Ôn lượng giác từ cơ bản đến nâng cao

Trần Só Tùng Đại số 11
Trang
1





I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = sinα
αα
α
a/
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

= +
= ⇔ ∈

= − +

α π
α
π α π

b/

sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π

c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −

d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 
 
π

e/ sin cos sin sin
2
u v u v
 
= − ⇔ = −
 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= − ⇔ = − + ∈
π
π


2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈

π
π

2. Phương trình cosx = cos
α
αα
α

a/ cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈
α α π

b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π

c/ cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π

d/ cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 
 

π

e/ cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π


2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
π

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

Đại số 11 Trần Só Tùng
Trang 2
3. Phương trình tanx = tan
α
αα
α

a/ tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π

b/ tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π

c/ tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = −
d/ tan cot tan tan
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 
 
π

e/ tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +

 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π

4. Phương trình cotx = cot
α
αα
α

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π

cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π

Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π


5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).
2
x k k Z≠ + ∈
π
π

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z≠ ∈
π

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )
2
x k k Z≠ ∈
π

* Phương trình có mẫu số:
• sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π

• cos 0 ( )
2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π

• tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π

• cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.


Trần Só Tùng Đại số 11
Trang 3
Bài 1.
Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
 

+ =
 
 
π
2) cos 4 1
3
x
 
− =
 
 
π
3) cos 1
5
x
 
− = −
 
 
π

4)
sin 3 0
3
x
 
+ =
 
 
π

5) sin 1
2 4
x
 
− =
 
 
π
6) sin 2 1
6
x
 
+ = −
 
 
π

7)
( )
1
sin 3 1
2
x + = 8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)

3
sin
2 3 2
x
 
− = −
 
 
π

10)
1
cos 2
6 2
x
 
− = −
 
 
π
11)
( )
tan 2 1 3x − = 12)
( )
0
3
cot 3 10
3
x + =

13)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 
 
π
14) cot 2 1
3
x
 
− =
 
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−

Bài 2.
Giải các phương trình:
1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = − 2) cos cos 2
3 6

x x
   
− = +
   
   
π π

3)
cos3 sin 2x x=
4)
( )
0
sin 120 cos2 0x x− + =
5)
cos 2 cos 0
3 3
x x
   
+ + − =
   
   
π π
6) sin3 sin 0
4 2
x
x
 
+ − =
 
 

π

7)
tan 3 tan
4 6
x x
   
− = +
   
   
π π
8) cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
   
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + = 10)
( )
2
cos 0x x+ =
11)
( )
2
sin 2 0x x− = 12)

( )
2
tan 2 3 tan 2x x+ + =
13)
2
cot 1x = 14)
2
1
sin
2
x =
15)
1
cos
2
x = 16)
2 2
sin cos
4
x x
 
− =
 
 
π


II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC

Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.
h́
t x hoặc t x t điều kiện t= = ≤ ≤

Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx 1 1t− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π

2
cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z≠ ∈
π


Đại số 11 Trần Só Tùng
Trang 4
Bài 1.
Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
( )
2
tan 1 3 tan 3 0x x+ − − =


5)

( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + =
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0

cos
x
x
− + − + =

5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4 cos
2

x
10) 2cos2x + tanx =
4
5

Bài 3.
Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
x x x
x
x
 
+ +
+ =
 
+
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
0 ; 2
π
.
Bài 4.
Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−

π π
.
Bài 5.
Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
   
   
π π
.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

Cách 1
:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+ ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =

+ + +

• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
= = ∈
 
+ +
α α α π

phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α


2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b

⇔ − = =
+
α β

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
Trần Só Tùng Đại số 11
Trang 5
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+

• (2) 2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π

Cách 2:
a/ Xét 2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét 2 cos 0.
2
x

x k
≠ + ⇔ ≠
π π

Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =
Vì 2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆

Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:

0
tan .
2
x
t=

Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +


2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =

Bài 1.
Giải các phương trình sau:
1)
cos 3 sin 2x x+ = 2)
6

sin cos
2
x x+ =
3) 3 cos3 sin3 2x x+ =
4)
sin cos 2 sin5x x x+ = 5)
( ) ( )
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =

6)
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 
 
π

Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3 sin2 3x x+ = 2)
( )
sin8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos

sin cos
x
x x
= +
4) cosx – 3 sin 2 cos
3
x x
 
= −
 
 
π

5) sin5x + cos5x =
2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3.
Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3 cosx + 4sinx – 3 = 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 4.
Giải các phương trình sau: