DE THI VAO 10 LAM SON rat hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
m_ơn:tốn chung . t_{hời gian: 150'}

( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )

Bài I: (2 ®iĨm )

Cho a, b,c là ba số khác nhau từng đôi một, c 0 .

Chøng minh r»ng nếu các phơng trình: x2ax bc 0 _vàx2bx ca 0  _cã

đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phơng trình đó thỏa
mãn phơng trình x2cx ab 0 

Bµi II: (2 ®iĨm )
Gäi Sn₌

1 1 1

...

1 2 2 3  n n 1 _,_nN, n 1 _.

Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n 100_vàSn_{có giá trị nguyên}

Bài III: (2 điểm )

Giải phơng trình nghiệm nguyên:

yz zx xy
3

x y z
Bài IV: ( 1 điểm )

Cho a > 0 , chøng minh n...so...a

a a a ...  a

        


1 4a 1
2

 

Bµi V: ( 3 ®iĨm )

Cho đờng trịn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng
minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn
xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các
cạnh của tam giác DEF

đáp án thi tuyển vào thpt chun lam sơn
m_ơntốn chung ( Gồm 2 tờ )

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b></b>_{Ta gäi}x0_{lµ nghiệm chung của hai phơng trình:}x2ax bc 0 _,

 

1 _vµ
2

x bx ca 0  _,

 

2 _{. Và}x1_,x2_{lần lợt là các nghiệm thứ hai cđa}

 

1 _vµ

 

2 _{, víi}

1 2

x x

. Khi đó ta có:

2

0 0

2

0 0

x ax bc 0
x bx ac 0

   




  




 x . a b0







 c. a b







 0



a b . x

 

0 c



0_,a b_ x0 c_.

<b></b>_{Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho}

 

1 _và

 

2 _{ta có:}

0 1
0 2

x .x b.c
x .x a.c








 _,

1
0

2

x b
x c 0

x a



   



  x1x2  a b_,

 

3 _.

<b></b>_{Ngoµi ra:}

0 1

0 2

x x a

x x b

 




 

 _,x0 c  2c x 1x2  a b_,

 

4

<b></b>_{Kết hợp}

 

4 _với

 

3 _{ta đợc}c a b_{. Nh vậy ta có:}x1x2 c_vàx .x1 2 a.b

x1_vàx2_{là nghiệm của phơng trình}x2cx ab 0 _.đpcm

Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần _{tơng ứng cho}<b></b>_{0,5 điểm )}

<b></b>_{Chú ý r»ng:}



 



1 k 1 k

k 1 k

k k 1 k k 1 k 1 k

 

   

     

, k N, k 1

_{Suy ra}Sn₌



2 1

 

 3 2



...



n n 1

 

 n 1  n



₌ n 1 1 

<b></b>Sn_{nhận giá trị nguyên , khi}n 1 _{là một số chính phơng . Dạng}n k 21
<b></b>_{Kết hợp với điều kiện}n N,1 n 100 _{, suy ra tập các giá trị của n thỏa}

mÃn các yêu cầu của bài toán là:

3,8,15, 24,35, 48,63,80,99

Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục _{tơng ứng cho 1,0 ®iĨm )}<b></b>

<b></b>_{Víi ®iỊu kiƯn:}xyz 0

Ta cã:

yz zx xy
3

x  y  z  _,

 

1  2x y2 22y z2 22z x2 2 6xyz, 2

 



_{x y}2 2 _{2x yz x z}2 2 2

 

_{x z}2 2 _2xyz2 _{y z}2 2

 

_{y z}2 2 _{2xy z x y}2 2 2



        

 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz 2  2  2







2

xy xz _

_

xz yz

_

2 _

_

yz xy

_

2 _2xyz 1 x_





 

 1 y

 

 1 z



_ , 3

_{ }

_{NhËn xÐt: Tõ}

 

2  xyz 0 _{, v× vËy}

 

3  3 x y z 0  _{.Phơng trình có}

nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, l¹i do xyz 0 suy ra các nghiệm nguyên của

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục _{tơng ứng cho 0,5 điểm )}

_{Ký hiÖu: x}_n₌<b></b> n...so...a

a a a ...  a

        

, ta cã xn > 0 víi n 1

Ta chøng minh xn-1< xn víi n > 1

+ Ta cã: a < a a  _x₁_{< x}₂

+ Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có xk-1< xk . Khi đó :

2 2

k 1 k k 1 k

x _  a x  a x _ x

 _x_k+1_{> x}_k_{. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: x}_n-1_{< x}_n

 x2k  a xk 1  a xk 
2

n n n n

1 4a 1 1 4a 1

x x a 0 x . x 0

2 2

       
    _   _{ }  _

   

n

1 4a 1 1 4a 1
x

2 2

   

  

. VËy n...so...a

a a a ...  a

     


1 4a 1
2

. đpcm
Bài V: 3điểm ( Mỗi mục _{tơng ứng cho 1,0 điểm )}

_{Bổ đề:}<i>_{Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua}</i>

<i>hai tiếp điểmcủa</i> <i>hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng </i>
<i>cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến .</i>

 _{XÐt hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC , M}_(O)

Hạ các đờng vng góc MK, MH, ML
xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF

MEN MFH

  _{( ch¾n cung}MF _).

MFN MEK

  _(---ME ₎
Suy ra các tam giác MEN và MFH ,
MFN và MEK đồng dạng. Từ đó

MN MF MH

MK ME MN _MN2 _MH.MK

  _(1).

Bổ đề đợc chứng minh

 _{¸p dơng (1), gäi a, b, c, d, e, f lần lợt}

l khong cỏch t M đến các đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE
của các tam giác ABC và DEF ta đợc: d2 b.c, e2 c.a, f2 a.b. Nhân vế với
vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh.

<b>A</b> <b>_B</b>

<b>C</b>

<b>O</b>

<b>E</b> <b>_D</b>

<b>F</b>
<b>M</b>

</div>

<!--links-->