Phần 4:Phương trình đối xứng theo sin cos

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

() ( )
asinx cosx bsinxcosx c 1++ =

Cách giải
Đặt =+ ≤t sin x cos x với điều kiện t 2
Thì
t 2 sin x 2 cos x
44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
=+=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Ta có :
( )
2
t 1 2sin x cos x nên 1 thành=+
()
2
b
at t 1 c
2
+−=

2
bt 2at b 2c 0⇔+−−=

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤
giải phương trình
π
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠
2sin x t
4
ta tìm được x
Bài 106 : Giải phương trình
( )
23
sin x sin x cos x 0 *++=
(*)
()
( )
2
sin x 1 sin x cos x 1 sin x 0⇔++−=
() ( )
⇔+ = + − =1sinx 0haysinxcosx1sinx 0

( )
()
sin x 1 1
sin x cos x sin x cos x 0 2
=−⎡
⇔
⎢

+− =
⎢
⎣

() ()
()
2
1x k2kZ
2
Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x
π
•⇔=−+π∈
π
⎛⎞
•=+=−
⎜⎟
⎝⎠
≤=+

Vậy (2) thành
2
t1
t0
2
−
−=

()

2
t2t10
t1 2
t1 2loại
⇔−−=
⎡
=−
⇔
⎢
=+
⎢
⎣

Do đó ( 2 )
⇔
2cos x 1 2
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠


π
⎛⎞
⇔−=−=ϕ<ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
π

⇔−=±ϕ+ π∈ ϕ= −
π
⇔=±ϕ+ π∈ ϕ= −


2
cos x 1 cos với 0 2
42
2
xh2,h,vớicos
42
2
xh2,h,vớicos
42
π
1
1


Bài 107 : Giải phương trình
()
33
3
1 sin x cos x sin 2x *
2
−+ + =

() ( )( )
3
* 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2x

2
⇔− + + − =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện t2≤
Thì
2
t12sinxcos=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
2
t1 3
1t1 t 1
22
⎛⎞
−
−+ − = −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()()
()
()
()
22
32
2
2t3t 3t 1
t3t3t10
t1t 4t1 0
t1t 2 3t 2 3loại
⇔− + − = −
⇔+ −−=
⇔− ++=
⇔=∨=−+ ∨=−−

với t = 1 thì
1
sin x sin
44
2
ππ
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔+= = π∨+= + π∈
π

⇔= π∨=+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2 x k2,k
2

với
π−
⎛⎞
=− += =
⎜⎟
⎝⎠
32
t32thìsinx sin
4
2
ϕ

ππ −
⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈ =
ππ −
⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈ = ϕ


32
xm2x m2,m,vớis
44

2
33
xm2x m2,m,vớisin
44
2
ϕin
2

Bài 108
:Giải phương trình
() ( )
2sinx cosx tgx cotgx*+=+

Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⇔≠
⎨
≠
⎩
Lúc đó (*)
()
sin x cos x
2sinx cosx
cos x sin x
⇔+=+

()
22
sin x cos x 1
2sinx cosx
sinxcosx sinxcosx
+
⇔+= =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì
=+ ≤ ≠
22
t12sinxcosxvớit 2vàt1

(*) thành
2
2
2t
t1
=
−

3
2t 2t 2 0⇔−−=

(Hiển nhiên
t
không là nghiệm)
1
=±
()()
()
2
2
t22t2t20
t2
t 2t 1 0 vô nghiệm
⇔− ++ =
⎡
=
⇔
⎢
++=
⎢
⎣

Vậy
()
⇔*
2sin x 2
4
π

⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔+=+ π∈
π
⇔=+ π∈


sin x 1
4
xk2,k
42
xk2,k
4


Bài 109 : Giải phương trình
()( ) ( )
3cotgx cosx 5tgx sinx 2*−−−=

Với điều kiện
sin

, nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx thì :
2x 0
≠
0
≠
() ( ) ( )
⇔−−−=
22
* 3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 2sin x cos x

( ) ( )
() ()
()(
()
()
⇔−−−= −
⇔−+−−+⎡⎤⎡
⎣⎦⎣
⇔−+−−+
+− =
⎡
⇔
⎢
−=
⎢
⎣
22
3cos x1 sinx 5sin x1 cosx 5sinxcosx 3sinxcosx
3cos x cos x 1 sin x sin x 5sin x sin x 1 cos x cos x 0
3cos x cos x sin x cos x sin x 5 sin x sin x sin x cos x cos x 0

sin x cos x sin x cos x 0 1
3cosx 5sinx 0 2
)
=⎤
⎦
=

( Ghi chú: A.B + A.C = A.D
⇔
A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì với điều kiện :
2
t12sinxcos
=+
x
t 2 và t 1≤ ≠±

(1) thành :
2
2
t1

t0t2t
2
−
10
− =⇔ − −=

()
()
t1 2loạidot 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎡
=+ ≤
⎢
⇔
⎢
=−
⎣

Vậy
()
12
sin x sin 0 2
42
π−
⎛⎞
+= =α<α<π
⎜⎟
⎝⎠

ππ

⎡⎡
+=α+ π =α−+ π
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−α+ π ∈ = −α+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
 
xk2 xk2
44
3
xk2,kxk2,
44
k

() ()
⇔ ==β⇔=β+π∈ <β<π

3
2 tgx tg x h , h với 0
5


Bài 110
: Giải phương trình
( )
()

32
2
31 sinx
x
3tg x tgx 8cos *
42
cos x
+
π
⎛⎞
−+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Lúc đó : (*)
()
()
()
22
tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x 4 1 cos x
2
⎡ ⎤
π
⎛⎞
⇔−+++=+−
⎜⎟
⎢ ⎥

⎝⎠
⎣ ⎦

()
41 sinx=+

()
()
( )
()
()
()
()
()
()
22
2
2
2
tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0
3tg x 1 sin x cos x sin x cosx 0
3tg x 1 1
sinx cosx sinxcosx 0 2
⎡⎤
⇔−+++−
⎣⎦
⇔−++=
⇔− ++ =
⎡

=
⇔
⎢
++ =
⎢
⎣
=

()
2
13
(1) t
g xtgxx
336
Giải 2 đặt t sin x cosx 2 sin x
4
π
•⇔ =⇔ =± ⇔=±+πk
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
+

Với điều kiện
t 2 và t 1
≤≠±

Thì

2
t12sinxcosx
=+
(2) thành :
2
2
t1
t0t2t1
2
−
0
+ =⇔ + −=

()
()
t 1 2 loại diều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện
⎡
=− − ≤
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣

Vậy
21
sin x sin
4
2

π−
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
xk2,k xk2,k
44
3
xk2,kxk2,
44
ππ
⎡⎡
+=ϕ+ π∈ =ϕ−+ π∈
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−ϕ+ π ∈ = −ϕ+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
¢¢
¢¢
k


Bài 111
: Giải phương trình
( )

−= −+
33
2sin x sinx 2cos x cosx cos2x *

()
()
()
33 22
* 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
⇔−−−+−=

()( )
()
()
sinx cosx 0 hay 2 1 sinxcosx 1 sinx cosx 0
sin x cosx 0 1
sin x cosx sin2x 1 0 2
⇔−= + −+ + =
−=⎡
⇔
⎢
++ +=
⎢
⎣

()
()
1tgx1
xk,k
4

xét 2 đặt t sinx cosx 2 cosx x
4
•⇔ =
π
⇔=+π∈
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
¢
−

Với điều kiện :
t2≤
2
t1sin2x=+
()
()
2
Vậy 2thànht t 1 1 0
+−+=

()
tt 1 0 t 0 t 1⇔+=⇔=∨=−

Khi t = 0 thì
cos x 0
4
π

⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

()
x2k1,k
42
3
xk,k
4
ππ
⇔− = + ∈
π
⇔= +π∈
¢
¢

Khi
13
t1thìcosx cos
44
2
ππ
⎛⎞
=− − =− =
⎜⎟
⎝⎠

3

xk2,k
44
xk2hayx k2,k
2
ππ
⇔− =± + π∈
π
⇔=π+ π =−+ π∈
¢
¢


Bài 112
: Giải phương trình
( )
234 2 3 4
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+++=+ + +


Ta có : (*)
()
()( ) ( )
() ()( )()
22 33 44
sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cosx 0 hay 1 sin x cos x 1 sin x.cos x sin x cos x 0
⇔−+ − + − + − =
⇔− = ++++ ++ =
()
() ()

sin x cosx 0 1
2 sinx cosx sin x cos x 2 0 2
−=⎡
⇔
⎢
++ +=
⎢
⎣

Ta có : (1)
tgx 1⇔=
xk,k
4
π
⇔=+π∈
¢

Xét (2) : đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2

t12sinxcosx=+
(2) thành
2
t1
2t 2 0
2
−
++=
()
2
t4t30
t1t3loại
⇔++=
⇔=−∨=−

khi t = -1 thì
13
cos x cos
44
2
ππ
⎛⎞
−=− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
3

xk2,
44
xk2,k
xk2,k
2
ππ
⎡
−= + π∈
⎢
⇔
⎢
ππ
⎢
−=− + π∈
⎢
⎣
=π+ π ∈
⎡
⎢
⇔
π
⎢
=− + π ∈
⎣
¢
¢
¢
¢
k

Bài 113
: Giải phương trình
( )
( )
−+−=
233
tg x1 sinx cosx 1 0*

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Lúc đó (*)
()
2
33
2
sin x
1sinx cosx1 0
cos x
⇔−+−=
()( )( )( )
()()
()
()( )
()
23 32
22
1cosx1sinx 1cosx1sinx 0
1cosx1sinx 0

hay 1 cosx 1 sinx sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0
⇔− − −− − =
⇔− − =
+++−++ +
()
()
22 2 2
cosx 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện
sin x sin x cos x cos x sin x cos x 0
⎡
=
⎢
⇔=
⎢
⎢
+−−=
⎢
⎣
=

()
22
cos x 1
sin x cos x sin x cosx sin x cos x 0
=
⎡
⇔
⎢
−+ −=

⎣

cosx 1
sin x cos x 0 hay sin x cos x sin x cos x 0
=
⎡
⇔
⎢
−= ++ =
⎣

cos x 1 tgx 1
sinx cosx sinxcosx 0
=∨ =
⎡
⇔
⎢
++ =
⎣

xk2,k
xk,k
4
sin x cosx sin x cos x 0
=π∈
⎡
⎢
π
⎢
⇔=+π∈

⎢
⎢
++ =
⎣
¢
¢

xét pt
s

inx cosx sinxcosx 0
++ =
đặt
()
t sin x cosx 2 cosx x điều kiện t 2 và t 1
4
π
⎛⎞
=+ = − ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠
2
t 1 2sinxcosx⇒=+

Ta được phương trình
2
2
t1
t0t2t1
2

−
+=⇔+−=0
()
()
t12loại
t12nhậnsovớiđk
⎡
=− −
⎢
⇔
⎢
=− +
⎣

Vậy
21
co s x cos
4
2
π−
⎛⎞
−= =ϕ
⎜⎟
⎝⎠
xk2,kxk2,
44
ππ
⇔− =±ϕ+ π∈⇔= ±ϕ+ π∈
¢¢
k

Bài 114
: Cho phương trình
()( )
m sin x cosx 1 1 sin 2x *++=+

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0,
2
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛
=+ = −
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, điều kiện t2≤
Thì
2
t1sin2=+ x
Vậy (*) thành :

()
2
mt 1 t+=
Nếu
3
0x thì x
24 44
ππ π
≤≤ ≤+≤
π

Do đó
2
sin x 1
24
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
≤
1t 2⇔≤≤

ta có
()
2
mt 1 t+=
2
t
m

t1
⇔=
+
(do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
Xét
2
t
ytrên1,
t1
⎡⎤
=
⎣⎦
+
2
Thì
()
2
2
t2t
y' 0 t 1, 2
t1
+
⎡⎤
=>∀∈
⎣⎦
+

Vậy y tăng trên
1, 2
⎡⎤

⎣⎦

Vậy (*) có nghiệm trên
()
()
1, y 1my 2
2
π
⎡⎤
⇔≤≤
⎢⎥
⎣⎦

()
⇔≤ ≤ −
1
m2 21
2