Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình 8

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o quÕ s¬n
Tµi liÖu båi dìng
m«n h×nh häc 8
( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái )
Lu hµnh néi bé
1
Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !
Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,
học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận
chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy cô
giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn.
Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các
chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để
khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không
theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau :
I. Tứ giác, hình thang.
II. Hình bình hành .
III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông .
IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm .
V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng .
VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago.
Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản :
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
- Chứng minh thẳng hàng .
- Chứng minh song song, vuông góc . . .
- Chứng minh đồng quy.
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
- Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng .
- Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân

,hình bình hành, hình thoi, hình vuông . . . .
3. Bài tập tính toán .
- Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán về diện tích .
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
5. Bài toán cực trị hình học .
- Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào
đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
6. Các bài toán tổng hợp .
Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí
thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn
thiếu sót.
Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô.
Bộ phận chuyên môn THCS.
I. Tø gi¸c, h×nh thang :
2
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên
BC và AD . Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh
C,D,K thẳng hàng .
HD :
Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh đợc
DAK cân tại D.
Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA
BK là phân giác của góc B .
Đpcm.
TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các
góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm .

Bài toán 1b :
Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD
đồng quy .
HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung
điểm của AC .
- Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA.
- Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung
điểm I của FE.
- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I
- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I .
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
3
A
B
KD C
D
C
A
B
F
A
J
E
I
Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh
A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác
NMPH là hình thang cân .
HD : - MNHP là hình thang

- MP = AC/2 ( Đờng TB )
- HN = AC/2 ( Đờng TT )
đpcm
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đ-
ờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F.
Chứng minh AEM = BFM .
HD :
- Gọi I là trung điểm của BD.
- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).
- IM // DE và IN //CF
đpcm .
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh
AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt
nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác .
HD :
Trong tam giác MKE đợc MKE = 180
0
- (KMD +KED+DME+DEM)
4
D
N C
A
B
E
F
M
I

M
K
A
EB C
D
B C
A
H P
M
N
DME+DEM = 180
0
- D .
KMD = (180
0
- C - B)/2
KED = (180
0
-A-B)/2
Thay vào ta đợc : MKE = 180
0
-((180
0
-C-B +180
0
-A-B )/2 +180
0
-D)
= (360
0

-360
0
+A+C+2B - 360
0
+2D)/2
= (A+B+C+D+B+D-360
0
)/2= (B+D)/2
Bài toán 3b :
Cho hình thang ABCD. M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O
là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang . Đờng
thẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF .
HD : Chứng minh S
BNMA
= S
NCDM
(Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).
Chứng minh S
BEN
=S
NFC
và S
EAM
= S
FMD
để đợc S
EMN
=S
FMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác
OE =OF
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích :
Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE
cắt BC tại I .
Có : S
ADM
= S
ABCM
= S
AME
=> S
ABI
= S
CEI
S
ABC
= S
EBC
=> BE// AC.
Cách dựng :
- Dựng đờng chéo AC.
5
A
B
C

D
M
E
I
B
C
A
D
E
F
N
M
O
H
I
- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E.
- Lấy M là trung điểm của DE.
- AM là đờng thẳng cần dựng .
TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng đ-
ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng
trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên .
Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng
thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích :
Giả sử đã dựng đợc IJ . Sử dụng phơng pháp biến đổi về tam giác tơng đ-
ơng .Ta có các bớc phân tích :
Xác định điểm F trên tia DC sao cho S
IJCB
= S
IJF

. Lúc đó S
BIC
= S
FIC
.Suy ra
BF//IC .
Xác định điểm E trên tia CD sao cho S
IJAD
= S
IJE
. Lúc đó S
AID
= S
EID
.Suy ra
AE//ID .
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
- Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng
thẳng song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB +
MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá
trị nhỏ nhất .
Thật vậy, M O ta có :
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .

Với M bất kỳ trong tứ giác ta có :
MA +MC AC
6
A
D
E
B
C
F
I
J
MB + MD BD
MA +MB +MC +MD AC + BD.
MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D
Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C
Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O
Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD .
Dấu = xảy ra lúc M [BD]
MA + MB +MC +MD AC + BD A B
Dấu = xảy ra lúc M[AC] và M[BD]
M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) .
Bài toán 5b :
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ
giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại .
Giải :
Gọi I là trung điểm của AC ta có : C
MI = BC / 2 B
IN = AD / 2 I
MI + IN = ( BC +AD)/ 2 M N
Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN MN

MN (BC + AD) / 2 =>đpcm . A
D
II. Hình bình hành :
1. Các bài toán về vị trí tơng đối :
Bài toán 1a :
Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi
D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm
của OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
Giải :
Dựa vào tính chất của đờng trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
NEDL là hình bình hành .
đpcm
Bài toán 1b :
7
A
B C
D
E
F
L
N
O
M
Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy .
HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quy
bằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng .
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đối
diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .

- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung
trực của MN .
- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trung
trực .
- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao của
tam giác ABC đồng quy .
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2a:
Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt
là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :
Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm của
mỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF ).
8
A
B
C
D
E
F
M
N
P
Q
A
B
C
M
N
P

H
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;
G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành
CABH .
a. Chứng minh BD // GH .
b. Chứng minh HD = 2EF .
HD :
a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình
hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :
Bài toán 3a :
Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75
0
và O là giao đIểm hai đờng chéo .
Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc BC ) .
Tính góc EOF .
Có O là trung điểm của DB .
Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75
0
= 150
0
.
9
A

B
C
D
E
F
O
D
A
E
F
C
H
G
B
J
I
Bài toán 3b :
Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần l-
ợt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính
số đo các góc của tam giác GIB .
HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC .
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có đợc GIB =90
0
và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Có DGE = 120
0
( Do ADE đều ) nên BGI = 60
0

và GBI = 30
0
.
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a :
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên
cạnh AB .
Bài toán 4b :
Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax
điểm M và trên Ay điểm N để :
a. O là trung điểm của MN .
b. OM =2ON.
Giải :
10
B C
A
K
I
G
D
A
E
O
O
A
B
C
E
D

I
x
a. C
1
:( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích :
Gọi O là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ
giác AMON là hình bình hành .
Cách dựng :
- Dựng O đối xứng với A qua O.
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N
C
2
:( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )
Phân tích :
Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt
Ax tại trung điểm của AN .
Cách dựng :
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O
1
. Trên tia Ax dựng
M sao cho O
1
là trung điểm của AM.
- Tơng tự trong cách dựng N .
b.
(x)
N
1

(y)
HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung
tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5a :
Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng :
AB + AC 2AM .
Giải : Lấy A
1
là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
ABA
1
C là hình bình hành .
BA
1
= AC và AA
1
= 2AM
AB +AC = AB + BA
1
. B C
Lại có : AB + BA
1
> AA
1
M
11
A
O
M

N
M
N
y
D
AB + AC > AA
1
=2AM => đpcm A
1
Bài toán 5b :
Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì
lớn hơn .
A
M N
B I H C D
Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)
Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND.
MN = BI =CD .
Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên )
HI + IB < HC + CD => HB < HD
NB < ND => NB < MC .
Bài toán 5c :
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ
nhất .
HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc :
PM + MN + NQ = PP + PN + NQ
Do PP = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất .
P,N,Q thẳng hàng .
Dễ dàng suy ra cách dựng .

12
P
Q
N
M
P
II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm
của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH )
- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC có AD là đờng cao . Về phía ngoài của tam giác dựng
các hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng
nhau để đợc :
IAH = BCA .
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đờng cao của tam
giác IBC .
13
A D
CB
H
M
K

I
A
B D C
G
E
F
I
H
Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG
bằng nhau . Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với
IC
Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD . BN,
CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh đợc
IC = 2AB.
Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên
CM vuông góc với NB .
Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2b:
Cho hình vuông ABCD . Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân
FAB (FA=FB) sao cho FAB = 15
0
. Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều .
HD :
C
1

:
Dựng về phía ngoài của tam giác
tam giác đều ABF. Các tam giác FAF và
FBF bằng nhau từ đó chứng minh đợc
tam giác FAF cân tại F (Hai góc đáy
bằng 75
0
) => FF = FA = AB.
Tứ giác ADFF có DA song song
và bằng FF nên nó là hình bình hành .
DF = FA = AB
Tơng tự cũng có CF = FB = AB
Tam giác FDC đều
C
2
: Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =15
0
. CI cắt FB tại J.
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90
0
-(15
0
+15
0
) = 60
0
. nên tam giác
FBI đều .
IJB = 15
0

+ 15
0
= 30
0
nên CJ là trung trực của FB => CF = CB.
Tơng tự ta cũng có DF = DA =>đpcm .
14
A
B
D
C
P
M
N
I
A B
CD
F
F
I
J