giai tich to hop 2 toán học 12 nguyễn việt phương thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§<b>2 . HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP </b>
<b> TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b> 1) Hốn vị : </b>

<b> </b>Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó

Số hốn vị của n phần tử : Pn = n! = 1.2.3…..n
<b> 2) Chỉnh hợp : </b>

<b> </b>Cho tập A gồm n phần tử và k là số tự nhiên (1  k  n). Kết quả của việc lấy k
phần tử khác nhau thuộc A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó dược gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : A ❑<i>nk</i> =

<i>n !</i>

(<i>n − k</i>)<i>!</i> = n(n - 1)…(n - k + 1)
<b> 3) Tổ hợp :</b>

Cho tập A gồm n phần tử (n  1) và số tự nhiên k  n. Mỗi tập con gồm k (0  k  n)
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A

Số tổ hợp chập k của n phần tử : C ❑<i>nk</i> =

<i>n !</i>
<i>k !</i>(<i>n − k</i>)<i>!</i>

<b>Để giải bài tốn tổ hợp có hiệu quả ta phải phân biệt 2 khái niệm chỉnh hợp và tổ </b>

<b>hợp </b>

Một chỉnh hợp là một bộ sắp thứ tự (có tính thứ tự) có nghĩa là cùng một số phần tử
nhưng sắp theo thứ tự khác nhau cho ta các đối tượng khác nhau

Một tổ hợp là một tập con vì vậy khơng có tính thứ tự

<b>VD1 :</b> Thầy giáo muốn chọn trong 10 học sinh ra 3 học sinh để
<b>a)</b> Thành lập ban cán sự lớp. Có bao nhiêu cách chọn ?

<b>b)</b> Thành lập ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư kí. Có bao nhiêu
cách chọn ?

<b>HD</b>

<b>a)</b> Chọn 3 bạn vào ban cán sự lớp, rõ ràng cách chọn nầy khơng có tính thứ tự vì vậy
mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 10  có <i>C</i>10

3 _{= 120 cách chọn}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>VD2 : </b>Từ các chữ số 1, 2, 3, ..., 9

<b>a) </b>Ta chọn ra 3 chữ số khác nhau từng đơi. Có bao nhiêu cách chọn ?
<b>b) </b>Ta viết một số gồm 3 chữ số khác nhau từng đơi. Có bao nhiêu số ?
<b>HD</b>

<b> a)</b> Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 9, vậy có <i>C</i>39 = 84 số

<b>b)</b> Với cùng 3 chữ số a, b, c ta viết theo thứ tự khác nhau cho những số khác nhau
(VD : 123 rõ ràng khác với 321). Vì vậy mỗi cách viết mỗi số là một chỉnh hợp chập 3

của 9, vậy có <i>A</i>93 = 504 số

Có thể lí luận cách khác như sau :

Cơng việc viết một số gồm 3 chữ số được tiến hành qua 2 bước như sau :
Bước 1 : Chọn ra 3 chữ số từ 9 chữ số : có C ❑39 cách chọn

Bước 2 : Viết 3 chữ số đã chọn trên vào 3 vị trí (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) :
Có P3 cách viết

Theo qui tắc nhân có : C ❑39 P3 = 504 số

Vì vậy ta có : C ❑39 P3 = <i>A9</i>3

<b>VD3 :</b> Một chi đồn thanh niên có 50 đồn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng 3
đồn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi (mỗi đồn viên phụ trách một trong ba nhóm)
<b>HD </b>

Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 50  có <i>A</i>503 = 117600 cách phân cơng
Có thể lí luận như sau : Công việc phân công được thực hiên qua 2 bước :

Bước 1 : Chọn 3 đồn viên trong 50 đồn viên : có <i>C</i>50

3 _{cách chọn}
Bước 2 : Phân cơng 3 đồn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi : có P3 cách

Theo qui tắc nhân có : <i>C</i>503 P3 = <i>A</i>503 cách phân công

<b>I. NHỮNG BÀI TỐN TỔ HỢP </b>

<b> BT1 : a) </b>Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 khách vào 10 ghế nếu các
ghế được xếp thành dãy?

<b>b)</b> Hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế được xếp 2 bên một chiếc bàn
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn lớp A và 5 bạn lớp B sao cho :
<b>i) </b>Khơng có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau ?

<b>ii)</b> Khơng có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau ?

<b> HD </b>

<b>a)</b> Mỗi cách sắp xếp như vậy là một hoán vị của 10
Vậy có P10 = 3628800 cách sắp xếp

<b>b)i)</b> Để sắp xếp thoả mãn khơng có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau ta sắp xếp như
sau :

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>-</b> Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp A ngồi vào dãy thứ nhất

<b>-</b> Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp B ngồi vào dãy thứ hai

<b> -</b> Mỗi cặp học sinh ngồi đối diện có 2 cách đổi chỗ, vì vậy có 25_{các đổi chỗ 2 bạn}

ngồi đối diện

Theo qui tắc nhân có P5 P5 25 = 460800 cách sắp xếp

<b> ii) </b>Để sắp xếp thoả khơng có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau ta

xếp 5 bạn cùng lớp vào mỗi dãy :

 Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp A vào dãy thứ nhất

 Có P5 cách sắp xếp 5 bạn lớp B vào dãy thứ hai

Theo qui tắc nhân có (P5)2 cách

Tương tự nếu xếp 5 bạn lớp A vào dãy thứ 2 và 5 bạn lớp B vào dãy thứ hai ta lại có
(P5)2 cách

Theo qui tắc cộng ta có : 2(P5)2 = 28800 cách sắp xếp

<b> BL1 : </b>Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 khách vào 10 ghế nếu các ghế được
xếp thành dãy?

<b> HD : </b>Mỗi cách sắp xếp là 1 chỉnh hợp chập 5 của 10

<b> BL2 :</b> Cần sắp xếp một lớp học có 20 học sinh nam và 20 học sinh nữ đứng thành 1
hàng dọc

<b> a)</b> Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

<b>b)</b> Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 học sinh cùng giới tính khơng được đứng kề
nhau?

<b>HD : </b>Đánh số hàng dọc từ 1 đến 40
<b>a)</b> P40

<b>b)</b> Số học sinh nam đứng ở vị trí đánh số chẵn, số học sinh nữ đứng ở vị trí lẻ P5P5

cách

Số học sinh nam đứng ở vị trí đánh số lẻ, số học sinh nữ đứng ở vị trí chẵn P5P5 cách

Theo qui tắc cộng có 2(P5)2 cách

<b> BT2 : </b>Có bao nhiêu số điên thoại gồm 7 chữ số mà chữ số đầu tiên là 8 và sao cho
<b>a)</b> Các chữ số có thể lặp lại <b>b) </b>Khơng có chữ số được lặp lại

<b>HD</b>

<b>a)</b> Sáu chữ số còn lại mỗi chữ số có 10 cách chọn. Theo qui tắc nhân có 106_{số điện}

thoại

<b>b)</b> Sáu chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
Vậy có A ❑96 = 60480 số điện thoại

<b>BT3 : </b>Một tổ có 6 nam và 4 nữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b> a) </b>Có tất cả 10 bạn, chọn ra 3 bạn để trực nhật, mỗi cách chọn là 1 tổ hợp chập 3 của
10 học sinh

Vậy có C ❑₁₀3 = 120 cách phân công
<b>b) </b>Các trường hợp xảy ra :

TH1 : 1 bạn nam và 2 bạn nữ

Có 6 cách chọn 1 bạn nam, có C ❑42 cách chọn 2 bạn nữ, theo qui tắc nhân có : 6 C

❑₄2 cách phân công

TH2 : 2 bạn nam và1 bạn nữ : có 4C ❑6

2 _{cách phân công}
TH3 : 3 bạn nam : Có C ❑3₆ cách phân công

Theo qui tắc cộng có : 6C ❑42 + 4C ❑62 + C ❑36 = 116 cách phân công
Có thể giải cách khác (thường gọi là cách lấy bù) như sau :

Theo câu a có C ❑₁₀3 cách phân cơng 3 bạn trực nhật
Nếu phân cơng 3 nữ thì có C ❑3₄ cách

Vậy có C ❑103 - C ❑34 cách phân công 3 bạn trực nhật trong đó có ít nhất một bạn
nam

<b> BL : </b>Một nhóm học sinh gồm 7 nam, 3 nữ. Thầy giáo muốn chọn 5 em trong nhóm để
làm cơng tác xã hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :

<b>a)</b> Chọn 5 em tuỳ ý <b>b)</b> Phải có 2 nữ và 3 nam
<b>c)</b> Phải có ít nhất 2 nữ

<b> ĐS : a)</b> Có <i>C</i>10
5

cách chọn

<b>b) </b>Có 3 nữ, chọn ra 2, số cách chọn là <i>C</i>32
Có 7 nam, chọn 3, số cách chọn là <i>C</i>73
Theo qui tắc nhân có <i>C</i>32 <i>C</i>73 cách chọn

<b>c)</b> Có <i>C3</i>2 <i>C7</i>3 + <i>C7</i>2 cách chọn

<b> BT4 :</b> Gỉa sử có mạng giao thơng như hình bên sao cho các ơ nhỏ đều là hình
vng

<b> a)</b> Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ A đến B ?

<b> b)</b> Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất từ A qua C đến B ?
<b>HD </b>

<b>a)</b> Mọi con đường đi ngắn nhất từ A đến B B
là các đường gấp khúc nối A với B sao cho

trên mỗi đoạn nhỏ ta phải đi từ trái sang phải C
hoặc từ dưới lên trên. Như vậy ta phải đi

sang phải qua 4 đoạn, lên trên 3 đoạn trong
số 7 đoạn . Vì vậy số con đường ngắn nhất

từ A đến B là C ❑74 = C ❑73 = 35 A

<b>b)</b> Tương tự số đường đi ngắn nhất từ A đến
C là C ❑4

2 _{, số đường ngắn nhất từ C đến B là C}
❑3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b> BT5 : </b>Cho tập hợp A = a1, a2, …, a10

<b>1)</b> Tính các tập con gồm 5 phần tử của A sao cho mỗi tập con đó

<b>a) </b>Chứa a1 và a2 <b> b)</b> Chứa a1 không chứa a2

<b>c)</b> Chứa a2 không chứa a1 d) không chứa a1 lẫn a2

<b>2)</b> Dựa vào câu 1 chứng minh rằng

C ❑105 = C ❑38 + 2C ❑84 + C ❑58
<b>3)</b> Chứng minh rằng với 2  k  n - 2 :
C ❑<i>n</i>

<i>k</i> _{= C}

❑<i>n−</i>2

<i>k −</i>2 _{+ 2C}
❑<i>n−</i>2

<i>k</i>=1 _{+ C}
❑<i>n−</i>2

<i>k</i>

<b>HD</b>
<b> 1) </b>

<b>a)</b> Đểâ có một tập con chứa 5 phần tử của A và luôn chứa a1 và a2, ta chọn 3 phần tử

bất kì trong 8 phần tử cịn lại của A (trừ a1 và a2), vậy mỗi tập con như thế là một tổ

hợp chập 3 của 8  Có C ❑38 = 56 tập con gồm 5 phần tử và ln có a1 và a2

<b> b) </b>Đểâ có một tập con chứa 5 phần tử của A luôn chứa a1 và không chứa a2 ta chọn 4

phần tử trong 8 phần tử của A (trừ a1 và a2), vậy có C ❑8

4 _{= 70 tập con}
<b>c)</b> Tương tự câu b có C ❑₈4 = 70 tập con

<b> d) </b>Để có tập con 5 phần tử của A không chứa a1 lẫn a2, ta chọn 5 trong 8 phần tử của

A (trừ a1 và a2) vậy có C ❑58 = 56 tập con

<b>2)</b> Gọi B là số tập con gồm 5 phần tử của A. C, D, E, F lần lượt là số tập con trong các
câu a, b, c, d

Ta có : B = C  D  E  F và C, D, E, F đôi một không giao nhau, hơn nữa
N(B) = C ❑105

Theo qui tắc cộng ta coù :

N(B) = N(C) + N(D) + N(E) + N(F)
Hay

C ❑10
5 _{= C}

❑8

3 _{+ 2C}
❑8

4 _{+ C}
❑8

5 _(đpcm)
<b>3) </b>Giải tương tự như câu 2

Cho tập A gồm n phần tử a1, a2, .., an

Tính các tập con gồm k phần tử của A sao cho mỗi tập con đó

<b> a)</b> Chứa a1 và a2 <b> b)</b> Chứa a1 không chứa a2

<b>c)</b> Chứa a2 không chứa a1 d) Không chứa a1 lẫn a2

Goïi B  A : a1, a2  B vaø N(B) = k; C  A : a1  C, a2  C vaø N(C) = k; D  A :

a2  D, a1  D vaø N(D) = k; E  A : a1, a2  E vaø N(E) = k

Số tập B là C ❑<i>n−k −</i>22 , số tập C là C ❑<i>k −n−</i>21 , số tập D là C ❑<i>n−k −</i>21 , số tập E làC
❑<i>n−k</i> 2

Gọi T là tập con gồm k phần tử của A, số tập hợp T là C ❑<i>nk</i> .

Vì T = B  C  D  E và B, C, D, E đôi một không giao nhau, vì vậy theo qui tắc
cộng

C ❑<i>nk</i> = C ❑<i>n−k −</i>22 + 2C ❑<i>n−k</i>=21 + C ❑<i>n−k</i> 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

C ❑<i>nk</i> =

<i>n !</i>
<i>k !</i>(<i>n − k</i>)<i>!</i>
<b>BL :</b> Cho taäp A =a1; a2; … ; a20 .

<b>1) </b>Tính mỗi tập con gồm 10 phần tử của A sao cho mỗi tập con đó:
<b>a)</b> Chứa a1, a2, a3 <b>b) </b>Chứa a1, a2 không chứa a3

<b>c) </b>Chứa a1 không chứa a2 lẫn a3 <b>d)</b> Không chứa a1 lẫn a2 lẫn a3

<b>2) </b>Chứng minh

<i>C20</i>10 = <i>C17</i>7 + 3 <i>C17</i>8 + 3C ❑179 + C ❑1710
<b> 3)</b> Tổng quát câu 2 theo hướng của bài tốn 6

<b> BT6 :</b> Một tổ hợp có 50 xe ô tô chất lượng khác nhau, trong một ngày cần phân 10 xe
đi đến thành phố A, 20 xe đi đến thành phố B, 5 xe đi đến thành phố C. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công ?

<b>HD</b>

Có tất cả 50 xe ơ tơ, chọn ra 10 xe đi đến thành phố A, có <i>C50</i>10 cách phân cơng
Cịn 40 xe, chọn 20 xe đi đến thành phố B, có <i>C</i>40

20 _{cách phân cơng}
Cịn 20 xe, chọn 5 xe đi đến thành phố C, có <i>C</i>20

5 _{cách phân công}
Theo qui tắc nhân có <i>C</i>5010 <i>C</i>2040 <i>C</i>205 cách phân công

<b>BT7 :</b> Trong một kì thi học sinh giỏi, có 20 học sinh đạt học sinh giỏi, gồm 5 học sinh
giỏi toán, 8 học sinh giỏi lý, 7 học sinh giỏi hố, trong đó khơng có học sinh nào giỏi
quá một môn

<b>a)</b> Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh trên đứng vào một hàng dọc ?

<b> b)</b> Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh trên đứng vào 1 hàng dọc sao cho các học sinh
giỏi cùng bộ môn phải đứng cạnh nhau ?

<b>HD</b>

<b>a)</b> Mỗi cách xếp là một hoán vị của 20  có P20 cách xếp

<b>b) </b>Có P3 cách phân chia hàng dọc thành 3 phần (mỗi phần sắp xếp mỗi loại học sinh

gioûi)

Trong mỗi phần đã chia :

Có P5 cách sắp xếp 5 học sinh giỏi toán đứng kề nhau

Có P8 cách sắp xếp 8 học sinh giỏi lí đứng kề nhau

Có P7 cách sắp xếp 7 học sinh giỏi hoá đứng kề nhau

Theo qui tắc nhân có: P3 P5 P8 P7 cách sắp xếp

<b>BL : </b>Có 5 quyển sách văn, 7 quyển sách toán, 8 quyển sách tiếng anh khác nhau từng

đơi. Có bao nhiêu cách sắp xếp 2 quyển sách văn, 2 quyển sách toán, 2 quyển sách
tiếng anh vào

<b>a) </b>Một kệ dài

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>a)</b> <i>C</i>5
2

<i>C</i>7
2

<i>C</i>8
2

P6

<b>b)</b> Có <i>C</i>52 cách chọn 2 quyển sách văn, <i>C</i>72 cách chọn 2 quyển sách toán, <i>C</i>82
cách chọn 2 quyển sách tiếng Anh

Có P3 cách chia kệ dài thành 3 phần để xếp 3 loại sách khác nhau

Trong mỗi phần đã chia của kệ dài :

Có <i>P</i>₂ _{cach sắp xếp 2 quyển văn đứng kề nhau ,}
Có <i>P</i>₂ _{cach sắp xếp 2 quyển tốn đứng kề nhau}
Có <i>P</i>₂ _{cach sắp xếp 2 quyển tiếng Anh đứng kề nhau}

Theo qui tắc nhân có <i>C</i>52 <i>C</i>72 <i>C</i>28 <i>P</i>2 <i>P</i>2 <i>P</i>2 P3 = 282240 cách sắp xếp
<b> BT8 :</b> Trong hộp đựng 2n viên bi gồm n bi đỏ giống hệt nhau và n bi xanh khác nhau
từng đơi. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau lấy ra n viên bi từ hộp đó ?

<b>HD</b>

Các trường hợp xảy ra :

TH1 : n bi xanh : có <i>Cnn</i> cách

TH2 : 1 bi đỏ, n - 1 bi xanh : có <i>Cnn −</i>1 cách

…

THn : n bi đỏ : có C ❑<i>n</i>

0 <i>_cách</i>

Theo qui tắc cộng ta có <i>Cnn</i> + <i>Cnn −</i>1 +…+ C ❑<i>n</i>0 <i> = 2</i>n cách

CHÚ Ý :

 Vì n viên bi đỏ giống hệt nhau, nên có 1 cách chọn k viên bi bất kì trong n viên bi
trên

 <i>Cn</i>
<i>n</i> ₊

<i>Cn</i>

<i>n −</i>1 _{+ … + C}

❑<i>_n</i>0 = (1 + 1)n = 2n

<b> BT9 : </b>Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 ngưới, sao cho
<b> a) </b>Một người nhận một đồ vật, còn 2 người kia mỗi người nhận 2 đồ vật
<b>b) </b>Mỗi người nhận ít nhất một đồ vật

<b>HD</b>

<b>a) </b>Người thứ nhất nhận 1 đồ vật : số cách nhận C ❑₅1 . Người thứ 2 nhận 2 đồ vật
trong số 4 đồ vật còn lại : số cách nhận C ❑4

2 _{. Người thứ 3 nhận 2 đồ vật còn lại : số}
cách nhận C ❑2

2

Theo qui tắc nhân có C ❑51 C ❑42 C ❑22 = 30 cách phân phối
Người thứ 2 và thứ 3 cũng có thể nhận 1 đồ vật như người thứ nhất
Theo qui tacé cộng có 30 + 30 + 30 = 90 cách phân phối

<b>b)</b> Có 2 trường hợp xảy ra :

TH1 : Một người nhận một đồ vật, hai người còn lại mõi người nhận 2 đồ vật : theo
câu a có 90 cách

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Người thứ nhất nhận 3 đồ vật : số cách nhận C ❑₅3 . Người thứ hai nhận 1 đồ vật
trong số 2 đồ vật còn lại, số cách nhận C ❑12 . Người thứ 3 nhận 1 đồ vật còn lại : số
cách nhận C ❑11

Theo qui tắc nhân có C ❑53 C ❑12 C ❑11 = 20 caùch

Người thứ 2 và thứ 3 cũng có thể nhận 3 đồ vật như người thứ nhất
Theo qui tacé cộng có 20 + 20 + 20 = 60 cách phân phối

Kết hợp 2 trường hợp, theo qui tắc cộng có 90 + 60 = 150 cách

<b>II. NHỮNG BÀI TỐN TẠO SỐ </b>

<b> </b>

<b> </b>Để giải bài tốn tạo số có hiệu quả, ta ghi nhớ một số mệnh đề sau đây :
Số cách viết m chữ số khác nhau vào n vị trí định trước là <i>An</i>

<i>m</i> _{nếu n  m (ở}

n - m vị trí cịn lại khơng thay đổi chữ số ) là <i>Am</i>

<i>n</i> _{nếu n  m ( các vị trí phải có chữ}

số

khác nhau)

<b> BT1 : (Bài tốn tạo số khơng có chữ số 0) </b>Từ các chữ số 1, 2, 3,.., 9 có thể viết
được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và :

<b>1) </b>Chia hết cho 2 <b>2)</b> Ln có mặt các chữ số 1, 2, 3
<b>3)</b> Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ <b>4)</b> Gồm ít nhất 3 chữ số lẻ

<b> 5) </b>Gồm 2 chữ số chẵn 3 chữ số lẻ sao cho 2 chữ số chẵn đứng kề nhau

<b>6)</b> Gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi sao cho ln có mặt hai chữ số 1, 2 và không
đứng kề nhau

<b> HD </b>

Gọi số cần viết là x = <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃<i>a</i>₄<i>a</i>₅

<b>1)</b> x chia heát cho 2  a5  {2<i>;</i>4<i>;</i>6<i>;</i>8}  có 4 cách chọn a5

Cịn 4 vị trí và 8 chữ số, nên có <i>A</i>8

4 _{cách viết 8 chữ số vào 4 vị trí cịn lại (a}

2, a3, a4,

a5)

Theo qui tắc nhân có : 4 <i>A</i>84 = 6720 số chia heát cho 2

<b>2)</b> Để bảo đảm ln có mặt 3 chữ số 1, 2, 3, trước hết ta viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị
trí a1, a2, a3, a4, a5 số cách viết là <i>A5</i>3

Cịn lại 6 chữ số và 2 vị trí, số cách viết là <i>A</i>6
2

Theo qui tắc nhân có <i>A</i>5
3

<i>A</i>6

2 _{= 1800 số}

<b>3)</b> Ta chọn ra 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, sau đó viết 5 chữ số đã chọn nầy vào 5 vị
trí a1, a2, a3, a4, a5

Có 4 chữ số chẵn, chọn ra 2 chữ số chẵn, số cách chọn là <i>C</i>4
2

Có 5 chữ số lẻ, chọn ra 3 chữ số lẻ, số cách chọn <i>C</i>53

Ta viết 5 chữ số đã chọn trên vào 5 vị trí a1, a2, a3, a4, a5 : số cách viết P5

Theo qui tắc nhân có <i>C</i>24 <i>C</i>53 P5 = 7200 soá

<b>4) </b>Các trường hợp xảy ra :

TH1 : Số các số gồm 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn : có <i>C</i>4
2

<i>C</i>5
3 _P

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

TH2 : Số các số gồm 4 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn
Giải tương tự như câu 3 ta có <i>C</i>54 <i>C</i>14 P5 số

TH3 : Số các số gồm 5 chữ số lẻ : có P5 số

Theo qui tắc cộng có <i>C</i>24 <i>C</i>53 P5 + <i>C</i>54 <i>C</i>14 P5 + P5 = 9720 soá

<b>5) </b>Có <i>C</i>24 cách chọn 2 chữ số chẵn

Có 4.2 = 8 cách viết 2 chữ số chẵn đứng kề nhau vào 4 vị trí kề nhau (a1a2, a2a3, a3a4,

a4a5)

Có <i>A</i>53 cách viết 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí cịn lại
Theo qui tắc nhân có 8 <i>C</i>24 <i>A</i>53 = 2880 số
<b> 6)</b>

<b>Bước 1 : </b> Tìm các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi và ln có mặt 2 chữ số 1, 2
Có <i>A</i>5

2 _{cách viết 2 chữ số 1, 2 vào 5 vị trí, cịn 7 chữ số và 3 vị trí nên có}
<i>A</i>7

3
cách viết 7 chữ số vào 3 vị trí cịn lại

Theo qui tắc nhân có <i>A</i>52 <i>A</i>73 số

<b> Bước 2 :</b> Tìm các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và ln có mặt 2 chữ số 1, 2
đứng kề nhau

Có 4.2 = 8 cách viết 1, 2 vào 4 vị trí kề nhau (a1a2, a2a3, a3a4, a4a5)

Còn 7 chữ số và 3 vị trí nên có <i>A</i>7

3 _{cách viết}
Theo qui tắc nhân có 8 <i>A</i>7

3 _số
Vậy có <i>A</i>5

2
<i>A</i>7

3 _{- 8}
<i>A</i>7

3 _{= 2520 số thỏa yêu cầu bài toán}

<b> BT2 :</b> Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số gồm 6 chữ số khác nhau
<b>a) </b>Có bao nhiêu số cả thảy ?

<b> b)</b> Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
<b>c) </b>Có bao nhiêu số nhỏ hơn 432000?
<b>HD</b>

<b>a) </b>Mỗi số là một hoán vị của 6
Vậy có P6 = 6! = 720 số

<b>b)</b> Gọi các số phải tìm có dạng x = abcdfg

Vì x là số tự nhiên chẵn nên g2; 4; 6 vậy có 3 cách chọn g
Cịn 5 vị trí và 5 chữ số nên có P5 cách viết

Theo qui tắc nhân có 3P5 = 360 số tự nhiên chẵn

Tương tự có 3P5 = 360 số tự nhiên lẻ

<b>c)</b> Các trường hợp xảy ra

TH1 : Nếu chữ số đầu tiên a là 1; 2; 3 (3 cách chọn a) thì 5 chữ số cịn lại có thể chọn
tuỳ ý sao cho chúng khác nhau và khác với chữ số đầu tiên a nên có P5 cacùh chọn. Theo

qui tắc nhân có : 3P5 = 360 soá

TH2 : Nếu chữ số đầu tiên a là 4 (1 cách chọn a), chữ số thứ hai b là1 hoặc 2 (2 cách
chọn b) thì có P4 cách viết các chữ số cịn lại theo qui tacé nhân có : 2P4 = 48 số

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Theo qui tắc cộng số các số cần tìm là: 360 + 48 + 6 = 414 soá

<b> BT3 : (Bài toán thành lập số từ các chữ số chứa chữ số 0) </b>: Từ các chữ số 0, 1, 2,
3,.., 9 có thể viết được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi và :

<b>1)</b> Chia heát cho 2

<b>2)</b> Ln có mặt các chữ số 1, 2, 3
<b>3) </b>Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

<b>4)</b> Gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ sao cho 2 chữ số chẵn đứng kề nhau

<b> 5) </b>Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho ln có mặt ba chữ số 1, 2, 3 và đứng
kề nhau

<b>HD</b>

Gọi số cần viết là x = <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃<i>a</i>₄<i>a</i>₅

<b>1)Caùch 1</b> : x chia heát cho 2  a5  {0<i>;</i>2<i>;</i>4<i>;</i>6<i>;</i>8}

TH1 : a5 = 0 :

Còn 9 chữ số và 4 vị trí nên có <i>A</i>94 cách viết
Vậy có <i>A</i>94 số

TH2 : a5  {2<i>;</i>4<i>;</i>6<i>;</i>8} : coù 4 cách chọn a5

Vì a1  0, nên có 8 cách chọn a1

Cịn 3 vị trí và 8 chữ số nên có <i>A</i>83 cách viết
Theo qui tắc nhân có .4.8 <i>A8</i>3 = 32 <i>A8</i>3 số
TH1 và TH2 theo qui tắc cộng có <i>A</i>9

4 _{+ 32}
<i>A</i>8

3 _{= 13776 số}
Có thể giải cách khác như sau :

<b>Cách 2 :</b>

 Xét số x kể cả a1 = 0

Có 5 cách chọn a5 (0; 2; 4; 6; 8) và A ❑9

4 _{cách chọn a}

1a2a3a4, theo qui tắc nhân có 5A

❑94 số x kể cả a1 = 0

 Xét số x với a1 = 0.

Có 4 cách chọn a5 (2; 4; 6; 8) và A ❑38 cách chọn a2a3a4, theo qui tắc nhân có 4A

❑3₈ số x với a1 = 0

Vậy số các số phải tìm là : 5A ❑9
4 _{- 4A}

❑8

3 _{= 13776}
<b>2) </b>

<b>Caùch 1</b> :

Bước 1 :Ta tính số các số tạo thành chứa chữ số 0

Có 4 cách chọn vị trí để viết chữ số 0 ( a2 a3a4 a5 ), cịn 4 vị trí nên có <i>A</i>4

3 _{cách viết 3}
chữ số 1, 2, 3. Cịn 1 vị trí và 6 chữ số nên có 6 cách viết vị trí cịn lại

Theo qui tắc nhân có 4. <i>A</i>43 .6 = 24 <i>A</i>43 số

Bước 2 : Ta tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0

Có <i>A</i>53 cách viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị trí (a1a2a3a4a5); cịn 6 chữ số và 2 vị trí nên

có <i>A</i>6

2 _{cách viết cách viết 6 chữ số vào 2 vị trí cịn lại}
Theo qui tắc nhân có <i>A</i>53 <i>A</i>62 số

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Cách 2</b> :

Xét số x kể cả a1 = 0

Có <i>A</i>5

3 _{cách viết 3 chữ số 1, 2, 3 vào 5 vị trí a}

1 a2 a3 a4 a5 . Còn 7 chữ số và 2 vị trí

nên có <i>A</i>7

2 _{số . Theo qui tắc nhân có}
<i>A</i>5

3
<i>A</i>7

2 _{số x kể caû a}

1 = 0

Xét số x với a1 = 0

Có <i>A</i>43 cách viết các chữ số 1, 2, 3

Có 6 cách viết 6 chữ số còn lại vào 1 vị trí cịn lại
Theo qui tắc nhân có 6 <i>A</i>4

3 _{số x với a}

1 = 0

Vậy có <i>A</i>53 <i>A</i>72 - 6 <i>A</i>43 = 2376 số

<b>3)</b> Có nhiều cách giải bài toán trên, xin nêu ra đây 2 cách giải :
<b>Cách 1</b> : Xét 2 trường hợp

TH1 : a1 chẵn : có 4 cách chọn a1 (vì a1  0)

Cịn 4 chữ số chẵn và 5 chứ số lẻ, nên có 4 cách chọn 1 chữ số chẵn và <i>C</i>53 cách
chọn 3 chữ số lẻ, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết . Theo

qui tắc nhân có 4.4 <i>C</i>53 P4 = 16 <i>C</i>53 P4 soá

TH2 : a1 lẻ : có 5 cách chọn a1

Còn 4 chữ số lẻ và 5 chứ số chẵn, nên có <i>C</i>24 cách chọn 2 chữ số lẻ và <i>C</i>52 cách
chọn 2 chữ số chẵn, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết .

Theo qui tắc nhân có 5. <i>C</i>24 <i>C</i>52 P4

Kết hợp 2 TH ,theo qui tắc cộng có 16 <i>C</i>53 P4 + 5. <i>C</i>24 <i>C</i>52 P4 = 11040 số

<b>Cách 2</b> : Xét số x kể cả a1 = 0

Có <i>C</i>5

2 _{cách chọn 2 chữ số chẵn}
Có <i>C</i>5

3 _{cách chọn 3 chữ số lẻ}

Có P5 cách viết 5 chữ số đã chọn trên vào 5 vị trí a1a2a3a4a5

Theo qui tắc nhân có <i>C5</i>2 <i>C5</i>3 P5 số x kể cả a1 = 0

Xét số x với a1 = 0

Còn 4 chữ số chẵn và 5 chứ số lẻ, nên có 4 cách chọn 1 chữ số chẵn và <i>C</i>5

3 _cách
chọn 3 chữ số lẻ, ta viết 4 chữ số đã chọn trên vào 4 vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết . Theo

qui tắc nhân có 4 <i>C5</i>3 P4 số x với a1 = 0

Vì vậy có <i>C</i>5
2

<i>C</i>5
3 _P

5 - 4 <i>C</i>5
3 _P

4 soá

<b>4)</b> Xét 2 trường hợp :

TH1 : a1 chaün  có 4 cách chọn a1

Vì a2 chẵn nên có 4 cách chọn a2

Có 5 chữ số lẻ và 3 vị trí a3a4a5 nên có <i>A</i>53 cách viết
Theo qui tắc nhân có : 4.4. <i>A</i>53 = 16 <i>A</i>53 số

TH2 : a1 lẻ : có 5 cách chọn a1

Còn 4 số lẻ và 5 số chẵn

Có <i>C</i>52 cach chọn 2 chữ số chẵn

Có 3.2 = 6 cách viết 2 chữ số chẵn đứng kề nhau vào 3 vị trí a2a3, a3a4, a4a5

Cịn 2 vị trí và 4 chữ số lẻ nên có <i>A</i>4

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Kết hợp 2 TH theo qui tắc cộng ta có : 16 <i>A</i>5

3 _{+ 30}
<i>C</i>5

2
<i>A</i>4

2 _{= 4560 soá}

<b> 5) </b>Ta tính số các số gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi, trong đó ln có mặt ba chữ số
1, 2, 3 đứng kề nhau

Có 2 trường hợp viết 1, 2, 3
TH1 : 1, 2, 3 ở các vị trí a1a2a3

Có P3 cách viết 1, 2, 3. Cịn 7 chữ số và 2 vị trí, nên có A ❑7

2 _{cách viết. Theo qui tắc}
nhân có P3A ❑7

2 _soá

TH2 : 1, 2, 3 ở các vị trí a2a3a4 hoặc a3a4a5

Có 2.P3 cách viết các chữ số 1, 2, 3

Có 6 cách viết a1. Còn 6 chữ số và 1 vị trí cịn lại, nên có 6 cách viết

Theo qui tắc nhân có 2.P3 36 số

Kết hợp 2 trường hợp, theo qui tắc cộng , số các số phải tìm là :
P3A ❑72 + 72.P3 = 684 số

Có thể giải cách khác như sau :
Xét số x kể cả a1 = 0

Có 3 vị trí để viết 1, 2, 3; ở mỗi vị trí có P3 cách viết

Cịn 7 chữ số và 2 vị trí nên có A ❑72 cách viết
Theo qui tắc nhân có 3 P3 A ❑72 số x kể cả a1 = 0

Xét số x với a1 = 0

Có 2.P3 cách viết 1, 2, 3. Có 6 cách viết chữ số cịn lại

Theo qui tắc nhân có 12P3 dãy (*)

Vậy có 3P3 A ❑72 - 12P3 = 684

<b> BL : 1)</b> Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho các số đó
<b>a)</b> Ln có mặt các chữ số 1, 2, 3, 4

<b>b)</b> Ln có mặt các chữ số 1, 2, 3, 0

<b>2) </b>Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể viết được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau
từng đôi và chia hết cho

<b>a)</b> 2 <b>b)</b> 4

<b>3) </b>Có 20 học sinh gồm 6học sinh giỏi toán , 7 học sinh giỏi lý, 7 học sinh giỏi hoá
Người ta muốn xếp 20 học sinh trên đứng vào 1 hàng dọc sao cho các học sinh giỏi
cùng bộ mơn phải đừng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy :

<b>4)</b> Có 5 quyển sách văn, 9 quyển sách tốn, 10 quyển sách tiếng anh khác nhau từng
đơi. Có bao nhiêu cách sắp xếp 2 quyển sách văn, 2 quyển sách toán, 2 quyển sách
tiếng anh vào 1 kệ dài sao cho các quyển sách cùng loại mằm kề nhau

<b> 5)</b> Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể viết được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
khác nhau từng đôi gồm 2 chữ số chẵn và 3 lẻ sao cho 3 chử số lẻ đứng kề nhau
<b>6) </b>Có bao nhiêu dãy số gồm 7 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn

<b> HD</b> : Có tất cả 106_{dãy số gồm 6 chữ số}

Xét 10 dãy số liên tiếp nhau có hàng đơn vị từ 0 đến 9. Dễ thấy số lượng các dãy số có
tổng các chữ số là lẻ bằng số các dãy số có tổng các chữ số là số chẵn và bằng 5

Vậy có tất cả 5. 106_{dãy số cần tìm}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13></div>

<!--links-->