Bai tap gioi han va lien tuc cua ham so va huongdan giai

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

bài tập giới hạn và liên tục của hàm số

<i>(Dạng các bài mới do laisac biên soạn.)</i>

<i>? ? ? ? ? ? ? ? ?F? ? ? ? ? ? ? ??</i>

1

<b>A. Giới Hạn Của Hàm Số.</b>

<b>Bài 1.</b> lim

x−→1

(<i>x</i>3₋₂<i>_x</i>_{+ 1)}2010

(<i>x</i>3₋₄<i>_x</i>2_{+ 5}<i>_x</i>₋₂₎1005

<b>Bài 2.</b> lim

x−→+∞

√

<i>x</i>+ 2010−
√

<i>x</i>+ 209

√

<i>x</i>+ 2009−√<i>x</i>+ 208

<b>Bài 3.</b>lim

x−→0

<i>c</i>osx<i>.</i>√1 + x−1

<i>x</i>

<b>Bài 4.</b> lim

x−→−∞<i>x</i>

√

<i>x</i>2_{+ 2010}₋√<i>_x</i>2_{+ 1009}

<b>Bài 5.</b>lim

x−→1

<i>x</i>2010+ 4<i>x</i>4+ 3<i>x</i>3−8

<i>x</i>2010₊<i>_x</i>3_{+ 2}<i>_x</i>2₋₄

<b>Bài 6.</b> lim

x−→∞

(2<i>x</i>+ 1)2010(<i>x</i>2_{+ 3}<i>_x</i>_{+ 4)}

(2<i>x</i>+ 3)2009(2<i>x</i>3₋₄<i>_x</i>_{+ 7)}

<b>Bài 7.</b> lim

x−→2+

√
<i>x</i>−

√

2 +√<i>x</i>−2

√
<i>x</i>2₋₄

<b>Bài 8.</b> lim

x−→

<i>π</i>

3

2 cos<i>x</i>−1
tanx−

√

3

<b>Bài 9.</b>lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 3 +<i>x</i>3+<i>x</i>2−4

√

<i>x</i>+ 8−3 cos(<i>x</i>−1)

<b>Bài 10.</b>lim

x−→0

1−√<i>c</i>osx

√

2x2+ 2010−
√

<i>x</i>2_{+ 2010}

<b>Bài 11.</b> lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 3<i>.</i>√3

<i>x</i>+ 7−4

<i>x</i>−1

<b>Bài 12.</b> lim

x−→π+

√

1 +<i>c</i>osx
x−<i>π</i>

<b>Bài 13.</b>lim

x−→0

√

1 + sinx−√1−sinx

<i>x</i>

<b>Bài 14.</b> lim

x−→−∞

√

2010<i>x</i>2 _{+ 1 +}<i>_x</i>

√

2009<i>x</i>2 _{+ 1 +}<i>_x</i>

<b>Bài 15.</b> lim

x−→+∞

√

<i>x</i>2₋₃<i>_x</i>_{+ 2 + 4}<i>_x</i>_{+ 1}

3

√

8<i>x</i>2_{+ 1 + 2}₋<i>_x</i>

<b>Bài 16.</b>lim

x−→0

√

3−2 cos 2<i>x</i>−1
tan23<i>x</i>−tan2<i>x</i>

1<i>_{Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 17.</b>lim

x−→0

2 sin<i>x</i>−sin 2<i>x</i>

tan3<i>x</i>−_tanx<i>.</i>tan33<i>x</i>

<b>Bài 18.</b>lim

x−→0

1−cot<i>x.</i>cot 2<i>x</i>

1−cot 2<i>x.</i>cot 4<i>x</i>

<b>Bài 19.</b>lim

x−→0

<i>c</i>os2010x<i>.</i>cos2009x−1

<i>c</i>os2009x<i>.</i>cos2008x−1

<b>Bài 20.</b>lim

x−→1

2010√

1 +<i>x</i>−1

2009√

1 +<i>x</i>−1

<b>Bài 21.</b>lim

x−→0

2010x −1
2009x ₋₁

<b>B. Hàm số liên tục:</b>

<b>Bài 22.</b><i>Hàm số sau đây có liên tục tại x = 0, khơng?</i>

<i>f</i>(<i>x</i>) =










√

1−cos 2<i>x</i>

<i>x</i> ; <i>x <</i>0

cos

<i>x</i>+ 2007<i>π</i>
4

+ cos

<i>x</i>− 2009<i>π</i>

4

<i>,</i> <i>x</i>≥0

<b>Bài 23.</b> <i>Cho hàm số</i> <i>f</i>(<i>x</i>) = √<i>cos</i>2<i>x</i>−1

<i>x</i>2_{+ 1}₋₁<i>.</i>

<i>Tính f(0) để hàm số liên tục tại x =0.</i>

<b>Bài 24.</b> <i>Cho hàm số</i> <i>f</i>(<i>x</i>) =

(2<i>x</i>−<i>π</i>)

√

tan2<i>_x</i>_{+ 1;} <i>_{x >}</i> π

2

<i>A.</i>sin<i>x</i>; <i>x</i>≤ π

2

<i>Tìm A để hàm số liên tục tại</i> <i>x</i>= <i>π</i>
2<i>.</i>

<b>Bài 25.</b> <i>Cho hàm số</i> <i>f</i>(<i>x</i>) =
















6

√

3<i>x</i>−2−1

<i>x</i>−1 ; <i>x ></i>1
1

2; <i>x</i>= 1

<i>m.</i>
√

<i>x</i>2 ₋₂<i>_x</i>_{+ 1}

<i>x</i>−1 ; <i>x <</i> 1

<i>Đinh m để hàm số f(x) liên tục tại x =1.</i>

<b>Bài 26.</b> <i>Định k để hàm số sau đây liên tục trên tập số thực R.</i>

<i>f</i>(<i>x</i>) =

(

<i>x</i>cos 1

<i>x</i>; <i>x</i>6= 0
<i>k</i>; <i>x</i>= 0

2<i>_{Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>C. Hướng Dẫn Cách Giải:</b>

<b>Bài 1.</b>lim

x−→1

(<i>x</i>3₋₂<i>_x</i>_{+ 1)}2010

(<i>x</i>3₋₄<i>_x</i>2_{+ 5}<i>_x</i>₋₂₎1005 = limx−→1

(<i>x</i>−1)2010(<i>x</i>2₊<i>_x</i>₋₁₎2010

(<i>x</i>−1)2010(<i>x</i>−2)1005

<b>Bài 2.</b> lim

x−→+∞

√

<i>x</i>+ 2010−√<i>x</i>+ 209

√

<i>x</i>+ 2009−
√

<i>x</i>+ 208 =x−→lim+∞

√

<i>x</i>+ 2010 +√<i>x</i>+ 209

√

<i>x</i>+ 2009 +

√

<i>x</i>+ 208

<b>Bài 3.</b> lim

x−→0

<i>c</i>osx<i>.</i>√1 + x−1

<i>x</i> = limx−→0

<i>c</i>osx<i>.</i> √1 + x−1+<i>c</i>osx−1

<i>x</i> =

= lim

x−→1

<i>c</i>osx

√

1 + x + limx−→1

<i>c</i>osx−1
x

<b>Bài 4.</b> lim

x−→−∞<i>x</i>

√

<i>x</i>2_{+ 2010}₋√<i>_x</i>2_{+ 1009}<b>₌</b> _lim

x−→−∞

−1

r

1 +2010

<i>x</i> +

r

1 + 2009

<i>x</i>

<b>Bài 5.</b> lim

x−→1

<i>x</i>2010+ 4<i>x</i>4+ 3<i>x</i>3−8

<i>x</i>2010₊<i>_x</i>3 _{+ 2}<i>_x</i>2₋₄ = lim_x−→₁

(<i>x</i>2010−1) + (<i>x</i>−1) (4<i>x</i>3+ 7<i>x</i>2+ 7<i>x</i>+ 7)
(<i>x</i>2010₋_{1) + (}<i>_x</i>₋_{1) (}<i>_x</i>2_{+ 3}<i>_x</i>_{+ 3)}

<b>Bài 6.</b> lim

x−→∞

(2<i>x</i>+ 1)2010(<i>x</i>2_{+ 3}<i>_x</i>_{+ 4)}

(2<i>x</i>+ 3)2009(2<i>x</i>3₋₄<i>_x</i>_{+ 7)} = limx−→∞

2 + 1

<i>x</i>

2010

1 + 3

<i>x</i>+

4

<i>x</i>2

2 + 3

<i>x</i> 2−

4

<i>x</i>+

7

<i>x</i>2

<b>Bài 7.</b> lim

x−→2+

√
<i>x</i>−

√

2 +√<i>x</i>−2

√

<i>x</i>2₋₄ = limx−→2+

√
<i>x</i>−

√

2

√

<i>x</i>2₋₄ + lim_x−→₂+

1

√
<i>x</i>+ 2

<b>Bài 8.</b> lim

x−→

<i>π</i>

3

2 cos<i>x</i>−1
tanx−

√

3 = lim

x−→

<i>π</i>

3
2

<i>c</i>osx−1

2

tanx−
√

3 = lim

x−→

<i>π</i>

3

2<i>c</i>osx−cos<i>π</i>
3

tanx−tan<i>π</i>
3

<b>Bài 9.</b> lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 3 +<i>x</i>3+<i>x</i>2−4

√

<i>x</i>+ 8−3 cos(<i>x</i>−1) = limx−→1

√

<i>x</i>+ 3−2+<i>x</i>3+<i>x</i>2−2

√

<i>x</i>+ 8−3 + 3 (1−<i>c</i>os(x−1)) =

=
lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 3−2

<i>x</i>−1 + limx−→1

<i>x</i>3₊<i>_x</i>2 ₋₂

<i>x</i>−1
lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 8−3

<i>x</i>−1 + 3 limx−→1

(1−<i>c</i>os(x−1))

<i>x</i>−1

<b>Bài 10.</b> lim

x−→0

1−√<i>c</i>osx

√

2x2_{+ 2010}₋√<i>_x</i>2_{+ 2010} = limx−→0

(1−<i>c</i>osx)

√

2x2+ 2010 +

√

<i>x</i>2_{+ 2010}

<i>x</i>2_{(1 +}√<i>_c</i>_osx)

<b>Bài 11.</b>lim

x−→1

√

<i>x</i>+ 3<i>.</i>√3

<i>x</i>+ 7−4

<i>x</i>−1 = limx−→1

√

<i>x</i>+ 3 √3

<i>x</i>+ 7−2+ 2

√

<i>x</i>+ 3−2

<i>x</i>−1

<b>Bài 12.</b> lim

x−→π+

√

1 +<i>c</i>osx

x−<i>π</i> = limx−→π+

√

2<i>c</i>osx
2

x−<i>π</i> = limx−→π+

√
2



sin<i>π</i>
−<i>x</i>
2

x−<i>π</i>

<b>Bài 13.</b> lim

x−→0

√

1 + sinx−√1−sinx

<i>x</i> = limx−→0

2 sin<i>x</i>

<i>x</i> √1 + sinx +√1−sinx

3<i>_{Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 14.</b> lim

x−→−∞

√

2010<i>x</i>2 _{+ 1 +}<i>_x</i>

√

2009<i>x</i>2 _{+ 1 +}<i>_x</i> =x−→−∞lim

−<i>x</i>

r

2010 + 1

<i>x</i>2 +<i>x</i>

−<i>x</i>

r

2009 + 1

<i>x</i>2 +<i>x</i>

<b>Bài 15.</b> lim

x−→+∞

√

<i>x</i>2₋₃<i>_x</i>_{+ 2 + 4}<i>_x</i>_{+ 1}

3

√

8<i>x</i>2_{+ 1 + 2}₋<i>_x</i>

<b>Bài 16.</b>lim

x−→0

√

3−2 cos 2<i>x</i>−1

tan2₃<i>_x</i>₋_tan2<i>_x</i> = lim_x−→₀

2 (1−<i>c</i>os2x)

(tan3x−tanx) (tan 3<i>x</i>+ tanx) √3−2 cos 2<i>x</i>+ 1

<b>Bài 17.</b> lim

x−→0

2 sin<i>x</i>−sin 2<i>x</i>

tan3<i>_x</i>₋

tanx<i>.</i>tan3₃<i>_x</i> = lim_x−→₀

2 sin<i>x</i>(1−<i>c</i>osx)

tanx (tanx−_{tan3x) (tanx + tan3x)}

<b>Bài 18.</b>lim

x−→0

1−cot<i>x.</i>cot 2<i>x</i>

1−cot 2<i>x.</i>cot 4<i>x</i> = limx−→0

sinx<i>.</i>sin2x−cosx<i>.</i>cos2x
sin2x<i>.</i>sin4x−cos2x<i>.</i>cos4x<i>.</i>

sin 4<i>x</i>

sin 2<i>x</i> = limx−→0

−<i>c</i>os3x

−cos6x<i>.</i>
sin 4<i>x</i>

sin 2<i>x</i>

<b>Bài 19.</b> lim

x−→0

<i>c</i>os2010x<i>.</i>cos2009x−1

<i>c</i>os2009x<i>.</i>cos2008x−1 = limx−→0

<i>c</i>os2010x<i>.</i>(cos2009x−1) +<i>c</i>os2010x−1

<i>c</i>os2009x<i>.</i>(cos2008x−1) +<i>c</i>os2008x−1

<b>Bài 20. .</b><i>áp dụng hằng đẳng thức :a</i>n−<i>b</i>n = (<i>a</i>−<i>b</i>) (<i>a</i>n−1+<i>a</i>n−2<i>b</i>+<i>....</i>+<i>a</i>n−1)

<i>Có thể đặt ẩn số phụ.</i>

<b>Bài 21.</b> <i>áp dụng cơng thức :</i>lim

x−→0

<i>a</i>x₋₁

<i>x</i> = ln<i>a</i>

<b>Bài 22.</b> <i>Ta cóf</i>(0) = cos

2007<i>π</i>

4

+ cos

2009<i>π</i>

4

=−
√

2

<i>và</i> lim

x−→0+<i>f</i>(<i>x</i>) = lim_x−→₀−<i>f</i>(<i>x</i>) =−

√

2

<b>Bài 23.</b> <i>Ta có:</i>lim

x−→0

cos 2<i>x</i>−1

√

<i>x</i>2_{+ 1}₋₁ = limx−→0

−2 sin2<i>x.</i>
√

<i>x</i>2_{+ 1 + 1}

<i>x</i>2 =−4

<i>Do đó để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = -4.</i>

<b>Bài 24.</b> <i>ta có:</i> lim

x−→ <i>π</i>

2

<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>fπ</i>

2

=<i>A</i>

<b>Bài 25. Ta có</b> <i>f</i>(1) = 1
2
lim

x−→1+<i>f</i>(<i>x</i>) = lim_x−→₁+
6

√

3<i>x</i>−2−1

<i>x</i>−1 =
1
2
lim

x−→1−<i>f</i>(<i>x</i>) = lim_x−→₁−<i>A.</i>

√

<i>x</i>2₋₂<i>_x</i>_{+ 1}

<i>x</i>−1 = limx−→1−<i>A.</i>

|<i>x</i>−1|

<i>x</i>−1 =−<i>A</i>

<b>Bài 26. Ta có</b> − |<i>x</i>| ≤ |<i>x</i>|cos 1

<i>x</i> ≤ |<i>x</i>| ⇒x−→lim0

|<i>x</i>|cos 1

<i>x</i> = 0
<i>Suy ra</i> lim

x−→0<i>x</i>cos

1

<i>x</i> = 0

hết

4<i>_{Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.}</i>

</div>

<!--links-->