đề hsg 1516 toán học 9 nguyễn đắc chí thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ <b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9</b>
MƠN : TOÁN

NĂM HỌC: 2015 – 2016
Khóa ngày: 15/10/2015

<i> Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)</i>

<b>Bài 1: </b><i>(4,0đ)</i> Cho biểu thức:

3 3 2 9

(1 ) : ( )

9 2 3 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>Q</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   

     

(với <i>x</i> 0;<i>x</i> 9;<i>x</i> 4)
a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm các giá trị của x để Q = 1

<b>Bài 2: </b><i>(2,5đ) </i>Cho x,y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2_{+ y = y}2_{+ x.}
Tính giá trị của biểu thức sau: A =

2 2

x + y + xy
xy -1

<b>Bài 3: </b><i>(2,5đ)</i> Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5
dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không?

<b>Bài 4: </b><i>(3,0đ)</i> Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
P =

2 2

2 2

x y x y
+ + 4 - 3 + 0
y x y x

 



 

 

<b>Bài 5: </b><i>(2,0đ) </i> Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
xy - y = x2_{+ 2}

Bài 6: <i>(6,0đ)</i> Cho hình vng ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung
điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai
đường thẳng MG và AH song song với nhau.

a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
b) Tính số đo góc HOG _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ

<b>HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9.</b>
MƠN : TỐN. NĂM HỌC: 2015 - 2016

<b>Bài 1: </b><i>(4,0đ)</i> a)

3 3 2 9

(1 ) : ( )

9 2 3 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>Q</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   

    

2

( 3) ( 3)( 3) ( 2)(2 ) 9
Q=[1 ]:[

( 3)( 3) (2 )( 3) (2 )( 3) (2 )( 3)

3 4 4

:

3 (2 )( 3)
3(2 )( 3) 3

( 0; 9; 4)
( 3)(2 ) 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i>
<i>Q</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>Q</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     
  
       
 

  
 
    
   

b) Với <i>x</i> 0;<i>x</i> 9;<i>x</i> 4:
3
1 1
2
<i>Q</i>
<i>x</i>
  


2 3 5 25

<i>x</i>    <i>x</i>   <i>x</i> 

<b>Bài 2: </b><i>(2,5đ) </i> Ta có: x2_{+ y = y}2_{+ x}

<=> x2_{- y}2_{+ y – x = 0} <i>_(0,5</i>

<i>đ)</i>

<=> (x – y)(x + y – 1) = 0 <i>(0,5</i>

<i>đ)</i>

Vì x ≠ y nên x + y – 1= 0 <=> x + y = 1 <i>(0,5</i>
<i>đ)</i>

A =

2 2

x + y + xy
xy -1 ₌

2

(x + y) - xy 1- xy
1

xy -1 xy -1 <i>_(1,0</i>

<i>đ)</i>

(Vì x + y = 1=> xy ≠1)

<b>Bài 3: </b><i>(2,5đ)</i> Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng : 5k+1 <i>(0,25 </i>
<i>đ)</i>

số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng : 5q+2 (k,q  Z) <i>(0,25 </i>
<i>đ)</i>

Ta có: (5k+1)2_{+ (5q+2)}2_{= 25k}2_{+ 10k + 1 + 25q}2_{+ 20q}_{+ 4} <i>_(0,5</i>

<i>đ)</i>

= 25k2_{+ 10k + 25q}2_{+ 20q}_{+ 5} <i>_(0,5</i>

<i>đ)</i>

= 5(5k2_{+ 2k + 5q}2_{+ 4q + 1)} <i>_(0,5</i>

<i>đ)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 4: </b><i>(3,0đ)</i>

Đặt a =
<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>_{, ta có a}2₌

2 2

2 2 2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>  _{=> a}2_{– 2 =}

2 2

2 2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i>  <i>x</i> <i>_(0,5đ)</i>

Thay vào P ta có: P =

2 2

2 2 4 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

   _  _

 _{= a}2_{– 3a + 2= (a-1)(a-2)}

<i>(0,75đ)</i>

Vì x > 0, y > 0 => a =
<i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i>_{≥ 2} <i>_(0,5đ)</i>

=> a – 2 ≥ 0; a – 1> 0

<i>(0,25đ)</i>

=> P = (a-1)(a-2) ≥ 0 <i>(0,5đ)</i>

<b>Bài 5: </b><i>(2,0đ)</i>

xy – y = x2_{+ 2}
<=> y(x -1) = x2_{+ 2}

<i>(0,25đ)</i>

=> y =

2 ₂

1
<i>x</i>

<i>x</i>

 ₌

3
1

1
<i>x</i>

<i>x</i>
 

 <i>_(0,5đ)</i>

Vì x,y Ζ nên x - 1 Ư(3) = {-1;1;-3;3) <i>(0,5đ)</i>

=> x  {0;2;-2;4)
<i>(0,25đ)</i>

Với x =0 => y = -2
x = 2=> y = 6
x = -2 => y = -2
x = 4 => y = 6

Vậy phương trình có 4 nghiệm: (0;-2) ; (2;6) ; (-2 ;-2) ;(4;6). <i>(0,5đ)</i>

<b>Bài 6: </b><i>(6,0đ)</i>

a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
ADH và GBM có:



ADH₌GBM ₍₌₉₀0₎



AHD₌GMB _{( cặp góc có cạnh tương ứng song song)}

 ADH GBM (g-g) <i>(1,0đ)</i>



<i>DH</i> <i>AD</i>

<i>BM</i> <i>GB</i> <i>_(0,75đ)</i>

 DH.GB = BM.DA <i>(0,75đ)</i>

b) Tính số đo góc HOG _.

Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
MBO vng cân tại M => BM = BO.

2

2 <i>_(0,5đ)</i>

ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2 <i>(0,5đ)</i>

H
M

O

B

D
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 DH.GB = BM.DA = BO.
2

2 _{. DO.} 2_=BO.DO <i>_(0,5đ)</i>



<i>DH</i> <i>DO</i>

<i>BO</i> <i>GB</i> _màODH ₌_GBO ₍₌₄₅0₎ <i>_(0,5đ)</i>

 ODH GBO (c-g-c) <i> (0,5đ)</i>

 DOH = BGO <i>(0,25đ)</i>

 DOH + HOG + GOB =BGO +GOB +OBG (=1800) <i> (0,25đ)</i>

 HOG = OBG = 450 <i>(0,5đ)</i>

</div>

<!--links-->