Tỷ số H V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

LÊ THỊ HUỆ

TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ HUỆ

TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 604421

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS PHẠM CHÍ VĨNH

Hà Nội - Năm 2012

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm ơn
chân thành tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em
trong suốt quá trình thực hiện và hồn thành luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong
bộ môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và các anh chị trong "nhóm xêmina" đã ln bên em, cổ vũ, động viên,
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

1


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Công thức H/V đối với mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước,
nén được

7

1.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng
trước, khơng nén được

19

2.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng
trước, chịu ràng buộc trong tổng quát

25

3.1

Các phương trình cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V 36
4.1

4.2

Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước . . . . . . . . . . 36
4.1.1

Môi trường nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.2

Môi trường không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3

Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 44

Tìm ứng suất trước khi đo được tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . 48
2


4.2.1

Môi trường nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.2

Môi trường không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3

Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 51

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

3

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay vật liệu có ứng suất trước (vật liệu dự ứng lực) đã và đang được
sử dụng rộng rãi trong thực tế, nên việc xác định ứng suất trước trong các kết
cấu cơng trình trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và quan
trọng, và vận tốc sóng Rayleigh là một cơng cụ thuận tiện để thực hiện nhiệm
vụ này (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]). Trong các nghiên cứu (xem [2],
[4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) để đánh giá ứng suất trước bằng vận tốc sóng
Rayleigh các tác giả đã thiết lập các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh.
Chúng phụ thuộc tuyến tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) hoặc là các
đa thức bậc hai [4] đối với biến dạng trước (hay ứng suất trước) nên rất thuận
tiện khi sử dụng. Mặc dù vậy, vì chúng thu được bằng phương pháp nhiễu nên
các công thức này chỉ đúng khi biến dạng trước là nhỏ. Khi biến dạng trước
là khơng nhỏ, chúng hồn tồn mất tác dụng. Gần đây, các cơng thức chính
xác, đúng cho biến dạng trước bất kỳ đã được tìm ra bởi Vinh [19] cho các môi
trường đàn hồi chịu ứng suất trước nén được, Vinh [18] cho các môi trường đàn
hồi chịu ứng suất trước không nén được, Vinh & Giang [29] cho các mơi trường
đàn hồi có ứng suất trước chịu một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát.
Chú ý rằng, sự tồn tại của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồi
đẳng hướng được Rayleigh [30] chứng minh từ hơn 100 năm trước, năm 1885, và
từ đó đến nay có một số lượng rất lớn các nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh trong
các mơi trường đàn hồi khác nhau, do những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ. Cơng cụ tìm kiếm google scholar
cho khoảng một triệu đường link với từ khóa "Rayleigh waves", xem [34]. Mặc
dù vậy, các cơng thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh chỉ mới được tìm ra
gần đây, bởi Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh & Ogden [26] cho môi trường
đàn hồi đẳng hướng nén được, bởi Vinh & Ogden [27, 28] cho môi trường đàn
hồi trực hướng nén được, bởi Ogden & Vinh [17] cho môi trường đàn hồi trực
hướng không nén được, bởi Vinh [19, 18] cho môi trường đàn hồi có biến dạng

trước nén được và khơng nén được, bởi Vinh & Giang [29] cho mơi trường đàn
hồi có biến dạng trước chụi một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát, Vinh
& Linh [25] cho môi trường đàn hồi chụi ảnh hưởng của trọng trường. Nhờ các
4


cơng thức này, bằng phương pháp bình phương tối thiểu, một số cơng thức xấp
xỉ với độ chính xác rất cao của vận tốc sóng Rayleigh, xem [20]-[24], đã được
tìm ra. Chúng có dạng đơn giản nên rất tiện lợi khi sử dụng.
Trong một bài báo gần đây [9], Junge và các cộng sự chỉ ra rằng, so với
vận tốc sóng Rayleigh tỷ số H/V (tỷ số giữa các giá trị cực đại của môđun
chuyển dịch ngang và môđun chuyển dịch thẳng đứng tại biên của bán khơng
gian của sóng Rayleigh) có hai ưu điểm: (i) nhạy cảm hơn đối với ứng suất trước
(ii) không phụ thuộc vào việc đo khoảng cách giữa điểm kích động và điểm nhận
tín hiệu, và thời gian chuyển động của sóng Rayleigh trên đoạn đường này. Tức
là, để đánh giá ứng suất trước trong các kết cấu cơng trình, so với vận tốc sóng,
tỷ số H/V là công cụ tốt hơn. Cho đến nay, theo hiểu biết của tác giả, chưa
có một cơng thức chính xác nào được thiết lập cho tỷ số H/V đối với các mơi
trường đàn hồi có ứng suất trước. Do vậy, việc tìm ra cơng thức này là rất có ý
nghĩa, về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng thực tế.
Mục đích chính của luận văn này là thiết lập các cơng thức chính xác của
tỷ số H/V đối với các mơi trường đàn hồi có ứng suất trước (biến dạng trước),
nén được, không nén được và môi trường chịu ràng buộc trong đẳng hướng tổng
quát. Ứng dụng các cơng thức thu được, khảo sát một số ví dụ đơn giản về việc
xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V. Cần nhấn mạnh
rằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng. Để thu được cơng thức chính xác
của nó, trước hết cần tìm ra các cơng thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh.
Trong các kết quả thu được, tác giả đã sử dụng các cơng thức chính xác của vận
tốc sóng Rayleigh tìm ra gần đây bởi Vinh [19] cho môi trường nén được, Vinh
[18] cho môi trường không nén được, và Vinh & Giang [29] cho môi trường chịu

ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát.
Nội dung của luận văn bao gồm 4 chương :
• Chương 1: Cơng thức H/V đối với mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước,

nén được.
Mục đích của chương này là thiết lập cơng thức H/V đối với mơi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, nén được. Từ công thức thu được, suy ra công
thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ số H/V đối với
5


mơi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, khơng có ứng trước.
• Chương 2: Cơng thức H/V đối với mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước,

khơng nén được.
Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với mơi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, khơng nén được.
• Chương 3: Cơng thức H/V đối với mơi trường đàn hồi, có biến dạng trước,

chịu ràng buộc trong tổng qt.
Mục đích của chương này là thiết lập cơng thức H/V đối với mơi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, trong trường hợp có ràng buộc trong tổng
qt. Từ cơng thức thu được ta đưa được về trường hợp công thức H/V
đã được thiết lập ở chương 2.
• Chương 4: Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V.

Mục đích của chương này là sử dụng các công thức thu được khảo sát một
số ví dụ đơn giản về sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước, và
xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V.

6


Chương 1
Cơng thức H/V đối với mơi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, nén
được
1.1

Các phương trình cơ bản
Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, nén được mà ở trạng thái tự nhiên

(khơng có ứng suất) chiếm bán khơng gian X2 ≤ 0. Giả sử vật thể chịu biến
dạng ban đầu thuần nhất, tức là:
x1 = λ1 X1 , x2 = λ2 X2 , x3 = λ3 X3 , λj = const, j = 1, 2, 3,

(1.1)

trong đó các hằng số λj (λj > 0, j = 1, 2, 3) được gọi là các độ dãn chính. Sau
khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật thể chiếm bán không gian x2 ≤ 0. Xét
chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x1 , x2 ) với các thành phần nhiễu chuyển
dịch như sau:
uj = uj (x1 , x2 , t),

j = 1, 2,

u3 = 0,

(1.2)

trong đó t là thời gian. Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động
là [16, 6]:
A1111 u1,11 + A2121 u1,22 + (A1122 + A2112 )u2,12 = uă1 ,
(A1122 + A2112 )u1,12 + A2121 u2,11 + A2222 u2,22 = uă2 ,
7

(1.3)


trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu ở trạng thái ban đầu, dấu chấm
(trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến không
gian (xj ), các thành phần khác không của tenxơ hạng bốn Aijkl được xác định
bởi công thức [6, 16]:
JAiijj = λi λj

JAijij =



∂W
∂W


− λj
)
(λi
∂λi

∂λj

∂ 2W
,
∂λi ∂λj

λ2i
,
λ2i − λ2j

(1.4)
(i = j, λi = λj )

(1.5)



1
∂W

 (JAiiii − JAiijj + λi
) (i = j, λi = λj )
2

JAijji = JAjiij = JAijij

∂λi
∂W
− λi
(i = j),
∂λi

(1.6)

với i, j ∈ {1, 2, 3} , W = W (λ1 , λ2 , λ3 ) là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn
vị thể tích, J = λ1 λ2 λ3 .
Khi mơi trường khơng có biến dạng trước, các thành phần Aijkl trở thành:
Aiiii = λ + 2µ,

Aiijj = λ,

Aijij = Aijji = µ,

(1.7)

trong đó λ, µ là các hằng số Lame. Nhiễu ứng suất trên mặt x2 = const được
tính bởi công thức trong [6]:
s21 = A2121 u1,2 + A2112 u2,1 ,
s22 = A2222 u2,2 + A1122 u1,1 .

(1.8)

Ứng suất Côsi được xác định bởi [6, 31]:
Jσj = λj

∂W
.
∂λj

(1.9)

Để đơn giản trong trình bày, ta sử dụng các ký hiệu sau:

αij = JAiijj (α11 = JA1111 , α22 = JA2222 , α12 = α21 = JA1122 ),
γ1 = JA1212 , γ2 = JA2121 , γ∗ = JA2112 , ρ0 = Jρ.

(1.10)

trong đó ρ0 là mật độ khối lượng ở trong trạng thái tự nhiên. Khi đó hệ phương
trình (1.3) trở thành:
α11 u1,11 + γ2 u1,22 + (α12 + γ∗ ) u2,12 = 0 uă1 ,
1 u2,11 + 22 u2,22 + (12 + ) u1,12 = 0 uă2 .
8

(1.11)


Từ điều kiện cần và đủ để hệ (1.11) là eliptic mạnh (strongly elliptic) ta có [6]:
α11 > 0,

1.2

α22 > 0,

γ1 > 0,

γ2 > 0.

(1.12)

Sóng Rayleigh
Giả sử sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng

x2 , khi đó ta tìm nghiệm của hệ (1.11) dưới dạng:
u1 = A1 exp[iksx2 + i(kx1 − ωt)],
u2 = A2 exp[iksx2 + i(kx1 − ωt)],

(1.13)

trong đó: A1 , A2 là các hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, s là hằng số cần
tìm. Để trường chuyển dịch của sóng Rayleigh tắt dần theo chiều sâu, tức là:
lim uj = 0,

x2 →−∞

(1.14)

j = 1, 2

thì s phải có phần ảo âm, tức là :
Ims < 0.

(1.15)

Thay (1.13) vào (1.11) ta được :
α11 A1 (ik)2 + (α12 + γ∗ )(ik)2 sA2 + γ2 (ik)2 s2 A1 = A1 ρ0 (−iω)2 ,
γ1 A2 (ik)2 + (α12 + γ∗ )(ik)2 sA1 + α22 (ik)2 s2 A2 = A2 ρ0 (−iω)2 ,

(1.16)

hay:



 (α11 + γ2 s2 − ρ0 c2 )A1 + (α12 + γ∗ )sA2 = 0,

(1.17)


 (α12 + γ∗ )sA1 + (γ1 + α22 s2 − ρ0 c2 )A2 = 0,
trong đó : c =

ω
là vận tốc sóng Rayleigh. Để hệ (1.17) có nghiệm khơng tầm
k

thường thì định thức của hệ phải bằng không, tức là:
α11 + γ2 s2 − ρ0 c2
(α12 + γ∗ )s

(α12 + γ∗ )s
γ1 + α22

9

s2

− ρ0

= 0.
c2

(1.18)

Sau khi khai triển định thức cấp hai, phương trình (1.18) trở thành:
⇔ (α11 + γ2 s2 − ρ0 c2 )(γ1 + α22 s2 − ρ0 c2 ) − (α12 + γ∗ )2 s2 = 0
⇔ cˆs4 + 2bs2 + a = 0,

(1.19)

trong đó:
cˆ = α22 γ2 ,
2b = α22 (α11 − ρ0 c2 ) + γ2 (γ1 − ρ0 c2 ) − (α12 + γ∗ )2 ,
a = (α11 − ρc20 )(γ1 − ρ0 c2 ).

(1.20)

Từ (1.19), (1.20) ta có:
(α11 − ρ0 c2 )(γ1 − ρ0 c2 )
a
=
,
cˆ
α22 γ2
−2b
−α22 (α11 − ρ0 c2 ) − γ2 (γ1 − ρ0 c2 ) + (α12 + γ∗ )2
s21 + s22 =
=
.
cˆ
α22 γ2
s21 s22 =

(1.21)

Theo (1.15), để thỏa mãn điều kiện tắt dần thì s1 , s2 phải có phần ảo âm. Từ
đó ta sẽ chứng minh được rằng vận tốc sóng Rayleigh c phải thỏa mãn các bất
đẳng thức sau :
0 < ρ0 c2 < min(γ1 , α11 ).

(1.22)

Thật vậy, đặt X = s2 , từ (1.19) suy ra:
cˆX2 + 2bX + a = 0.

(1.23)

Trường hợp 1: ∆ ≥ 0: Khi đó X1 , X2 là các số thực, do vậy X1 , X2 phải là
các số âm. Vì nếu ngược lại, chẳng hạn X1 ≥ 0 thì s1 =

√

X1 là một số thực,

do vậy phần ảo của s1 bằng không, mâu thuẫn với điều kiện Ims1 < 0. Do đó:
s21 = X1 < 0, s22 = X2 < 0, → s21 s21 > 0 suy ra theo (1.12) và (1.21), hoặc:



 (α11 − ρ0 c2 ) > 0

(1.24)


 (γ1 − ρ0 c2 ) > 0
hoặc :



 (α11 − ρ0 c2 ) < 0

 (γ1 − ρ0 c2 ) < 0
10

(1.25)


Giả sử :



 (α11 − ρ0 c2 ) < 0

(1.26)


 (γ1 − ρ0 c2 ) < 0
Chú ý đến (1.12), từ (1.21) và (1.26) suy ra:
s21 + s22 =

−α22 (α11 − ρ0 c2 ) − γ2 (γ1 − ρ0 c2 ) + (α12 + γ∗ )2
> 0.
α22 γ2

Điều này mâu thuẫn với : s21 < 0, s22 < 0. Do vậy:


 (α11 − ρ0 c2 ) > 0
hay : 0 < ρ0 c2 < min(γ1 , α11 ).

 (γ1 − ρ0 c2 ) > 0

(1.27)

(1.28)

Trường hợp 2: ∆ < 0: Khi đó phương trình (1.23) có hai nghiệm phức liên hợp
¯ 2 . Do vậy:
X1 = X
¯ 2 X2 = |X2 |2 = s2
s21 s22 = X
2

2

> 0.

(1.29)

Chú ý rằng: khơng thể xảy ra trường hợp s22 = 0, vì nếu ngược lại thì suy ra
s2 = 0, điều này mâu thuẫn với (1.15) . Từ (1.20) và (1.28) ta có, hoặc:




 (α11 − ρ0 c2 ) > 0

(1.30)


 (γ1 − ρ0 c2 ) > 0
hoặc :



 (α11 − ρ0 c2 ) < 0

(1.31)


 (γ1 − ρ0 c2 ) < 0
Giả sử :



 (α11 − ρ0 c2 ) < 0

 (γ1 − ρ0 c2 ) < 0

11

(1.32)

Từ (1.23) ta có:
∆ = (2b)2 − 4aˆ
c = [α22 (α11 − ρ0 c2 ) + γ2 (γ1 − ρ0 c2 ) − (α12 + γ∗ )2 ]2
−4(α11 − ρ0 c2 )(γ1 − ρ0 c2 )α22 γ2
= [α22 (α11 − ρ0 c2 ) + γ2 (γ1 − ρ0 c2 )]2 − 4α22 γ2 (α11 − ρ0 c2 )(γ1 − ρ0 c2 )
−2(α12 + γ∗ )2 [α22 (α11 − ρ0 c2 ) + γ2 (γ1 − ρ0 c2 )]
= [α22 (α11 − ρ0 c2 ) − γ2 (γ1 − ρ0 c2 )]2
−2(α12 + γ∗ )2 [α22 (α11 − ρ0 c2 ) + γ2 (γ1 − ρ0 c2 )].

(1.33)

Từ (1.33), tính đến (1.20) và (1.32) suy ra: ∆ ≥ 0, nhưng điều này mâu thuẫn
với giả thiết ∆ < 0, nên ta suy ra:


 (α11 − ρ0 c2 ) > 0

 (γ1 − ρ0 c2 ) > 0
hay: 0 < ρ0 c2 < min(γ1 , α11 ).
Như vậy, trong mọi trường hợp ta ln có:
0 < ρ0 c2 < min(γ1 , α11 ).

Từ phương trình (1.19) ta tìm được s1 , s2 sao cho Imsj < 0 (j = 1, 2). Với mỗi
sj (j = 1, 2) ta tìm được nghiệm riêng tương ứng, có dạng (1.13) trong đó các

hằng số A1 , A2 xác định bởi hệ (1.17). Một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm
riêng này chính là trường chuyển dịch của sóng Rayleigh, tức là:
u1 = [C1 exp(iks1 x2 ) + C2 exp(iks2 x2 )] exp[i(kx1 − ωt)],
u2 = [q1 C1 exp(iks1 x2 ) + q2 C2 exp(iks2 x2 )] exp[i(kx1 − ωt)],

(1.34)

trong đó C1 , C2 là các hằng số (được xác định từ điều kiện biên), q1 , q2 được xác
định bởi công thức sau:
(α11 + γ2 s2m − ρ0 c2 )
(α12 + γ∗ )sm
=−
,
qm = −
(α12 + γ∗ )sm
(γ1 + α22 s2m − ρ0 c2 )

m = 1, 2.

(1.35)

Giả sử mặt biên x2 = 0 tự do đối với ứng suất tức là s21 = s22 = 0 tại x2 = 0.
Khi đó, theo (1.8) và (1.10) ta có:
γ2 u1,2 + γ∗ u2,1 = 0
12

(1.36)


α12 u1,2 + α22 u2,2 = 0.

(1.37)

Đó chính là hệ phương trình để xác định các hằng số C1 , C2 .

1.3

Công thức H/V
Thay (1.34) vào (1.36) và (1.37) ta được:
(γ2 s1 + γ∗ q1 )C1 + (γ2 s2 + γ∗ q2 )C2 = 0,
(α12 + α22 q1 s1 )C1 + (α12 + α22 q2 s2 )C2 = 0.

(1.38)

Từ (1.38)1 :
(γ2 s1 + γ∗ q1 )C1 + (γ2 s2 + γ∗ q2 )C2 = 0,

suy ra:
C1 = −

γ2 s2 + γ∗ q2
C2 .
γ2 s1 + γ∗ q1

(1.39)

Từ (1.34) ta có:
C1 + C2
u1 (x2 = 0)
=
.
u2 (x2 = 0)
q1 C 1 + q2 C 2

(1.40)

Thế (1.39) vào (1.40) và rút gọn ta được:
u1 (x2 = 0)
γ∗ (q1 − q2 ) + γ2 (s1 − s2 )
=
.
u2 (x2 = 0)
γ2 (q2 s1 − q1 s2 )

(1.41)

(α11 − ρ0 c2 − γ2 s1 s2 )(s1 − s2 )
(α12 + γ∗ )s1 s2

(1.42)

Theo (1.35) ta có:
q1 − q2 =

Mặt khác, cũng từ (1.35):
q2 s1 − q1 s2 = −

α11 − ρ0 c2 + γ2 s22
α11 − ρ0 c2 + γ2 s21
α11 − ρ0 c2 (s22 − s21 )
s1 +
s2 =
(α12 + γ∗ )s2
(α12 + γ∗ )s1
(α12 + γ∗ )s1 s2

(1.43)
Do vậy, từ (1.41), (1.42) và (1.43) ta có:
u1 (x2 = 0)
−γ2 α12 s1 s2 − γ∗ (α11 − ρ0 c2 )
=
.
u2 (x2 = 0)
γ2 (α11 − ρ0 c2 )(s1 + s2 )

(1.44)

Vậy tỷ số H/V được biểu diễn bằng công thức sau:
χ(12) =

u1 (x2 = 0)
γ2 α12 s1 s2 + γ∗ (α11 − ρ0 c2 )
=
.
u2 (x2 = 0)
γ2 (α11 − ρ0 c2 )(s1 + s2 )
13

(1.45)


Đặt:
(α11 − ρ0 c2 )(γ1 − ρ0 c2 )
,
α22 γ2

−α22 (α11 − ρ0 c2 ) − γ2 (γ1 − ρ0 c2 ) + (α12 + γ∗ )2
S = s21 + s22 =
.
α22 γ2
P = s21 s22 =

(1.46)

Từ (1.15) ta chứng minh được:
√
s1 s2 = − P ,

s1 + s2 = −i

√
2 P − S.

(1.47)

√

Chú ý rằng, dễ dàng chứng minh được P > 0, 2 P − S > 0. Ta đưa vào kí hiệu
χ(km) là tỷ số H/V của sóng Rayleigh khi thực hiện truyền sóng theo hướng xk

và tắt dần theo hướng xm . Thay (1.47) vào (1.45) ta thu được tỷ số H/V được
biểu diễn bởi công thức sau:
χ(12)

√
−γ2 α12 P + γ∗ (α11 − ρ0 c2 )

,
=
√
γ2 (α11 − ρ0 c2 ) 2 P − S

(1.48)

trong đó P , S xác định bởi (1.46). Ta thấy tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc
sóng Rayleigh c. Đặt x(12)
= ρ0 c2 /γ1 , khi đó theo Vinh [19] thì vận tốc sóng được
r
xác định cụ thể như sau:
được xác định bởi công thức:
Trường hợp 1: Nếu α12 + γ∗ = 0 thì x(12)
r
(12) 2

(12)
xr

=

1 − tr
θ

(12) 2
− tr

,

(1.49)

trong đó t(12)
được xác định bởi cơng thức sau:
r
√
1
q2
3
= − a2 + R + D + 3
√ nếu γ∗ = 0
3
R+ D
√
(1 − θ) + ∆
= √
; ∆ = (1 − θ)2 + 4bθ(1 − d)(θ − d) nếu γ∗ = 0
2 b(θ − d)
(12)

tr

(12)

tr

(1.50)

và các đại lượng q , R, D được xác định bởi công thức sau:
2

α12
γ2
α11 α22
γ1
; d=1−
;θ=
a=1− ∗ ; b=
γ1 γ2
γ1 γ2
α α
α11
√
√ 11 22
bθ(d − 1)
aθ − 1
b(θ − d) 2 a22 − 3a1
a0 =
; a1 =
; a2 =
;q =
1−a
1−a
1−a
9
3
2
2
2
4a0 a2 − a1 a2 − 18a0 a1 a2 + 27a0 + 4a31
a1 a2 − 27a3

R=
;D=
54
108

14

(1.51)


được tính bởi cơng thức
Trường hợp 2: Nếu α12 + γ∗ = 0 thì vận tốc sóng x(12)
r
sau:
(12)

xr

=

ρ0 c2
α11 + γ1
1
=
−
γ1
2γ1
2γ1

(α11 − γ1 )2 +

4
4α12
α22 γ2

(1.52)

Cơng thức (1.48) trong đó P , S và ρ0 c2 xác định bởi (1.46) và (1.49)
hoặc (1.52) biểu diễn chính xác và hồn tồn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Bằng phương pháp làm tương tự như trong trường hợp truyền sóng theo
hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 ta cũng tìm được tỷ số H/V trong trường
hợp truyền sóng theo hướng x3 và tắt dần theo hướng x2 . Khi đó tỷ số H/V được
xác định bởi cơng thức sau:
χ(32)

√
u3 (x2 = 0)
−¯
γ2 α32 P + γ¯∗ (α33 − ρ0 c2 )
=
=
√
u2 (x2 = 0)
γ¯2 (α33 − ρ0 c2 ) 2 P − S

(1.53)

trong đó

(α33 − ρ0 c2 )(γ¯1 − ρ0 c2 )
,
α22 γ¯2
−α22 (α33 − ρ0 c2 ) − γ¯2 (γ¯1 − ρ0 c2 ) + (α32 + γ¯∗ )2
2
2
S = s1 + s2 =
.
α22 γ¯2
αij = JAiijj (α33 = JA3333 , α22 = JA2222 , α32 = α23 = JA3322 ),
P = s21 s22 =

γ¯1 = JA3232 , γ¯2 = JA2323 , γ¯∗ = JA2332 , ρ0 = Jρ

(1.54)

= ρ0 c2 /¯
γ1 , khi đó theo Vinh [19] thì vận tốc sóng được xác định cụ thể
Đặt x(32)
r

như sau:
Trường hợp 1: Nếu α32 + γ¯∗ = 0 thì x(32)
được xác định bởi công thức:
r
(32) 2

(32)
xr

=

1 − tr

(32) 2

,

(1.55)

θ − tr

trong đó t(32)
được xác định bởi cơng thức sau:
r
√
1
q2
3
= − a2 + R + D + 3
√ nếu γ¯∗ = 0
3
R+ D
√
(1 − θ) + ∆
= √
; ∆ = (1 − θ)2 + 4bθ(1 − d)(θ − d) nếu γ¯∗ = 0
2 b(θ − d)
(32)

tr

(32)

tr

15

(1.56)


và các đại lượng q , R, D được xác định bởi công thức sau:
2
α32
α33 α22
γ¯1
γ¯ 2
; d=1−
;θ=
a=1− ∗ ; b=
γ¯1 γ¯2
γ¯1 γ¯2
α α
α33
√
√ 33 22
bθ(d − 1)
aθ − 1
b(θ − d) 2 a22 − 3a1
a0 =

; a1 =
; a2 =
;q =
1−a
1−a
1−a
9
3
2
2
2
4a0 a2 − a1 a2 − 18a0 a1 a2 + 27a0 + 4a31
a1 a2 − 27a3
R=
;D=
54
108

(1.57)

Trường hợp 2: Nếu α32 + γ¯∗ = 0 thì vận tốc sóng x(32)
được tính bởi cơng thức
r
sau:
(32)
xr

ρ0 c2
α33 + γ¯1
1

=
=
−
γ¯1
2¯
γ1
2¯
γ1

(α33 − γ¯1

)2

4
4α32
+
α22 γ¯2

(1.58)

Cơng thức (1.53) trong đó P , S và ρ0 c2 xác định bởi (1.54), và (1.55)
hoặc (1.58)biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Bằng phương pháp làm tương tự như trên ta cũng tìm được tỷ số H/V
trong trường hợp truyền sóng theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x3 . Công
thức H/V được viết như sau:
(13)

χ

√
u1 (x3 = 0)
−γ¯2 α13 P + γ¯∗ (α11 − ρ0 c2 )
=
=
√
u3 (x3 = 0)
γ¯2 (α11 − ρ0 c2 ) 2 P − S

(1.59)

trong đó P , và S được xác định bởi:
(α11 − ρ0 c2 )(γ¯1 − ρ0 c2 )
,
α33 γ¯2
−α33 (α11 − ρ0 c2 ) − γ¯2 (γ¯1 − ρ0 c2 ) + (α13 + γ¯∗ )2
S = s21 + s22 =
α33 γ¯2
αij = JAiijj (α11 = JA1111 , α33 = JA3333 , α13 = α31 = JA1133 ),
P = s21 s22 =

γ¯1 = JA1313 , γ¯2 = JA3131 , γ¯∗ = JA3113 , ρ0 = Jρ

(1.60)

Đặt x(13)
= ρ0 c2 /γ¯1 , khi đó cơng thức vận tốc sóng Rayleigh được xác định bởi
r
công thức Vinh [19] trong từng trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Nếu α13 + γ¯∗ = 0 thì x(13)
được xác định bởi công thức:
r
(13) 2

(13)
xr

=

1 − tr
θ

(13) 2
− tr

16

,

(1.61)


được xác định bởi cơng thức sau:
trong đó t(13)
r
√
1
q2
3

= − a2 + R + D + 3
√ nếu γ¯∗ = 0
3
R+ D
√
(1 − θ) + ∆
; ∆ = (1 − θ)2 + 4bθ(1 − d)(θ − d) nếu γ¯∗ = 0
= √
2 b(θ − d)
(13)
tr

(13)

tr

(1.62)

và các đại lượng q , R, D được xác định bởi công thức sau:
2
α13
γ¯ 2
α11 α33
γ¯1
a=1− ∗ ; b=
; d=1−
;θ=
γ¯1 γ¯2
γ¯1 γ¯2
α α

α11
√
√ 11 33
bθ(d − 1)
aθ − 1
b(θ − d) 2 a22 − 3a1
a0 =
; a1 =
; a2 =
;q =
1−a
1−a
1−a
9
4a0 a32 − a21 a22 − 18a0 a1 a2 + 27a20 + 4a31
a1 a2 − 27a3
;D=
R=
54
108

(1.63)

được tính bởi cơng thức
Trường hợp 2: Nếu α13 + γ¯∗ = 0 thì vận tốc sóng x(13)
r
sau:
(13)

xr

=

ρ0 c2
1
α11 + γ¯1
−
=
2γ¯1
2γ¯1
γ¯1

(α11 − γ¯1 )2 +

4
4α13
α33 γ¯2

(1.64)

Cơng thức (1.59) trong đó P , S và ρ0 c2 xác định bởi (1.60) và (1.61)
hoặc (1.64)biểu diễn chính xác và hồn tồn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Xét trong trường hợp mơi trường đàn hồi đẳng hướng khơng có biến dạng
trước, khi đó: λ1 = λ2 = λ3 = 1, J = λ1 λ2 λ3 = 1. Từ (1.4)-(1.7)ta có:
α12 = A1122 = λ; α11 = α22 = λ + 2µ,
γ1 = A1212 = µ; γ2 = A2121 = µ; γ∗ = A2112 = µ,

(1.65)

Sử dụng (1.65) vào (1.48) và tính đến phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
đối với mơi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, khơng có ứng suất trước, ta
suy ra được các công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ
số H/V cho môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, khơng có ứng suất trước.
Thật vậy, ta có:
−α22 (α11 − ρc2 ) − γ2 (γ1 − ρc2 ) + (α12 + γ∗ )2
ρc2
ρc2
S=
=
+
−2
α22 γ2
µ
λ + 2µ

(1.66)

(α11 − ρc2 )(γ1 − ρc2 )
ρc2
ρc2
ρc2 ρc2
P =
=1−
−
+
α22 γ2
µ
λ + 2µ

µ λ + 2µ

(1.67)

17


Đặt: C12 =

λ + 2µ
;
ρ

µ
. Khi đó:
ρ

C22 =

c2
c2
+
−2
C12 C22
c2
c2
c2 c2
c2
c2
P = 1 − 2 − 2 + 2 2 = (1 − 2 )(1 − 2 )

C1
C2
C1 C2
C1
C2

(1.68)

S=

√
2 P −S =

1−

2

c2
C12

1−

c2
C22

+2−

c2
c2
−

=
C12 C22

1−

c2
+
C12

1−

c2
C22

(1.69)
Đặt:

c2
µ
C2 2
c2
c2 C 2 2
;
θ
=
=
⇒
=
·
= θy

λ + 2µ
C22
C12
C12
C22 C12
√
√
√
√
2 P − S = 1 − y + 1 − θy ,
P = (1 − y)(1 − θy). Sau một số
y=

Khi đó

phép biến đổi ta có tỷ số:
√
√
√
1 − θy (2θ − 1) 1 − y + 1 − θy
u1 (x2 = 0)
=
√
√
u2 (x2 = 0)
(1 − θy) 1 − y + 1 − θy
√
√
(2θ − 1) 1 − y + 1 − θy
=√

√
√
1 − θy
1 − y + 1 − θy
=

2

(1.70)

(1 − y)(1 − θy) − 2 + y
√
−y 1 − θy

Mặt khác phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối với môi trường đàn hồi
đẳng hướng nén được, khơng có biến dạng trước được cho bởi:
(2 − y)2 = 4

(1 − y)(1 − θy)

(1.71)

Sử dụng (1.71) vào (1.70) ta có :
√
√
4
u1 (x2 = 0)
2 1−y
1−y
=

= √
.
4
u2 (x2 = 0)
2−y
1 − θy

Vậy công thức H/V được xác định bởi:
√
4
1−y
√
χ= 4
.
1 − θy

Đây chính là cơng thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13].

18

(1.72)


Chương 2
Công thức H/V đối với môi trường
đàn hồi, chịu biến dạng trước,
khơng nén được
2.1

Các phương trình cơ bản

Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, không nén được mà ở trạng thái tự

nhiên (khơng có ứng suất) chiếm bán không gian X2 ≤ 0. Giả sử vật thể chịu
biến dạng ban đầu thuần nhất (1.1). Sau khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật
thể chiếm miền không gian x2 < 0 với biên là x2 = 0. Xét trạng thái biến dạng
phẳng (1.2). Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng [5]:
B1111 u1,11 + (B1122 + B2112 )u2,21 + B2121 u1,22 − p∗,1 = ă
u1 ,
(B1221 + B2211 )u1,12 + B1212 u2,11 + B2222 u2,22 p,2 = ă
u2 ,

(2.1)

trong ú p l nhiu của áp lực thủy tĩnh ban đầu, ρ là mật độ khối lượng của
vật liệu, dấu chấm (trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm
theo các biến không gian (xj ), Bijkl là các thành phần của tenxơ hạng bốn được
xác định bởi các công thức sau [5, 16]:
Biijj = λi λj

19

∂ 2W
.
∂λi ∂λj

(2.2)


Bijij =



∂W
∂W


− λj
)
(λi
∂λi

∂λj

λ2i
,
λ2i − λ2j



∂W
1

 (Biiii − Biijj + λi
)
2

∂λi

Bijji = Bjiij = Bijij − λi

(i = j, λi = λj )

(2.3)
(i = j, λi = λj )

∂W
(i = j)
∂λi

(2.4)

với i, j ∈ {1, 2, 3} , W = W (λ1 , λ2 , λ3 ) (chú ý rằng J = λ1 λ2 λ3 = 1) là hàm năng
lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích, các thành phần cịn lại của Bijkl bằng
khơng. Nếu vật thể khơng có ứng suất trước, từ (2.2)-(2.4) suy ra:
Biiii = Bijij = µ (i = j), Biijj = Bijji = 0 (i = j).

(2.5)

Giả sử biên của bán không gian tự do đối với ứng suất, khi đó ta có [5]:
B2121 u1,2 + (B2121 − σ2 )u2,1 = 0 khi x2 = 0 ,
(B1122 − B2222 − p)u1,1 − p∗ = 0 khi x2 = 0

(2.6)

trong đó p là áp lực thủy tĩnh ở trạng thái ban đầu, σj (j = 1, 2, 3) là ứng suất
Côsi được xác định bởi:
σj = λj

∂W
−p

∂λj

(2.7)

Do vật liệu khơng nén được nên ta có:
u1,1 + u2,2 = 0

(2.8)

Từ phương trình (2.8) suy ra tồn tại hàm ψ phụ thuộc vào x1 , x2 và t sao cho:
u1 = ψ,2 , u2 = −ψ,1

(2.9)

Khử p∗ từ phương trình (2.1) và sử dụng phương trình (2.7) đưa đến phương
trình xác định hàm ψ như sau [5]:
αψ,1111 + 2,1122 + ,2222 = (ă,11 + ă,22 )

(2.10)

trong ú :
= B1212 , γ = B2121 , 2β = B1111 + B2222 − 2B1122 − 2B1221

(2.11)

Từ điều kiện eliptic mạnh của hệ (2.1) suy ra [5]:
√
α > 0, γ > 0, β > − αγ
20

(2.12)


2.2

Sóng Rayleigh
Đạo hàm hai vế (2.6) theo x1 và sử dụng (2.1), (2.7) và (2.9) thế vào (2.6)

dẫn đến:
γ(ψ,22 − ψ,11 ) + σ2 ψ,11 = 0 khi x2 = 0,
(2 + 2 ),112 + ,222 ă,2 = 0 khi x2 = 0.

(2.13)

Xét sự truyền sóng theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 . Để chuyển dịch u1
và u2 tắt dần ở vơ cùng thì hàm ψ phải dần tới không khi x2 → −∞. Do vậy
hàm ψ được tìm dưới dạng:
ψ = (Aeks1 x2 + B eks2 x2 ) exp(kx1 − ωt)

(2.14)

trong đó A, B là hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, c là vận tốc sóng, và
s1 , s2 là nghiệm của phương trình :
γs4 − (2β − ρc2 )s2 + α − ρc2 = 0

(2.15)

Từ (2.15) ta có:
s21 + s22 = (2β − ρc2 )/γ,

s21 s22 = (α − ρc2 )/γ.

(2.16)

Để hàm ψ tắt dần khi x2 → −∞, s1 , s2 phải có phần thực dương. Các nghiệm
s21 , s22 của phương trình (2.15) hoặc đều là số thực (và do vậy đều dương do s1 ,
s2 phải có phần thực dương) hoặc chúng là số phức liên hợp của nhau. Trong cả

hai trường hợp ta đều có: s21 s22 > 0. Từ (2.16) và γ > 0 suy ra:
0 < ρc2 < α,

(2.17)

0 < c2 < c22 = α/ρ,

(2.18)

hay

2.3

Công thức H/V
Thế (2.14) vào (2.9) ta được:
u1 = ψ,2 = k s1 Aeks1 x2 + s2 Beks2 x2 e(kx1 ωt) ,
21

(2.19)


u2 = −ψ,1 = −k Aeks1 x2 + Beks2 x2 e(kx1 −ωt) ,

(2.20)

trong đó A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện biên (2.11). Từ (2.17)
và (2.18) ta có:
χ(12) =

(As1 + Bs2 )k
As1 + Bs2
u1 (x2 = 0)
=
=
.
u2 (x2 = 0)
(A + B)(−k)
A+B

(2.21)

Thay (2.14) vào (2.13)1 ta có:
(γs21 + γ − σ2 )A + (γs22 + γ − σ2 )B = 0,

suy ra:
A=−

γs22 + γ − σ2
B.
γs21 + γ − σ2

(2.22)

(2.23)

Thay (2.23) vào (2.21) dẫn đến:
χ(12) =

u1 (x2 = 0)
(s1 − s2 )(−γ + σ2 + s1 s2 γ)
−γ + σ2 + s1 s2 γ
=
=
, (2.24)
u2 (x2 = 0)
γ(s1 − s2 )(s1 + s2 )
γ(s1 + s2 )

trong đó s1 , s2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình (2.15). Dễ
√

dàng chứng minh rằng P > 0, S + 2 P > 0 và :

√

 s1 s2 = P ,

 s1 + s2 =

√

(2.25)

S + 2 P,

trong đó:


 S = s2 + s2 = (2β − ρc2 )/γ,
1
2

(2.26)


 P = s2 s2 = (α − ρc2 )/γ.
1 2
Thật vậy:
Trường hợp 1: Nếu ∆ ≥ 0 thì s21 , s22 là hai nghiệm thực, do vậy chúng phải là
các số thực dương (để đảm bảo s1 , s2 có phần thực dương). Khi đó s1 s2 > 0 nên
s1 s2 =

√
P . Và ta có: s1 + s2 =

√
S+2 P

Trường hợp 2: Nếu ∆ < 0 thì s21 , s22 là hai số phức liên hợp. Giả sử: s1 = a + ib
thì s2 = a − ib với a, b > 0. Từ đây ta có: s1 s2 = a2 + b2 và s1 + s2 = 2a. Do đó ta
suy ra: s1 s2 =

√
P và s1 + s2 =

√
S+2 P

Vậy tỷ số H/V được biểu diễn bằng công thức sau:
(12)

χ

√
−γ + σ2 + γ P
=
.
√
γ S+2 P
22

(2.27)


Từ (2.27) rõ ràng rằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng Rayleigh c. Theo
Vinh [18], vận tốc sóng Rayleigh c được tính bởi cơng thức chính xác sau:
√
δ2
δ1 + 2δ2 + 2δ3 − √3 > 0, trong đó:
δ1

Trường hợp 1: Nếu δ3 = 0 và

δ1 = γ/α, δ2 = β/α, δ3 = γ∗ /α, (γ∗ = γ − σ2 )

(2.28)

= ρc2 /α được tính bởi cơng thức:
Khi đó vận tốc sóng Rayleigh x(12)
r
(12)

xr

3

=1−

√
R+ D+

2

q2

3

a2
√ − 3
R+ D

,

(2.29)

trong đó
δ1 = γ/α, δ2 = β/α, δ3 = γ∗ /α,
√
δ32
√
a0 = −
, a1 = 2δ2 + 2δ3 − 1, a2 = δ1 ,
δ1
q2

=

(a22

− 3a1 )/9, R =

(−2a32

(2.30)

+ 9a1 a2 − 27a0 )/54

D = (4a0 a32 − a21 a22 − 18a0 a1 a2 + 27a20 + 4a31 )/108.
√

Trường hợp 2: Nếu δ3 = 0 và − δ1 < 2δ2 < 1, khi đó x(12)
được xác định bởi

r
cơng thức:
(12)

xr

2

= 4−

δ1 − 8δ2 + 4 −

δ1

/4

(2.31)

Cơng thức (2.27) trong đó P , S và ρc2 xác định bởi (2.26) và (2.29)
hoặc (2.31) biểu diễn chính xác và hồn tồn tường minh tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Xét truyền sóng theo hướng x3 và tắt dần theo hướng x2 , với phương pháp
làm hồn tồn tương tự như trên ta có tỷ số H/V được xác định như sau:
(32)

χ

√
−¯

γ + σ2 + γ¯ P
=
√
γ¯ S + 2 P

(2.32)

trong đó S và P được xác định bởi công thức:
S = s21 + s22 = (2β¯ − ρc2 )/¯
γ,
P = s21 s22 = (¯
α − ρc2 )/¯
γ,
α
¯ = B3232 , γ¯ = B2323 , 2β¯ = B3333 + B2222 − 2B3322 − 2B3223
23

(2.33)