Tải bản đầy đủ (.pdf) (19 trang)

Phần 4:Phương trình đối xứng theo sin cos

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.64 KB, 19 trang )

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

() ( )
asinx cosx bsinxcosx c 1++ =

Cách giải
Đặt =+ ≤t sin x cos x với điều kiện t 2
Thì
t 2 sin x 2 cos x
44
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
=+=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Ta có :
( )
2
t 1 2sin x cos x nên 1 thành=+
()
2
b
at t 1 c
2
+−=

2
bt 2at b 2c 0⇔+−−=



Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤
giải phương trình
π
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠
2sin x t
4
ta tìm được x
Bài 106 : Giải phương trình
( )
23
sin x sin x cos x 0 *++=
(*)
()
( )
2
sin x 1 sin x cos x 1 sin x 0⇔++−=
() ( )
⇔+ = + − =1sinx 0haysinxcosx1sinx 0

( )
()
sin x 1 1
sin x cos x sin x cos x 0 2
=−⎡



+− =



() ()
()
2
1x k2kZ
2
Xét 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x
π
•⇔=−+π∈
π
⎛⎞
•=+=−
⎜⎟
⎝⎠
≤=+

Vậy (2) thành
2
t1
t0
2

−=

()

2
t2t10
t1 2
t1 2loại
⇔−−=

=−


=+



Do đó ( 2 )

2cos x 1 2
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠


π
⎛⎞
⇔−=−=ϕ<ϕ<
⎜⎟
⎝⎠
π

⇔−=±ϕ+ π∈ ϕ= −
π
⇔=±ϕ+ π∈ ϕ= −


2
cos x 1 cos với 0 2
42
2
xh2,h,vớicos
42
2
xh2,h,vớicos
42
π
1
1


Bài 107 : Giải phương trình
()
33
3
1 sin x cos x sin 2x *
2
−+ + =

() ( )( )
3
* 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2x

2
⇔− + + − =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện t2≤
Thì
2
t12sinxcos=+ x
Vậy (*) thành :
()
2
2
t1 3
1t1 t 1
22
⎛⎞

−+ − = −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


()()
()
()
()
22
32
2
2t3t 3t 1
t3t3t10
t1t 4t1 0
t1t 2 3t 2 3loại
⇔− + − = −
⇔+ −−=
⇔− ++=
⇔=∨=−+ ∨=−−

với t = 1 thì
1
sin x sin
44
2
ππ
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠

ππ π π
⇔+= = π∨+= + π∈
π

⇔= π∨=+ π ∈


3
xk2x k2,k
44 4 4
xk2 x k2,k
2

với
π−
⎛⎞
=− += =
⎜⎟
⎝⎠
32
t32thìsinx sin
4
2
ϕ

ππ −
⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈ =
ππ −
⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈ = ϕ


32
xm2x m2,m,vớis
44

2
33
xm2x m2,m,vớisin
44
2
ϕin
2

Bài 108
:Giải phương trình
() ( )
2sinx cosx tgx cotgx*+=+

Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0


⇔≠



Lúc đó (*)
()
sin x cos x
2sinx cosx
cos x sin x
⇔+=+


()
22
sin x cos x 1
2sinx cosx
sinxcosx sinxcosx
+
⇔+= =

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì
=+ ≤ ≠
22
t12sinxcosxvớit 2vàt1

(*) thành
2
2
2t
t1
=



3
2t 2t 2 0⇔−−=

(Hiển nhiên
t
không là nghiệm)
1

()()
()
2
2
t22t2t20
t2
t 2t 1 0 vô nghiệm
⇔− ++ =

=


++=



Vậy
()
⇔*
2sin x 2
4
π

⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔+=+ π∈
π
⇔=+ π∈


sin x 1
4
xk2,k
42
xk2,k
4


Bài 109 : Giải phương trình
()( ) ( )
3cotgx cosx 5tgx sinx 2*−−−=

Với điều kiện
sin

, nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx thì :
2x 0

0

() ( ) ( )
⇔−−−=
22
* 3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 2sin x cos x

( ) ( )
() ()
()(
()
()
⇔−−−= −
⇔−+−−+⎡⎤⎡
⎣⎦⎣
⇔−+−−+
+− =



−=


22
3cos x1 sinx 5sin x1 cosx 5sinxcosx 3sinxcosx
3cos x cos x 1 sin x sin x 5sin x sin x 1 cos x cos x 0
3cos x cos x sin x cos x sin x 5 sin x sin x sin x cos x cos x 0

sin x cos x sin x cos x 0 1
3cosx 5sinx 0 2
)
=⎤

=

( Ghi chú: A.B + A.C = A.D

A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

Thì với điều kiện :
2
t12sinxcos
=+
x
t 2 và t 1≤ ≠±

(1) thành :
2
2
t1

t0t2t
2

10
− =⇔ − −=

()
()
t1 2loạidot 2
t 1 2 nhận so với điều kiện

=+ ≤



=−


Vậy
()
12
sin x sin 0 2
42
π−
⎛⎞
+= =α<α<π
⎜⎟
⎝⎠

ππ

⎡⎡
+=α+ π =α−+ π
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−α+ π ∈ = −α+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
 
xk2 xk2
44
3
xk2,kxk2,
44
k

() ()
⇔ ==β⇔=β+π∈ <β<π

3
2 tgx tg x h , h với 0
5


Bài 110
: Giải phương trình
( )
()

32
2
31 sinx
x
3tg x tgx 8cos *
42
cos x
+
π
⎛⎞
−+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Lúc đó : (*)
()
()
()
22
tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x 4 1 cos x
2
⎡ ⎤
π
⎛⎞
⇔−+++=+−
⎜⎟
⎢ ⎥

⎝⎠
⎣ ⎦

()
41 sinx=+

()
()
( )
()
()
()
()
()
()
22
2
2
2
tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0
3tg x 1 sin x cos x sin x cosx 0
3tg x 1 1
sinx cosx sinxcosx 0 2
⎡⎤
⇔−+++−
⎣⎦
⇔−++=
⇔− ++ =


=


++ =


=

()
2
13
(1) t
g xtgxx
336
Giải 2 đặt t sin x cosx 2 sin x
4
π
•⇔ =⇔ =± ⇔=±+πk
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
+

Với điều kiện
t 2 và t 1
≤≠±

Thì

2
t12sinxcosx
=+
(2) thành :
2
2
t1
t0t2t1
2

0
+ =⇔ + −=

()
()
t 1 2 loại diều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện

=− − ≤



=− +


Vậy
21
sin x sin
4
2

π−
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
xk2,k xk2,k
44
3
xk2,kxk2,
44
ππ
⎡⎡
+=ϕ+ π∈ =ϕ−+ π∈
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
ππ
⎢⎢
+ =π−ϕ+ π ∈ = −ϕ+ π ∈
⎢⎢
⎣⎣
¢¢
¢¢
k


Bài 111
: Giải phương trình
( )

−= −+
33
2sin x sinx 2cos x cosx cos2x *

()
()
()
33 22
* 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
⇔−−−+−=

()( )
()
()
sinx cosx 0 hay 2 1 sinxcosx 1 sinx cosx 0
sin x cosx 0 1
sin x cosx sin2x 1 0 2
⇔−= + −+ + =
−=⎡


++ +=



()
()
1tgx1
xk,k
4

xét 2 đặt t sinx cosx 2 cosx x
4
•⇔ =
π
⇔=+π∈
π
⎛⎞
•=+=
⎜⎟
⎝⎠
¢


Với điều kiện :
t2≤
2
t1sin2x=+
()
()
2
Vậy 2thànht t 1 1 0
+−+=

()
tt 1 0 t 0 t 1⇔+=⇔=∨=−

Khi t = 0 thì
cos x 0
4
π

⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

()
x2k1,k
42
3
xk,k
4
ππ
⇔− = + ∈
π
⇔= +π∈
¢
¢

Khi
13
t1thìcosx cos
44
2
ππ
⎛⎞
=− − =− =
⎜⎟
⎝⎠

3

xk2,k
44
xk2hayx k2,k
2
ππ
⇔− =± + π∈
π
⇔=π+ π =−+ π∈
¢
¢


Bài 112
: Giải phương trình
( )
234 2 3 4
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+++=+ + +


Ta có : (*)
()
()( ) ( )
() ()( )()
22 33 44
sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cosx 0 hay 1 sin x cos x 1 sin x.cos x sin x cos x 0
⇔−+ − + − + − =
⇔− = ++++ ++ =
()
() ()

sin x cosx 0 1
2 sinx cosx sin x cos x 2 0 2
−=⎡


++ +=



Ta có : (1)
tgx 1⇔=
xk,k
4
π
⇔=+π∈
¢

Xét (2) : đặt
tsinxcosx 2cosx
4
π
⎛⎞
=+ = −
⎜⎟
⎝⎠

Với điều kiện
t2≤
Thì
2

t12sinxcosx=+
(2) thành
2
t1
2t 2 0
2

++=
()
2
t4t30
t1t3loại
⇔++=
⇔=−∨=−

khi t = -1 thì
13
cos x cos
44
2
ππ
⎛⎞
−=− =
⎜⎟
⎝⎠

3
xk2,k
44
3

xk2,
44
xk2,k
xk2,k
2
ππ

−= + π∈



ππ

−=− + π∈


=π+ π ∈



π

=− + π ∈

¢
¢
¢
¢
k



Bài 113
: Giải phương trình
( )
( )
−+−=
233
tg x1 sinx cosx 1 0*

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Lúc đó (*)
()
2
33
2
sin x
1sinx cosx1 0
cos x
⇔−+−=
()( )( )( )
()()
()
()( )
()
23 32
22
1cosx1sinx 1cosx1sinx 0
1cosx1sinx 0

hay 1 cosx 1 sinx sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0
⇔− − −− − =
⇔− − =
+++−++ +
()
()
22 2 2
cosx 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện
sin x sin x cos x cos x sin x cos x 0

=

⇔=


+−−=


=

()
22
cos x 1
sin x cos x sin x cosx sin x cos x 0
=



−+ −=



cosx 1
sin x cos x 0 hay sin x cos x sin x cos x 0
=



−= ++ =


cos x 1 tgx 1
sinx cosx sinxcosx 0
=∨ =



++ =


xk2,k
xk,k
4
sin x cosx sin x cos x 0
=π∈


π

⇔=+π∈



++ =

¢
¢

xét pt
s

inx cosx sinxcosx 0
++ =
đặt
()
t sin x cosx 2 cosx x điều kiện t 2 và t 1
4
π
⎛⎞
=+ = − ≤ ≠±
⎜⎟
⎝⎠
2
t 1 2sinxcosx⇒=+

Ta được phương trình
2
2
t1
t0t2t1
2


+=⇔+−=0
()
()
t12loại
t12nhậnsovớiđk

=− −



=− +


Vậy
21
co s x cos
4
2
π−
⎛⎞
−= =ϕ
⎜⎟
⎝⎠
xk2,kxk2,
44
ππ
⇔− =±ϕ+ π∈⇔= ±ϕ+ π∈
¢¢
k



Bài 114
: Cho phương trình
()( )
m sin x cosx 1 1 sin 2x *++=+

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0,
2
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦

Đặt
tsinxcosx 2sinx
4
π

=+ = −

⎝⎠


, điều kiện t2≤
Thì
2
t1sin2=+ x
Vậy (*) thành :

()
2
mt 1 t+=
Nếu
3
0x thì x
24 44
ππ π
≤≤ ≤+≤
π

Do đó
2
sin x 1
24
π
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠

1t 2⇔≤≤

ta có
()
2
mt 1 t+=
2
t
m

t1
⇔=
+
(do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
Xét
2
t
ytrên1,
t1
⎡⎤
=
⎣⎦
+
2
Thì
()
2
2
t2t
y' 0 t 1, 2
t1
+
⎡⎤
=>∀∈
⎣⎦
+

Vậy y tăng trên
1, 2
⎡⎤

⎣⎦

Vậy (*) có nghiệm trên
()
()
1, y 1my 2
2
π
⎡⎤
⇔≤≤
⎢⎥
⎣⎦

()
⇔≤ ≤ −
1
m2 21
2



×