Đề thi tìm kiếm tài năng toán quốc tế

KOREAGERMAN






















International Mathematical Talent Search (IMTS)
[Cuộc thi Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế]

Translated from English-progenitor by Hàn Ngọc Đức [KoreaGerman]



Chú ý: Các chỗ có dấu (?) có thể cha chính xác!

Đề nghị bạn đọc kiểm tra và góp ý với ngời dịch
â Copyright 2004 by KoreaGerman & www. diendantoanhoc.net
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search -
1 -




IMTS vòng 1

Bài toán 1/1. Với mọi số nguyên dơng n, lập số n/s(n), ở đó s(n) là tổng các
chữ số của n trong hệ thập phân. Tính giá trị nhỏ nhất của n/s(n) trong mỗi
trờng hợp sau:
(i) 10 n 99
(ii) 100 n 999
(iii) 1000 n 9999
(iv) 10000 n 99999
Bài toán 2/1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (n, k), 2 < k < n, sao cho các số
,
, tạo thành một dãy số tăng.
1k
n
C

k
n
C
1k
n

C
+
Bài toán 3/1. Trên một bảng cỡ 8 x 8 ngời ta đặt n quân cờ Đôminô, mỗi quân
chiếm hai ô kề nhau, sao cho không thể đặt thêm quân Đôminô nào vào các ô còn
lại. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu để trạng thái trên còn đúng?
Bài toán 4/1. Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các
đoạn thẳng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho mỗi phần có một trục
đối xứng.
Bài toán 5/1. Chứng minh rằng có thể chia một tứ diện tuỳ ý thành 6 phần bởi
các mặt phẳng hoặc phần mặt phẳng sao cho mỗi một phần có một mặt phẳng đối
xứng.

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search -
2 -




IMTS vòng 2

Bài toán 1/2. Số nguyên nhỏ nhất là bội số của 9997, khác 9997, chỉ chứa một
chữ số lẻ, là bao nhiêu?
Bài toán 2/2. Chứng minh rằng mọi tam giác có thể chia thành 9 hình ngũ giác
lồi không suy biến.
Bài toán 3/2. Chứng minh rằng nếu x, y và z là các số nguyên dơng đôi một
nguyên tố cùng nhau, và nếu
z
1
y

1
x
1
=+
thì x + y, x - z và y - z là các số chính
phơng.
Bài toán 4/2. Cho a, b, c và d là diện tích của các mặt tam giác của một tứ diện
và h
a
, h
b
, h
c
, và h
d
là các đờng cao tơng ứng của tứ diện. Kí hiệu V là thể tích
của tứ diện, chứng minh rằng
(a + b + c + d)(h
a
+ h
b
+ h
c
+ h
d
) 48V.
Bài toán 5/2. Chứng minh rằng có vô số số nguyên dơng n sao cho hình hộp
cỡ n ì n ì n không thể đợc ghép bởi các khối lập phơng cỡ 2 ì 2 ì 2 và 3 ì 3 ì 3.

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
3 -




IMTS vòng 3

Bài toán 1/3. Chú ý rằng nếu tích của hai phần tử khác nhau của tập {1, 16, 27}
tăng thêm 9 thì kết quả là một số chính phơng. Hãy tìm các số nguyên dơng n
sao cho n + 9, 16n + 9, và 27n + 9 cũng là các số chính phơng.
Bài toán 2/3. Chú ý rằng 1990 có thể "trở thành một số chính phơng" (turned
into a square) bằng cách thêm một chữ số vào bên phải nó và một số chữ số ở bên
trái nó; chẳng hạn 419904 = 648
2
. Chứng minh rằng 1991 không thể trở thành một
số chính phơng bằng cách trên; có nghĩa là, không tồn tại các chữ số d, x, y, ...
sao cho ...yx1991d là một số chính phơng.
Bài toán 3/3. Tìm k nếu P, Q, R và S là các điểm trên các cạnh của tứ giác
ABCD sao cho
k
SA
DS
RD
CR
QC
BQ
PB
AP
====

,
và diện tích của tứ giác PQRS bằng đúng 52% diện tích của tứ giác ABCD.
P
Q
R
S
C
D
A
B
Bài toán 4/3. Cho n điểm với các toạ độ nguyên trên mặt phẳng toạ độ xy. Giá
trị nhỏ nhất của n để chắc chắn rằng có 3 trong các điểm trên là các đỉnh của một
tam giác với diện tích nguyên (chấp nhận 0), là bao nhiêu?
Bài toán 5/3. Hai ngời, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá. A là ngời
bắt đầu, và tiếp đó hai ngời chơi xen kẽ luân phiên nhau. Mỗi ngời lấy hoặc
một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài. Cuối cùng tất cả các lá bài đợc chọn, và
ngời không lấy lá bài cuối cùng là ngời thua. Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo
chiến lợc tối u?

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
4
-

IMTS vòng 4

Bài toán 1/4. Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đúng hai lần để lập các số
nguyên tố khác nhau sao mà tổng càng nhỏ càng tốt. Tổng này nhỏ nhất phải
bằng bao nhiêu? (Chú ý: 5 số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, và 11).
Bài toán 2/4. Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao mà có thể biểu diễn thành
tổng của các số nguyên dơng phân biệt a, b, và c sao cho a + b, a + c và b + c là
các số chính phơng?
Bài toán 3/4. Chứng minh rằng một số nguyên dơng có thể biểu diễn dới
dạng 3x
2
+ y
2
nếu và chỉ nếu nó cũng có thể biểu diễn dới dạng u
2
+ uv + v
2
, ở đó
x, y, u, và v là các số nguyên dơng.
Bài toán 4/4. Cho ABC tuỳ ý, dựng P, Q và R sao cho mỗi một góc tạo thành
là 30
0
. Chứng minh rằng PQR là tam giác đều.
C
P
B
Q
A
R

Bài toán 5/4. Số đo các cạnh của ABC là 11, 20 và 21 đơn vị. Ta gấp nó dọc
theo PQ, QR và RP, ở đó P, Q, R là các trung điểm của các cạnh của tam giác, cho
đến khi A, B, và C trùng nhau. Hỏi thể tích của tứ diện tạo thành là bao nhiêu?

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
5
-




IMTS vòng 5

Bài toán 1/5. Tập hợp S gồm 5 số nguyên. Nếu mỗi cặp phần tử phân biệt của S
đợc cộng với nhau thì 10 tổng thu đợc là 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980,
1983, 1984, 1989, 1991. Tìm những phần tử của S?
Bài toán 2/5. Cho các số nguyên n 3 và k 2, và hình thành các hiệu số (sai
phân tiến - forward difference) của các phần tử của dãy
1, n, n
2
, ..., n
k - 1
và cứ thế lấy các hiệu số liên tiếp của các dòng trên để đợc dòng dới, nh chỉ
ra trên bảng dới với (n, k) = (3, 5). Chứng minh rằng các kết quả (số ở dòng cuối
cùng) là khác nhau với các cặp (n, k) khác nhau.

1 3 9 27 81
2 6 18 54
4 12 36
8 24
16

Bài toán 3/5. Trong một trận bóng chày "kiểu toán học" (mathematical version),
trọng tài chọn một số nguyên dơng
m
,
m

n
, và bạn phải đoán một số nguyên
dơng để biết đợc
m
. Nếu số bạn đoán nhỏ hơn số
m
của trọng tài thì ông ta gọi
nó là một "bóng" (ball); nếu số đó lớn hơn hoặc bằng
m
thì trọng tài gọi đó là một
"cú đánh" (strike). Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm đợc đúng giá trị của
m

sau cú đánh thứ 3 hoặc lần đoán thứ 6, tuỳ theo cái nào trớc. Giá trị lớn nhất của
n
là bao nhiêu để tồn tại một chiến lợc cho phép bạn đánh (bat) đợc 1000 điểm,
nghĩa là luôn tìm đúng
m

? Hãy nêu chi tiết chiến lợc đó.
Bài toán 4/5. Chứng minh rằng nếu f là một hàm thực khác hàm hằng sao cho
với mọi x ta có
f(x + 1) + f(x - 1) =
3
f(x).
thì f là hàm tuần hoàn. Tìm số dơng p nhỏ nhất sao cho f(x + p) = f(x) với mọi x?
Bài toán 5/5. Trong ABC (hình vẽ), gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp. Gọi
r
A
, r
B
, r
C
là các bán kính của các đờng tròn tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp và với
các cạnh của tam giác, tơng ứng với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
r r
A
+ r
B
+ r
C
.
r
C
r
A
r
r
B

C
A
B
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
6
-




IMTS vòng 6

Bài toán 1/6. Chín đờng thẳng, cùng song song với một cạnh của một tam
giác và chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10
phần khác nhau. Tìm diện tích của tam giác ban đầu, nếu diện tích của phần lớn
nhất là 76.
Bài toán 2/6. Có bao nhiêu cách biểu diễn 1992 dới dạng tổng của một hoặc
nhiều các số nguyên liên tiếp?
Bài toán 3/6. Chứng minh rằng tồn tại một lục giác có các góc bằng nhau trên
mặt phẳng mà độ dài các cạnh của nó là 5, 8, 11, 14, 23 và 29 đơn vị, theo một thứ
tự nào đó.
Bài toán 4/6. Một công ty quốc tế có 250 nhân viên, mỗi ngời có thể nói vài
ngôn ngữ. Trong mỗi cặp nhân viên (A, B), có một ngôn ngữ đợc A nói mà B
không và có một ngôn ngữ đợc B nói mà A không. Có ít nhất bao nhiêu ngôn
ngữ đợc nói trong công ty?
Bài toán 5/6. Một bàn cờ vô hạn (infinite checker-board) đợc chia bởi một

đờng kẻ nằm ngang thành nửa trên và nửa dới nh hình vẽ. Một số quân cờ đã
đợc đặt vào bàn cờ bên dới đờng kẻ (trong các ô). Một "bớc đi" (move) là
một quân cờ nhảy dọc hoặc ngang qua một quân cờ khác và ăn quân cờ đó.

Giá trị nhỏ nhất của
n
để có thể đặt quân cờ cuối cùng vào dòng thứ 4 phía
trên đờng kẻ ngang sau
n
- 1 bớc đi là bao nhiêu? Hãy mô tả vị trí ban đầu của
các quân cờ và từng bớc đi.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
7
-




IMTS vòng 7

Bài toán 1/7. Trong một hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại E. Diện
tích của ABE là 72, và diện tích của CDE là 50. Diện tích của hình thang ABCD
là bao nhiêu?
Bài toán 2/7. Chứng minh rằng nếu a, b và c là các số nguyên dơng sao cho c
2

= a
2
+ b
2
, thì cả c
2
+ ab và c
2
- ab đều có thể biểu diễn dới dạng tổng của hai số
chính phơng.
Bài toán 3/7. Với n là một số nguyên dơng, kí hiệu P(n) là tích của tất cả các
ớc số nguyên dơng của n. Tìm n nhỏ nhất để
P(P(P(n))) > 10
12
.
Bài toán 4/7. Khi chép lại trên bảng một dãy 6 số nguyên dơng là một cấp số
cộng, một sinh viên viết 5 số: 113, 137, 149, 155, 173, và bỏ sót một số. Sau đó cậu
ta nhận ra rằng cũng đã chép sai một số trong chúng. Bạn hãy giúp cậu ta và tìm
lại dãy ban đầu.
Bài toán 5/7. Cho T = (a, b, c) là một tam giác với các cạnh a, b, và c và diện tích
. Kí hiệu T' = (a', b', c') là tam giác với các cạnh là đờng cao của T (nghĩa là a' =
h
a
, b' = h
b
, c' = h
c
) và kí hiệu diện tích của nó là '. Tơng tự kí hiệu T'' = (a'', b'', c'')
là tam giác tạo bởi các đờng cao của T', và kí hiệu diện tích của nó là ''. Cho ' =
30 và '' = 20. Hãy tìm .

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
8
-




IMTS vòng 8

Bài toán 1/8. Chứng minh rằng không có tam giác nào có độ dài các đờng cao
là 4, 7 và 10 đơn vị.
Bài toán 2/8. Nh trên hình vẽ, có một số thực x, 0 < x < 1, sao cho ta có thể
chia hình vuông đơn vị thành 7 tam giác đồng dạng. Khi đó x phải thoả mãn một
đa thức dạng chuẩn bậc 5. Tìm đa thức đó. (Đa thức dạng chuẩn là đa thức có hệ
số của bậc cao nhất của x là 1.)
Bài toán 3/8. (i) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ..., 9 thành a(1), a(2), ..., a(9) sao
cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không? Chứng minh khẳng định của
bạn:
1
1
x
|a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ..., |a(9) - 9|.
(ii) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ..., 10 thành a(1), a(2), ..., a(10) sao cho các số
sau đây đôi một khác nhau hay không?. Chứng minh khẳng định của bạn:
|a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ..., |a(10) - 10|.
Bài toán 4/8. Trong một cuộc chạy 50 mét, Anita có thể chấp Bob nhiều nhất 4

mét và đuổi kịp cậu ta tại vạch đích. Trong một cuộc chạy 200 mét, Bob có thể
chấp Carol nhiều nhất 15 mét và đuổi kịp cô ta tại vạch đích. Giả sử rằng tất cả 3
ngời luôn chạy với một vận tốc không đổi. Hỏi Anita có thể chấp Carol nhiều
nhất bao nhiêu mét trong một cuộc chạy đua 1000 mét mà vẫn có thể đuổi kịp cô
ta.
Bài toán 5/8. Cho các số thực a, b, x và y thoả mãn:
a + b = 23,
ax + by = 79,
ax
2
+ by
2
= 217,
ax
3
+ by
3
= 691,
Hãy tính ax
4
+ by
4
.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
9
-

IMTS vòng 9

Bài toán 1/9. Một lới m x n đợc đặt sao cho một góc của nó tại (0, 0) và một
góc tại (m, n). Một bớc đi hợp lệ đợc định nghĩa là một bớc chuyển một đơn
vị theo hớng dơng của y hoặc một đơn vị theo hớng dơng của x. Điểm (i, j)
của lới, với 0 i m và 0 j n, bị bỏ đi và không có đờng đi nào qua nó bằng
các bớc đi để đến điểm (m, n).
Có bao nhiêu con đờng có thể đi từ (0, 0) đến (m, n), bằng các bớc đi nh
vậy?
Bài toán 2/9. Cho một điểm P và hai đoạn thẳng trên một mảnh giấy hình chữ
nhật sao mà giao điểm Q của các đờng thẳng chứa chúng không nằm trên mảnh
giấy. Làm thế nào để dựng đờng thẳng PQ với một cái thớc nếu chỉ đợc phép
vẽ trong phạm vi của mảnh giấy? (*)
Bài toán 3/9. Một đa giác lồi có 1993 đỉnh đợc tô màu sao cho hai đỉnh kề
nhau có màu khác nhau. Chứng minh rằng ngời ta có thể chia đa giác thành các
tam giác bằng các đờng chéo không giao nhau mà hai đầu mút có màu khác
nhau.
Bài toán 4/9. Một tam giác đợc gọi là
Heronian
nếu số đo các cạnh và diện
tích của nó là các số nguyên. Xác định tất cả 5 tam giác Heronian có chu vi và diện
tích cùng bằng một số nguyên.
Bài toán 5/9. Một bộ gồm 5 "Hình lập phơng kì ảo" (con xúc sắc -
Trick Math
Cubes
) đợc cho dới dạng khai triển phẳng nh hình vẽ. Một "Pháp s"

(magician) yêu cầu bạn gieo chúng và cộng 5 số ở mặt trên lại. Ông ta cũng nhẩm
và viết ngay ra kết quả vào một tờ giấy trớc khi bạn cộng xong! Ông ta đã làm
thế nào? Trình bày và giải thích trò mẹo này.

179 564
278 377 872 762 366 861
971 168
773 780 960
483 186 285
384
741 681 756
147 543 840 855 558 459
642 954
345 657

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
10
-




IMTS vòng 10

Bài toán 1/10. Tìm x
2

+ y
2
+ z
2
nếu x, y và z là các số nguyên dơng thoả mãn
7x
2
- 3y
2
+ 4z
2
= 8 và 16x
2
- 7y
2
+ 9z
2
= - 3.
Bài toán 2/10. Từ ớc lợng đơn giản 1 <
3
< 2, hãy suy ra rằng 6 <
3
3
< 7.
Bài toán 3/10. Với mỗi số nguyên dơng n, n 2, hãy xác định hàm số:
f
n
(x) = a
n
+ b

n
x + c
n
|x - d
n
|,
ở đó a
n
, b
n
, c
n
, d
n
chỉ phụ thuộc vào n, sao cho:
f
n
(k) = k + 1 với k = 1, 2, ..., n - 1 và f
n
(n) = 1.
Bài toán 4/10. Một túi chứa 1993 bóng đỏ và 1993 bóng đen. Chúng ta hãy lấy
đi hai bóng một lúc nhiều lần và
(i) Loại bỏ chúng nếu chúng có cùng màu.
(ii) Nếu chúng khác màu, loại bỏ bóng đen và bỏ lại bóng đỏ vào túi.
Hỏi xác suất để quá trình sẽ kết thúc với một quả bóng đỏ còn lại trong túi là
bao nhiêu?
Bài toán 5/10. Cho P là một điểm trên vòng tròn ngoại tiếp của ABC không
trùng với A, B và C. Giả sử rằng BP cắt AC tại X và CP cắt AB tại Y. Cho Q là giao
điểm khác A của hai vòng tròn ngoại tiếp ABC và AXY. Chứng minh rằng PQ
chia đôi đoạn XY. (Các giao điểm khác nhau có thể xảy ra với phần kéo dài của

các đoạn thẳng).
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
11
-




IMTS vòng 11

Bài toán 1/11. Hãy biểu diễn
94
19
dới dạng
n
1
m
1
+
, với m và n là hai số
nguyên dơng.
Bài toán 2/11. Cho n là một số nguyên lớn hơn 5. Chứng minh rằng có nhiều
nhất 8 phần tử của tập {n + 1, n + 2, ..., n + 30} là số nguyên tố.
Bài toán 3/11. Một 2n-giác lồi đợc gọi là "Thoi giác" (
rhombic
) nếu tất cả các

cạnh của nó bằng đơn vị dài và nếu hai cạnh đối diện là song song với nhau. Một
thí dụ minh hoạ đợc cho trên hình vẽ (với n = 4), một Thoi giác 2n-giác có thể
đợc chia thành các hình thoi cạnh 1 theo nhiều cách khác nhau. Với giá trị nào
của n để một Thoi giác 2n-giác có thể đợc chia thành 666 hình thoi?
Bài toán 4/11. Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đờng phân giác trong của một
tứ diện đồng quy thì cả 4 đờng phân giác ấy phải đồng quy tại một điểm.
Bài toán 5/11. Cho f(x) = x
4
+ 17x
3
+ 80x
2
+ 203x + 125. Tìm đa thức bậc nhỏ
nhất g(x) sao cho f(
33
) = g(
33
) và f(
55
) = g(
55
).
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
12
-

IMTS vòng 12

Bài toán 1/12. Thày giáo viết một số nguyên dơng nhỏ hơn 50.000 lên bảng.
Một sinh viên xác nhận đó là một bội của 2; một sinh viên thứ hai nói rằng nó là
một bội của 3; và cứ nh vậy... cho đến khi sinh viên thứ 12 nói rằng nó một bội
của 13. Thày giáo quan sát và thấy rằng trừ hai sinh viên ra thì tất cả những ngời
khác nói đúng. Và hai sinh viên phát biểu sai nói cách nhau một ngời khác.
Hỏi số đợc viết trên bảng là số nào?
Bài toán 2/12. Một hình 12-giác đều đợc nội tiếp trong một hình vuông diện
tích bằng 24 nh hình vẽ, ở đó 4 đỉnh của hình 12-giác là trung điểm của các cạnh
hình vuông. Tìm diện tích của hình 12-giác đều.
Bài toán 3/12. Cho S là tập hợp gồm 30 điểm trên mặt phẳng, có tính chất là
khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì trong S nhỏ nhất bằng 1. Định nghĩa T
là tập con lớn nhất của S sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì của T
là nhỏ nhất bằng
3 . Có bao nhiêu điểm trong tập T?
Bài toán 4/12. Chứng minh rằng nếu
33
42 +
là nghiệm của một đa thức bậc
ba với các hệ số nguyên, thì nó là nghiệm thực duy nhất của đa thức này.
Bài toán 5/12. Trong hình vẽ, l
1
và l
2
là hai đờng thẳng song song, AB là đoạn
vuông góc với chúng, và P, Q, R, S là các giao điểm của l

1
và l
2
với một đờng tròn
với đờng kính lớn hơn AB và tâm C nằm trên đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng
tích
PS.PR
không phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB.

l
2
l
1
R S
P
B
A
C
Q
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
13
-

IMTS vòng 13

Bài toán 1/13. Milo là một sinh viên trờng Mindbender High. Sau mỗi bài
kiểm tra, cậu ta tính điểm trung bình của mình và luôn làm tròn tới phần trăm
gần nhất. (85,49 làm tròn xuống thành 85, nhng 85,50 thì làm tròn lên thành 86).
Hôm nay cậu ta có hai bài kiểm tra. Bài đầu cậu ta đợc 75 điểm môn tiếng Pháp,
làm giảm điểm trung bình của cậu ta đi 1 điểm. Sau đó cậu ta đợc 83 điểm môn
lịch sử, làm tăng điểm trung bình của cậu ta lên 2 điểm.
Hỏi điểm trung bình của Milo hiện nay là bao nhiêu?
Bài toán 2/13. Erin đang nghĩ ra một trò chơi và muốn chọn 4 loại đồng tiền từ
các loại $1, $2, $3, $5, $10, $20, $25 và $50 để chơi với tiền. Cậu ta đã chọn chúng
nh thế nào để mà mọi giá trị từ $1 đến $120 có thể nhận đợc bằng cách dùng
nhiều nhất là 7 tờ bạc.
Bài toán 3/13. Với số nguyên dơng d nào thì có thể tô màu các số nguyên màu
đỏ hoặc xanh sao cho không có hai điểm đỏ nào cách nhau d và không có hai
điểm xanh nào cách nhau 1?
Bài toán 4/13. Chứng minh rằng có vô hạn bộ ba số nguyên dơng sắp thứ tự
(x, y, z) sao cho
x
3
+ y
5
= z
7
.
Bài toán 5/13. Chỉ đợc trang bị một compa (không có cạnh thẳng) vẽ hai
đờng tròn cắt nhau theo một góc vuông; tức là dựng những đờng tròn đè lên
nhau trong cùng một mặt phẳng, trực giao (các tiếp tuyến tại lần lợt hai giao
điểm của chúng vuông góc).
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế

â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
14
-




IMTS vòng 14

Bài toán 1/14. Cho a, b, c, d là các số dơng sao cho a
2
+ b
2
+ (a - b)
2
= c
2
+ d
2
+
(c - d)
2
. Chứng minh rằng a
4
+ b
4
+ (a - b)

4
= c
4
+ d
4
+ (c - d)
4
.
Bài toán 2/14. Các nhãn giá trong một cửa hàng bách hoá ghi nh sau:

$ 2.00 $ 5.50$ 0.75


Chú ý rằng tổng của ba giá trên là 8,25 $ và tích của ba số cũng bằng 8,25. Hãy
tìm 4 nhãn giá có tổng bằng 8,25 $ và tích bốn số đó cũng bằng 8,25.
Bài toán 3/14. Trong một nhóm 8 nhà toán học, mỗi vị thấy rằng có đúng 3 vị
khác có một sở thích chung. Có thể ghép họ từng đôi một sao cho trong mỗi cặp
(trong 4 cặp) đó, hai vị không có chung sở thích nào hay không?
Bài toán 4/14. Cho các số nguyên dơng a và b. Kí hiệu a ~ b nếu ab + 1 là một
số chính phơng. Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tồn tại một số nguyên dơng c
sao cho a ~ c và b ~ c.
Bài toán 5/14. Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục
giác nh hình vẽ. So sánh diện tích của hai lục giác đó.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
15
-

IMTS vòng 15

Bài toán 1/15. Có thể ghép đôi các số nguyên dơng 1,2, 3, ..., 50 sao cho tổng
của mỗi cặp số là các số nguyên tố khác nhau hay không?
Bài toán 2/15. Hãy thay thế các chữ cái khác nhau bởi các chữ số khác nhau
trong {0, 1, ..., 9} sao cho các phép cộng sau đúng. (Hai phép toán độc lập với
nhau).
H A R RIET DIANA
M A R RIED AND
+ HER SARAH
D E N TIST + ARE
REBELS

Bài toán 3/15. Hai hình chóp có chung đáy 7 cạnh, với các đỉnh kí hiệu là A
1
,
A
2
, ..., A
7
. Chúng có các đỉnh khác là B và C. Không có ba điểm nào trong 9 điểm
là thẳng hàng. Mỗi cạnh trong 14 cạnh BA
i
và CA
i
(i = 1, ..., 7), 14 đờng chéo của

đáy, và đoạn BC, đợc tô màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng có ba đoạn trong
chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác.
Bài toán 4/15. Giả thiết cho các số nguyên dơng a, b, c và x, y, z thoả mãn a
2
+
b
2
= c
2
và x
2
+ y
2
= z
2
. Chứng minh rằng:
(a + x)
2
+ (b + y)
2
(c + z)
2
.
Và hãy xác định khi nào dấu bằng xảy ra?
Bài toán 5/15. Cho C
1
và C
2
là hai đờng tròn cắt nhau tại A và B. C
0

là đờng
tròn qua A với tâm B. Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C
0
và C
1

tiếp xúc với C
2
?
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
16
-




IMTS vòng 16

Bài toán 1/16. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Bài toán 2/16. Với n là một số nguyên dơng, đặt P(n) là tích của các chữ số

khác không trong hệ thập phân của n. Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết
n. Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên dơng liên tiếp mà tất cả
là
prodigitious.
Bài toán 3/16. Các đĩa đợc đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô
vuông với một ô vuông để trống. Một
bớc chuyển
bao gồm lấy đi một đĩa và di
chuyển nó vào ô trống. Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số bớc chuyển ít nhất
sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, ..., đĩa n trong ô vuông n, và
ô vuông cuối cùng là ô trống. Chẳng hạn, nếu vị trí ban đầu là

3 2 1 6 5 4 9 8 7 12 11 10

thì mất ít nhất 14 bớc chuyển; cụ thể là chúng ta có thể di chuyển các đĩa vào ô
trống theo thứ tự sau: 7, 10, 3, 1, 3, 6, 4, 6, 9, 8, 9, 12, 11, 12.
Hỏi vị trí ban đầu đòi hỏi số lớn nhất các bớc chuyển là thế nào nếu n = 1995?
Chỉ rõ số bớc chuyển cần thiết.
Bài toán 4/16. Cho ABCD là một tứ giác lồi tuỳ ý, với E, F, G, H là những trung
điểm của các cạnh nh đợc chỉ ra trên hình vẽ. Chứng minh rằng ngời ta có thể
ghép các mảnh tam giác AEH, BEF, CFG, DGH lại với nhau để thành một hình
bình hành tơng đẳng (congruent) với hình bình hành EFGH.
C
H
F
G
D
A E B
Bài toán 5/16. Một hình bát giác đẳng giác (các góc bằng nhau) ABCDEFGH có
các cạnh với độ dài là 2, 2

2
, 4,
24
, 6, 7, 7, 8. Cho AB = 8, hãy tìm độ dài EF.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế
â
diendantoanhoc.net

International Mathematical Talent Search -
17
-




IMTS vòng 17

Bài toán 1/17. Số 154 chữ số 19202122 ...939495 nhận đợc bằng cách viết liền
nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần. Chúng ta xoá đi 95 chữ số
của số đó để đợc một số lớn nhất có thể đợc. Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số
này là gì?
Bài toán 2/17. Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m, n) sao mà m
2
- n
2
= 1995.
Bài toán 3/17. Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho
không có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi. (Một ngũ giác
là
lồi

nếutất cả các góc trong của nó không vợt quá 180 độ).
Bài toán 4/17. Một ngời đàn ông hơn vợ ông ta 6 tuổi. Ông ta cho biết 4 năm
trớc ông ta đã cới vợ đợc đúng một nửa số tuổi ông ta. Ông ta sẽ bao nhiêu
tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày cới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3
cuộc đời lấy ông ta? (*)
Bài toán 5/17. Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một
hình vuông 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hoặc lên các cạnh
của hình vuông. Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể.