PP giai toan quy tich Vector

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phơng pháp giải các bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ.

<i>Ths. Nguyễn Bá Thủy.</i>

Bài tốn quỹ tích là một trong những loại tốn khó, đặc biệt là các bài tốn quỹ tích có
liên quan đến véc tơ. Rất nhiều học sinh đã gặp phải những khó khăn tởng chừng nh
khơng thể vợt qua đối với những bài toán dạng này. Nhằm chia sẻ những khó khăn đó,
trong bài viết này chúng tơi xin đề xuất một vài ý kiến về phơng pháp giải các bài tốn
quỹ tích có sử dụng véc tơ với t tởng chủ đạo là cố gắng thuật toán hố quy trình giải một
vài dạng tốn thờng gặp.

<i>KiÕn thøc bổ trợ:</i>

Cho hệ n điểm <i>A</i>1<i>, A</i>2<i>,</i>.. .<i>, An</i> vµ bé n sè <i>α</i>1<i>, α</i>2<i>,</i>. ..<i>, αn</i> sao cho <i>α</i>1+<i>α</i>2+. ..+<i>αn≠</i>0 .

Khi đó xác định duy nhất điểm I thoả mãn <i>α</i>₁⃗_IA

1+<i>α</i>2⃗IA2+. . .+<i>αn</i>⃗IA<i>n</i>=0 (1)

Điểm I nh vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm <i>A</i>₁<i>, A</i>₂<i>,</i>.. .<i>, A_n</i> theo bộ số
<i>α</i>₁<i>, α</i>₂<i>,</i>. ..<i>, α_n</i> . Khi đó với mọi điểm M bất kỳ ta có:

<i>α</i>₁⃗_MA

1+<i>α</i>2⃗MA2+. . .+<i>αn</i>⃗MA<i>n</i>
¿

₍

<i>α</i>₁+α₂+. . .+<i>α_n</i>

₎

⃗MI

<b>Chú ý:</b> Nếu <i>α</i>₁+<i>α</i>₂+. ..+<i>α_n</i>=0 thì ta chứng minh đợc véc tơ:
⃗

<i>u=α</i>1⃗MA1+α2⃗MA2+. ..+α<i>n</i>⃗MA<i>n</i> là một véc tơ khụng i.

Sau đây ta sẽ xét một vài dạng toán q tÝch thêng gỈp:

<b>Dạng 1:</b> Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ.
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài tốn quỹ tích cơ bản sau:

1) ⃗_AM_=k_⃗<i>_a</i> (k0), A cố định, ⃗<i>a</i> khơng đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng qua A
cùng phơng ⃗<i>a</i> .

2)

|

⃗_MA

_|

₌

_|

⃗_MB

_|

với A, B cố định: Quỹ tích điểm M là đờng trung trực của AB.

3)

_|

⃗_MA

_|

₌_|⃗<i>_a|</i> với A cố định, ⃗<i>a</i> không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng trịn tâm A, bán
kính <i>R=|a</i>| .

Ví dụ 1: Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
a) _MA₊<i>_k</i>_MB_=k_MC₍<i>_k_R)</i>

b) <i>v</i>=MA+MB+2MC cùng phơng với véc tơ BC
<i>Giải:</i>

a) Ta có:

_MA₊<i>_k</i>_MB_=k_MC<i></i>_MA₌<i>_k</i>₍_MC<i></i>_MB₎

<i></i>_MA_=k_BC hay ⃗MA cùng phơng với ⃗BC . Vậy quỹ
tích điểm M là đờng thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ABC.

b) Gọi I là điểm thoả mÃn hệ thức ⃗_IA_{+ ⃗}_IB₊₂⃗_IC_=⃗₀ (§iĨm I nh thÕ là tồn tại và duy
nhất). Thì ta có: <i>v</i>=MA+MB+2MC==MI+IA+MI+IB+2MI+2IC=4MI

Do đó ⃗<i>v</i> cùng phơng với ⃗_BC<i>_⇔</i>⃗_MI cùng phơng với véc tơ ⃗_BC  M thuộc đờng

thẳng đi qua I và song song với BC.

VÝ dụ 2: Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
<i>a</i>

|

MB+MC

|

=

|

MB<i></i>MC

|

<i>b</i>

|

2MA+3MB

|

=

|

3MB+2MC

|

<i>c</i>

|

4MA+MB+MC

|

=

|

2MA<i></i>MB<i></i>MC

|

<i>Giải</i>

a) Gọi I là trung điểm BC ta cã:

_|

⃗_MB_+⃗_MC

_|

₌

_|

⃗_MB<i>₋</i>⃗_MC

_|

<i>⇔</i>

|

2⃗_MI

_|

₌

_|

⃗_CB

_|

<i>_⇔</i>_MI₌BC
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2_KA₊₃_KB₌₀
L là điểm thoả mÃn: 3_LB₊₂_LC₌₀
Ta có:

|

2⃗_MA₊₃⃗_MB

_|

₌

_|

₃⃗_MB₊₂⃗_MC

_|

<i>⇔</i>

|

5⃗_MK

_|

₌

_|

₅⃗_ML

_|

<i>_⇔</i>_MK₌_ML

 Tập hợp điểm M là đờng trung trực của on thng KL.

c) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mÃn: 4_JA₊_JB₊_JC₌₀
Ta có:

|

4⃗_MA_+⃗_MB_+⃗_MC

_|

₌

_|

₂⃗_MA<i>₋</i>⃗_MB<i>₋</i>⃗_MC

_|

<i>⇔</i>

|

6⃗_MJ

_|

₌

_|

₂⃗_MA<i>₋</i>₂⃗_MI

_|

<i>⇔</i>

|

6⃗_MJ

_|

₌

_|

₂⃗_IA

_|

<i>_⇔</i>_MJ₌1

3IA=const
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm J bán kính <i>R=</i>1

3IA .

<i>Từ lời giải các bài tốn trên ta có thể mơ tả đợc quy trình giải loại toán này nh sau:</i>
<b>Bớc 1:</b> Biến đổi các đẳng thức cho trớc về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2
h-ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự.

<b>Bớc 2:</b> Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài tốn.
<b>Dạng 2:</b> Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vơ hớng hoặc tích độ dài.

Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau:

1) ⃗_{MA .}⃗_MB₌<i>_k</i> , trong đó A, B cố định, k khơng đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn
tâm I (I là trung điểm của AB), bán kính <i>_R=</i>

√

AB2

2 +k , nÕu
AB2

2 +<i>k ≥</i>0 .

2) ⃗_{AM .}⃗_AB_=k với A, B là các điểm cố định, k khơng đổi: Quỹ tích điểm M là đờng
thẳng vng góc với AB tại điểm H trên đờng thẳng AB thoả mãn: AH= <i>k</i>

AB
3) _AM2

=k , với A cố định, k0 khơng đổi: Quỹ tích điểm M là đờng trịn tâm A, bán

kính <i>R=</i>

√

<i>k</i> .

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
<i>a</i>MA .MB=MA2

<i>b</i>2 MA2=MA .MB

<i>c</i>MA2+2 MB2=k víi k>0 cho tríc.
<i>Gi¶i:</i>

a) Cã ⃗_{MA .}⃗_MB₌_MA2

<i>⇔</i>⃗_{MA .}⃗_MB<i>₋</i>⃗_MA2₌₀
<i>⇔</i>⃗_{MA .}₍⃗_MA<i>₋</i>⃗_MB₎₌₀
<i>⇔</i>⃗_{MA .}⃗_BA₌₀<i>_⇔</i>

⃗_MA_=⃗₀

¿
MA<i>⊥</i>AB

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vng góc với đờng thẳng AB tại A.
b) _{2 MA}2

=⃗MA .⃗MB
<i>⇔</i>⃗_MA₍₂⃗_MA<i>₋</i>⃗_MB₎₌₀₍<i>_∗</i>₎

Gọi I là điểm thoả mãn: 2⃗_IA<i>₋</i>⃗_IB_=⃗₀ thì 2⃗_MA<i>₋</i>⃗_MB_=⃗_MI .
Do đó: (<i>∗</i>)<i>⇔</i>⃗MA .⃗MI=0<i>⇔</i>MA<i>⊥</i>MI

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

MA2

+2 MB2=k

<i>⇔</i>(⃗_ME_+⃗_EA₎2₊₍⃗_ME_+⃗_EB₎2₌<i>_k</i>
<i>⇔</i>3 ME2=<i>k −</i>EA2<i>−</i>2 EB2(<i></i>)
Mặt khác từ _EA₊₂_EB₌₀

<i></i>EA=2

3AB<i>;</i>EB=
1
3AB
Nên (<i></i>)<i></i>3 ME2=k 2

3AB

2

<i></i>ME2=1
3

(

<i>k </i>

2
3AB

2

)

Nếu <i>k</i><2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M là rỗng.
Nếu <i>k</i>=2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M là một điểm E.
Nếu <i>k</i>>2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M là đờng trịn tâm E, bán kính <i>R=</i>

√

1
3

(

<i>k −</i>

2
3AB

2

)

.
VÝ dơ 4: Cho ABC. T×m quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:

a) ₍_MA<i></i>_MB₎₍₂_MB<i></i>_MC₎₌₀
b) (⃗_MA₊₂⃗_MB₎₍⃗_MB₊₂⃗_MC₎₌₀
c) _{2 MA}2

+⃗MA .⃗MB=⃗MA .⃗MC
<i>Híng dÉn gi¶i: </i>

a) Gäi I là điểm thoả mÃn 2_IB<i></i>_IC₌₀ ta có:

(_MA<i></i>_MB₎₍₂_MB<i></i>_MC₎₌₀
<i></i>_{BA .}_MI₌₀<i></i>_BA<i></i>_MI

Quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua I và vng góc với AB.

b) Gäi D vµ E lµ các điểm thoả mÃn: _DA₊₂_DB₌_{0 và}_EB₊₂_EC₌₀ ta cã:

(⃗_MA₊₂⃗_MB₎₍⃗_MB₊₂⃗_MC₎₌₀
<i>⇔</i>3⃗_{MD .3}⃗_ME₌₀<i>_⇔</i>_MD<i>_⊥</i>_ME

 Quỹ tích điểm M là đờng trịn đờng kính DE.
c) Ta có: 2 MA2

+⃗MA .⃗MB=⃗MA .⃗MC

<i>⇔</i>⃗_MA₍₂⃗_MA_+⃗_MB<i>₋</i>⃗_MC₎₌₀₍<i>_∗</i>₎

Gọi J là điểm xác định bởi 2⃗_JA_+⃗_JB<i>₋</i>⃗_JC_=⃗₀ ta có:
(<i>∗</i>)<i>⇔</i>2⃗MA .⃗MJ=0<i>⇔</i>MA<i>⊥</i>MJ

 Quỹ tích điểm M là đờng trịn đờng kớnh AJ.

<i>Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này nh sau:</i>

<b>Bc 1:</b> Bin i đẳng thức đã cho về dạng ⃗<i>u</i>.⃗<i>v</i>=<i>k</i> , bằng phép phân tích thành nhân tử,
đặt nhân tử chung,... trong đó các véc tơ ⃗<i>u ,</i>⃗<i>v</i> có thể là tổng hoặc hiệu các véc tơ nào
đó.

<b>Bớc 2: </b>Dựa vào bài tốn chứng minh biểu thức véc tơ khơng đổi hoặc tâm tỉ cự để biến
đổi đẳng thức ⃗<i>u</i>.⃗<i>v=k</i> về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích
cần xác định.

Trên đây là một vài ý kiến minh hoạ cho ý tởng thuật tốn hố phơng pháp giải các
bài tốn quỹ tích có liên quan đến véc tơ. Tuy cha thật rõ ràng nhng theo chúng tơi nó
thực sự có ý nghĩa. Mong các bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tởng trên. Việc giải
các bài tốn quỹ tích cơ bản ở trên khơng phải là q khó, xin đợc dnh li cho cỏc bn.

<i>Sau đây xin mời các bạn luyện tập bằng các bài toán sau:</i>

Bi 1: Cho hình bình hành ABCD. M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức:
⃗_MN₌₃⃗_MA<i>₋</i>₂⃗_MB<i>₋</i>₂⃗_MC_+⃗_MD .

Chứng minh rằng ⃗_MN là véc tơ không đổi. Tìm tập hợp các điểm M biết ⃗_MN nằm
trên đờng thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Chøng minh r»ng ⃗<i>u=</i>3⃗MA<i>−</i>5⃗MB+2⃗MC không phụ thuộc vị trí điểm M.

b) Tỡm qu tích các điểm M xác định bởi hệ thức:

|

3⃗_MA₊₂⃗_MB<i>₋</i>₂⃗_MC

_|

₌

_|

⃗_MB<i>₋</i>⃗_MC

_|

Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
a) _{3 MA}2

=2 MB2+MC2
b) _MA2

<i>−</i>MB2+2 MC2=<i>a</i>2

c) ⃗_{MA .}⃗_MB_+⃗_{MB .}⃗_MC_+⃗_MC.⃗_MA₌5<i>a</i>

2

2

Bµi 4: Cho ABC vuông tại A, BC = 6a. Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mÃn:

(_MB₊_MC_{) (}_MA₊_MB₊_MC₎₌_ka2 _.

</div>

<!--links-->