Vận dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ LAN HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TUỔI Ở TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội – 2013

1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các giảng viên trong
khoa Giáo dục Tiểu học và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho em trong q trình làm khóa luận này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
để em hồn thành khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian và năng lực cịn có hạn nên khóa
luận khơng tránh khỏi thiếu sót và hạn chế. Vì vậy, em rất mong nhận được sự
tham gia đóng góp ý kiến của thầy cơ và bạn bè để khóa luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

2


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài
toán tuổi ở Tiểu học” là kết quả mà em đã trực tiếp nghiên cứu, tìm tịi thơng
qua sự hướng dẫn của thầy cơ, sự giúp đỡ của bạn bè.
Trong q trình nghiên cứu, em có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên
cứu, một số tác giả đã được trích dẫn đầy đủ. Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để em
rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình.
Khóa luận này là kết quả của riêng cá nhân em, không trùng với các kết quả
của các tác giả khác. Những điều em nói ở trên là hoàn toàn đúng sự thật.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

3


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Mở đầu

1

1. Lí do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

6. Dự đoán kết quả nghiên cứu

3

Chương 1. Cơ sở lý luận

4

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

4

1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

6

1.2.1. Khái quát phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

6

1.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

7

1.2.2.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

7

1.2.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở tiểu học

8

1.2.2.3. Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử

9

dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

14

1.3. Vấn đề chung về bài toán

15

1.3.1. Quan niệm về bài toán

15
4


1.3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán

15

1.3.3. Lời giải của bài toán

15

1.3.4. Ý nghĩa của việc giải toán

16

1.3.5. Phân loại bài tốn

16

1.3.6. Phương pháp tìm lời giải bài tốn

18

1.4. Bài tốn tuổi ở mơn tốn tiểu học

19

1.4.1. Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi

19

1.4.2. Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học

20

1.4.3. Một số bài tốn về tuổi trong chương trình SGK tiểu học

22

1.4.4. Phương pháp thường dùng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

22

1.4.4.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

23

1.4.4.2. Các phương pháp khác

Chương 2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán
tuổi ở tiểu học

25
25

2.1. Phương pháp giải các bài tốn đơn về tính tuổi
2.1.1. Khái qt chung

25
25

2.1.2. Một số ví dụ

27

2.2. Các bài tốn hợp về tính tuổi và cách giải chúng
2.2.1. Khái quát các bài tốn hợp về tính tuổi

5

27
28


2.2.2. Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người

32

2.2.3. Các dạng bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người

32

2.2.3.1. Dạng trực tiếp của bài toán hiệu và tỉ số tuổi của hai người

35

2.2.3.2. Dạng bài toán phải giải một bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi
của hai người

40

2.2.3.3. Dạng bài toán cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời
điểm khác nhau
2.2.4. Bài toán cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người
2.2.5. Các bài tốn tính tuổi với số thập phân

44
47
49
50

2.2.6. Một số bài toán khác
2.2.7. Nhận xét
Chương 3. Nêu một số bài toán tuổi sử dụng phương pháp sơ đồ

51

đoạn thẳng để giải
Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

6


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài. Với 9 mơn học thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh
tiểu học được đào tạo nhằm phát triển tồn diện cả trí thức, đạo đức, lao động,
thể thao, mĩ học. Giáo dục Tiểu học góp phần đào tạo những con người đủ
đức, đủ tài để phục vụ xã hội. Trong hệ thống các mơn học đó, mơn Tốn là
một mơn học cơ bản, nó chiếm nhiều thời lượng giảng dạy của giáo viên và
thời gian học tập của học sinh. Có được sự đánh giá đó bởi mơn Tốn giúp
trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức về khoa học tự nhiên, cơ bản làm
nền tảng để học sinh hiểu biết và giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn. Thêm nữa,
với các kiến thức căn bản của tốn học cịn góp phần quan trọng giúp các em
có thể học tập tốt các môn học khác trong nhà trường Tiểu học cũng như ở các
cấp học sau.
Nội dung mơn Tốn ở tiểu học được chia thành các mạch kiến thức cơ bản là
số học, đại lượng, hình học và giải tốn có lời văn. Giải bài tốn có lời văn là
một mạch kiến thức khó về kiến thức và phong phú về thể dạng, cũng như
học sinh được học tập trong suốt tồn bộ bậc học Tiểu học. Vì vậy, việc định
hướng cho học sinh xác định được dạng bài và lựa chọn phương pháp giải phù
hợp là việc làm vô cùng quan trọng. Qua việc định hình các phương pháp và
sự luyện tập giúp học sinh phát triển được tư duy, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo
trong quá trình giải tốn.
Cùng với một số dạng tốn có lời văn khác, các bài tốn về tính tuổi là nội
dung quan trọng khá quen thuộc và gần gũi với học sinh bậc tiểu học. Tuy
nhiên, việc giải các bài tốn dạng tính tuổi như thế nào và lựa chọn phương

pháp giải ra sao là vấn đề mà đã được các thế hệ giáo viên và học sinh cùng
quan tâm. Xuất phát từ đặc điểm nhận thức của học sinh, căn cứ vào hệ thống
phương pháp giải toán ở tiểu học và đặc trưng của dạng bài tốn tính tuổi mà
7


nhiều thế hệ các nhà giáo nhận thấy rằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có
những hiệu lực nhất định trong việc giải các bài tốn dạng này.
Vì những lí do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào em mạnh
dạn chọn đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài tốn
tuổi”, để hồn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm chuyên ngành
tốn Tiểu học
2.Mục đích nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ cơ sở lý
luận và thực tiễn của việc ứng dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải
các bài toán về tuổi trong nhà trường tiểu học. Qua đó, góp phần nâng cao
hiệu quả của việc dạy và học giải toán ở tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề: Ứng dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học.
- Phân loại các bài toán về tính tuổi thường gặp ở tiểu học.
- Nghiên cứu phương pháp chung để giải dạng toán về tuổi và giải các bài tốn
cơ bản và nâng cao về tính tuổi, cụ thể là dùng phương pháp sơ đồ đoạn
thẳng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và ứng
dụng của phương pháp này để giải các bài tốn tính tuổi ở tiểu học.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài tốn tuổi trong chương trình tiểu học.
5. Phương pháp nghiên cứu

8

- Tham khảo, học tập kinh nghiệm các thầy cô giáo có nhiều kinh
nghiệm giảng dạy bậc Tiểu học.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các sách chuyên khảo
nâng cao.
- Kiểm nghiệm qua thực tế giảng dạy trong đợt thực tập Sư phạm.
6. Dự đoán kết quả nghiên cứu. Sau quá trình nghiên cứu, đề tài góp phần
phân rõ được các dạng tốn dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và ứng dụng
của phương pháp này để giải các bài tốn tính tuổi trong từng dạng bài của
tốn tính tuổi.

9


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học. Đời sống tâm lí của học sinh
tiểu học có những biến đổi và làm nên “chất tiểu học” trong mỗi học sinh.
Trong ba mặt của đời sống tâm lí con người gồm nhận thức, tình cảm, hành
động thì nhận thức là tiền đề của hai mặt kia và chúng có mối quan hệ biện
chứng với nhau cũng như các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động nhận thức là
hoạt động mà kết quả của nó con người có được các tri thức, hiểu biết về thế
giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt động
khác một cách có hiệu quả.
Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Nhìn chung ở học sinh tiểu học, hệ thống
tín hiệu thứ nhất cịn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên
ngoài. Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc tiểu học thì hệ thống tín hiệu thứ hai đã
phát triển nhưng cịn ở mức độ thấp.

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính khơng chủ định, tính xúc cảm và tính
chất đại thể. Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối
tượng, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những
hình ảnh tượng trưng sơ lược. Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức
và sâu sắc ở các em còn yếu. Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em
thường gắn với hành động và hoạt động thực tiễn. Tri giác không gian và thời
gian của các em còn hạn chế. Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong
quá trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác
hơn, đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được
hướng dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác.

10


Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ
thể sang trừu tượng khái qt. Đó là kết quả của q trình học sinh tiếp xúc
với thực tế, trao đổi xã hội và học tập, mà đặc biệt là hoạt động học tập trong
nhà trường. Các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa của học sinh được hình thành và phát triển. Khả năng lĩnh hội khái
niệm phát triển, tư duy cụ thể ít mang tính trực tiếp, đã tách nhiều ra khỏi tri
giác trực tiếp và dần mang tính trừu tượng.
Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt
động học tập và các hoạt động khác của các em. Khuynh hướng tưởng tượng
ở học sinh là tiến dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực
khách quan trên cơ sở những tri thức tương ứng. Hình ảnh tưởng tượng trở
nên trọn vẹn hơn, phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp
chúng càng chặt chẽ hơn, có lí hơn.
Trí nhớ trực quan – hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
logic- từ ngữ. Các em ghi nhớ, gìn giữ và nhớ lại các hiện tượng, hình ảnh tốt
hơn là các câu chữ hình tượng khơ khan. Dưới ảnh hưởng của hoạt động học

tập, trí nhớ có chủ định, trí nhớ từ ngữ - logic xuất hiện, phát triển nhưng
khơng biệt lập với trí nhớ máy móc, trí nhớ trực quan- hình tượng.
Chú ý khơng chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế ở học sinh tiểu
học. Chú ý của học sinh chưa bền vững, nhất là học sinh lớp đầu tiểu học. Do
thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý của học sinh cịn phân tán, lại thiếu khả
năng phân tích nên dễ bị lơi cuốn vào hình ảnh trực quan gợi cảm. Sự chú ý
của học sinh thường hướng ra hoạt động bên ngồi chứ khơng có khả năng
hướng vào bên trong, vào tư duy và hoạt động trí óc. Chú ý có chủ định được
phát triển cùng với sự phát triển của động cơ học tập mang tính chất xã hội
cao và sự phát triển của ý thức với kết quả học tập.
11


Như vậy, khả năng nhận thức của học sinh tiểu học ln hình thành, biến đổi
và phát triển qua từng lớp của cấp học. Vì vậy trong dạy học nói chung và dạy
học tốn nói riêng, để đạt được kết quả giáo dục tối ưu nhất ta cần căn cứ vào
đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu trên và con đường nhận thức chân lí
mà Lê-nin đã nêu: “ Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng quay trở lại thực tiễn”. Qúa trình hướng dẫn học sinh giải tốn cần
sử dụng phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp
học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa
học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh.
Do vậy, các bài tốn dạng tính tuổi cần sử dụng cần sử dụng cách tóm tắt bài
tốn một cách hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán
và cách tốt nhất là sơ đồ hóa bài tốn dạng đoạn thẳng. Qua đó, học sinh có
thể loại bỏ được dấu hiệu khơng bản chất để tập trung vào cái bản chất toán
học, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải
quyết bài tốn.
1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.1. Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học. Trong hoạt động giải

toán, học sinh tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa
chọn phương pháp giải phù hợp. Các bài toán khác nhau ở tiểu học thì được
lựa chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau. Thông thường, phương
pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất trong hệ thống phương
pháp giải tốn ở tiểu học.
Hiện nay, có rất nhiều ý kiến khác nhau về số lượng các phương pháp giải
toán ở tiểu học. Về mặt cơ bản, người ta thống nhất được là có 14 phương
pháp giải các bài tốn có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng

12


cao ở tiểu học. Trong 14 phương pháp trên thì việc sử dụng phương pháp nào
để giải bài tập phụ thuộc vào từng dạng của bài tốn. Cá biệt có những bài
toán sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải và hầu hết mỗi bài tốn có
nhiều cách giải khác nhau để dẫn tới một kết quả chung.
Trong giải toán ở tiểu học, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giữ một vai trò
quan trọng và được sử dụng phổ biến trong giải toán hiện nay. Phương pháp
sơ đồ đoạn thẳng giúp học sinh giải được nhiều dạng toán khác nhau, từ bài
dễ tới bài khó, từ dạng đơn giản tới dạng phức tạp và giúp học sinh dễ hiểu,
nhớ lâu kiến thức hơn các phương pháp khác. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
là một hình thức trực quan trong giải toán, đáp ứng được nhu cầu tăng mức độ
trừu tượng trong việc cung cấp kiến thức tốn. Qua đó, trực quan hóa các mối
quan hệ, dữ kiện của bài tốn, trực quan hóa các suy luận để tìm ra lời giải
của bài toán.
1.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.2.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở tiểu học. Trong đó, mối quan hệ
giữa đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài tốn được biểu diễn bởi
các đoạn thẳng.

Việc lựa chọn độ dài các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự
của các đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp cho học sinh tìm được lời giải
một cách tường minh. Học sinh dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ thuộc
giữa các đại lượng, tạo ra hình ảnh cụ thể để giúp học sinh suy nghĩ, tìm tịi
đưa đến cách giải bài tốn.

13


Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau,
chẳng hạn: các bài toán đơn, các bài tốn hợp và một số bài tốn có lời văn
điển hình.
1.2.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở Tiểu học.
Để giải được bài toán, học sinh cần thực hiện được thao tác phân tích mối liên
hệ và phụ thuộc trong bài tốn đó. Muốn làm được việc này thì ta thường
dùng các hình thức vẽ thay cho các số để minh họa các quan hệ của bài tốn.
Ta phải chọn, sắp xếp các hình vẽ một cách hợp lý để dễ dàng thấy được mối
liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy
ra cách giải.
Việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có tác dụng rất lớn. Nhìn vào
sơ đồ học sinh sẽ định ra được cách giải, có khi nhận thấy ngay kết quả của
bài tốn. Vì lẽ đó mà phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến,
làm chỗ dựa cho kế hoạch giải toán của học sinh.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trực quan sinh động, phù hợp với tâm sinh lí
học sinh tiểu học. Và sử dụng phương pháp này sẽ tránh được những lý luận
không phù hợp với học sinh, quan trọng là sẽ tránh được việc lập phương
trình như sẽ học ở Trung học cơ sở và Trung học phổ thông.
Đây là phương pháp hữu hiệu trong việc dùng để giải nhiều dạng toán ở tiểu
học như giải tốn có lời văn, giải tốn có yếu tố hình học, giải tốn có yếu tố
đại số hay sử dụng trong giảng dạy lý thuyết.

Vì vậy, trong q trình dạy giải tốn, giáo viên cần sử dụng triệt để phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán,
nhận dạng nhanh và phát huy được tính tích cực, chủ đạo của học sinh.

14


1.2.2.3. Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Bước 1: Tìm hiểu đề tốn.
Ở bước này, giáo viên đặt các câu hỏi để tập trung chú ý của học sinh như:
Bài tốn đã cho gì? Bài tốn hỏi gì? Khi đó, các câu hỏi do giáo viên đặt ra rất
quan trọng, bởi học sinh thường bị phân tán vào các từ ngữ khơng quan trọng
của bài.
Bước 2: Phân tích các điều kiện của đề toán, biểu diễn các đại lượng đã cho
trên sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Dựa vào sơ đồ, lập kế hoạch giải.
Bước 4: Thực hiện các thao tác giải và trình bày bài giải.
Bước 5: Kiểm tra, đánh giá lời giải. Ở bước này, các yêu cầu đạt được khi giải
bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng gồm:
Học sinh được luyện tập, thực hành vẽ sơ đồ đoạn thẳng thơng qua các
bài tốn điển hình. Từ các đề toán đã cho, học sinh dùng sơ đồ đoạn thẳng
thay cho các số, các đại lượng của bài tốn. Nhờ đó, học sinh có thể nói rõ
cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng của mình và giải thích rõ tại sao, học sinh có thể từ
quan sát sơ đồ đoạn thẳng tự đặt đề tốn và giải thích bài tốn đó.
Học sinh có óc phán đốn, suy luận nhanh, có tư duy và cách khái quát
cao, rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân trong quá trính giải toán.
1.2.2.4. Các dạng bài toán sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

15

Dạng bài toán đơn. Bài toán đơn là các bài tốn khi giải chỉ dùng một bước
tính (cịn gọi là một phép tính). Các bài tốn đơn ở tiểu học được phân làm
bốn dạng. Trong đó:
(i ) Các bài tốn đơn giải bằng một phép tính cộng. Bài tốn đơn với một

phép tính cộng xuất hiện ở tất cả các lớp ở bậc tiểu học. Căn cứ vào cấu trúc
của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể chia bài tốn dạng
này thành ba mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng nhiều hơn, ít hơn:
……

Hoặc

……
?

?

Mẫu 2. Sơ đồ dạng “hỏi tất cả bao nhiêu?”
……
?...
…...
….

…

Hoặc
Mẫu 3. Sơ đồ có dạng:

……

…..

16


?
Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên dẫn dắt học sinh đến với đề toán
theo các văn cảnh khác nhau.
+ Theo sơ đồ thì bài tốn trên giải bằng phép tính gì?
+ Trong bài tốn giải bằng phép tính cộng thì câu lời giải là gì?
(ii ) Bài tốn đơn giải bằng một phép tính trừ. Bài tốn đơn giải bằng một

phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lớp của bậc Tiểu học. Căn cứ vào cấu
trúc của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài tốn, ta có thể phân chia các
bài tốn dạng này thành bốn mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng
…….
……
?

….

……
Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
……
……

?

……
……..
Mẫu 3. Sơ đồ có dạng sau

17


……

?.....

…….
Mẫu 4. Sơ đồ có dạng
…..

?....

(iii ) Các bài tốn đơn giải bằng một phép tính nhân. Căn cứ vào cấu trúc của

sơ đồ đoạn thẳng dùng trong lời giải, ta có thể phân chia các bài tốn đơn giải
bằng một phép tính nhân thành hai mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng sau
.....
….
?.....
Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
….

?....

18


Khi giải các bài tốn bằng một phép tính nhân, sơ đồ đoạn thẳng được biểu
diễn bằng số phần bằng nhau tương ứng với mỗi đại lượng.
(iv) Bài toán giải bằng một phép tính chia. Tương tự như bài tốn giải bằng

một phép tính nhân, các bài tốn giải bằng một phép tính chia gồm có các
mẫu sơ đồ
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng sau
…..
……

…….
?...

Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
…..

?...
Các bài toán hỗn hợp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
(i ) Các bài tốn hợp giải bằng hai phép tính cộng và trừ.

Mẫu a + (a - b) sơ đồ có dạng

?....

.
19

Mẫu a + (a + b) sơ đồ có dạng

?...

(ii ) Bài tốn hợp giải bằng hai phép tính cộng và nhân.

Mẫu a + a ´ c sơ đồ có dạng

…..

?....

…..
(iii ) Bài tốn giải bằng hai phép tính cộng và chia.

Mẫu a + a : c sơ đồ có dạng
?....

1.3. Vấn đề chung về bài toán
1.3.1. Quan niệm về bài toán. Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào
của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết. Theo G.Polya, bài toán là
việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp
để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt
được ngay.

20


Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: Bài tốn là sự

địi hỏi đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài tốn có thể đồng nhất với một số
quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập…
1.3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán. Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài
tốn gồm hai yếu tố chính hợp thành
- Bài tốn cho biết gì? (là những gì bài tốn đã cho)
- Bài tốn u cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)
1.3.3 Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự
các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời
giải, cách giải, bài giải của bài tốn.
Một bài tốn có thể có một lời giải, khơng có lời giải hoặc có nhiều lời giải.
Giải được một bài tốn là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài
tốn trong trường hợp bài tốn có lời giải, hoặc lí giải tại sao bài tốn là
khơng lời giải được trong trường hợp nó khơng có lời giải. Nhưng ở tiểu học,
một bài tốn thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp khơng có lời giải
thường khơng có.
1.3.4 Ý nghĩa của việc giải tốn. Giải tốn có ý nghĩa to lớn và đóng vai trị
quan trọng trong q trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh.
- Rèn luyện, phát triển tư duy, kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.

21


1.3.5. Phân loại bài toán. Người ta phân loại bài tốn theo nhiều cách khác
nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi. Ta có
một số cách phân loại bài tốn như sau:
(i ) Phân loại theo hình thức của bài tốn. Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài

tốn tìm tịi.
Bài tốn chứng minh là bài tốn mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài tốn.
Bài tốn tìm tịi là bài tốn trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề
bài tốn.
(ii ) Phân loại theo phương pháp giải bài tốn gồm hai loại

Bài tốn có angorit giải: là bài tốn mà phương pháp giải của nó theo
một thuật tốn chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó.
Bài tốn khơng có angorit giải: là bài tốn mà phương pháp giải của nó
khơng theo một thuật tốn nào hoặc khơng mang tính chất thuật tốn nào.
(iii ) Phân loại theo nội dung bài toán. Bài toán số học; Bài toán chuyển động

đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;…
(iv) Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.

22


Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kĩ năng nào đó địi hỏi phải có một khả năng tư duy phân
tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
(v) Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải. Các bài toán ở tiểu học

được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp.
Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính.
Bài tốn hợp là bài tốn giải bằng hai phép tính trở lên. Bài tốn hợp

chứa đựng trong nó những bài tốn đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong
bài toán đơn này lại là số cho trước của bài tốn đơn khác hay kết quả của
phép tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài
tốn đơn tiếp sau đó.
1.3.6. Phương pháp tìm lời giải của bài tốn. Theo G.Polya, quy trình giải
một bài toán gồm bốn bước
Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài tốn. Trước khi giải
một bài tốn, ta phải phân tích đề bài của bài tốn, rồi tìm hiểu thấu đáo nội
dung của bài tốn. Bước này gồm các hoạt động sau:
- Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài tốn. Tức là tìm hiểu
những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài tốn ?
- Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài.
- Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất.
- Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể biểu diễn mối
quan hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài tốn.

23


Bước 2: Tìm tịi lập kế hoạch giải tốn. Hoạt động này gắn với việc phân
tích các dữ kiện và các yếu tố phải tìm của bài tốn, nhằm xác lập mối quan
hệ giữa chúng và tìm được phép tính số học thích hợp. Bước này cũng gồm
các thao tác:
- Minh họa bài tốn bằng cách tóm tắt, thường là dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trật tự giải quyết của phép tính
số học.
Trong giải toán, đây là bước quyết định và cũng là bước khó khăn nhất. Bước
này địi hỏi học sinh biết huy động kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác
bỏ, từ đó mới tiếp cận được lời giải của bài toán.
Bước 3: Thực hiện giải toán. Đây là bước tập hợp lại của bước xây dựng

chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết
của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dẫn tới kết luận của bài toán.
Thực hiện giải toán là thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch giải tốn
và trình bày bài giải đó. Trong chương trình tiểu học hiện nay có thể áp dụng
một trong những cách riêng biệt hoặc trình bày dưới dạng biểu thức gồm một
vài phép tính.
Bước 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải. Việc kiểm tra nhằm phân tích cách
giải đúng hoặc sai, phát hiện sai ở đâu và sửa lại cho đúng, ghi đáp số. Ngồi
ra, tìm hiểu việc trình bày lời giải đã đầy đủ chưa, kiểm tra tính hợp lí của lời
giải
1.4. Bài tốn tuổi ở mơn tốn tiểu học

24


1.4.1. Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi. Các bài tốn về tính
tuổi thuộc dạng tốn có lời văn điển hình. Trong chương trình tốn bậc Tiểu
học, các bài tốn về tính tuổi được đưa vào từ lớp 2 tới lớp 5.
Đối tượng được nói đến trong các bài toán dạng này là tuổi tác. Các bài tốn
đưa ra tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác của các đối tượng
rất gần gũi với học sinh như tuổi của ông, bà, cha, mẹ, anh, chị, em.. của học
sinh đó. Các bài tốn này có thể được đưa ra dạng tường minh hoặc dạng ẩn.
Việc giải các bài toán dạng này cũng giống như các dạng tốn về tìm số.
Khi giải các bài tốn về tính tuổi cần lưu ý:
Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng tuổi
trong từng thời kì (trước đây, hiện nay, sau này).
Hiệu số tuổi giữa hai người không thay đổi theo thời gian.
Trong các bài tốn về tính tuổi, ta thường gặp các đại lượng sau:
+ Tuổi của A và B
+ Tổng (Hiệu) số tuổi của A và B .

+ Tỉ số tuổi của A và B .
Các thời điểm tính tuổi của A và B (trước đây, hiện nay, sau này).
Mỗi năm thì mỗi người tăng thêm một tuổi. Tổng số tuổi của hai người
thay đổi trước hoặc sau 1, 2.. năm là 2, 4,…năm.
1.4.2. Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học. Ta có thể phân loại bài tốn về
tuổi như sau:

25