Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitag3.doc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh
Ngày gửi bài: 05/08/2007

Số lượt đọc: 2959

<b>Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định </b>
<b>lý</b>

<b>1. Các diện tích hình vng trên khung lưới</b>

Đây là cách tính các diện tích của các hình vng trên một khung lưới hình ô
vuông, bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng
trên hình bên) . Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính tốn
diện tích các hình vng nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh
định lý Pitago.

<b>Dựng hình và kiểm tra</b>

1. Bạn hãy mở file Sketch <b>Squarefinder.gps</b>.

2. Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình vng này so
với khung lưới.

Chú ý: khi hình vng màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì sẽ có
một hình vng lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như hình trên). Độ dài
đoạn AB có thể là 1 số ngun hoặc khơng phải là một số nguyên.

3. Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình
vng là khoảng 5 đơn vị vng. Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình
vng của mình vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút <b>Show Area Yellow </b>
<b>Square</b> trên màn hình để kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến

đâu. Nếu diện tích hình vng của bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột
vào nút <b>Hide Area Yellow Square</b> và thử làm lại.

(Hình vng có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5.
Tính tốn này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24)

<b>Tìm hiểu thêm</b>
1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Gọi độ dài cạnh của hình vng đó là c, và hãy viết lại biểu thức đó theo 3
số hạng a, b, c.

- Làm tối giản biểu thức này.

- So sánh xem hai biểu thức này có bằng nhau hay khơng?

2. Có một số hình vng nghiêng có độ dài cạnh là 1 số ngun. Hãy tìm
một số hình như thế

3. Có thể tạo được hình vng nghiêng trên khung lưới có diện tích bằng 3
khơng?

4. Liệu có thể tạo ra 1 hình vng trên khung lưới có diện tích khơng phải là
một số ngun khơng? Hãy giả thích.

<b>2. Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình ảnh</b>

- Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì
khó lý giải .Trong các cách chứng mình này- được gọi cách “cắt ra từng
mảnh”, bạn sẽ bắt đầu từ một hình ảnh có các mảnh rời rạc, chúng là các

mảnh được khớp lại với nhau theo 1 vế của định lý Pitago (như a²+b²). Bạn
sẽ cắt các mảnh đó ra và sắp xếp lại chúng theo một vế khác của định lý (là
c² ).

- Việc sắp xếp các mảnh rời rạc này thì đơn giản, nhưng chưa đủ để chứng
minh được định lý. Tuy nhiên, các cách làm này này có thể dẫn đến các cách
chứng minh định lý nếu bạn có thể lý giải được tại sao lại làm như vậy.
<b>Cách dựng hình và kiểm tra </b>

- Mở file <b>Pythgorean Puzzles.gsp </b>. Xem các cách biểu diễn sau:

1. Hãy viết 2 biểu thức khác nhau để tính diện tích của một hình vng có
độ dài cạnh là a+b như hình bên dưới:

+ Một biểu thức biểu diễn theo 2 số hạng a và b:
dt = (a+b)² =a² + b² - 2ab (1)

+ Một biểu thức khác viết theo 3 số hạng a,b,c, ta thấy: diện tích hình vng
này bằng diện tích hình vng màu trắng (có cạnh là c) + diện tích của 4 tam
giác vuông , nên suy ra:

dt = c² + 2ab (2).

Từ (1) và (2) ta có dt = c² + 2ab = a² + b² - 2ab.
Thu gọn đẳng thức trên ta được c² = a² + b².

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2. Một biểu thức tính được diện tích hình vng có cạnh là c :
dt = c² . (3).

- Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vng này theo hai số hạng

a, b: Theo hình vẽ ta thấy

dt = diện tích hình vng màu vàng + diện tích của 4 tam giácvng :
↔ dt = (b-a)² + 2ab= a² + b² (4)

Từ (3) và (4) ta có đẳng thức sau :
dt = c² = a² +b²

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

- Một cách thông thường để chứng minh định lý
Pitago là cắt các miếng của các hình vng trên
các cạnh bên ra và sắp xếp lại cho khớp với
hình vng trên cạnh huyền.

- Trong phần này, bạn sẽ tạo ra được một cơng
cụ theo ý mình (<b>Custom tool</b>), cơng cụ này cho
phép bạn làm được những việc giống như menu
<b>Transform</b>, nhưng thuận tiện hơn: sử dụng
công cụ này để tạo các bản sao của 1 hình, và
bản sao này có thể di chuyển trượt theo hình
ban đầu. Cơng cụ có tên là <b>Translator </b>
<b>Cách dựng</b>.

1. Vẽ một tứ giác ABCD tùy ý và miền trong của nó.

2. Vẽ điểm E tại một khoảng trống bất kỳ trên trang. Điểm này là điểm bạn
đặt vị trí copy tứ giác.

3. Chọn (đánh dấu) điểm B và điểm E và chọn menu <b>Transform| Mark </b>
<b>Vector </b>

4. Kích chuột vào tứ giác để đánh dấu miền trongcủa tứ giác, sau đó chọn
menu <b>Transform| Translate</b> để tạo được bản sao của tứ giác ABCD theo
phương của vectơ được đánh dấu (vectơ BE).

5. Kéo điểm E để bản sao tứ giác vừa tạo di chuyển đến vị trí mong muốn.
6. Kéo 1 đỉnh bất kỳ trong tứ giác ABCD để hình dạng của tứ giác thay đổi
thì ta thấy hình dạng của tứ giác bản sao cũng thay đổi theo.

Các bước xây dựng công cụ <b>Translator</b>

1. Chọn miền trong của tứ giác ban đầu, chọn điểm B, điểm E và miền trong
của tứ giác bản sao có E là đỉnh .

Nhấn và giữ biểu tượng công cụ <b>Custom </b>
và chọn <b>Creat New Tool</b> từ menu Custom.

Xuất hiện 1 hộp thoại, bạn hãy gõ tên công cụ mới là <b>Translator</b>, và nhấn
<b>ok</b>. Như vậy là bạn đã tạo ra được công cụ <b>Translator</b> để vẽ các bản sao từ
một hình ban đầu, và bản sao này có thể di chuyển tự do trên trang Sketch.
2. Bây giờ hãy thử thực hành công cụ <b>Translator </b>vừa tạo: Kích vào 1 miền
trong của tứ giác bạn muốn di chuyển. sau đó kích vào 1 đỉnh của tứ giác đó;
Giữ và kéo chuột đến vị trí mong muốn và kích chuột lần thứ ba, và bây giờ
bạn có thể cho hình này di chuyển tự do theo đỉnh của nó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Pitago(tạo các bản sao chuyển động được)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Một cách để chứng minh định lý Pitago đó là
cắt hình vng trên các cạnh bên thành các
mảnh phân biệt , sau sắp xếplại chúng thành

hình vng trên cạnh huyền.

<b>Dựng hình và kiểm tra</b>
1. Dựng một tam giác vuông
và các hình vng trên các
cạnh của nó.

2. Vẽ tâm của hình vng trên
cạnh bên b (là cạnh lớn hơn)

3. Dựng 1 đường thẳng đi qua tâm này và song song với cạnh c và một
đường thẳng khác vng góc với cạnh c.

4. Vẽ các giao của hai đường thắng này với hình vng trên cạnh b.

Như vậy 2 đường thẳng này đã chia hình vng trên cạnh b thành 4 tứ giác.
Bạn hãy vẽ và tô các màu khác nhau cho 4 tứgiác này.

5. Làm ẩn 2 đường thẳng này đi

6. Vẽ và tô màu miền trong của hình vng trên
cạnh a (là cạnh nhỏ nhất).

Như vậy ta có 4 miếng được tạo từ hình vng
trên cạnh <b>b</b>. kết hợp với 1 mảnh từ hình vng
trên cạnh a, 5 mảnh này có thể ghép lại thành
hình vng trên cạnh c bằng cách di chuyển và
sắp xếp lại chúng.

7. Để tạo ra được các mảnh hình di chuyển được

của hình vng trên cạnh a, Sử dụng cơng cụ
<b>Translator</b> từ menu <b>Custom</b> tool.

8. Tạo ra các bản sao của các mảnh tứ giác của
hình vng trên cạnh b bằng cách sử dụng công cụ <b>Translator</b> từ menu
công cụ <b>Custom</b>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

10. Để xác định lại cách chia này bạn hãy thử làm lại với một tam giác
vuông khác.

<i>Viết Thị Thu Hiền, </i>

</div>

<!--links-->