De thi chon HSG Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi chọn học sinh giỏi</b>

Môn : Toán lớp 9
<i><b>Thời gian làm bài : 120 phút</b></i>
<i><b>Câu 1 : (2 ®iĨm ) a) TÝnh A = </b></i> 1

√2+

√

2+√3+

1

√2<i>−</i>

_√

2<i>−</i>√3
b) So s¸nh :

2008 2009

2009  2008 _và 2008 2009

<i><b>Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phơng trình : x</b></i>2_{+ x + 12}

√<i>x</i>+1 = 36

b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=

_√

<i>_x</i>2

+4<i>x</i>+5

<i><b>C©u 3 : (2 ®iĨm )</b></i>

a) BiÕt a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình :
x2_{+ ( a - b - c )x + bc = 0 v« nghiƯm}

b) Cho M = x2_{+ y}2_{+ 2z}2_{+ t}2_{; víi x , y , z , t là số tự nhiên .}

HÃy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng øng cña x,y,z,t biÕt r»ng:

<i>x</i>2<i> y</i>2+<i>t</i>2=21

<i>x</i>2

+3<i>y</i>2+4<i>z</i>2=101
{

<i><b>Câu 4 : (3 điểm)</b></i>

Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I
đ-ờng kính AC và vẽ đđ-ờng trịn tâm K đđ-ờng kính BC . MN là tiếp chung ngồi của hai
đờng tròn (M (<i>I</i>)<i>, N∈</i>(<i>K</i>) ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn .

a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .

b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN cú din tớch ln
nht .

Câu 5 : (1 điểm)

Chøng minh r»ng nếu |a|+|<i>b|</i> > 2 thì phơng trình sau có nghiÖm
2ax2_{+ bx +1 - a = 0}

<b>đáp án đề thi học sinh gii</b>
<b>mụn thi : toỏn lp 9</b>

<i><b>Câu 1 : (2đ)</b></i>

a) (1®) A = √2
2+

√

4+2√3+

√2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

= √2
2+(√3+1)+

√2
2<i>−</i>(√3<i>−</i>1)=

√2
3+√3+

√2

3<i>−</i>√3 0,5

= √2(3<i>−</i>√3+3+√3)

9<i>−</i>3 =√2 0,25

b)(1®) Ta cã

2008 2009
2009  2008₌

2009 1 2008 1
2009 2008

 



= 0,25

=

2009 1 2008 1

2009  2009  2008 2008₌

= ( 2008 2009)+

1 1

( )

2008  2009 _0,25

Ta thÊy

1 1

2008 2009

2008 2009

  

Do đó

1 1

2008 2009 _{>0 ;} _0,25

suy ra ( 2008 2009)+

1 1

( )

2008  2009 _> 2008 2009

VËy

2008 2009

2009 2008_> 2008 2009 _0,25

<i><b>Câu 2 : (2đ)</b></i>

a) (1đ) x2_{+ x + 12}

√<i>x</i>+1 = 36

x(x+1)+ 12 _√<i>x</i>+1 = 36

ĐKXĐ : x <i>−</i>1 0,25

Đặt <i>x</i>1 = t 0 ; phơng trình trở thành :

( t2_{- 1 )t}2_{+ 12t = 36} 

t4_{- ( t - 6 )}2_{= 0 ; suy ra (t}2_{- t + 6)(t}2_{+ t - 6) = 0} _0,25

Phơng trình t2_{- t + 6 = 0 v« nghiƯm}

Phơng trình t2_{+ t - 6 = 0 cã nghiƯm lµ t} _❑

1 = -3< 0 (lo¹i)

t ❑₂ = 2 > 0 0,25
Với t = 2 thì _√<i>x</i>+1 =2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là :

x = 3 0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

từ đó ta cũng có y > 0 . 0,25
Bình phơng 2 vế y=

_√

<i>_x</i>2

+4<i>x</i>+5 ta đợc :

y2_{= (x+2)}2₊₁

(y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 0,5

Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta
thÊy tỉng vµ tÝch cđa 2 biĨu thøc nµy là dơng nên ta có :

¿

<i>y</i>+<i>x</i>+2=1

<i>y − x −</i>2=1
¿{

¿

; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) 0,25

<i><b>Câu 3 : (2đ)</b></i>

a) (1đ) <i></i> = (a-b-c)2_{- 4bc = a}2_{+ b}2_+c2_{- 2ab - 2ac + 2bc - 4bc}

= a2_{+ b}2_+c2_{- 2ab - 2ac - 2bc =} _0,25

= a2_{- a(b+c) + b}2_{- b(a+c) + c}2_{- c(a+b)}

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :

0 <a<(b+c) ; suy ra a2_{< a(b+c) ; do đó a}2_{- a(b+c) < 0}

0 <b<(a+c) ; suy ra b2_{< b(a+c) ; do đó b}2_{- b(a+c) < 0}

0 <c<(a+b) ; suy ra c2_{< c(a+b) ; do đó c}2_{- c(a+b) < 0} _0,5

Từ đó suy ra <i>Δ</i> < 0 . Vậy phơng trình vơ nghiệm . 0,25

b) (1®)Tõ hƯ

¿

<i>x</i>2<i>− y</i>2+<i>t</i>2=21(<i>∗</i>)

<i>x</i>2+3<i>y</i>2+4<i>z</i>2=101(**)

¿{

¿

; cộng vế với vế ta đợc :

2(x2_{+ y}2_{+ 2z}2_{+ t}2_{) - t}2_{= 122 ;} _0,25

suy ra M= 122+<i>t</i>
2
2 =61+

<i>t</i>2

2 ; do đó Min M = 61 khi t = 0 0,25
Với t = 0 từ (*) suy ra x2_{- y}2_{= 21 hay (x-y)(x+y)= 21} _0,25

Có 2 trờng hợp xảy ra :

+
¿

<i>x − y</i>=1

<i>x</i>+<i>y</i>=21

<i>⇔</i>
¿<i>x</i>=11

<i>y</i>=10
¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

+
¿

<i>x − y</i>=3

<i>x</i>+<i>y</i>=7

<i>⇔</i>
¿<i>x</i>=5

<i>y</i>=2
¿{

¿

, thay vào (**) ta tìm đợc z=4

VËy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 0,25
<i><b>C©u 4</b><b> : (3®) </b></i>

a) (1,25®)

Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN vµ Cx .
Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn ta cã
QM=QC=QN ;

Từ đó suy ra <i>Δ</i> MCN vuông . 0,5

Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; 0,25
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC .

Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. 0,5

b)(1,75®)

Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO= AB

2 =a 0,25

S ❑_DMCN _=DM.DN= DC2

DA .
DC2
DB =

DC4
DA . DB=

DC4

AB. DC=¿ 0,5
¿DC

3
AB =

DC3
2<i>a</i> <i>≤</i>

<i>a</i>3
2<i>a</i>=

<i>a</i>2

2 ; 0,5

Từ đó ta có S ❑_DMCN _{lớn nhất bằng} <i>a</i>2

2 khi DC=a ; lúc đó C O .
0,5

<i><b>C©u 5 : ( 1 điểm )</b></i>

Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta cã :

<i>Δ</i> = b2_{- 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b}2_{< 8a(1-a) hay a(1-a) > 0}

Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra |a| = a . 0,25
Từ (1) , ta lại có |<i>b</i>| < 2

_√

2<i>a</i>(1<i>− a</i>) , vậy |<i>a</i>|+|<i>b</i>|<<i>a</i>+2

_√

2<i>a</i>(1<i>− a</i>)=¿
= √2<i>a</i>+√1<i>− a</i>¿

2

<i>−</i>1

2<i>a</i>+2

√

2<i>a</i>(1<i>− a</i>)+(1<i>−a</i>)<i>−</i>1=¿ (2) 0,25
Q

I _O

N
M

K

C B

x

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
( √2.√<i>a</i>+1 .√1<i>− a</i>¿

2

<i>≤</i>(2+1)[<i>a</i>+(1<i>−a</i>)]

√2<i>a</i>+√1<i>− a</i>¿2=¿ = 3 (3) 0,25
KÕt hỵp (2) víi (3) , ta cã :

|<i>a</i>|+|<i>b</i>| < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết .

</div>

<!--links-->