Bất đẳng thức AM - GM ôn thi vào chuyên Toán năm 2021 - Lê Phúc Lữ

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (Phần 1)</b>

<b>Lê Phúc Lữ</b>

Chuyên gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Việt Nam và Saudi Arabia

<b>1. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP</b>
Ta có một số đẳng thức thường dùng khi biến đổi bất đẳng thức
như sau:

a) x3₊_y3_{= (x}₊_y)3₋_3xy(x₊_y).

b) x2₊_y2₊_z2_{= (x}₊_y₊_z)2₋_2(xy₊_yz₊_zx).
c) x3₊_y3₊_z3_{= (x}₊_y₊_z)3₋_3(x₊_y)(y₊_z)(z₊_x).
d) x3₊_y3₊_z3₋_3xyz_{= (x}₊_y₊_z)(x2₊_y2₊_z2₋_xy₋_yz₋

zx).

e) (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc.
f) (a−b)3_{+ (b}₋_c)3_{+ (c}₋_a)3₌_3(a₋_b)(b₋_c)(c₋_a).
Các đẳng thức trên có thể được dễ dàng chứng minh bằng các
phép biến đổi tương đương.

<b>2. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM</b>

Bất đẳng thức (BĐT) AM-GM, được biết đến ở Việt Nam với tên
gọi<i>bất đẳng thức Cauchy, được phát biểu như sau:</i>

<b>Định lý 1</b> (Bất đẳng thức AM-GM). <i>Cho</i> n <i>số thực dương</i>
a1,a2, ...,an<i>. Khi đó</i>

a1+a2+...+an

n ≥√na1a2...an.
<i>Với</i>n=2, ta có BĐT AM-GM cho hai số:

a+b≥2√ab.
<i>Với</i>n=3, ta có BĐT AM-GM cho ba số:

a+b+c≥3√3

abc.
<i>Dấu bằng xảy ra khi</i>a1=a2=...=an<i>.</i>

Sở dĩ ở Việt Nam BĐT AM-GM được gọi là<i>bất đẳng thức Cauchy</i>
vì chúng ta quen gọi tên BĐT theo tên người đã đề xuất một cách
chứng minh độc đáo cho nó là Augustin-Louis Cauchy, nhà Tốn
học người Pháp.1_{Cauchy đã đề xuất ra cách chứng minh BĐT này}
bằng phương pháp quy nạp lùi, mà với giới hạn của bài viết này
chúng ta không nhắc đến ở đây. Bạn đọc quan tâm có thể tìm hiểu
thêm về phương pháp này của Cauchy.

1_{Augustin-Louis Cauchy (21/08/1789 - 23/05/1857) là nhà Toán học người Pháp, có}

nhiều đóng góp cho Tốn học hiện đại, đặc biệt là ngành Giải tích.

<b>Chú ý.</b> <i>Nhiều trường hợp ta cũng xét các đánh giá dạng</i> ab ≤
_a

+b
2

2

<i>và</i>abc≤
_a

+b+c
3

3
.

<b>Hệ quả 1.</b> <i>Ta có bất đẳng thức dạng cộng mẫu được suy trực tiếp từ</i>
<i>BĐT AM-GM:</i>

1
a1+

1
a2+...+

1
an ≥

n2
a1+a2+...+an.

<i>Với</i>n=2, ta có

1
a+

1
b ≥

4
a+b.
<i>Với</i>n=3, ta có

1
a+

1
b+

1
c ≥

9
a+b+c.

<i><b>Gợi ý chứng minh</b>.</i> Nhân cả hai vế vớia1+a2+...+an.

<b>Hệ quả 2.</b> <i>Một số đánh giá cơ bản với ba số:</i>
<i>a)</i> x2₊_y2₊_z2_≥_xy₊_yz₊_zx_∀_x,_y,_z.
<i>b)</i> 3(x2₊_y2₊_z2₎_≥_(x₊_y₊_z)2_∀_x,_y,_z.
<i>c)</i> (x+y+z)2_≥_3(xy₊_yz₊_zx)_∀_x,_y,_z.
<i>d)</i> x2_y2₊_y2_z2₊_z2_x2_≥_xyz(x₊_y₊_z)_∀_x,_y,_z.

<i>e)</i> (xy+yz+zx)2_≥_3xyz(x₊_y₊_z)_∀_x,_y,_z.
<i>f)</i> (x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz∀x,y,z≥0.

<i>g)</i> (x+y+z)(xy+yz+zx)≤₈9(x+y)(y+z)(z+x)∀x,y,z≥
0.

<i><b>Gợi ý chứng minh</b>.</i>

a) Chuyển về và nhóm lại, ta có(x−y)2_{+ (y}₋_z)2_{+ (z}₋_x)2_≥
0, đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=z.

b) Tương tự câu a.
c) Tương tự câu a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

e) Tương tự câu d.
f) Áp dụng BĐT AM-GM:











x+y≥2√xy
y+z≥2√yz
z+x≥2√zx

nhân

⇒(x+y)(y+z)(z+x)≥qx2_y2_z2₌_8xyz.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=z.
g) Ta có

(x+y+z)(xy+yz+zx) =xyz+ (x+y)(y+z)(z+x).
Suy ra

(x+y+z)(xy+yz+zx)≤
₁

8+1

(x+y)(y+z)(z+x)
=9₈(x+y)(y+z)(z+x).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=z.

<b>3. CÁC VÍ DỤ</b>

<b>Ví dụ 1.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương thỏa mãn</i>x+y=1. Tìm giá trị
<i>nhỏ nhất của biểu thức:</i>

<i>a)</i> P= x
3₊₁

x +

y3₊₁

y <i>b)</i> Q=

x3₊₁

y +

y3₊₁
x
<i><b>Lời giải</b>.</i>

a) Ta có
P=x

3₊₁

x +

y3₊₁

y =

x2+y2+
₁

x+
1

y

.
Màx2+y2≥2xy⇒2(x2+y2)≥x2+y2+2xy= (x+y)2.
Như vậy,

2x2+y2≥(x+y)2=1⇒x2+y2≥1₂
và

1
x+

1
y≥

4
x+y=4.

Suy ra P ≥ 12+4 = 92.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x=y=1

2.
b) Ta có

Q= x3+1

y +

y3₊₁

x =

x3

y +
y3

x

+

1
x+

1
y

=x4+y4
xy +

1
x+

1
y.

Áp dụng bất đẳng thức2 a2₊_b2_≥_(a₊_b)2_và_a2₊_b2_≥
2ab,ta có

x4₊_y4
xy =

2 x4₊_y4

2xy ≥

x2₊_y22
2xy
= x

2₊_y2 _x2₊_y2

2xy ≥

2xy· x2₊_y2

2xy =x2+y2.
Từ đây ta có

Q≥x2+y2+1_x+1_y≥9₂.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=1

2.

<b>Ví dụ 2.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương thỏa mãn</i>x+y=2. Tìm giá trị
<i>nhỏ nhất của biểu thức:</i>

<i>a)</i> P=x3₊_y3₊_xy.
<i>b)</i> Q=x3₊_y3₊_x6_y6<i>_.</i>
<i><b>Lời giải</b>.</i>

a) Ta có

P=x3+y3+xy= (x+y)x2−xy+y2+xy
=2x2−xy+y2+xy=2x2+y2−xy.
Lại có

2x2₊_y2₋_xy₌3
2

x2₊_y2₊1
2(x−y)2
≥ 3₂x2+y2≥3₄(x+y)2=3

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là3, đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khix=y=1.

b) Theo BĐT AM-GM cho ba số thì

x6_y6₊₁₊₁_≥₃q3 _x6_y6₌_3x2_y2
và

3(x2y2+1)≥6xy
nên

x6y6+5≥6xyhayx6y6≥6xy−5.
Suy ra

P≥x3₊_y3₊_6xy₋₅_{= (x}₊_y)(x2₋_xy₊_y2_{) +}_6xy₋₅
=2(x2₋_xy₊_y2_{) +}_6xy₋₅

=2(x+y)2₋₅₌_3.

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là3, đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khix=y=1.

<b>Ví dụ 3.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương thỏa mãn</i>x+y≤1. Tìm giá trị
<i>nhỏ nhất của biểu thức</i>

Q= 1

x2₊_y2+
1
xy+4xy.
<i><b>Lời giải</b>.</i> Áp dụng bất đẳng thức1

a+
1
b ≥

4
a+b,ta có
1

x2₊_y2 +

1
2xy≥

4

x2₊_y2₊_2xy=
4
(x+y)2 ≥4

⇒Q= 1

x2₊_y2+
1
2xy+

1

2xy+4xy≥4+
1
2xy+4xy.
Lại có

Q=4+
₁

4xy+4xy

+ 1

4xy ≥4+2
s

1

4xy·4xy+
1
(x+y)2 ≥7.
Dấu bằng xảy ra tạix=y=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Ví dụ 4.</b> <i>Cho các số thực khơng âm</i>x,y,z<i>thoả mãn</i>xy+yz+zx=3.
<i>Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức</i>

P= x
3
y2₊₃+

y3
z2₊₃+

z3
x2₊₃.

<i><b>Lời giải</b>.</i> Doxy+yz+zx=3nên ta sẽ biến đổi biểu thứcPvề
dạng quen thuộc:

P= x

3

y2₊_xy₊_yz₊_zx+

y3

z2₊_xy₊_yz₊_zx+

z3
x2₊_xy₊_yz₊_zx

= x

3
(y+x)(y+z)+

y3

(z+x)(z+y)+
x3
(x+z)(x+y)·
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi





x=y=z

xy+yz+zx=3 ⇔3x
2₌₃

⇔x=y=z=1.
Ta áp dụng BĐT AM-GM cho ba số

x3
(y+x)(y+z);

y+x
<i>α</i> ;

y+z
<i>α</i>
và dấu bằng xảy ra khi





x=y=z=1

x3
(y+x)(y+z) =

y+x

<i>α</i> =

y+z

<i>α</i>

⇔<i>α</i>=8
nên có lời giải sau:

Ta có

x3

(y+x)(y+z)+
y+x

8 +

y+z

8 ≥3

3

r
x3
64 =

3
4x.
Tương tự,

y3
(z+x)(z+y)+

z+x

8 +

z+y

8 ≥

3
4y
và

x3
(x+z)(x+y)+

x+z

8 +

x+y

8 ≥

3
4x.
Cộng vế theo vế, suy ra

P≥1₄(x+y+z)
Mà

(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx) =9

nên ta cóx+y+z≥3⇒P≥ 3₄. Dấu bằng xảy ra tạix=y=
z=1.

<b>Ví dụ 5.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của</i>
P= xy

x2₊_y2 +
₁

x+
1
y

q

2(x2₊_y2_).

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu</i>
<i>năm học 2018 - 2019)</i>

<i><b>Lời giải</b>.</i> Từx2₊_y2_≥_2xy_{ta suy ra}
2(x2+y2)≥(x+y)2⇒

q

2(x2₊_y2₎_≥_x₊_y

⇒P= xy

x2₊_y2+
₁

x+
1
y

q

2(x2₊_y2₎_≥ xy
x2₊_y2+

x+y
xy (x+y)

= xy

x2₊_y2+
x2₊_y2

xy +2=
xy
x2₊_y2+

1
4.

x2₊_y2
xy +

3
4.

x2₊_y2
xy +2.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

xy
x2₊_y2+

1
4.

x2₊_y2
xy ≥1.
Lại có:

x2+y2≥2xy⇒ x2_xy+y2 ≥2.
Từ đó suy ra:

xy
x2₊_y2+

1
4.

x2₊_y2
xy +

3

4.

x2₊_y2

xy +2≥1+
3
4.2+2=

9
2.
VậyP≥9₂.Dấu -"xảy ra⇔x=y.

<b>Ví dụ 6.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của</i>
P=16

√_xy
x+y +

x2₊_y2
xy .

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán Tp. HCM năm học 2018 - 2019)</i>
<i><b>Lời giải</b>.</i> Ta có:

P=
16rx

y
x
y+1

+

x
y

2
+1
x
y

=
16rx

y
x
y+1

+

x
y+1

2
x
y

−2.

Đặt

t=
r_x

y
x
y+1

≥0.

Khi đó

P≥16t+ 1

t2−2=8t+8t+
1
t2−2.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

8t+8t+ 1
t2 ≥3

3

r
8t.8t.1

t2 =12.

VậyP≥12−10=2.Dấu -"xảy ra⇔8t= 1

t2 ⇔t =
1
2 ⇔x=
y.

<b>Nhận xét.</b> <i>Chúng ta thường nghĩ tới việc đưa bài toán cực trị về hàm</i>
<i>một biến để dễ xử lí khi thấy xuất hiện yếu tố</i>x2+y2

xy <i>hoặc</i>
x+y

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Hệ thống Trường THCS-THPT Đông Đô Tp. HCM - Hotline: 0917 047 046</b>
<b>Ví dụ 7.</b> <i>Cho</i>a,b,c<i>là các số thực dương thoả mãn</i>

1
1+a+

2017
2017+b+

2018
2018+c ≤1.
<i>Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức</i>

P=abc.

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm học 2018 - 2019)</i>
<i><b>Lời giải</b>.</i> Theo bất đẳng thức AM-GM và giả thiết trên ta có:

a
1+a=1−

1
1+a≥

2017
2017+b+

2018
2018+c ≥2

s

2017.2018
(2017+b)(2018+c).
b

2017+b =1−
2017
2017+b≥

1
1+a+

2018
2018+c ≥2

s

2018
(1+a)(2018+c).
c

2018+c =1−
2018
2018+c ≥

1
1+a+

2017
2017+b ≥2

s

2017
(1+a)(2017+b).
Do đó:

a
1+a.

b
2017+b.

c
2018+c ≥8

2017.2018

(1+a)(2017+b)(2018+c).
Suy ra:

abc≥8.2017.2018.
Dấu -"xảy ra

⇔a=2,b=2.2017,c=2.2018.

Vậy giá trị nhỏ nhất củaPlà8.2017.2018khia=2,b=2.2017,
c=2.2018.

<b>Nhận xét.</b> <i>Kĩ thuật dùng trong bài được gọi là kĩ thuật AM-GM ngược</i>
<i>dấu (nhiều người gọi là kĩ thuật Cauchy ngược dấu). Chúng ta sẽ bàn về</i>
<i>kĩ thuật này trong các phần sau của chùm bài viết.</i>

<b>BÀI TẬP</b>

<b>Bài tập 1.</b> Choa,b,clà 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ
nhất của

Q= abc

(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)

(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Long An năm học 2017 - 2018)
<b>Bài tập 2.</b> Chox,y,zlà 3 số dương thỏa mãnx2₊_y2₊_z2₌_3xyz.
Chứng minh:

x2
y+2+

y2
z+2+

z2
x+2≥1

(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu
<i>năm học 2017 - 2018)</i>
<b>Bài tập 3.</b> Chox,ylà hai số thực dương. Chứng minh rằng

x√y+y√x
x+y −

x+y

2 ≤

1
4

(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán Tp. HCM năm học 2017 - 2018)
<b>Bài tập 4.</b> Choa,b,clà các số thực dương thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng

1
ab+a+2+

1
bc+b+2+

1
ca+c+2≤

3
4

(Đề thi tuyển sinh chun Tốn tỉnh Ninh Bình năm học 2017 - 2018)
<b>Bài tập 5.</b> Cho các số thực dươngx,y,zthoảx+y+z≤3₄·. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=p 1
x+3y+

1
p

y+3z+
1
√

z+3x.

<b>Bài tập 6.</b> Choa,b,clà các số thực dương thỏa mãnab+bc+ca=
3abc. Chứng minh rằng

1
√

a3₊_b+
1
√

b3₊_c+
1
√

c3₊_a≤
3
√
2

(Đề thi tuyển sinh chun Tốn tỉnh Quảng Bình năm học 2017 - 2018)
<b>Bài tập 7.</b> Choa,b,clà các số thực dương thỏa mãna+b+c=3.
Chứng minh rằng

4(a2+b2+c2)−(a3+b3+c3)≥9

(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 - 2018)
<b>Bài tập 8.</b> Chox,ylà các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

P=(x

2₋_y2₎₍₁₋_x2_y2₎
(1+x2₎2₍₁₊_y2₎2 .

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2018 - 2019)</i>

<b>Bài tập 9.</b> Cho hai số thực dươngx,ythoả mãn2√xy+

r_x
3 =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= y
x+

4x
3y+15xy.

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm học 2018 - 2019)</i>
<b>Bài tập 10.</b>

1. Choa,b,c >0thoả mãn 1
a2+

1
b2 +

1

c2 =3. Tìm giá trị lớn
nhất của:

P= 1

(2a+b+c)2+
1

(2b+c+a)2 +

1
(2c+a+b)2
2. Chox,y,z>0thoả mãnx2₊_y2₊_z2₌_{3. Chứng minh rằng:}

x
3−yz+

y
3−zx+

z
3−xy≤

3
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (Phần 2)</b>

<b>Lê Phúc Lữ</b>

Chuyên gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Việt Nam và Saudi Arabia

<b>4. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM TRONG CHỨNG MINH CÁC</b>
<b>BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG</b>

Ở phần 1 của chùm bài viết, chúng ta đã xét các bất đẳng thức đối
xứng, tức là nếu chúng ta quay vịng các biến thì bất đẳng thức
đó khơng thay đổi. Bây giờ chúng ta sẽ xem, với các bất đẳng thức
khơng đối xứng, AM-GM có thể được ứng dụng như thế nào.

<b>Ví dụ 1.</b> <i>Cho các số thực khơng âm</i>x,y,z<i>thoả</i>x+y+z=31<i>. Tìm giá</i>
<i>trị nhỏ nhất của biểu thức</i>

P=2x2+3y2+5z2.

<i><b>Lời giải.</b></i> Bài tốn khơng có tính đối xứng nên có thể dự đoán dấu
đẳng thức xảy ra bằng phương pháp cân bằng hệ số như sau: Giả
sử GTNN đạt được tạix=a,y=b,z=c. Khi đó áp dụng BĐT
AM-GM

x2+a2≥2ax;y2+b2≥2by;z2+c2≥2cz,

ta được

P=2x2+3y2+5z2≥2(2ax+3by+5cz)−(2a2+3b2+5c2).

Ta cần có

2ax+3by+5cz=m(x+y+z) =31m= hằng số.
Cân bằng hệ số, ta được












2a=3b=5c=m
x=a;y=b;z=c
x+y+z=31

⇔




2a=3b=5c=m
a+b+c=31

⇔




m=30

a=15,b=10,c=6 .

Ta có

x2+152≥30x;y2+102≥20y;z2+62≥12z.

Suy ra

2x2≥2(30x−152); 3y2≥3(20y−102); 5z2≥5(12z−62).

Cộng vế theo vế ta được

P≥60(x+y+z)−2.152−3.102−5.62=930.

Vậy GTNN là930đạt tạix=15;y=10;z=6..

<b>Ví dụ 2.</b> <i>Cho</i>x,y,z>0<i>thoả mãn</i>4x+3y+4z=22<i>. Tìm GTNN của</i>
<i>biểu thức</i>

P=x+y+z+ 1

3x+

2

y+

3

z.

<i><b>Lời giải.</b></i> Bằng phương pháp tương tự như trên, ta chọn được điều
kiện để dấu đẳng thức xảy ra làx=1;y=2;z=3. Từ đây ta có
cách giải sau: Theo BĐT AM-GM thì

1
3x+

x

3 ≥

2
3;

2

y+
y

2≥2;
3

z+
z

3≥2.

Từ đó suy ra đánh giá
P≥x+y+z+

₂

3−

x

3

+2−y₂+2−z₃
=4x+3₆y+4z+14₃ = 25₃.

Vậy GTNN củaPlà25

3 đạt tạix=1;y=2;z=3.

<b>Ví dụ 3.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương thoả mãn</i>2y>x<i>. Tìm giá trị</i>
<i>nhỏ nhất của biểu thức</i>

P= 1

x3₍₂_y₋_x)+x2+y2.
<i><b>Lời giải.</b></i> Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

1

x2₍₂_xy₋_x2₎+x2+

2xy−x2
≥33

s

1

x2₍₂_xy₋_x2₎·x2·(2xy−x2) =3.

Suy ra

1

x3₍₂_y₋_x₎+x2=

1

x2₍₂_xy₋_x2₎+x2
≥3−2xy−x2=3+x2−2xy.

Khi đó ta có

P≥3+x2−2xy+y2=3+ (x−y)2≥3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Hệ thống Trường THCS-THPT Đông Đô Tp. HCM - Hotline: 0917 047 046</b>

<b>Ví dụ 4.</b> <i>Cho hai số thực dương</i>x,y<i>thoả mãn</i>2√xy+
r

x

3=1<i>. Tìm</i>

<i>giá trị nhỏ nhất của biểu thức</i>

P= y
x+

4x

3y+15xy.

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm học 2017 - 2018)</i>

<i><b>Lời giải.</b></i> Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
P=y

x+
x
y+

x

3y+3xy+12xy≥2+2x+12xy.
Đặta=√x,b=√xy.Ta có:

a

√

3+2b=1

và

P≥2+2a2+12b2.

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì:

2a2+12b2 3

2+3

≥√3a+6b2=9⇒2a2+12b2≥2.

Do đó:P≥4.Dấu -"xảy ra khi và chỉ khi















y
x =

x

y
x

3y=3xy
a

√

3 =b

⇔x=y=1

3.

Vậy giá trị nhỏ nhất củaPlà4khix=y=1

3.

<b>Ví dụ 5.</b> <i>Cho</i>a,b,c >0<i>thoả mãn</i> 1

a+

2

b+

3

c =3<i>. Tìm giá trị nhỏ</i>

<i>nhất của:</i>

T= 27a

2

c(c2₊₉_a2₎+

b2

a(4a2₊_b2₎+
8c2

b(9b2₊₄_c2₎

<i>((Đề thi tuyển sinh chuyên Toán Tp. Cần Thơ năm học 2017 - 2018)</i>

<i><b>Lời giải.</b></i> Đặta=x,b=2y,c=3z(x,y,z>0)thì điều kiện trở
thành1

x+

1

y+

1

z =3.

Thế biếnx,y,zvào và thu gọnT, ta có:

T= x

2

z(z2+x2)+

y2

x(x2+y2)+

z2

y(y2+z2)

Sử dụng kỹ thuật AM-GM ngược dấu:
x2

z(z2₊_x2₎ =

1

z−
z
z2₊_x2 ≥

1

z−

z

2zx =

1

z−

1
2x
Tương tự thì y2

x(x2₊_y2₎ ≥

1

x−

1
2yvà

z2

y(y2₊_z2₎ ≥

1

y−

1

2znên:
T≥1₂

1

x+

1

y+

1

z

= 3₂

Khix=y=z=1haya=1,b=2,c=3thìT= 3

2. Vậy giá trị

nhỏ nhất củaTlà3

2.

<b>5. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VỚI KĨ THUẬT RÚT VỀ MỘT</b>
<b>BIẾN</b>

Trong nhiều trường hợp, dựa trên một số bước đánh giá với BĐT
AM-GM, ta có thể biến việc chứng minh bất đẳng thức nhiều biến
về chứng minh bất đẳng thức một biến, sau đó biến đổi tương
đương hoặc dùng tiếp BĐT AM-GM để giải quyết bài tốn.

<b>Ví dụ 6.</b> <i>Cho các số thực</i>x,y,z∈[1; 4]<i>và</i>x+y+2z=8<i>. Tìm GTLN</i>
<i>của biểu thức</i>

P=x3+y3+5z3.

<i><b>Lời giải.</b></i> Từ điều kiện có thể rútx+y=8−2z, thế vào
x3₊_y3_{= (}_x₊_y₎3₋₃_xy₍_x₊_y₎

để đưaPvào biếnzsau khi đánh gia được hạng tửxy≥?!theo
x+y. Ta có

x;y≥1⇔(x−1) (y−1)≥0

⇔xy≥x+y−1=8−2z−1=7−2z
Đã rút về biếnzxong và ta có lời giải sau:

P= (x+y)3−3xy(x+y) +5z3= (8−2z)3−3xy(8−2z) +5z3
Mà

x;y≥1⇔(x−1) (y−1)≥0

⇔xy≥x+y−1=8−2z−1=7−2z

⇒P≤(8−2z)3−3(7−2z) (8−2z) +5z3

=−3z3₊₈₄_z2₋₂₉₄_z₊_344.

Dox,y,z∈[1; 4]nên

8−2z=x+y≥2⇒z≤3hay1≤z≤3.

Dự đoánP≤137và đẳng thức xảy ra khiz=3nên ta chứng minh

−3z3+84z2−294z+344≤137⇔(3−z)(z2−25z+23)≤0,

đúng vì

z2≤4z−3⇒z2−25z+23≤ −21z+20<0.

Vậy GTLN củaPlà137đạt tạix=y=1;z=3.

<b>Ví dụ 7.</b> <i>Cho các số dương</i>x,y<i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức</i>

P=p 2

(2x+y)3₊₁₋₁+

2

p

(x+2y)3₊₁₋₁

+(2x+y)(x₄ +2y)−₃_(x8

+y)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Lời giải.</b></i> Đặt2x+y=a; 2y+x=bkhi đó áp dụng AM-GM ta có

P=√ 2

a3₊₁₋₁+

2

√

b3₊₁₋₁+

ab

4 −

8

a+b

=p 2

(a+1)(a2₋_a₊₁₎₋₁+

2

p

(b+1)(b2₋_b₊₁₎₋₁
+ab

4 −

8

a+b

≥ 2

a+1+a2₋_a₊₁

2 −1

+ 2

b+1+b2₋_b₊₁

2 −1

+ab

4 −

4

√

ab =

4

a2+

4

b2+

ab

4 −

4

√

ab

≥_ab8 +ab

4 −

4

√

ab

Theo đánh giá bằng AM-GM ở trên, ta dự đoán dấu bằng xảy ra

khia=b=2do đó ta sẽ chứng minh vớit=√ab>0thì

8

t2+

t2

4 −

4

t ≥1⇔(t−2)2(t2+4t+8)≥0

Bất đẳng thức trên ln đúng nên ta có điều phải chứng minh là
đúng. Vậy giá trị nhỏ nhất củaP=1xảy ra khix=y=2

3.
<b>Nhận xét.</b> <i>Kĩ thuật rút về một biến có thể kết hợp với kĩ thuật đổi biến</i>
<i>để cho ra hiệu quả.</i>

<b>6. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VỚI CÁC BÀI TỐN CĨ ĐIỀU</b>
<b>KIỆN PHỨC TẠP</b>

Trong những phần trước, chúng ta thường gặp các bài bất đẳng
thức có điều kiện tương đối rõ ràng, ví dụx+y+z=3,a2₊_b2₊

c2₌_6,_x₊_y₊₂_z₌_{8, ...}_{Các điều kiện trên có thể được áp dụng}

ngay mà khơng cần qua những bước xử lí trung gian. Bây giờ,

chúng ta sẽ xét tới các bài bất đẳng thức có những điều kiện phức
tạp, địi hỏi phải cần một hoặc nhiều bước xử lí mới dùng được.

<b>Ví dụ 8.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực dương thoả mãn</i>xy(x+y) =x+y+

3xy.<i>Chứng minh rằng:</i>

4xyx2+y2+2(1+2xy)2≥71xy+6.
<i><b>Lời giải.</b></i> Ta có

xy(x+y) =x+y+3xy⇔x+y= 1

x+

1

y+3

⇔1= 1

xy+

3

x+y⇔

1

xy =1−

3

x+y.
Áp dụng bất đẳng thức1

x+

1

y≥

4

x+y,ta được
x+y= 1

x+

1

y+3≥

4

x+y+3

⇔(x+y)2−3(x+y)−4≥0⇒x+y≥4.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
x2₊_y2₊ 1

2xy+2+2xy≥

71

4 +

3
2xy

⇔(x+y)2−_xy1 ≥ 63₄
⇔(x+y)2+ 3

x+y≥

67
4

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

3(x+y)2

64 +

3

x+y≥2

s

3(x+y)2

64 ·

3

x+y=

3
4

p

x+y≥3₂.

Suy ra

(x+y)2+ 3

x+y=

61(x+y)2

64 +

3(x+y)2

64 +

3

x+y≥

61

4 +

3

2=

67
4.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=y=2.

<b>Ví dụ 9.</b> <i>Cho</i>x,y,z<i>là các số thực thoả mãn</i>(x−y)(x−z) = 1<i>và</i>

y6=z<i>. Chứng minh</i>

1

(x−y)2+
1

(y−z)2+
1

(z−x)2 ≥4

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Nam Định năm học 2016 - 2017)</i>

<i><b>Lời giải.</b></i> Để ý rằng

1

(x−y)2 +

1

(z−x)2 =

(x−y)2+ (x−z)2
(x−y)2(x−z)2
=(y−z)

2₊₂₍_x₋_y₎₍_x₋_z₎
(x−y)2(x−z)2 =

(y−z)2
(x−y)2(x−z)2+2

1

(x−y)(x−z).

Kết hợp sử dụng AM-GM, suy ra:

1

(x−y)2 +

1

(y−z)2+

1

(z−x)2
= (y−z)

2
(x−y)2(x−z)2+

1

(y−z)2+

2

(x−y)(x−z) ≥

4

(x−y)(x−z) =4.

<b>Ví dụ 10.</b> <i>Cho</i>x,y<i>là hai số thực thoả mãn</i>x,y≥1<i>và</i>3(x+y) =

4xy.<i>. Chứng minh rằng</i>

49

12 ≤x3+y3−3

1

x2+
1

y2

≤74₃.
<i><b>Lời giải.</b></i> Ta có

3(x+y) =4xy⇒1_x+1

y=

4
3.

Như vậy,

x3+y3= (x+y)3−3xy(x+y) = (x+y)3−9₄(x+y)2

và

1

x2+

1

y2 =
₁

x+

1

y

2

−_xy2 =(x+y)
2

x2_y2 −

2

xy=

16

9 −

8
3(x+y).

Suy ra

P= (x+y)3−₄9(x+y)2+ 8

x+y−

16
3 =t3−

9
4t2+

8

t −

16
3

vớit=x+y. Cũng từ điều kiện của bài tốn, ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Hệ thống Trường THCS-THPT Đông Đô Tp. HCM - Hotline: 0917 047 046</b>

Mặt khác, ta cũng có

(x−1)(y−1)≥0⇒x+y≤1+xy= 3

4(x+y) +1⇒x+y≤4.

Vậyt∈[3; 4].Xét hiệu

t3−9₄t2+8

t −

16

3 −

49

12 =

1

12t(t−3)(12t3+9t2+27t−32)≥0
đúng vìt≥3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khit=3hayx=y= 3

2.

Tiếp tục, xét hiệu
t3−9₄t2+8

t −

16

3 −

74

3 =

1

4t(t−4)(4t3+7t2+28t−8)≤0,
đúng vì3≤ t ≤ 4.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khit = 4hay
x=3,y=1hoặcx=1,y=3.

<b>Nhận xét.</b> <i>Chúng ta có thể thấy được, với một điều kiện ban đầu trơng</i>
<i>có vẻ không quá phức tạp, nhưng mỗi bước giải của chúng ta lại dùng tới</i>
<i>một thứ khác nhau được khai thác từ điều kiện ban đầu. Kinh nghiệm ở</i>
<i>đây là, hãy khai thác mọi thứ có thể từ tất cả các giả thiết đề bài cho.</i>
<b>BÀI TẬP</b>

<b>Bài tập 1.</b> Chox,ylà các số thực dương thoả mãn

(x3+y3)(x+y) =xy(1−x) (1−y).

Chứng minh rằngxy≤1₉.

<b>Bài tập 2.</b> Chox,y,zthoả mãnx>1,y>2,z>3và

1

x+

2

y+

3

z ≥2.
Tìm GTLN của

P= (x−1)(y−2)(z−3).
<b>Bài tập 3.</b> Chox,y,zlà các số thực dương thoả

x2+y2+z2≤2(y+1).

Tìm GTLN của biểu thức

P= 1

x+y+z+1+

p

2xy+p2yz.
<b>Bài tập 4.</b>

1. Cho các số thực dươnga,b,c.Chứng minh rằng
a

b+c+

b
c+a+

4c
a+b≥2.
2. Cho các số dươnga,b,cthoả mãn các điều kiện





a2₊_b2₊_c2₌₁₁

ab+bc+ca=7

Chứng minh

1

3≤a,b,c≤3.

(<i>Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Đăk Lăk năm học 2017 - 2018</i>)

<b>Bài tập 5.</b> Biếtx≥y≥z,x+y+z=0vàx2₊_y2₊_z2₌₆_.

1. TínhS= (x−y)2+ (x−y)(y−z) + (y−z)2

2. Tìm giá trị lớn nhất củaP=|(x−y)(y−z)(z−x)|

(<i>Đề thi tuyển sinh chuyên Toán Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG</i>

<i>Tp. HCM năm học 2016 - 2017</i>)

<b>Bài tập 6.</b> Choa,b,clà các số thực dương thoảa+b ≤c.Tìm
GTNN của biểu thức

P= (a4+b4+c4)

1
4a4+

1
4b4 +

1

c4

·

<b>Bài tập 7.</b> Cho các số thựcx,y,z ≥1và thoả mãn3x2₊₄_y2₊

5z2₌₅₂_{. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức}

F=x+y+z.

(<i>Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Thái Bình năm học 2016 - 2017</i>)

<b>Bài tập 8.</b> Choa,b,c,d∈<b>R</b>vàab−cd=√3.Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

P=a2+b2+c2+d2+ac+bd.

<b>Bài tập 9.</b> Choa,b,c≥0thoả mãna+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của:

P= 1

a+bc+

1

b+ca+ (a+b)(4+5c).

<i>(Đề thi tuyển sinh chuyên Toán tỉnh Nam Định năm học 2017 - 2018)</i>

<b>Bài tập 10.</b> Choa,b,clần lượt là độ dài ba cạnh của một tam giác
và thoả mãn

2ab+3bc+4ca=5abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 7

a+b−c+

6

b+c−a+

5

c+a−b.

</div>

<!--links-->