CAC PHUONG PHAP TINH TICH PHAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (425.01 KB, 45 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Các phương pháp tính tích phân

I. Phương pháp đổi biến số

II. Phương pháp tích phân từng 
II. Phương pháp tích phân từng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương pháp đổi biến số

 Đổi biến số dạng 1:Đổi biến số dạng 1:

+Quy tắc:+Quy tắc:

Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )

Bước 2: - Lấy vi phân Bước 2: - Lấy vi phân

- Đổi cận : Giả sử - Đổi cận : Giả sử

Khi đó Khi đó

Bước 3: Tính Bước 3: Tính

( )
x u t

'( )

dx u t dt

x a t
x b t



  
  

( ). '( )

I f ut u t dt









( ). '( )

I f ut u t dt







( )

b

a

I 



f x dx

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đổi biến số dạng 1

 Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon u(t)u(t)

2 2

a



x





sin , - ;
2 2
cos , 0;

x a t t

 



  

 

  

 



  



2 2

a



x





, - ;
2 2
cot , 0;

x atgt t

x a gt t

 


  

  



 



  



2 2

(

a



x

)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 1: Tính các tích phân sau

2
3

I 



x  x dx

3 2

1 2 2

dx
I

x x



 



I. Phương pháp đổi biến số

2 2

4 dx

I

x







2
4

I 



x x  dx

2
3

(

t



1 

x

)

(

x



2sin )

t

(

x tgt



)

(x  1 tgt)

1 ( 1) 1

dx
x



 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giải

Đặt:

Đặt: t 3 1 x2  t3  1 x2  x2  1 t3
Ta có:

2

xdx



3

t dt

0

1

0 x

t

x

t

 



 



Vậy: 0 2

( )

I 



t  t dt

2
3

I 



x  x dx

1
3
0

3

2 t dt





3 4 10

8 t


2

3
2

xdx t dt

 

3

8

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cách 2

2
3

I 



x  x dx

1 1

2 3 2

1 (1

) (1

)

2 x

d

x







4
2 3 1

3 (1

)

8 x





3

8

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2
2 2
1
dx
4
I
x





2sin , t - ;
2 2
x  t     

 
2
6
2 2
2cos
4 4sin
tdt
I
t








1 ; 2

6 2

2cos

x t x t

dx tdt
 
     

Đặt:
Ta
có:
Vậy: 2
2
6
2cos
2 1 sin

tdt
t







2
6
2cos
=
2cos
tdt
t





2
2
6
6

2 6 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1 , t ;
2 2

x  tgt     

 





1 0

1
co

; 2

dx dt tg t dt
x

x t x t 

  

     

Đặt:
Ta có:

Vậy
:

2 4 2 4

2 2

1 0 0

(1 )

( 1) 1 1 4

dx tg t

dt dt t

x tg t

 





   

  



2 2

3 2 2

1 2 2 1 ( 1) 1

dx dx

I

x x x

 

   

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2
4

1
I 



x x  dx

,

;

2 2

x tgt t



 





 









0 0

x t



  
  
2
1
cos
dx dt
t

Đặt:
Ta có:

Vậy: 4 2

4 2
0
1

1
cos

I tgt tg t dt
t






4
4
0
(cos )
cos
d t
t





2
4
0
sin
cos
xdx
x





4
0
3

1 3cos

t





2 2 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2
4

I 



x x  dx

1 t





x



t

 

1 x

2 tdt



2 xdx

Đặt:

Ta có:



xdx tdt



0 1

1 2

x t

  
  

Vậy: 2

.
I 



t tdt

2
2
1

t dt





1

3 1 2

3 t



1 (2 2 1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 2: Tính các tích phân sau

5 3



x 1 x dx

3
2

2
0

sin cos
3,

1 cos

x x

dx
x







3 2



x 1  x dx

2 3
0

1
6,

(1 x ) dx



1 3ln .ln
4,

e

x x
dx
x





3 2

1
2,

x

dx
x






(

t



1 

x

)

(

t



x



1)

( cos

t



x



1)

(

t



1 3ln )



x

(

x



sin )

t

(

t



1 

x

)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần

 Sử dụng cơng thức:Sử dụng công thức:

b b

b
a

a a

udv uv  vdu



Bước
1:

Biến đổi tích phân ban đầu về
dạng:

1 2

( ) ( ). ( )

b b

a a

I 



f x dx 



f x f x dx

Bước
2:

Đặt: 1
2

( )
( )

u f x du

dv f x dx v

 

 



 

  



Bước
3:

¸p dụng (1) ta
có:

b
b

a

I uv







vdu

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 Khi sử dụng Khi sử dụng

phương pháp

tích phân từng

phần cần chú ý:

1, Lựa chọn 1, Lựa chọn

phép đặt dv

sao cho v

được xác

định một

cách dễ dàng

2, Tích phân 2, Tích phân

sau phải đơn

giản hơn tích

phân trước
phân trước
( )
b
x
a

P x e dx



Một số dạng cơ
bản:

sin

b

x
a

e xdx





( )ln ( )

b

a

P x f x dx



( )sin

b

a

P x  xdx



}

Đặt:

u P x



( )

Đặt:

ln ( )

u



f x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 3: Tính các tích phân sau

Bài 3: Tính các tích phân sau
1

2
1

ln(3 )

I 



x  x dx

ln 2
3

x

I xe dx





II. Phương pháp tích phân từng phần

4
2

cos 2

I x xdx







4 2

sin 2

x

I e xdx







(

u



ln(3



x

)

(

u x



)

(

u e



2x

)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài giải
Bài giải
1
2
1
0
ln(3 )

I 



x  x dx

2 2

ln(3 ) 3

x

du dx

u x x

dv xdx x
v



    

 

  


1
2 3
2 1

1 0 2

ln(3 )

2 3

x x

I x dx

x
  




Đặt:
1
2
0
1 3

ln 4 ( )

2 3
x
x dx
x
  




2
2 1
0
1 3

ln 4 ( ln 3 )
2 2 2

x

   

1 1 3 3 3 1

ln 4 ln 4 ln 3 2ln 4 ln 3

2 2 2 2 2 2

  

         

 

 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

4
2

cos 2

I x xdx







cos 2 sin 2
2

du dx
u x

dv xdx v x






 



 

 

 



2 0

1 1

sin 2 sin 2

2 2

I x x xdx




 



4
0

1 1

. sin cos 2
2 4 2 4 x



 

 

1 1

(cos cos0)

8 4 2 8 4



    

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ln 2
3

x

I

xe dx







x x

u x du dx
dv e dx v e

 

 



 

 

 

ln 2
ln 2

3 0

x x

I

xe



e dx









ln 2 ln 2

ln 2

x

e



e







ln 2 0

1 ln 2 (

)

2 e







1 1 1

ln 2

1 ln 2

2 2 2





  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2
4

sin 2

x

I

e

xdx







2 2

sin 2 cos 2
2

x
x du e dx

u e

dv xdx v x
 

  


 

 

 



2 2

4 0

1 cos 2

2

x x

I

e

x

e

xdx










2 '

1

2 e

2 I







4' 2

(

I

e

x

cos 2

xdx

)







Đặt:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

' 2
4

cos 2

x

I e xdx







2 2

cos 2 sin 2

x

x du e dx

u e

dv xdx v x

 

  



 

 

 



' 2 2

4 0

1 sin 2

2

x x

I

e

x

e

xdx












I

4

4 4

1

2 I

e



I







2
4

1

2 (1

)

2 I

e









4

1 (1

)

4 I

e









Đặt:

Ta
có:

Vậy:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 4: Tính các tích phân sau

1 2

1 ( 1)

e

lnx

I dx

x






2
3

( 2 ) x

I 



x  x e dx

2
2

sin
2

x

I x dx







2
4

cos

x

I e xdx







( Sử dụng pp từng phần )

(

u



ln )

x

(

u x





2 )

x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Với ( )

a
a

I f x dx







x



t

( )

I f x dx







Có thể đặt

Với Có thể đặt

2 x







t

Với
Với

Với

( )
I f x dx







( )

I f x dx







( )

b

a

I 



f x dx

Có thể đặt
Có thể đặt
Có thể đặt

x

 



t

2 x







t

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tính các tích phân sau:

2006
1

sin

I x xdx







x



t

dx



dt

Đặt:

Ta có:

1 -1

x

t

x

t







 



Vậy:

2006
1

( ) sin( )( )

I t t dt







  

2006
1

sin

t tdt







2006 sin

x xdx

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2
2
0
sin
sin cos
n
n n
x
I dx
x x






2 x







t

dx



dt

0 ;

0

2 x





t





x







t



0
2

sin ( )

2 ( )
sin ( ) cos ( )

2 2
n
n n
t
I dt
t t


 

 
  



2
0
cos
cos sin
n
n n
x
dx
x x






2
0
cos
cos sin
n
n n
t
dt
t t






Đặt:
Ta có:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

2 2

0 0

sin cos

cos sin cos sin

n n

n n n n

x x

I dx dx

x x x x

 

 

 



2
0

2 x





dx







4 I







</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

2 3

cos sin

I x x xdx







x

 



t

dx



dt

Đặt:

0 ;

0 x





t





x

 



t



Ta
có:

2 3

3 ( )cos ( )sin ( )( )

I t t t dt



  





   

2 3

( t)cos sint tdt









</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2 2

3
0

cos (1 cos ) cost t d t I







 

2 3 2 3

0 0

cos sint tdt xcos sinx xdx

 











2 3 2 3

0 0

cos sint tdt t cos sint tdt

 











4 2

3
0

(cos t cos )t dt I







 

1 1 1 1

( )

5 3 5 3 I



     

4

2 I









I



2 

5 3

1 1

( cos cos )
5 t 3 t



 

15 I



</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

4
4

sin

I

x

xdx







2 x







t

dx



dt

0 2 ;

2

0 x





t





x







t



4
4

(2

)sin (2

)(

)

I

t

dt









(2

t

)sin

tdt









2 2

4 4

0 0

2 sin tdt t sin tdt

 











</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

' ' 4

4 4 4

2 I I ( I sin tdt )



  



2 2

' 4 2

0 0

sin (1 cos2 )
4

I tdt t dt

 











1 (1 2cos2

cos 2 )

4 t

t dt











1 1 cos 4

(1 2cos 2 )

4 2

x

t dt









 

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2
0

1 1

(3 2sin 2 sin 4 )

8 t t 4 t



  

3

4 



(3 4cos 2 cos 4 )
8 t t dt







 

4 2 4 4

I 



I  I

Vậy
:

3 2 .

4 I







3

2 I







2
4

3

4 I



</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài

Bài tậptập::Tính các tích phân sau:Tính các tích phân sau:

cos

1,

1

x

dx

e







cos

2,

sin

cos

x

dx

x







3,

x

cos sin

x

xdx





4,

x

cos

xdx



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31></div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ứng dụng của tích phân

I. Tính diện tích hình phẳng

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

I. Tính diện tích hình phẳng

( )
0

y f x
y

x a
x b




 







 


( )
( )

y f x
y g x
x a
x b




 







 


( )

b

a

S





f x dx

Hình phẳng giới hạn bởi:



( )

b

a

S





f x



g x dx

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

I

. Tính diện tích hình phẳng

. Tính diện tích hình phẳng

 Bài tập 1Bài tập 1: Tính diện tích hình : Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường:

  












 


2
0

1
2

y x x
y

a

x

x 

 








 


 




2 3

sin cos
0

, 0

y x x

y

b x

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài giải

  










 


2
0

1
2

y x x

y
a

x
x

2 s

x

x dx









xx -1 0 2-1 0 2

y

y + 0 -+ 0

-Ta có:

0 2

2 2

1 0

( 2 ) (2 )

s x x dx x x dx







 





3 2 0 2 3 2

1 0

1 1

( ) ( )

3 x x  x 3 x

   

8

3 

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>





2 3



,

sin

cos

,

0,

0, =

2 b y

x

x y

x

2 3
0

sin cos

s x x dx







2 3
0

(sin xcos )x dx







2 2
0

sin (1 sin )cosx x xdx









Ta có:

2 4

(sin x sin ) sinx d x









3 5 2

1 1

( sin sin )

3 x 5 x



</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

I

. Tính diện tích hình phẳng

. Tính diện tích hình phẳng

 Bài tập 2: Tính diện Bài tập 2: Tính diện

tích hình phẳng giới
tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường:
hạn bởi các đường:

 


 


 


, 2

y x
a y x

y o

x
y

1 2

0 1

(2 )
S 



xdx 



 x dx

3/ 2 1 2

0 1

(2 )

3 2

x

x x

  

2 1 7
3 2 6

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bài tập 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2 2

y x  x và

y



x



4 x

Bài giải

Ta có: Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

2

4

x



x



x



x

2 x

6 x

0  





0

3 x





 

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Vậy
:

Diện tích hình phẳng
là:

2 2
0

2 4

S 



x  x x  x dx

2
0

2x 6x dx







2
0

(2x 6 )x dx







3 2 3
0
2

( 3 )
3 x x

 



9

O 2 3 4 x

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

II.

Tính thể tích của vật thể trịn xoay

Tính thể tích của vật thể trịn xoay

 Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra

từ phép quay quanh

từ phép quay quanh OxOx của hình phẳng của hình phẳng
giới hạn bởi các đường:

giới hạn bởi các đường:

( )

0 y

f x

y

x

a

x

b

















 



( )

b

a

V







f x dx

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

II.

Tính thể tích của vật thể trịn xoay

Tính thể tích của vật thể trịn xoay

 Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra

từ phép quay quanh

từ phép quay quanh OyOy của hình phẳng của hình phẳng
giới hạn bởi các đường:

giới hạn bởi các đường:

( )

0 x

f y

x

y

a

y

b





















( )

b

a

V







f y dy

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bài tập

1:1:

4 4

1 sin cos ; 0; ;
2

H  y   x  y  x  x  

 

4 4

(1 sin cos )

V x x dx







 

7 cos 4
4

x

dx



 





Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra
Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra

từ phép quay hình phẳng

từ phép quay hình phẳng HH quanh quanh OxOx

Thể tích của vật thể cần tính là:

2
0

7 1

sin 4

4 x 16 x



  

   

 

7

8 

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài tập

2:2:

;

0;

2;

4

2 x

y

x

y















2
2

V







x dy

2 ydy







Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra từ phép
Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra từ phép

quay quanh

quay quanh Oy của Oy của hình phẳng giới hạn bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường:

các đường:

Thể tích của vật thể cần tính là:

2 4
2

y



</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài tập

3:3:

1 ;

2 y

x y

x















2 2

2 2 2

0 0

( 2 ) ( )
2

V 



x dx  



x dx

Thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra từ phép quay

hình phẳng

hình phẳng giới hạn bởi các đường saugiới hạn bởi các đường sau quanh quanh OxOx

Thể tích của vật thể là:

2 5 2

1

20 x















12

5 



32

4

20 













(2 )

x x dx









O 2 x

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

The End

</div>

CAC PHUONG PHAP TINH TICH PHAN

Các phương pháp tính tích phân

Các phương pháp tính tích phân

<b>Phương pháp đổi biến số</b>

<b>Phương pháp đổi biến số</b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<b>Đổi biến số dạng 1</b>

<b>Đổi biến số dạng 1</b>

<i>a</i>



<i>x</i>





<i>a</i>



<i>x</i>





(

<i>a</i>



<i>x</i>

)

<sub></sub>



<i><b>I. Phương pháp đổi biến số</b></i>

4

<i>dx</i>

<i>I</i>

<i>x</i>







<sub></sub>

(

<i>t</i>



1



<i>x</i>

)

(

<i>x</i>



2sin )

<i>t</i>

(

<i>x tgt</i>



)



<b>Bài giải</b>

<b>Bài giải</b>

<sub>2</sub>

<i><sub>xdx</sub></i>

<sub></sub>

<sub>3</sub>

<i><sub>t dt</sub></i>

0

1

1

0

<i>x</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

<i>t</i>

 



 



<sub></sub>

<sub></sub>

3

2

<i>t dt</i>



<sub></sub>

3