Nhị thức newton và bài tập luyện thi

Phần nội dung

I. Kiến thức cơ sở
1. Công thức nhị thức Newton
(a+b)
n
=
n
k n-k k
n
k=0
C a b

=
0 n 0
n
C a b
+
1 n-1 1
n
C a b
+ ... +
n 0 n
n
C a b
(1)
2. Các tính chất
Số các số hạng của khai triển bằng n + 1.
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của khai triển luôn
bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n. Số mũ của a giảm dần từ n
đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

Số hạng tổng quát
T
k+1
=
k n k k
n
C a b


(Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển)
Các hệ số nhị thức cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau vì:
k
n
C
=
n k
n
C


3. Một số khai triển hay sử dụng
2
n
= (1+1)
n
=
0
n
k
n

k
C
=

=
0
n
C
+
1
n
C
+ ... +
n
n
C
(2)
0 = (1-1)
n
=
0
( 1)
n
k k
n
k
C
=

=
0
n
C
-
1
n
C
+ ... + (-1)
n
n
n
C
(3)
(1+x)
n
=
0
n
k k
n
k
C x
=

=
0 0
n
C x
+

1 1
n
C x
+ ... +
n n
n
C x
(4)
(1+x)
n
=
0
n
k n k
n
k
C x

=

=
0 n
n
C x
+
1 1n
n
C x

+ ... +

0n
n
C x
(5)
(1-x)
n
=
0
( 1)
n
k k k
n
k
C x
=


=
0 0
n
C x
-
1 1
n
C x
+ ... + (-1)
n
n n
n
C x

(6)
(x-1)
n
=
0
( 1)
n
k k n k
n
k
C x

=


=
0 n
n
C x
-
1 1n
n
C x

+ ... + (-1)
n
0n
n
C x
(7)

4. Tam giác Pascal
Có thể sắp xếp các hệ số của khai triển (1) thành một tam giác (gọi là tam
giác Pascal).


1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
n = 0

n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7

II. Các bài toán tính tổng
Ta thấy mỗi số hạng trong khai triển (1) có 3 thừa số. Một thừa số là
k
n
C
,
hai thừa số còn lại đều có dạng luỹ thừa. Nếu hệ số là

k
n
C
thì bậc của a và b
luôn có tổng bằng n (khi đó n chính là số mũ của nhị thức). Số mũ của a giảm
dần từ n đến 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến n và số lợng các số hạng là
bằng n + 1. Đây là các dấu hiệu để ta nhận biết một tổng có phải là một khai
triển theo nhị thức Newton hay không.
Quan sát khai triển (3) và (4) ta thấy mỗi số hạng chỉ có hai thừa số, chứ
không phải là 3! Tại sao vậy? Rất đơn giản, vì một trong hai số hạng của nhị
thức là bằng 1 (ta biết rằng 1
k
= 1

k).
Lại quan sát khai triển (5) và (6), ta thấy mỗi số hạng lúc này chỉ có một
thừa số là
k
n
C
. Chắc các bạn đã có thể giải thích đợc là do hai số hạng của nhị
thức đều là 1 hoặc -1.
Những nhận xét nho nhỏ này sẽ giúp các bạn có đợc định hớng ban
đầu cho lời giải của bài toán tính tổng.
Để hiểu rõ hơn ta đi xem xét các ví dụ cụ thể sau.

VD1: Tính các tổng sau:
S
1
=

0 10 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10
10 10 10 10 10
2 2 3 2 3 .... 2 3 3C C C C C+ + + + +

S
2
=
0 10 1 9 2 8 9 1 10
10 10 10 10 10
2 2 2 .... 2C C C C C+ + + + +

S
3
=
0 1 2 9 10
10 10 10 10 10
....C C C C C+ + + + +

Rất nhanh chóng ta có thể đa ngay ra đáp án vì các tổng này đều đáp
ứng đủ các điều kiện của một khai triển nhị thức Newton.
Ta có:
+ S
1
=
0 10 0 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 0 10
10 10 10 10 10
2 3 2 3 2 3 .... 2 3 2 3C C C C C+ + + + +
= (2+3)
10
= 5

10
.
+ S
2
=
0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 10
10 10 10 10 10
2 2 2 .... 2 2 (1 2) 3C C C C C+ + + + + = + =

+ S
3
=
0 1 2 9 10
10 10 10 10 10
....C C C C C+ + + + +
= 2
10

Chẳng hạn với S
1
:
Mỗi số hạng có 3 thừa số, một thừa số là
10
k
C
, hai thừa số còn lại
có dạng luỹ thừa.
Các hệ số
10
k

C
liên tục từ
0
10
C
đến
10
10
C

Tổng luỹ thừa của 2 và 3 trong mỗi số hạng của khai triển luôn
bằng 10, bậc của 2 giảm dần từ 10 tới 0, ngợc lại bậc của 3 tăng
dần từ 0 tới 10.
Nh vậy S
1
hội tụ đầy đủ các tính chất của một khai triển nhị thức
Newton. Do đó S
1
= (2+3)
10
= 5
10
.
Tơng tự nh vậy cho S
2
và S
3
.

VD2: Tính các tổng sau:

S
4
=
0 11 1 1 10 2 2 9 3 9 2 10 10 1 11
10 10 10 10 10
2 3 2 3 2 3 .... 2 3 2 3C C C C C+ + + + +

S
5
=
0 9 1 8 2 7 9 0 10 1
10 10 10 10 10
2 2 2 .... 2 2C C C C C

+ + + + +

Bạn quan sát kĩ các tổng này và nhận xét xem chúng có gì khác các tổng ở
VD1?
Vâng, tổng S
4
có một điểm khác biệt với tổng S
1
, là tổng số mũ của 2 và 3
trong mỗi số hạng luôn bằng 12, chứ không phải là bằng 10, trong khi các hệ
số lại là
10
k
C
! (Bậc của 2 giảm dần từ 11 xuống 1, bậc của 3 tăng dần từ 1 lên
11, chứ không phải là 10 xuống 0 và từ 0 lên 10). Vậy để có thể áp dụng đợc

công thức (1), bậc của 2 và 3 trong mỗi số hạng phải đợc giảm đi một đơn vị.
Từ đó ta có:
S
4
= 2.3.(
0 10 0 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 0 10
10 10 10 10 10
2 3 2 3 2 3 .... 2 3 2 3C C C C C+ + + + +
) = 6. (2+3)
10
= 6.5
10
Nhận xét tơng tự cho S
5
, ta đi đến:
S
5
=
1
2
(
0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 10
10 10 10 10 10
1 1
2 2 2 .... 2 2 ) (1 2) 3
2 2
C C C C C+ + + + + = + =

VD3: Tính tổng:
S

6
=
1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10
10 10 10 10
2 3 2 3 .... 2 3 3C C C C+ + + +
Bạn có nhận xét gì cho S6? Tất nhiên rồi, nó thiếu mất số hạng đầu tiên
0 10 0
10
2 3C . Vậy
S
6
= 5
10
-
0 10 0
10
2 3C
= 5
10
-
10
2

VD4: Tính tổng:
S
7
=
0 2009 1 2008 1 2 2007 2 2008 1 2008 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009
3 3 4 3 4 .... 3 4 4C C C C C + +

Điều ta thấy ngay lúc đầu tiên đây là một chuỗi đan dấu! Bạn hãy tự
nhận xét nh với S
1
nhé! Một câu hỏi đặt ra là S
7
= (3 - 4)
2009
hay S
7
= (4 -
3)
2009
? Để trả lời câu hỏi này ta hãy đi tìm công thức của số hạng tổng quát. Ta
có:
T
k+1
=

=
k k 2008 k k k 2008 k k
2008 2008
( 1) C 3 4 C 3 ( 4)
Vậy
S
7
=
[ ]

=

= + = =

2009
2009
k 2009 k k 2009
2009
k 0
C 3 ( 4) 3 ( 4) ( 1) 1


VD5:

Tính tổng:


S
8
=
0 2009 1 2008 2 2007 2008 1 2009
2009 2009 2009 2009 2009
3 3 3 .... 3 + + C C C C C



S
9
=
0 1 1 2 2 2008 2008 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009
3 3 .... 3 3 + + C C C C C

Điểm khác biệt giữa S
8
và S
9
là trong S
8
, số mũ của 3 giảm dần, còn
trong S
9
, số mũ của 3 tăng dần. (Nếu là ngời mới bắt đầu, bạn hãy tự mình
nêu ra các nhận xét tơng tự nh nhận xét mà tôi nêu ra trong các VD đầu
nhé).Vậy với S
8
, ta sẽ áp dụng công thức (7), còn với S
9
, ta sẽ áp dụng công
thức (6). Ta có:
S
8
= (3 - 1)
2009
= 2
2009

S
9
= (1 - 3)
2009
= (-2)

2009
= -2
2009

Bạn e ngại vì phải nhớ quá nhiều công thức ? Lời khuyên cho mọi
trờng hợp là bạn hãy tìm công thức của số hạng tổng quát, nh vậy ta chỉ
cần đến công thức (1) mà thôi.
Chẳng hạn với S
8
, công thức của số hạng tổng quát là:
T
k+1
=
k k 2009 k k 2009 k k
2009 2009
( 1) C 3 C 3 ( 1)

=

Vậy
S
8
=
[ ]
2009
2009
k 2009 k k 2009
2009
k 0
C 3 ( 1) 3 ( 1) 2

=
= + =


Bạn hãy thử sức bằng cách áp dụng phơng pháp tìm công thức của số
hạng tổng quát cho các chuỗi từ đầu đến giờ xem sao nhé!
Ta tiếp tục nào!

VD6:

Tính tổng:



S
10
=
0 1 2 9
20 20 20 20
....+ + + +C C C C

Bạn có nhận xét gì về tổng này? Đúng vậy, S
10
có thể gọi là "nửa khai
triển"! Vì chỉ số k trong
20
k
C
chỉ chạy từ 0 đến 9, mà lẽ ra nó phải chạy từ 0

đến 20!
Với dạng bài tập tính tổng của "nửa khai triển" nh thế này, ta phải giải
quyết nh thế nào?
Ta đã biết các số
k
n
C
có một tính chất là
k
n
C
=

n k
n
C
, thế thì ta có:
0
20
C
=
20
20
C

1
20
C
=
19

20
C

......
9
20
C
=
11
20
C

Suy ra
2S
10
=
0 1 2 9
20 20 20 20
....+ + + +C C C C
+
11 12 13 20
20 20 20 20
....+ + + +C C C C

= (
0 1 2 9
20 20 20 20
....+ + + +C C C C
+
10

20
C
+
11 12 13 20
20 20 20 20
....+ + + +C C C C
) -
10
20
C

= 2
20
-
10
20
C

Vậy
S
10
=
20 10
20
2 -C
2


VD7:

Tính các tổng sau:



S
11
=
0 2 2 4 4 2006 2006 2008 2008
2008 2008 2008 2008 2008
2 2 .... 2 2+ + + + +C C C C C



S
12
=
1 3 3 5 5 2005 2005 2007 2007
2008 2008 2008 2008 2008
2 2 2 .... 2 2+ + + + +C C C C C

Có điều gì đặc biệt trong S
11
và S
12
? Vâng, trong S
11
, các chỉ số k trong
2008
k
C

đều là những số chẵn, còn trong S
12
đều là những số lẻ. Các tổng này
cũng là các "nửa khai triển", nhng bản chất thì khác hẳn với S
10
!
Cách giải nh sau:
Xét hai khai triển:
(1+2)
2008
=
0 1 1 2 2 2007 2007 2008 2008
2008 2008 2008 2008 2008
2 2 .... 2 2+ + + + +C C C C C
(*)
(1-2)
2008
=
0 1 1 2 2 2007 2007 2008 2008
2008 2008 2008 2008 2008
2 2 .... 2 2 + +C C C C C
(**)
Cộng từng vế của (*) và (**) ta đợc:
2S
11
= 3
2008
+ 1
2008
11

3 1
S
2
+
=
Trừ từng vế của (*) cho (**) ta đợc:
2S
12
= 3
2008
- 1
2008
12
3 1
S
2

=

VD8:

Tính tổng:



S
13
=
1 2 3 2 1
2 2 3 2 .... 2

+ + + +
n n
n n n n
C C C nC