + 2m = 0 (1)
a) C/m phơng trình luôn luôn có nnghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x

2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ; x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Có các hệ số thoả mãn
( )
1 2 1 2
2a a b b +
.Cmr ít nhất một trong hai phơng trình trên có
nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :
( )
2 2 2 2 2 2
0a x b a c x b+ + + =
Vô nghiệm
Nếu a + b > c và
a b c >
Bài tập 101: Cho hai phơng trình :
x

2
+ mx + 1 = 0 (1) x
2
+ x + m = 0 (2)
a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng
Bài tập 102: Cho phơng trình: x
2
2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)
a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm
Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a
2
+ b
2
+ c
2
= 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0 có nghiệm
chung thì : (b d)
2
+ (a- c)(ad bc) = 0
Bài tập 104: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2
nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x

1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm
của phơng trình x
2
+ bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh x
1
, x
3
là nghiệm của phơng trình
x
2

+ cx + ab = 0 .
Bài tập 106: Cho phơng trình x
2
+ px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết
rằng khi thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phơng trình : x
2
p
2
x + pq
= 0

Bài tập 107: Chứng minh rằng phơng trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.
Bài tập 108: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình : 2x
2
+ 2(m +1) x + m
2
+4m + 3 = 0
Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2 1 2
2 2x x x x
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 109: Cho a

0 .G/s x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình
2
2
1
0
2
x ax
a

=
Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2x x+ +
Bài tập 110 Cho phơng trình
2
2
1
0x ax
a
+ =
.Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm GTNN của E =
4 4
1 2
x x+
Bài tập 111: Cho phơng trình x
2
+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0
a) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm kép
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm lớn hơn 1
Bài tập 112.Cho phơng trình : x
2
2mx m
2

1 = 0(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
2 1
5
2
x x
x x

+ =