Chuyen deLuyen tap Hinh Hoc Khong Gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ</b>

<b>: </b>

<b>PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP </b>

<b> THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN</b>

<b> </b>

<b> HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP</b>
<b> GV: VÕ THÀNH NHUNG</b>
<i><b>A. Đặt vấn đề</b><b> :</b></i>

Mỗi môn học trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trị rất quan trọng trong
việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến
thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập
đúng đắn.

Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân mơn
của tốn học phổ thơng,trong đó vấn đề giảng dạy và kỹ năng giải tốn hình học khơng gian
cổ điển của thầy và trị cịn nhiều điều cần nghiên cứu . Chương Khối đa diện trong
chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất trừu tượng, có nhiều kiến thức
tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình khơng gian, khả năng vận
dụng kiến thức đã có để giải bài tập tốn cịn nhiều hạn chế …

Xuất phát từ thực tế trên và qua nhiều năm giảng dạy mơn hình học khơng gian cổ điển
tương đối có kết quả , nay tơi xin đề nghị một phương pháp để dạy luyện tập bài tập chương
khối đa diện trong các tiết bài tập và tự chọn trên lớp hay tăng tiết của lớp (trên cơ sở chuẩn
kiến thức và bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỹ năng giải toán về khối đa diện và giúp
mọi đối tượng học sinh ,nhất là học sinh trung bình - yếu kém lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất .

<b>I.</b><i><b>Cơ sở lí luận</b><b> : </b></i>

Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy các tiết

dạy luyện tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện.

Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản hình học của lớp
dưới ,các kỹ năng phân tích đề bài và hình vẽ khơng gian để từ đó suy luận ra quan hệ giữa
kiến thức củ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẻ làm , hình thành phương
pháp giải tốn bền vững và sáng tạo.

Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó
nhằm gây hứng thú cho học sinh , kích thích óc tìm tịi , sáng tạo của học sinh.

Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản
nhất nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học
một cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài tốn. Từ đó học sinh có hứng thú
và tạo ra động cơ học tập tốt đối với mơn hình học khơng gian.

<b>II.</b> <i><b>Cơ sở thực tiển</b><b> :</b></i>

Trong q trình giảng dạy hình học khơng gian, tơi thấy đa số học sinh rất lúng túng, kỹ
năng giải toán hình khơng gian cịn yếu ,thậm chí khơng vẽ được một hình đơn giản. Bên
cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện <i>trong chương trình hình học khối 12</i>

đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá phức tạp
đối với học sinh trung bình ,yếu kém dẫn đến học sinh có tư tưởng chán nản , e sợ khơng học
mơn hình học khơng gian.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải các bài tốn hình khơng gian và lĩnh hội kiến thức mới
bền vững , từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong các kỳ thi.

 <i><b>Mục tiêu : </b></i>

Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương, phân biệt khối đa diện, thể
tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỹ năng tính tốn các đại lượng
hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đó học sinh nắm
được kiến thức cơ bản và rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện.

 <i><b>Thời gian thực hiện:</b></i>

<i><b> Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi dưỡng, phụ</b></i>
đạo ,...)

Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo
chương trình chuẩn hay nâng cao.

 <i><b>Các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b></i>

+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác và tứ giác,...
+ Các kiến thức cơ bản về hình học khơng gian lớp 11 cịn rất hạn chế .

+ Kỹ năng tư duy phân tích giã thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình khơng
gian và hình học phẳng cịn q yếu.

+ Kỹ năng vẽ hình trong khơng gian q kém.

<b>III. Phương pháp luyện tập tổng qt mơn hình học khơng gian cổ điển :</b>
<b>1. Mục đích u cầu:</b>

+ Ơn tập cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác thường, tam
giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân,... hình vng, chữ nhật ....…
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vng góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng ...đã học ở lớp 11.

+ Hệ thống bài tập được phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng trong các
kỳ thi : bài tập được soạn ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh giản các bài tập
trong sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập bằng cách sắp xếp lại theo dạng từ đơn
giản đến phức tạp trên cơ sở yêu cầu của chuẩn kiến thức.

+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa
có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một cạnh,về góc giữa đường thẳng
với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng ...để học sinh dễ
tính tốn, dễ tiếp thu; các bài tập khó phải bổ sung thêm những câu hỏi hướng dẩn để
giảm bớt độ tư duy phức tạp của bài toán hoặc soạn lại đơn giản hơn theo yêu cầu bài tập
đó.

+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn
giản đến phức tạp có mục đích cũng cố trọng tâm của bài học.

+ Dạy xong các dạng bài tập ,giáo viên giao bài tập vừa sức, tương tự về nhà cho các học
sinh tự rèn luyện các kỹ năng xây dựng hình khơng gian và các giải thuật toán học .

Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những u cầu
cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải tốn, có
hứng thú trong mơn học hình khơng gian cổ điển và đạt kết quả tốt trong các
kỳ thi cuối năm .

<b>2. Phương pháp luyện tập đối với một bài tập hình học khơng gian :</b>

 Giáo viên dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh đối với bài

tập, để từ đó có bước ơn tập các kiến thức cần thiết cho học sinh trước khi giáo viên
hướng dẩn học sinh thực hiện giải bài luyện tập.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>c</b> <b>b</b>

<b>a</b>
<b>M</b>

<b>H</b> <b>_C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

 Trên cơ sở hình đã vẽ,giáo viên hướng dẩn ,luyện tập học sinh phân tích yêu cầu

của đề bài ra các yêu cầu nhỏ hơn,đơn giản hơn và phải thực hiện giải thuật theo
một thứ tự hợp suy luận logic của hình đã vẽ.

 Sau khi thực hiện xong một bài tập, giáo viên phải củng cố các kiến thức toán học

quan trọng nào của bài tập yêu cầu học sinh khắc sâu và để vận dụng cho các bài
tập khác.

<i><b>B. Nội dung thực hiện:</b></i>

<i><b>I.</b></i><b>Ôn tập kiến thức cơ bản : </b>

<i><b>ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10</b></i>
<i><b>1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho </b></i><i>ABC</i>_{vng ở A ta có :}

<b>a)</b> Định lý Pitago : <i>BC</i>2 <i>AB</i>2 <i>AC</i>2
<b>b)</b> BA2=BH . BC<i>;</i>CA2=CH . CB

<b>c)</b> AB. AC = BC. AH

<b>d)</b> 1

AH2=
1
AB2+

1
AC2
<b>e)</b> BC = 2AM

<b>f)</b> sin , os , tan ,cot

<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>B</i> <i>c B</i> <i>B</i> <i>B</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>

   

<b>g)</b> b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = sin cos

<i>b</i> <i>b</i>

<i>B</i>  <i>C</i>_,

b = c. tanB = c.cot C

<i><b> 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:</b></i>

* Định lý hàm số Côsin: a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{- 2bc.cosA}

* Định lý hàm số Sin: sin sin sin 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>R</i>
<i>A</i>  <i>B</i>  <i>C</i> 
<i><b>3. Các cơng thức tính diện tích.</b></i>

a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:

1
2
<i>S</i> 

a.ha =

1 . .

. sin . .( )( )( )

2 4

<i>a b c</i>

<i>a b</i> <i>C</i> <i>p r</i> <i>p p a p b p c</i>
<i>R</i>

     

với 2
<i>a b c</i>
<i>p</i>  

<i><b>Đặc biệt :*</b></i><i>ABC</i> vuông ở A :

1 _.

2

<i>S</i>  <i>AB AC</i>

,* <i>ABC</i> đều cạnh a:

2 ₃
4

<i>a</i>

<i>S</i> 

b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =

1

2_{(chéo dài x chéo ngắn)}

d/ Diện tích hình thang :
1
2
<i>S</i> 

(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>ƠN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11</b></i>
<b>A.QUAN HỆ SONG SONG</b>

<b>§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG </b>
<b>I. Định nghĩa</b>:

Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng khơng
có điểm nào chung.

a/ /(P) a (P)

 



<b>a</b>

<b>(P)</b>

<b>II.Các định lý</b>:

<b>ĐL1:Nếu đường thẳng d</b>
không nằm trên mp(P) và
song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song
song với mp(P)

d (P)

d / /a d / /(P)
a (P)

 





 


<b>d</b>
<b>a</b>
<b>(P)</b>

<b>ĐL2: Nếu đường thẳng a</b>
song song với mp(P) thì
mọi mp(Q) chứa a mà cắt

mp(P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a.

a / /(P)

a (Q) d / /a

(P) (Q) d




 



 _ _



<b>d</b>
<b>a</b>
<b>(Q)</b>

<b>(P)</b>

<b>ĐL3: Nếu hai mặt phẳng</b>
cắt nhau cùng song song
với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng

song song với đường
thẳng đó.

(P) (Q) d

(P) / /a d / /a

(Q) / /a

  









<b>a</b>
<b>d</b>

<b>Q</b>
<b>P</b>

<b>§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG</b>
<b>I. Định nghĩa:</b>

Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu

chúng khơng có điểm nào
chung.

(P)/ /(Q) (P) (Q)







<b>Q</b>
<b>P</b>

<b>II.Các định lý:</b>

<b>ĐL1: Nếu mp(P) chứa</b>
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì
(P) và (Q) song song với
nhau.

a,b (P)

a b I (P) / /(Q)

a / /(Q),b / /(Q)

 


  






<b>I</b>
<b>b</b>

<b>a</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>ĐL2: Nếu một đường</b>
thẳng nằm một trong hai
mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng
kia.

(P) / /(Q) _{a / /(Q)}
a (P)









<b>a</b>

<b>Q</b>
<b>P</b>

<b>ĐL3: Nếu hai mặt phẳng</b>

(P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q) và
các giao tuyến của chúng
song song.

(P) / /(Q)

(R) (P) a a / /b

(R) (Q) b




  



 _ _



<b>b</b>
<b>a</b>
<b>R</b>

<b>Q</b>
<b>P</b>

<b>B.QUAN HỆ VUÔNG GĨC</b>

<b>§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG</b>
<b>I.Định nghĩa</b>:

Một đường thẳng được
gọi là vng góc với một
mặt phẳng nếu nó vng
góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.

a mp(P) a c, c (P)    

<b>P</b> <b>c</b>
<b>a</b>

<b>II. Các định lý:</b>

<b>ĐL1: Nếu đường thẳng d</b>
vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b
cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vng góc
với mp(P).

d a ,d b

a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau

  



  





<b>d</b>

<b>a</b>
<b>b</b>
<b>P</b>

<b>ĐL2: (Ba đường vng</b>
góc) Cho đường thẳng a
khơng vng góc với
mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b
vng góc với a là b
vng góc với hình chiếu
a’ của a trên (P).

a mp(P),b mp(P)

b a b a'





 



<b>a'</b>
<b>a</b>

<b>b</b>
<b>P</b>

<b>§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC</b>
<b>I.Định nghĩa : </b>

Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>ĐL1:Nếu một mặt</b>
phẳng chứa một đường
thẳng vng góc với một
mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vng góc
với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
 
 



<b>Q</b>
<b>P</b>

<b>a</b>

<b>ĐL2:Nếu hai mặt phẳng</b>
(P) và (Q) vng góc với
nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong
(P), vng góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vng góc với mặt
phẳng (Q).

(P) (Q)

(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d

 

   

  

<b>d</b> <b>Q</b>
<b>P</b>
<b>a</b>

<b>ĐL3: Nếu hai mặt phẳng</b>
(P) và (Q) vng góc với
nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường

thẳng a đi qua điểm A và
vng góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)

(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)
 



 



 

<b>A</b>
<b>Q</b>
<b>P</b>
<b>a</b>

<b>ĐL4: Nếu hai mặt phẳng</b>
cắt nhau và cùng vng
góc với mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của
chúng vng góc với
mặt phẳng thứ ba.

(P) (Q) a

(P) (R)

a (R)

(Q) (R)



















_



<b>a</b>
<b>R</b>
<b>Q</b>
<b>P</b>
<b>§3.KHOẢNG CÁCH</b>
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường

<b>thẳng , đến 1 mặt phẳng:</b>

Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

<b>a</b> <b>H</b>

<b>O</b>

<b>H</b>
<b>O</b>

<b>P</b>

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
<b>mặt phẳng song song: </b>

Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

d(a;(P)) = OH

<b>a</b>

<b>H</b>
<b>O</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
<b>song song: </b>

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d((P);(Q)) = OH

<b>H</b>

<b>O</b>

<b>Q</b>
<b>P</b>

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
<b>chéo nhau: </b>

là độ dài đoạn vng góc chung của hai
đường thẳng đó.

d(a;b) = AB <b>B</b>

<b>A</b>

<b>b</b>
<b>a</b>

<b>§4.GĨC</b>

<i><b>1. Góc giữa hai đường thẳng a và b </b></i>
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với a và b.

<b>b'</b>
<b>b</b>

<b>a'</b>
<b>a</b>

<i><b>2. Góc giữa đường thẳng a khơng</b></i>
<i><b>vng góc với mặt phẳng (P) </b></i>

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên mp(P).

<i><b>Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt</b></i>
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mp(P) là 900_.

<b>P</b> <b>a'</b>

<b>a</b>

<i><b>3. Góc giữa hai mặt phẳng </b></i>

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vng góc với hai mặt phẳng đó.

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vng góc với
giao tuyến tại 1 điểm

<b>b</b>
<b>a</b>

<b>Q</b>
<b>P</b>

P Q

a b

<i><b>4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện</b></i>
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì

S' Scos





trong đó _{là góc giữa hai mặt phẳng}

(P),(P’).

 <b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b>

<i><b>ƠN TẬP 3 </b></i><b>KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12</b>
<b>A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>B</b>

<b>h</b>

a

b
c

a
a
a

<b>B</b>
<b>h</b>

<b>1. </b><i><b>THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ</b></i><b>:</b>
V= B.h

với

B : diện tích đáy
h : chiều cao





a)<i><b>Thể tích khối hộp chữ nhật:</b></i>
V = a.b.c

với a,b,c là ba kích thước

b)<i><b>Thể tích khối lập phương:</b></i>

V = a3

với a là độ dài cạnh

<b>2. </b><i><b>THỂ TÍCH KHỐI CHĨP</b></i>:
V=

1
3_Bh

với

B : diện tích đáy
h : chiều cao





<b>3. </b><i><b>TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN</b></i>:

Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC
SA ' B' C'

V SA SB SC

V SA ' SB' SC'

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>

<b>S</b>

<b>4. </b><i><b>THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT</b></i>:





h

V B B' BB'

3

  

với

B, B' : diện tích hai đáy
h : chiều cao




 

B
A

C

A' _B'

C'

<i><b>Chú ý:</b></i>

1/ Đường chéo của hình vng cạnh a là d = a 2_,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = <i>a</i>2 <i>b</i>2<i>c</i>2 _,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

3
2

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>a</b>
<b>3a</b>

<b>C'</b>
<b>B'</b>

<b>A'</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>

<b>II/ Bài tập:</b>

<b>Nội dung chính </b>

Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung bình yếu, đi từ dễ
đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT .

<i><b>LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ</b></i>

<i><b>1)</b></i><b> Dạng 1 : </b>

<i><b>Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có </b></i>
cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ơn tập: </b>

<b>+ Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác .</b>

<b>+ Học sinh không xác định được cạnh tam giác vuông cân </b>

+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình</b>

+ Dựng tam giác vng đáy ABC hay A'B'C' .
+ Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.</b>

+ Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng cơng thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ?

a 2

Lời giải:
Ta có

ABC_{vuông cân tại A nên AB = AC = a}
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA' AB

2 2 2 2

AA'B AA' A'B AB 8a 


AA' 2a 2

 

Vậy V = B.h = SABC .AA' =

3

a 2

<i><b>Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. </b></i>
Tính thể tích khối lăng trụ này.

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập: </b>

<b>+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tứ giác đều .</b>

<b>+ Học sinh không xác định được tam giác BDD' vuông tại D</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình</b>

+ Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' .
+ Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng.

+ Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.</b>

+ Phân tích V= B.h để có h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ?
+Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ?

+Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vng ABCD ?

<b>5a</b>
<b>4a</b>

<b>D'</b> <b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>D</b> <b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

Lời giải:

ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên

BD2_{= BD'}2_{- DD'}2_{= 9a}2 _ BD 3a_

ABCD là hình vng

3a
AB

2

 

Suy ra B = SABCD =

2

9a
4

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

<i><b> Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh </b></i>
a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tam giác đều.</b>

<b>+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều .</b>
+ Học sinh không biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường

vng góc .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình</b>

+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.</b>

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>A'</b>
<b>D</b>

<b>B'</b>
<b>C'</b>

<b>A'</b>

<b>C</b>
<b>D'</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>B</b>
<b>D'</b>

<b>A</b>

<b>A'</b> <b>C'</b>

<b>B'</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>
<b>I</b>

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC .Ta có
ABC đều nên

AB 3

3 &
2

AI 2 AI BC

A 'I BC(dl3 )



 

  

A'BC
A'BC

2S
1

S BC.A 'I A 'I 4

2 BC

   

AA ' (ABC)  AA ' AI _.
2 2
A 'AI AA ' A 'I  AI 2

 

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

<i><b> Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc </b></i>
tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật
khơng có nắp. Tính thể tích cái hộp này.

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh khơng vẽ được tấm bìa cịn lại sau khi cắt ở 4 góc của tấm bìa .</b>
+ Học sinh khơng dựng được hình hộp theo đề bài u cầu

<b>+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích đáy của hộp .</b>

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình:</b>

+ Dựng tấm bìa và các đường cắt song song cạnh hình vng.
+ Dựng hộp bằng cách gấp tấm bìa theo các đường cắt. Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?

+ Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ?

<b>D'</b>

<b>A'</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>D</b>

<b>A</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

Giải

Theo đề bài, ta có

AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm
nên ABCD là hình vng có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là

V = SABCD.h = 4800cm3

<i><b> Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng </b></i>
600_{Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.}

Tính thể tích hình hộp .
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>60</b>

<b>D'</b> <b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>D</b> <b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>+ Học sinh khơng vẽ được hình hộp đứng có đáy là hình thoi.</b>
<b>+ Học sinh không xác định được tam giác ABD đều .</b>

+ Học sinh khơng tính được diện tích hình thoi
+ Học sinh khơng tính được AC để suy ra BD'

+ Học sinh không biết dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD'

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và dựng các cạnh bên của hình hộp.
+ Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?

+ Tìm h = DD' trong tam giác vng nào ? và định lí gì ?
Lời giải:

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =

2
a 3

2

Theo đề bài BD' = AC =
a 3

2 a 3

2 

2 2

DD'B DD' BD' BD a 2


Vậy V = SABCD.DD' =

3

a 6
2
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng</b>
a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.

ĐS:

3

a 3
V

4


; S = 3a2

<b>Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng</b>
BD' a 6 _{. Tính thể tích của lăng trụ.}

Đs: V = 2a3

<b>Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết</b>
rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của
lăng trụ.

Đs: V = 240cm3_{và S = 248cm}2

<b>Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết</b>
tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2_{. Tính thể tích lăng trụ .}

Đs: V = 1080 cm3

<b>Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A</b>
,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích
lăng trụ.

Đs: V = 24a3

<b>Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích</b>
các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2_{.Tính thể tích lăng trụ.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>o</b>
<b>60</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng</b>
trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.

Đs: V = 2888

<b>Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m</b>2_{. Tính thể tích khối lập}

phương Đs: V = 8 m3

<b>Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một</b>
đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Đs: V = 0,4 m3

<b>Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là</b>

5; 10; 13_{. Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6}

<b>2)Dạng 2:</b>

<i><b> Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác </b></i>
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600_.

Tính thể tích lăng trụ.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

+ Học sinh khơng biết cạnh bên lăng trụ đứng vng góc đáy để suy ra tam giác
vuông

<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng A'B ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ?

+ Tìm h = AA' trong tam giác vng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:

Ta có A'A (ABC)  A'A AB& AB là
hình chiếu của A'B trên đáy ABC .

Vậy góc[A'B,(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA' AA' AB.tan 60 a 3


SABC =

2

1_BA.BC a

2 2

Vậy V = SABC.AA' =

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i><b>Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác </b></i>
vuông tại A với AC = a , ACB = 60 o _{biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30}0_.

Tính AC' và thể tích lăng trụ.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

+ Học sinh khơng biết điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng .
+ Dựng BC' ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?
+ Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ?

+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>a</b>
<b>o</b>

<b>60</b>

<b>o</b>
<b>30</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>

Lời giải:



ABC



AB AC.tan60



o a 3_.

Ta có:

AB AC;AB AA'   AB (AA'C'C)
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

o

AB

AC'B AC' 3a

tan30

  



V =B.h = SABC.AA'

2 2

AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2



ABC

 _{là nửa tam giác đều nên}

2
ABC a 3

S  ₂

Vậy V = a 63

<i><b> Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a</b></i>
và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300_.

Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài
một cạnh của tam giác .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình vng ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng BD' và BD ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của hình vng ABCD bằng cơng thức nào ?

+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>o</b>
<b>30</b>

<b>a</b>
<b>D'</b>

<b>C'</b>
<b>A'</b>

<b>B'</b>

<b>D</b>

<b>C</b> <b>B</b>

<b>A</b>

Giải:

Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta
có: DD' (ABCD)  DD' BD và BD là hình
chiếu của BD' trên ABCD .

Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30 0
0 a 6

BDD' DD' BD.tan 30

3

  



Vậy V = SABCD.DD' =

3

a 6

3 _{S = 4S}_ADD'A'₌

2

4a 6
3
<i><b> Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh </b></i>
a và BAD = 60o_{biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30}o_.

Tính thể tích của hình hộp.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

<b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

+ Học sinh khơng biết cạnh bên vng góc đáy để suy ra tam giác vuông
<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài
một cạnh của tam giác.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
+ Dựng AB' ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Dựng BD. Suy ra tam giác ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của
ABCD bằng cách nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>a</b>
<b>o</b>
<b>30</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

<b>D'</b>
<b>C'</b>
<b>B'</b>

<b>A'</b>

<b>D</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>

Giải

ABD

 _{đều cạnh a}

2

ABD a 3

S ₄

 

2
ABCD ABD a 3

S 2S ₂

  

ABB'

 _{vuông tạiB} BB' ABtan30 o a 3
Vậy

3

ABCD 3a

V B.h S  .BB' ₂

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết </b>
A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o_{. Tính thể tích lăng trụ}

ĐS:

3

a 2
V

16

<b>Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng tại B biết </b>

BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o_{. Tính thể tích lăng trụ.}

ĐS:

3

a 3
V

2


<b>Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp</b>
với mặt bên (BCC'B') một góc 30o_.

Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: AB' a 3 _;

3
a 3
V

2

<b>Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng tại A biết </b>
AC = a và ACB 60 o_{biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30}o_.

Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: V a 3 6 , S =

2

3a 3
2

<b>Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)</b>
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300_.

Tính thể tích lăng trụ ĐS:

3

32a
V

9


<b>Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C</b>
hợp với (ABCD) một góc 30o_{và hợp với (ABB'A') một góc 45}o_.

Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:

3

a 2
V

8


<b>Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm</b>
của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o_.

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o_.

Đs:1)

3

2a 6
V

9


;2)

3

a 3
V

4


;3)

3

4a 3
V

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o_.

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o_{. Đs: 1)V =}

3

a 3

16 _{2)V =}

3

a 2
8

<b>Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một</b>
đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o_{.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng}

trụ . Đs: V = a3_{và S = 6a}2

<b>Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' =</b>
AC' = CA' = a2b2c2

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc
đường chéo. Chứng minh rằng sin x sin y sin z 12  2  2  .

<b>3) Dạng 3: </b>

<i><b> Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác </b></i>
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc
600_{.Tính thể tích lăng trụ.}

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

+ Học sinh khơng biết cạnh bên lăng trụ đứng vng góc đáy để suy ra tam giác
vuông

<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài

các cạnh tam giác.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Nhận xét AB và A'B có vng góc với BC khơng ? tại sao?
+ Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)& BC AB   BC A'B
Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA' AA' AB.tan 60 a 3


SABC =

2

1_BA.BC a

2 2

Vậy V = SABC.AA' =

3

a 3
2

<i><b> Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt </b></i>
(A’BC) tạo với đáy một góc 300_{và diện tích tam giác A’BC bằng 8.}

Tính thể tích khối lăng trụ.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.

+ Học sinh không biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các u cầu nhỏ:</b>

+ Nhận xét A'BC_{có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí}
AI và A'I thế nào với BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?

+ Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi cơng thức nào?

+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>x</b>
<b>o</b>
<b>30</b>

<b>I</b>
<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

Giải:ABC_đều AI BC _{mà AA'}(ABC)
nên A'IBC_{(đl 3}).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =A'IA = 30o

Giả sử BI = x 2 3
3

2

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>AI</i>  


.Ta có
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>AI</i>

<i>AI</i>

<i>I</i>
<i>A</i>
<i>AI</i>

<i>A</i> 2

3
3
2
3
2
30
cos
:
'

:

' 0









A’A = AI.tan 300₌<i>x</i> 3 <i>x</i>

3
.
3

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  <i>x</i> 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i><b> Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng </b></i>
(BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o_{.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.}

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .</b>

+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình vng ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của lăng trụ đứng .
+ Dựng mặt (BDC') ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ?

+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>a</b>

<b>0</b>

<b>60</b>

<b>O</b>

<b>A'</b>
<b>D'</b>

<b>B'</b>
<b>C'</b>

<b>C</b>

<b>A</b>
<b>D</b>

<b>B</b>

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vng nênOC BD

CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3). Vậy

góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC'

ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

OCC'

 _{vuông nên CC' = OC.tan60}o ₌

a 6
2

Vậy V =

3

a 6
2

<i><b> Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng </b></i>
(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o_{và A'C hợp với đáy (ABCD) một}

góc 30o_{.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.}

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng và góc giữa đường thẳng </b>
và mặt phẳng .

+ Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình hộp .
+ Dựng mặt (A'BC) và đường chéo A'C ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Nhận xét AB và A'B có vng góc với BC khơng ? tại sao?
+ Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

+ Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>2a</b>

<b>o</b>
<b>30</b>
<b>o</b>

<b>60</b>

<b>D'</b>
<b>C'</b>

<b>B'</b>

<b>A'</b>

<b>D</b>
<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

Ta có AA' (ABCD) AC là hình chiếu
của A'C trên (ABCD) .

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA 30 o
BC AB  _BCA'B (đl 3) .

Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA 60 o
A 'AC

 _{AC = AA'.cot30}o₌2a 3

A 'AB

 _{AB = AA'.cot60}o₌

2a 3
3

2 2 4a 6

ABC BC AC AB

3

   



Vậy V = AB.BC.AA' =

3

16a 2
3
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy</b>
ABCD một góc 30o_{và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60}0_{. Tính thể tích hộp chữ}

nhật. Đs:

3

2a 2
V

3


<b>Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng</b>

a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o_{.Tính thể tích khối lăng trụ.}

Đs: V = 3a3

<b>Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại B và AC = 2a</b>
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o_{. Tính thể tích lăng trụ.}

Đs: V a 2 3

<b>Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC =</b>
a và BAC 120 o_{biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45}o_{. Tính thể tích lăng trụ.}

Đs:

3

a 3
V

8


<b>Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB</b>
= h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o_{. Tính thể tích lăng trụ.}

Đs:

3

h 2

V

4


<b>Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a</b>
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o_.

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o_.

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1) V a 3 3 _{; 2) V =}

3

a 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o_.

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600_.

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

Đs: 1) V = 16a3_{. 2) V = 12a}3_{.3) V =}

3

16a

3
<b>Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a</b>
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o_.

2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Đs: 1)

3

a 6
2

V



; 2) V = a3 ; V = a 23

<b>Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn</b>
A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o_.

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
a
2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Đs: 1)

3

3a 3
V

4



; 2) V =

3

3a 2

8 _{; V =}

3

3a
2
<b>Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a</b>
Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:

1) AB = a

2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o

3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300

Đs: 1) V 8a 3 2_{; 2) V =}5a3 11_{; V =}16a3

<b>4) Dạng 4: </b>

<i><b>Khối lăng trụ xiên</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác </b></i>
đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o_.

Tính thể tích lăng trụ.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

<b>+ Học sinh không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .</b>
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm

chiều cao lăng trụ.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ xiên .
+ Dựng đường cao CC'.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ?

+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

<b>H</b>
<b>o</b>
<b>60</b>
<b>a</b>

<b>B'</b>

<b>A'</b> <b>_C'</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>

Lời giải:

Ta có C'H (ABC)  CH là hình chiếu
của CC' trên (ABC)

Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH 60  o

0 3a

CHC' C'H CC'.sin 60
2

  



SABC =

2 ₃

a
4


.Vậy V = SABC.C'H =

3

3a 3
8
<i><b>Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác </b></i>
đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.

<b>+ Học sinh khơng xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy .</b>

+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vng để tìm độ dài
chiều cao lăng trụ.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nó .

+ Dựng đường cao OA'. Từ đó dựng các cạnh bên của lăng trụ.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu của AA' trên (ABC) là gì?
Suy ra góc[AA'';(ABC)] = ?

+Chứng minh BC AA' bằng cách Chứng minh BC  mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BC

CC' khơng ? tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>H</b>
<b>O</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

<b>C'</b>

<b>A</b>

<b>a</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

Lời giải:

1) Ta có A'O (ABC)  OA là hình
chiếu của AA' trên (ABC)

Vậy góc[AA',(ABC)] OAA' 60  o
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt
bên của lăng trụ)

AO BC _{tại trung điểm H của BC nên}
BC A'H _{(đl 3})

BC (AA 'H) BC AA'

    _{mà AA'//BB'}
nên BC BB' _{.Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.}

2) ABC_{đều nên}

2 2 a 3 a 3

AO AH

3 3 2 3

  

o
AOA' A'O AO t an60 a


Vậy V = SABC.A'O =

3

a 3
4

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với
AB = 3AD = 7.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy
những góc 450_{và 60}0. _._{Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.}

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

+ Học sinh không vẽ được hộp có đáy là hình chữ nhật.

+ Học sinh khơng xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp.

+ Học sinh khơng tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình chữ nhật ABCD và các cạnh bên của hình hộp .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HNAD

HMAB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ?

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

H
N

M

D'

C'

B'
A'

D

C

B
A

Lời giải:

Kẻ A’H (<i>ABCD</i>),HM <i>AB</i>, <i>HN</i>  <i>AD</i>
<i>AD</i>

<i>N</i>
<i>A</i>
<i>AB</i>
<i>M</i>

<i>A</i>  

 ' , ' _{(đl 3}_₎

 o  o

A'MH 45 ,A'NH 60

  

Đặt A’H = x . Khi đó
A’N = x : sin 600₌ 3

2<i>x</i>

AN = <i>HM</i>

<i>x</i>
<i>N</i>

<i>A</i>

<i>AA</i>    

3
4
3
'

'

2
2

2

Mà HM = x.cot 450_{= x}

Nghĩa là x = 7

3
3

4

3 2





<i>x</i>
<i>x</i>

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x

=

3

3. 7. 3

7 
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp</b>
với đáy ABCD một góc 45o_{. Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =}a 23

<b>Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên</b>
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o_{.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336}

<b>Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và</b>BAD 30 o_{và biết cạnh}
bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o_{.Tính thể tích lăng trụ.}

Đs: V =

abc 3
4

<b> Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' </b>
cách đều A,B,C biết AA' =

2a 3

3 _{.Tính thể tích lăng trụ. Đs:}

3

a 3
V

4


<b> Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có </b>

hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb
BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o_.

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:

3

3a 3
V

8


<b>Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a</b>
hợp với đáy ABC 1 góc 60o_{và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .}

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1)

2

a 3
S

2


2)

3

3a 3
V

8



<b> Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vng</b>
góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o₂₎

3 ₃

a
V

8


<b>Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu</b>
của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và
2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o

Đs:

3

27a
V

4 2


<b>Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc</b>

của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với
nhau một góc 60o_.

1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.

3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2) SACC'A' a 2;S2 BDD'B'a2_{. 3)}

3

a 2
V

2

<b>Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc </b>

A = 60o_{chân đường vng góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy}

biết BB' = a.

1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.

2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
Đs: 1) 60o₂₎

3

2

3a

V &S a 15
4

 

<i><b>LOẠI 2: </b></i>

<b>THỂ TÍCH KHỐI CHĨP</b>

<i><b>1)</b></i>

<b>Dạng 1 : </b>

<i><b>Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) </b></i>
và (ASC) cùng vng góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không biết 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc mặt phẳng thứ ba
thì giao tuyến vng góc mặt phẳng thứ ba

+ Học sinh khơng xác định được AC vng góc với (SBC).
+ Học sinh khơng vẽ được chóp có đáy là SBC và đỉnh là A.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC và cạnh bên AC(ABC) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>_</b>

<b>\</b>
<b>/</b>
<b>/</b>
<b>a</b>

<b>B</b>

<b>S</b>
<b>C</b>

<b>A</b> Lời giải:

Ta có

(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)










  AC (SBC)

Do đó

2 3

SBC

1 1 a 3 a 3

V S .AC a

3 3 4 12

  

<i><b> Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với </b></i>
AC = a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o_.

1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không biết áp dụng định nghĩa đường thẳng vng góc mặt phẳng và
áp dụng định lý 3 đường vng góc .

+ Học sinh khơng biết tính cạnh góc vng trong tam giác vng cân .
+ Học sinh khơng xác định được góc giữa SB với đáy ABC.

+ Học sinh khơng tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC và cạnh bên SA(ABC) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng cơng thức nào ? Tính BA ?
+ Tìm h = SA qua tam giác nào bởi cơng thức gì ?

<b>a</b>
<b>o</b>
<b>60</b>
<b>S</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

Lời giải:

1) SA (ABC)  SA AB &SA AC 
mà BC AB  BC SB _{( đl 3}).

Vậy các mặt bên chóp là tam giác vng.
2) Ta cóSA (ABC)  AB là hình chiếu
của SB trên (ABC).

Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60 o_.

ABC

 _{vuông cân nên BA = BC =}

a
2

SABC =

2

1_BA.BC a

2 4 

o a 6

SAB SA AB.t an60   ₂



Vậy

2 3

ABC

1 1 a a 6 a 6

V₃S .SA_{3 4 2}  ₂₄

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i><b> Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA </b></i>
vng góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o_.

Tính thể tích hình chóp .
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không biết áp dụng định nghĩa đường thẳng vng góc mặt phẳng và
áp dụng định lý 3 đường vng góc .

+ Học sinh khơng xác định được góc giữa (SBC) với đáy (ABC).
+ Học sinh khơng biết tính đường cao của tam giác đều .

+ Học sinh khơng tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC và cạnh bên SA(ABC) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SA qua tam giác nào và công thức gì ?

<b>a</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

<b>M</b>
<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b> Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác

ABC đều nên AM BC _SABC (đl3) .

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 o_.
Ta có V = ABC

1_B.h 1_S _.SA

3 3

o 3a

SAM SA AMtan60 ₂



Vậy V =

3
ABC

1_B.h 1_S _.SA a 3

3 3  8

<i><b> Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA </b></i>
vng góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o_.

1) Tính thể tích hình chóp SABCD.

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh khơng biết áp dụng định lý 3 đường vng góc .

+ Học sinh khơng biết tính cạnh góc vng trong tam giác vuông cân .
+ Học sinh không xác định được góc giữa (SCD) với đáy ABCD.

+ Học sinh khơng tính được SA qua hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
+Học sinh không xác định được khoảng cách từ A đến (SCD)

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tứ giác ABCD và cạnh bên SA(ABCD) ? .

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

+ Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SA qua tam giác nào bởi cơng thức gì ?

<b>H</b>

<b>a</b>

<b>D</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>
<b>S</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

Lời giải: 1)Ta có SA (ABC) và

CD AD  CD SD _{( đl 3}).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o_.

SAD

 _{vuông nên SA = AD.tan60}o₌a 3

Vậy

2 3

ABCD a

1 1 a 3

V S .SA a 3

3 3 3

  

2) Ta dựng AH SD_{,vì CD}(SAD) (do (1) )

nên CD AH AH (SCD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4

SAD

AH SA AD 3a a 3a

     



Vậy AH =

a 3
2

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với </b>
BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o_.

Tính thể tích hình chóp . Đs: V =

3

a 2
6

<b>Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam</b>
giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o_{.Tính thể tích khối chóp SABC}

. Đs:

3

h 3

V ₃

<b>Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng tại A và SB vng góc với đáy ABC biết</b>
SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o_{và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60}o_{.Chứng minh}

rằng SC2_{= SB}2_{+ AB}2_{+ AC}2_{Tính thể tích hình chóp.}

Đs:

3

a 3

V ₂₇

<b> Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD</b>(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,

BC = 5 cm.

1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d =

12
34

<b>Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc</b>

 o

BAC 120 _{, biết}SA (ABC) _{và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45}o_{. Tính thể tích khối}

chóp SABC. Đs:

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng biết </b>

SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.

Đs:

3

a 3

V ₄₈

<b>Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng </b>
SA (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a

Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3

<b> Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A </b>
bằng 60o_{và SA}__{(ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.}

Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:

3

a 2

V ₄

<b> Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B </b>
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o

Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:

3

a 6

V ₂

<b> Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp </b>
trong nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD
một góc 45o_{.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:}

3

3R

V ₄

<b>2) Dạng 2 : </b>

<i><b>Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a</b></i>

Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vng góc theo giao tuyến.
+ Học sinh không xác định được đường cao của chóp .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tứ giác ABCD và mặtbên (SAB)(ABCD) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ H là trung điểm của AB. Chứng minh SH (ABCD) ?

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SH qua tam giác nào bởi cơng thức gì ?

Lời giải:

1) Gọi H là trung điểm của AB.

SAB

 _đều SH AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>a</b>
<b>H</b>

<b>D</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>A</b>
<b>S</b>

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =

a 3
2

suy ra

3
ABCD

1 a 3

V₃S .SH ₆

<i><b>Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , </b></i>
(ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .

Tính thể tích tứ diện ABCD.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vng góc theo giao tuyến.

+ Học sinh khơng xác định được góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng.
+ Học sinh quên tính chất đường cao của tam giác đều và tam giác cân .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC và BDC dựa vào (ABC)(BCD) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD trên (BCD) ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của BCD bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = AH qua tam giác nào bởi cơng thức gì ?

<b>o</b>
<b>60</b>
<b>a</b>

<b>H</b> <b>D</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b> Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà

(ABC)  (BCD)  _AH(BCD)_.

Ta có AHHD _{AH = AD.tan60}o ₌a 3

& HD = AD.cot60o₌

a 3
3

BCD

 _{BC = 2HD =}

2a 3

3 _{suy ra}

V =

3
BCD

1_S _.AH 1 1_{. BC.HD.AH} a 3

3 3 2  9

<i><b> Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có</b></i>

BC = a. Mặt bên SAC vng góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc
450_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh khơng nhớ tính chất của 2 mặt phẳng vng góc theo giao tuyến?
+ Học sinh khơng xác định được góc hợp bởi mặt bên chóp với đáy chóp.
+ Học sinh quên điều kiện 2 tam giác bằng nhau và tính chất chân đường phân
giác trong tam giác ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC và SAC dựa vào (SAC)(ABC) ? .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? và góc[(SBC),(ABC)] = ?

+ So sánh tam giác SHI và SHJ cho gì ? Suy ra AH là gì của tam giác ABC ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tích chất gì ?

45

I

J
H
A

C

B

S Lời giải:

a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SH

mp(ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC 

SIAB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 45  o

Ta có: <i>SHI</i> <i>SHJ</i>  <i>HI</i> <i>HJ</i> nên BH là
đường phân giác của ABC_{ừ đó suy ra H là trung}
điểm của AC.

b) HI = HJ = SH =2

<i>a</i>

 _V_SABC₌3 . 12

1 <i>_a</i>3

<i>SH</i>
<i>S_ABC</i> 
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại </b>
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:

3

a 3

V ₂₄

<b>Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = AC = a biết tam giác </b>
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với
(ABC) một góc 45o_{. Tính thể tích của SABC. Đs:}

3

a

V₁₂

<b>Bài 3: Cho hình chóp SABC có </b>BAC 90 ;ABC 30 o   o; SBC là tam giác đều cạnh a và
(SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:

2

a 2

V ₂₄

<b>Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = </b>
h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp

SABC. Đs:

3

4h 3
V

9

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng</b>
vng góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs:

3

a 6

V ₃₆

<b>Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng . Mặt bên SAB là tam giác đều</b>
có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD,

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:

3

4h

V ₉

<b>Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm </b>
trong mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o_{.Tính thể}

tích hình chóp SABCD. Đs:

3

a 3

V ₄

<b>Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB </b>

(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o_{.Tính thể tích}

hình chóp SABCD. Đs:

3

8a 3

V ₉

<b>Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác </b>
SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp
SABCD. Đs:

3

a 5

V ₁₂

<b>Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AD = CD = a</b>
; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính thể tích
khối chóp SABCD . Đs:

3

a 3

V ₂

<b>3) Dạng 3 : </b>

<i><b>Khối chóp đều</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. </b></i>
Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh quên điều kiện hai tam giác bằng nhau.

+ Học sinh quên tính chất của đoạn xiên và hình chiếu của đoạn xiên

+ Học sinh đa số qn tính chất của chóp đều nên không dựng được đường cao
của chóp đều .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO  (ABC) . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC bởi tích chất nào ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>a</b>

<b>2a</b>

<b>H</b>
<b>O</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b>

Lời giải:

Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC

suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên

AO =

2_AH 2 a 3 a 3

3 3 2  3

2

2 2 2 11a

SAO SO SA OA

3

   



a 11
SO

3

 

.Vậy

3
ABC

1 a 11

V₃S .SO ₁₂

<b>Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . </b>
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
<i><b>Hoạt động của giáo viên</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh</b>

+ Học sinh khơng chứng minh được ABCD là hình vng.
+ Học sinh khơng tính được đường cao SO.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO (ABCD) . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường trịn khơng? Suy ra gì từ giả thiết?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?

<b>a</b>
<b>O</b>

<b>D</b> <b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b>

Lời giải:

Dựng SO (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD _{ABCD là}

hình thoi có đường trịn gnoại tiếp
nên ABCD là hình vng .

Ta có SA2_{+ SB}2_{= AB}2_+BC2_{= AC}2

nên <i>ASC</i>_{vuông tại S}

2
2
<i>a</i>
<i>OS</i>

 



3
2

1 1 2 2

.

3 <i>ABCD</i> 3 2 6
<i>a</i> <i>a</i>
<i>V</i>  <i>S</i> <i>SO</i> <i>a</i> 

Vậy

3

a 2

V ₆

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh đa số quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Học sinh khơng xây dựng được đường cao của chóp đều .

+ Học sinh không xây dựng đường cao của MABC kẻ từ M
( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ?

+ Học sinh không nghỉ ra phương pháp tỉ số thể tích hai chóp có cùng đáy.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO  (ABC) . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = DO qua tam giác nào bởi định lí gì ?

+ Mặt phẳng (DCO)(ABC) ? Dựng MHOC suy ra điều gì ?Tính MH ?

<b>a</b>
<b>I</b>

<b>H</b>
<b>O</b>

<b>M</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>D</b>

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của <i>ABC</i>  <i>DO</i>(<i>ABC</i>)

1
.
3 <i>ABC</i>
<i>V</i>  <i>S</i> <i>DO</i>

2 ₃

4

<i>ABC</i>

<i>a</i>

<i>S</i> 

,

2 3

3 3

<i>a</i>
<i>OC</i>  <i>CI</i> 

2 2

ơ ó :

<i>DOC vu ng c</i> <i>DO</i> <i>DC</i> <i>OC</i>

  

6
3

<i>a</i>



2 3

1 3 6 2

.

3 4 3 12

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>

  

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH

1 6

2 6

<i>a</i>
<i>MH</i>  <i>DO</i>

2 3

1 1 3 6 2

. .

3 3 4 6 24

<i>MABC</i> <i>ABC</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i> <i>S</i> <i>MH</i>

   

Vậy

3

a 2

V ₂₄

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc </b> 60o_.

Tính thể tích hình chóp. Đs:

3

3a
V₁₆

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

là 45o_.

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH =

a
3

2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:

3

a

V₆
<b>Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy </b>
một góc 60o_{. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:}

3

a 3

V ₂₄

<b>Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30</b>o_.

Tính thể tích hình chóp. Đs:

3

h 3

V ₃

<b>Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh </b>
bằng 60o_{. Tính thể tích hình chóp. Đs:}

3

h 3

V ₈

<b>Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và </b>ASB 60 o_.

1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs:

2

a 3

S ₃

2) Tính thể tích hình chóp. Đs:

3

a 2

V ₆

<b>Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên </b>
bằng 60o_{. Tính thể tích hình chóp. Đs:}

3

2h

V ₃

<b>Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45</b>o_{và khoảng}

cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.

Tính thể tích hình chóp . Đs:

3

8a 3

V ₃

<b>Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60</b>o_.

Tính thề tích hình chóp. Đs:

3

a 3
V

12



<b>Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng </b>
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
nó bằng

3

9a 2

V ₂

. Đs: AB = 3a
<b>4) Dạng 4 : </b>

<i><b>Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, </b>AC a</i> 2 ,
SA vng góc với đáy ABC , <i>SA a</i>

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( _{) qua AG và song song}

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Một số học sinh khơng nhớ tính chất trọng tâm tam giác, định lý Talet

+ Học sinh không nhớ và không biết vận dụng công thức tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam
giác .

+Qua bài toán đơn giản này học sinh chưa nhận thức được cách tính thể tích khối thơng
qua khối khác để chuyển qua bài tốn khó hơn trong sách giáo khoa.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC vuông cân tại B và SA (ABC).

+ Dựng mặt phẳng qua G và // BC , cho MN //BC . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng cơng thức nào ?
+ Tìm h = SA qua tam giác nào bởi định lí gì ?

+ Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của SAMN
và SABC ? Suy ra điều gì ?

<b>G</b>
<b>M</b>

<b>N</b>

<b>I</b>
<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b>

Lời giải:
a)Ta có: .

1

.
3

<i>S ABC</i> <i>ABC</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>SA</i>

và <i>SA a</i>
+ <i>ABC c n c</i>â ó :<i>AC a</i> 2  <i>AB a</i>

2

1
2

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>a</i>

 

Vậy:

3
2

1 1

. .

3 2 6

<i>SABC</i>

<i>a</i>
<i>V</i>  <i>a a</i>
b) Gọi I là trung điểm BC.

G là trọng tâm,ta có :

2
3
<i>SG</i>

<i>SI</i> 



_{// BC} _{MN// BC}

2
3

<i>SM</i> <i>SN</i> <i>SG</i>
<i>SB</i> <i>SC</i> <i>SI</i>

   

4
.

9

<i>SAMN</i>
<i>SABC</i>

<i>V</i> <i>SM SN</i>
<i>V</i> <i>SB SC</i>

  

Vậy:

3

4 2

9 27

<i>SAMN</i> <i>SABC</i>

<i>a</i>

<i>V</i>  <i>V</i> 

<i><b>Ví dụ 2</b><b> :</b><b> Cho tam giác ABC vuông cân ở A và </b>AB a</i> _{. Trên đường thẳng qua C và vng}
góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho <i>CD a</i> _{. Mặt phẳng qua C vng góc với}
BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.

<i><b>a)</b></i>Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
<i><b>b)</b></i>Chứng minh <i>CE</i> (<i>ABD</i>)

<i><b>c)</b></i> Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

+ Học sinh chưa áp dụng được công thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ.
+ Học sinh không nhận ra ra tỉ số

2
2
<i>DE</i> <i>DC</i>

<i>DA</i> <i>DA</i> _{từ hệ thức}<i>DE DA DC</i>.  2_trong
tam giác vuông và khắc sâu để sử dụng.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC vng cân tại A và SC (ABC)

+ Dựng mặt phẳng qua C và BD cho thiết diện CEF.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?}

+ Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?

+Chứng minh CE vng góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?

+ Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và
DABC bằng tỉ số các đại lượng hình học trong tam giác vng nào ?

<b>a</b>

<b>a</b>
<b>F</b>

<b>E</b>

<b>B</b>

<b>A</b>
<b>C</b>

<b>D</b>

Lời giải:

a)Tính <i>VABCD</i> _:

3
ABCD 1 ABC a

V S .CD

3 6

 

b)Tacó: <i>AB</i><i>AC AB</i>, <i>CD</i>  <i>AB</i> (<i>ACD</i>)

<i>AB</i> <i>EC</i>

 

Ta có: <i>DB</i><i>EC</i> <i>EC</i> (<i>ABD</i>)
c) Tính <i>VDC</i>EF _{:Ta có:}

. (*)

<i>DCEF</i>
<i>DABC</i>

<i>V</i> <i>DE DF</i>
<i>V</i> <i>DA DB</i>
Mà <i>DE DA DC</i>.  2_{, chia cho}<i>_DA</i>2

2 2

2 2

1

2 2

<i>DE</i> <i>DC</i> <i>a</i>
<i>DA</i> <i>DA</i> <i>a</i>

   

Tương tự:

2 2

2 2 2

1
3

<i>DF</i> <i>DC</i> <i>a</i>

<i>DB</i> <i>DB</i> <i>DC</i> <i>CB</i> 
Từ(*)

1
6

<i>DCEF</i>
<i>DABC</i>

<i>V</i>
<i>V</i>

 

.Vậy

3

1

6 36

<i>DCEF</i> <i>ABCD</i>

<i>a</i>

<i>V</i>  <i>V</i> 

<i><b>Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng </b></i>()_{qua A, B và trung điểm M}

của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích 2
chóp tứ giác ?

+ Học sinh khơng biết cắt chóp tứ giác thành 2 tứ diện để áp dụng cơng thức tỉ số thể tích 2
tứ diện ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tứ giác đều ABCD và SO (ABCD)

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

+ Dựng BD và BN . Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các u cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
+ Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?

+ Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?

N
S

O
M

B
D

C

A

Lời giải:

Kẻ MN // CD (N <i>SD</i>)_{thì hình thang ABMN là}

thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(ABM).

+ <i>SADB</i> <i>SANB</i> <i>SADB</i> <i>SABCD</i>

<i>SAND</i> <i>_V</i> <i>_V</i> <i>_V</i>

<i>SD</i>
<i>SN</i>
<i>V</i>

<i>V</i>

4
1
2

1
2

1








<i>SABCD</i>
<i>SBCD</i>

<i>SBMN</i>
<i>SBCD</i>

<i>SBMN</i> <i>_V</i> <i>_V</i> <i>_V</i>

<i>SD</i>
<i>SN</i>
<i>SC</i>
<i>SM</i>
<i>V</i>

<i>V</i>

8
1
4

1
4

1
2
1
.
2
1

.     


Mà VSABMN = VSANB + VSBMN =

<i>SABCD</i>

<i>V</i>
8
3

.
Suy ra VABMN.ABCD =

<i>SABCD</i>

<i>V</i>
8
5

Do đó : 5
3
.


<i>ABCD</i>
<i>ABMN</i>

<i>SABMN</i>

<i>V</i>
<i>V</i>

<i><b>Ví dụ 4</b><b> :</b><b> </b></i>Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy góc 60. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB
tại E và cắt SD tại F.

a) Hảy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đoán các chướng ngại văn húa và nhận thức của học sinh: </b>

<b>+ Học sinh trung bình ,yếu kém khơng xác định được góc hợp bởi cạnh bên và </b>
đáy chóp.

<b>+Học sinh gặp khó khăn về quan hệ song song để xác định E,F.</b>

+Học sinh không nhận biết cách phân chia chóp tứ giác thành 2 chóp tam giác
+Học sinh khơng biết tính chất trọng tâm để dùng định lý Talet vào lập tỉ số

 <b> Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tứ giác đều ABCD và SO (ABCD)

+ Dựng mặt phẳng qua AM và song song BD cho EF//BD . Tại sao ?
+ Dựng I giao điểm của SO và EF tì I là gì của tam giác SAC. Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc giữa SA và ABCD là góc nào ?

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?}

+ Tìm h = SO qua tam giác và hệ thức lượng giác nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

+ Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ? Lập tỉ số thể tích của SAEMF và
SABCD bằng cách nào ?

+ Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
+ Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?

Lời giải:

a) Gọi <i>I</i> <i>SO</i><i>AM</i> _{. Ta có (AEMF) //BD}

EF // BD

b) . D D

1

.
3

<i>S ABC</i> <i>ABC</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>SO</i>

với <i>SABC</i>D <i>a</i>2

+ SOA_{có :}

6
.tan 60

2

<i>a</i>
<i>SO AO</i> 

 

Vậy :

3
. D

6
6
<i>S ABC</i>

<i>a</i>

<i>V</i> 

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

. EMF
<i>S A</i>

<i>V</i> _{= V}

SAMF + VSAME =2VSAMF

.
<i>S ABCD</i>

<i>V</i> _{= 2V}

SACD = 2 VSABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :

1
2
<i>SM</i>

<i>SC</i>

 

<i>SAC</i>_{có trọng tâm I, EF // BD nên:}

2
3

<i>SI</i> <i>SF</i>
<i>SO</i> <i>SD</i>

  

D

1
.

3

<i>SAMF</i>
<i>SAC</i>

<i>V</i> <i>SM SF</i>
<i>V</i> <i>SC SD</i>

  

3

D D

1 1 6

3 6 36

<i>SAMF</i> <i>SAC</i> <i>SAC</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>V</i> <i>V</i>

   

3 3

. EMF

6 6

2

36 18

<i>S A</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>

  

<i><b>Ví dụ 5</b><b> :</b><b> </b></i>Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
2

<i>SA a</i> _{. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC}

tại C’.

<i><b>a)</b></i>Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
<i><b>b)</b></i> Chứng minh <i>SC</i> (<i>AB D</i>' ')

<i><b>c)</b></i> Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

<b> + Kỹ năng dựng điểm C' của học sinh còn yếu .</b>

+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa tốt

+ Khơng nhận biết cách phân chia chóp tứ giác ra 2 chóp tam giác bằng nhau
+ Chưa áp dụng được cơng thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

<b>I</b>

<b>O</b>
<b>A</b>

<b>B</b> <b>_C</b>

<b>D</b>
<b>S</b>

<b>E</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

+ Dựng tứ giác ABCD và SA(ABCD)

+ Dựng thiết diện AB'C'D' theo giả thiết.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?}

+ Chứng minh SC vng góc 2 đường thẳng nào trong (AB'D') ?

+ Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
+ Hãy so sánh thể tích của SABC và SACD với SABCD ?

+ Hãy so sánh thể tích của SAB'C' và SAC'D' với SAB'C'D' ?
+ Lập tỉ số thể tích của SAB'C' với SABC . Suy ra điều gì ?

Lời giải:

a) Ta có:

3
.

1 2

.

3 3

<i>S ABCD</i> <i>ABCD</i>

<i>a</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>SA</i>

b) Ta có <i>BC</i> (<i>SAB</i>) <i>BC</i> <i>AB</i>'
& <i>SB</i> <i>AB</i>'_{Suy ra:}<i>AB</i>' ( <i>SBC</i>)
nên AB'SC .Tương tự AD'SC.

Vậy SC (AB'D')

c) Tính <i>VS A B C D</i>. ' ' '

+Tính <i>VS AB C</i>. ' '_{: Ta có:}

' ' '_. '_(*)

<i>SAB C</i>
<i>SABC</i>

<i>V</i> <i>SB SC</i>

<i>V</i> <i>SB SC</i>



<i>SAC</i>

vuông cân nên

' 1

2
<i>SC</i>

<i>SC</i> 
Ta có:

2 2 2

2 2 2 2

' 2 2 2

3 3

<i>SB</i> <i>SA</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SB</i> <i>SB</i> <i>SA</i> <i>AB</i>  <i>a</i> 
Từ

' ' 1

(*)

3

<i>SAB C</i>
<i>SABC</i>

<i>V</i>

<i>V</i>

 

3 3

' '

1 2 2

.

3 3 9

<i>SAB C</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>

  

+

3
. ' ' ' . ' '

2 2

2

9
<i>S AB C D</i> <i>S AB C</i>

<i>a</i>

<i>V</i>  <i>V</i> 

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể</b>
tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs:

1
k₄

<b>Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m</b>3_{,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao}

cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.
Đs: V = 2 m3

<b>A</b>
<b>S</b>

<b>I</b>

<b>O</b>

<b>D</b>

<b>B</b>

<b>C</b>
<b>C'</b>

<b>D'</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b>Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho</b>

a 2a

AB₂;AC'₃

. Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs:

3

a 2

V ₃₆

<b>Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m</b>3_{.Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N}

trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3

<b>Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh </b>a 3,đường cao SA = a.Mặt

phẳng qua A và vng góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
Đs:

3
a 3
V ₄₀

<b>Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m</b>3_{.Lấy A'trên SA sao cho}

SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại
B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3

<b>Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m</b>3_{, ABCD là hình bình hành , lấy M trên}

SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên
ABCDMN . Đs: V = 4m3

<b>Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung</b>
điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể
tích khối chóp SAMNP. Đs:

2

a h

V ₉

<b>Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của </b>
SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2
phần này. Đs:

1
k₂

<b>Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho</b>

SM x

SA  _{Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.}

Đs:

5 1
x ₂

<b>5) Dạng 5 : </b>

<i><b>Ơn tập khối chóp và lăng trụ</b></i>

<i><b>Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh 2a, SA vng </b></i>
góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: </b>

<b>+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng</b>

+ Học sinh gặp khó khăn khi tính SA và không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
+ Học sinh không xây dựng được đường cao của chóp kẻ từ M của chóp MBCD

( khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

+ Dựng H trung điểm AB. Nhận xét MH với AB ? Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại sao ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?}

+ Tính h = SA trong tam giác nào và hệ thức lương giác nào ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?}

+ MABCD có đường cao là gì ? tại sao ? Tính MH bởi tính chất gì ?

. <b>2a</b>

<b>o</b>
<b>60</b>

<b>H</b>

<b>D</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

<b>S</b>

Lời giải:
a)Ta có

1

.
3 <i>ABCD</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>SA</i>

+ <i>SABCD</i> (2 )<i>a</i> 2 4<i>a</i>2

+ <i>SAC c SA AC</i>ó :  tan<i>C</i> 2<i>a</i> 6

3

2

1 8 6

4 .2 6

3 3

<i>a</i>

<i>V</i> <i>a a</i>

  

b) Kẻ <i>MH</i> / /<i>SA</i> <i>MH</i> (<i>DBC</i>)
Ta có:

1
2
<i>MH</i>  <i>SA</i>

,

1
2

<i>BCD</i> <i>ABCD</i>

<i>S</i>  <i>S</i>

3
D

1 2 6

4 3

<i>MBC</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>V</i>

  

<i><b>Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt </b></i>
bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o_{.Tính thể tích khối chóp.}

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không biết cách xác định góc giữa 3 mặt bên hợp với đáy từ đó khơng
tính được chiều cao của chóp.

+ Học sinh khơng nhận ra chân đường cao là tâm đường trịn nội tiếp đáy chóp.
+ Học sinh khơng thuộc cơng thức Hêron và công thức S = pr

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng tam giác ABC và SH(ABC) với H (ABC) và H cách đều 3 cạnh tam giác ABC.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Xác định góc hợp bởi 3 mặt bên với đáy chóp ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của SABC là các đối tượng nào ?}

+ Tính B = SABC bằng công thức nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

60

A _C

B
H
S

F
E

J

Lời giải:

Hạ SH(<i>ABC</i>), kẽ HEAB, HFBC, HJAC

suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có

   O

SEH SFH SJH 60   

<i>SJH</i>
<i>SFH</i>

<i>SAH</i>  

 _{nên HE =HF = HJ = r}
( r là bán kính đường trịn ngọai tiếp <i>ABC</i>₎

Ta có SABC = <i>p</i>(<i>p</i> <i>a</i>)(<i>p</i> <i>b</i>)(<i>p</i> <i>c</i>)

với p = <i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

9

2 




Nên SABC =

2

2
.
3
.
4
.

9 <i>a</i>

Mặt khác SABC = p.r 3

6

2 <i>a</i>

<i>p</i>
<i>S</i>
<i>r</i>  


Tam giác vuông SHE:

SH = r.tan 600₌ <i>a</i>

<i>a</i>

2
2
3
.
3

6
2



Vậy VSABC =

3
2_.₂ ₂ ₈ ₃
6

6
3
1

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i> 

.
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có <i>AB a</i> 3 , AD = a,
AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đoán các chướng ngại vón hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh khơng nhớ định nghĩa và tính chất hộp chữ nhật .

+ Học sinh không xác định được chiều cao của chóp OA'B'C'D' ( khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng ) ?

+ Học sinh không xác định được đáy và chiều cao của chóp OBB'C' ( khoảng cách từ một
điểm đến mặt phẳng ) ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' và OBB'C' .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h của OA'B'C'D' là các đối tượng nào ?
+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của OBB'C' là các đối tượng nào ?}

+ Tính B = SBB'C' bằng cơng thức nào ?

+ Tính h = OM ? Dùng tam giác nào và tính chất gì ?

+ Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' và đáy là OBB'_{ta có chiều cao yêu cầu và}
dùng cơng thức nào để tìm nó ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>M</b>
<b>O</b>

<b>D'</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>D</b> <b>_C</b>

<b>B</b>

<b>A</b> a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

Ta có :<i>V</i> <i>AB A</i>. D.AA ' <i>a</i> 3.<i>a</i>2 <i>a</i>3 3

<i>ABD c DB</i>ó :  <i>AB</i>2 <i>AD</i>2 2<i>a</i>
* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao
giống khối hộp nên:

3
' ' ' '

1 3

3 3

<i>OA B C D</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>V</i>

  

b) M là trung điểm BC



<i>OM</i>



( ' ')

<i>BB C</i>

2 3

' ' ' '

1 1 3 3

. . .

3 3 2 2 12

<i>O BB C</i> <i>BB C</i>

<i>a a</i> <i>a</i>

<i>V</i> <i>S</i> <i>OM</i>

   

c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
diện OBB’C’. Ta có :

' '
'

3
' <i>OBB C</i>

<i>OBB</i>

<i>V</i>
<i>C H</i>

<i>S</i>



<i>ABD c DB</i>ó :  <i>AB</i>2 <i>AD</i>2 2<i>a</i>

2
'

1
2

<i>OBB</i>

<i>S</i> <i>a</i>

 

' 2a 3

<i>C H</i>

 

<i><b> Ví dụ 4</b><b> :</b><b> Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. </b></i>
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không nắm vững định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Từ đó không xác định được đáy và chiều cao khối tứ diện tương ứng .

+ Học sinh không xác định được các yếu tố để 2 tứ diện có thể tích bằng nhau .
<b>+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phản chia khối lập phương thành nhiều khối </b>
tứ diện có thể tích bằng nhau .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng khối lập phương và chóp ACB'D'.

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của ACB'D' là các đối tượng nào ?}

+ Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành 4 khối tứ diện có
thể tích bằng nhau nào ?

+ Khi đó nhận xét VACB'D'_vàVCB'D'C'_{? Suy ra điều gì ?}

Lời giải:

Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

<b>a</b>
<b>D'</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>D</b> <b>_C</b>

<b>B</b>

<b>A</b> bằng nhau nên có cùng thể tích.

Khối CB’D’C’ có

2 3

1

1 1 1

. .

3 2 6

<i>V</i>  <i>a a</i>  <i>a</i>

+Khối lập phương có thể tích:

3
2

<i>V</i>



<i>a</i>



3 3 3

' '

1 1

4.

6 3

<i>ACB D</i>

<i>V</i> <i>a</i>  <i>a</i>  <i>a</i>

<i><b>Ví dụ 5</b><b> :</b><b> Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.</b></i>
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.

b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
<i><b>Hoạt động của giáo viên:</b></i>

 <b>Gv : Dự đốn các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: </b>

+ Học sinh không xác định được giao điểm của mp(A'BE) với cạnh BC

+ Học sinh không xác định được đường cao kẻ từ C đến đáy A'B'B của tứ diện A'B'BC.
+ Học sinh không biết cách phân chia khối CA'B'FE thành 2 khối tứ diện đơn giản hơn để
tính được chiều cao dể dàng .

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :</b>

+ Dựng lăng trụ đứng tam giác đều ABCA'B'C'? Tại sao ?

 <b>Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:</b>

+ Phân tích V=

1

3_{B.h để tìm B và h của A'B'BC là các đối tượng nào ?}

+ Tính trực tiếp thể tích CA'B'FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành 2
khối tứ diện nào mà tính thể tích đơn giản hơn ?

<b>J</b>

<b>I</b> <b>F</b>

<b>E</b>

<b>C'</b>

<b>B'</b>
<b>A'</b>

<b>C</b>

<b>B</b>
<b>A</b>

Lời giải:

a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

' ' ' '

1

.
3

<i>A B BC</i> <i>A B B</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>CI</i>

2 3

1 3 3

.

3 2 2 12

<i>a a</i> <i>a</i>

 

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’
và CFA’B’.

+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao
A’A nên ' EF EF

1

. '
3

<i>A C</i> <i>C</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>A A</i>

2
EF

1 3

4 16

<i>C</i> <i>ABC</i>

<i>a</i>

<i>S</i>  <i>S</i> 

3
' EF

3
48

<i>A C</i>

<i>a</i>
<i>V</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

nên ' ' F FB'
1

. '
3

<i>A B C</i> <i>C</i>

<i>V</i>  <i>S</i> <i>A J</i>

2

FB' '

1

2 4

<i>C</i> <i>CBB</i>

<i>a</i>
<i>S</i>  <i>S</i> 

2 3

' ' F

1 3 3

3 4 2 24

<i>A B C</i>

<i>a a</i> <i>a</i>
<i>V</i>

  

+ Vậy :

3
A'B'FE

3

16

<i>C</i>

<i>a</i>

<i>V</i>



<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA</b>1B1C1 có ABC vng. AB = AC = a; AA1 = a 2. M là trung

điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 12

2

3

<i>a</i>

<b>Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng tại B, SA</b>(ABC). ACB = 60o,

BC = a, SA = a 3,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs:VMABC =

1
4<i>a</i>

3

<b>Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, </b>ACB = 90o_{. ∆SAC và}

∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đ s: VSABCD =

6
4

<b>Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:</b>
a) Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o_{. Đs: V =}

2
12

b) AB = 1, SA = 2 . Đs: V =

11
12

<b>Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, </b>
AB = a, AC = a 3. Hình chiếu vng góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VA’ABC theo a? Đs: V =

3

a
2

<b>Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và S</b>ABCD = 3 và góc giữa 2

đường chéo bằng 60o_{, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45}o_.

Tính VSABCD . Đs:

3
V ₃
<b>Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60</b>o_{, BSC = 90}o_,

CSA = 120o_{.Chứng minh rằng ∆ABC vng .Tính V}

SABC . Đs:

a 2
V₁₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

<b> Đs: </b>

3
.

3
3

<i>S BMDN</i>

<i>a</i>

<i>v</i> 

<b>Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M,</b>
N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE)
tạo ra. Đs: k = 1

<b>Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều </b>
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

<b> Đs : </b>

3

.

3

96

<i>M CNP</i>

<i>a</i>

<i>v</i>



<b>KẾT LUẬN</b>

Với một thời gian khơng nhiều , Chắc chắn cịn rất nhiều thiếu sót trong chuyên đề này.
Chắc chắn có nhiều ý kiến để thảo luận và chắc chắn cũng cịn có nhiều hồ nghi về tính thực
tiển của chuyên đề. Nhưng tôi tin chắc rằng, với cái “tâm” trong sáng của người thầy, chúng
ta sẽ tìm ra được một giải pháp nào đó, để giúp các HS Trung bình -Yếu đạt được chuẩn kiến
thức mơn hình học không gian . Hãy tạo cơ hội cho các học sinh thực sự có
nỗ lực vươn lên! Hãy giúp các em vượt qua khó khăn học tập mơn hình học khơng gian bằng
chính năng lực của mình! và đạt kết quả tốt đẹp nhất trong kỳ thi cuối cấp.

Tôi rất mong ý kiến đóng góp của các thầy, cơ giáo Tốn tỉnh Đồng Tháp .

<i> </i> <i> </i> Sađéc, ngày 25 tháng 10 năm 2009

<i> </i>
<i> </i>

</div>

<!--links-->