SKKN Mot so dang bai tap ve ham so va do thi ham so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.94 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1. Phần I:Đặt vấn đề

Toán học là mơn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri
thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và
phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ
thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.

Trong chơng trình tốn bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của mơn đại số
đó là “Số” và “Hàm số”. Khái niệm ”Hàm số” xun suốt chơng trình mơn đại
số ở phổ thơng, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số.
Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần
hàm số đợc phân lợng thời gian khơng nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật
là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm
số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả
của học sinh không cao.

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của
đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng
túng chính vì vậy tơi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ
khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị .” Trong quá trình
giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số
dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối
tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính
xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là cơng cụ
giải quyết một số bài tốn khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng
trình, sau đây là nội dung đề tài.

Phần II:Nội dung đề tài

Một số vấn đề Lý thuyết cơ bản

I/ C¸c hàm số trong chơng trình THCS:

1. Hàm số bậc nhất:

a.nh nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi cơng thức y =
ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a  0, x  

b. TÝnh chÊt:

+ Tập xác định:

+ Tính biến thiên;

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c. Đồ thị:

+ thị hàm số y = ax + b (a  0, x  ) là ng thng i qua im

A(0,b) và điểm B(

b
a

; 0)

+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và
điểm E(1; a).

2. Hµm sè bËc hai:

a.Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức
y = ax2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a  0, x  )

b. Tính chất:

- Tập xác đinh R

- Tính biến thiên:

+ a > 0 Hàm số đồng biến trong ( 2

b
a



; ) và nghịch biến trong ( ; 2

b
a

)

+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong ( 2

b
a

; ) v ng bin trong ( ; 2

b
a

)

b. Đồ thị:

th hm số y = ax2 + bx + c (a  0, x  ) là Parabol (P) có đỉnh là

D( 2

b
a



; 4a



) nhận đờng thẳng x = 2

b
a



là trực đối xứng.
Một số dạng bài tập

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

1/ §inh nghÜa:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x)
có nghĩa.

V× vËy :

- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x  R

- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định:
 x  R biểu thức trong căn 0

2/ VÝ dơ:

+ VÝ dơ 1: Hµm sè y = 5x – 70 có TXĐ: R

+ Ví dụ 2: Hàm số y =

3 2
5

x
x



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ VÝ dơ 3: Hµm sè y = 4x1 cã TX§:

1
4

x R x

 

 

 

 

3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:

a) y = x2 2 x1 1 b) y =

2 1 2 5

3 3

x x

 



  c) y = x2 4 2 x

Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số

+ Tập giá trị của hàm số : y = f(x)

là tập giá trị của y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X
1/ Cách giải:

+ Cỏch 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y.

+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định.

2/ VÝ dô:

+ VÝ dô 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 víi x  



1;1



Gi¶i

Ta cã x  1 2x 2 2x 57 y7

1 2 2 2 5 3 3

x  x  x   y

VËy miÒn giá trị của hàm số y = 2x 5 víi x  



1;1



lµ y  



7; 3



+ VÝ dơ 2: t×m miền giá trị của hàm số y = x 6  7 x
Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

6 7 6 7 1 1

x   x  x   x  y

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x víi x R lµ y R, y1.
+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 2x + 3 víi x 



2;3



Gi¶i

Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x1
Vậy với x 



2;3



ta có y(2) y(3)  3 y 6

VËy miỊn gi¸ trị của hàm số y = x2 2x + 3 víi x 



2;3



lµ



3;6



+ VÝ dơ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 4
Giải

- TXĐ của hàm số là R

- Xét phơng trình x2 - 4 x + 3 = y 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm y+1 0  y  -1
3/

ø ng dơng:

øng dơng 1: T×m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x2 – 4
Gi¶i

Ta cã y = 2x - x2 – 4

= - (x2 – 2x + 1) – 3

= - (x – 1)2 – 3  3 dÊu = x¶y ra khi và chỉ khi x= 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hµm sè y =
2
2

6
2

x x

 

  (1)

Gi¶i

Hàm số có tập xác định : R vì x2 + x + 2 = (x +

1
2)2 +

7
4

Giả sử y là một giá trị của hàm số Phơng trình 
2
2

6
2

x x

 

  = y cã

nghiÖm  (y - 1)x2 + (y – 1)x + 2y – 6 = 0 (2) Cã nghiÖm
+ XÐt y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm

+ Xét y 1 Phơng tr×nh (2) cã nghiƯm   0
 (y –1)2 – 4(y – 1)(2y – 6)  0

 (y – 1)(23 – 7y)  0



23
1

y

 

VËy gi¸ trị của hàm số là

23
1

y

+ Với y =

7 ta cã x = 
1
2


vËy hµm số có giá trị lớn nhất là

Max y =

7 t¹i x = 
1
2


+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x  R để hàm số

y =
2
2

6
2

x x

nhận giá trị nguyên y = 1 + 2
4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y  Z  x2 + x + 2 nhận giá trị l
c nguyờn ca 4.

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x  R nªn x2 + x + 2 có thể nhận giá trị
không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán.

+ Cách giải từ việc có miền giá trị

23
1

y



ta chØ ra y  Z  y = 2 hoặc

y = 3

Giải phơng trình
2
2

6
2

x x

 

  = 2  x2 + x - 2 = 0  x = 1; x = -2

2
2

6
2

x x

 

  = 3  2x2 + 2x = 0  x = 0; x = -1

VËy x 



2; 1;0;1



th× y  Z
ø

ng dơng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào
miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của
chúng:

NÕu

( )
( )

f x m

g x m








 víi  x  D th× f(x) = g(x) 

( )
( )

f x m

g x m








 (2)

NÕu  x0 D thoả mÃn (2) thì x0 là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x – x2 – 2 = x1 x 2  2x 3 4x13 (1)

+ Tập xác định : R

+ ta cã VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2  7 dÊu = xảy ra khi và chỉ
khi x=3

VP = 13 x1 x 2  2x 3 4x13  7 dÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi
2

x

+ Vậy phơng trình (1)

6 2 7

1 2 2 3 4 13 7

x x

x x x x

   


 

       



 x = 3

Kết luận phơng trình (1) cã nghiƯm duy nhÊt x = 3

VÝ dơ 2:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta cã VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16

2
2

7 9

4 x 4 x

   

  

   

 



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =

9
4

Đặt x 2 = t  0 =>x = t2 + 2 ta cã VP = 16(t2 – t + 2)

= 16

1 7

2 4

t

  

  

  

 

 

 

DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi t =

1 1 9

2 x  4 x4

VËy ph¬ng tr×nh (3)

28 9

28 4

VT

x
VP




   




KÕt ln nghiƯm của phơng trình là

9
4

x
4/ Bài tập:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x2 3x + 1
trên đoạn:

3;1

0; 2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2 2
2 2

3 a b 8 a b

b a b a

   

  

   

 

Bµi 3: Gäi x, y lµ nghiƯm cđa hƯ phơng trình 2 2 2

2 1

x y a

x y a

  




  



Tìm a để xy có gia tr ln nht.

Bài 4: Giải phơng trình

a. 3x26x 7 5x210x14 4 2  x x 2 b. x 2 4 x x2 6x11

Dạng III: Xác định công thức hàm số

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc
cơng thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.

a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d cú
tớnh cht:

+ Đi qua điểm A(x1; y1) và điểm B(x2; y2)
Giải

Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
B(x2; y2)  d nªn ax2 + b = y2

Ta có hệ phơng trình

1 1

2 2

ax b y

ax b y

 




 

 Gi¶i hƯ phơng trình ta có a, b

Kết luận công thức hàm sè.

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua im A(1;
1) v im B(-1; 2)

Giải

Vì A(x1; y1) d nªn ax1 + b = y1, B(x2; y2)  d nªn ax2 + b = y2

Ta cã hƯ phơng trình:

1 1

2 2

ax b y

ax b y



 gải hệ phơng trình đó ta có a, b

Kết luận công thức hàm số.

Vớ d: xỏc nh hm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;
1) và điểm B(-1; 2)

Giải

Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2)  d nªn a(-1) + b = 2

Ta có hệ phơng trình:

1 2

2 3

a
a b

a b

b



 



 

  

  




KÕt luËn hµm sè cần tìm là y = -

1 3
2x2

b. th đi qua điểm A(x1; y1) và song song với ng thng d cú ph

-ơng trình y = a1x + b1 (a 0)

Giải

Vì A(x1; y1)  d nªn ax1 + b = y1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;

2) vµ song

song với đờng thẳng d’ cú phng trỡnh y = 2x -

1
2

Giải

Vì A(1;

2) d nên a + b = 
1
2

Vì d song song víi d’ nªn a = 2 => b =

-3
2

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x -

3
2

c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và vng góc với đờng thẳng d cú

phơng trình y = a1x + b1 (a 0)

Giải

Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1

Vì d vuông góc với d nên aa1 = -1  a = 1

a



 b = y1 + 1
1

a x

KÕt luËn hµm sè cần tìm là y =

1 1

y x

a a



 

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vng góc
với đờng thẳng d có phơng trình y =

-1
2x +

3
2

Giải

Vì A(1; 1) d nên a + b = 1

Vì d vuông góc với d nªn aa1 = -1  a = 2 b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1

d. Đồ thị qua điểm A(x1; y1) vµ tiÕp xóc víi

Parabol (P): y = a x’ 2 + b x + c (a ’ ’ 0)

Giải

Vì A(1; 1) d nên ax1 + b = y1 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phơng trình hoành độ
giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép

 a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 cã nghiÖm kÐp

 Δ = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2)

Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận cơng thức hàm
số.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phơng trình hồnh độ giao
điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép

<=> x2-ax+1-b=0 cã nghiƯm kÐp
<=> =(b’-a)2 4a(c-b)=0 (2)
Ta có hệ phơng trình:

2 2 2

2 2 2 0

4 4 4( 2) 4 ( 2) 0

a b b a b a b

a

a b a a a

       

   

  

   



     

Vậy hàm số cần tìm là y=-2x

III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)
a. Đi qua 3 im phõn bit A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)

Lời giải

Vì A(x1,y1) (P) nªn ax12 + bx1 + c = y1 (1)
Vì B(x2,y2) (P) nên ax22+ bx2 + c = y2 (2)
Vì C(x3,y3) (P) nên ax32+ bx3 + c = y2 (3)

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận cơng thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua 3 điểm phận bit A(-1;6), B(0;3), C(3;6).

Lời giải

Vì A(-1;6) (P) nên a-b+c=6 (1)

Vì B(0;3) (P) nên c = 3 (2)

V× C(3;6)  (P) nªn 9a+3b+c = 6 (3)

Ta cã hệ phơng trình

3 3 3

6 3 1

9 3 6 9 3 3 2

c c c

a b c a b a

a b c a b b

  

  

  

       

  

        

  

VËy c«ng thức hàm số cần tìm là: y = x2 2x + 3

b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) và đi qua điểm A(x1, y1)

Lêi gi¶i

Vì A(x1, y1)  (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên

0
2

b
x
a




(2);

2
0

4 4

b ac

y

a a

  

   

(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận cơng thức hàm số.

Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua điểm A(-1;2) và có đỉnh l D(1; 2).

Lời giải:

Vì A(1; 2) (P) nên a+ b+ c = 2 (1)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1
2
b
a


(2);

2 4
2 2
4 4
b ac
a a
  
   
(3)

Ta có hệ phơng trình

2
2

2 1

1 2 0 2

4 8 0

2
4

a b c

a b c a

b

a b b

a

c

b ac a

b ac
a

   
     


  
     
  
   
   

 
 




VËy hµm số cần tìm có công thức y = x2 2x – 1

c. (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0)

và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = a x+b’ ’
Lời giải:

Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x0, y0) nên phơng trình hoành độ :
ax2 + bx + c = a’x+b’ có nghiệm kép

 ax2+(b-a)x +c-b’ = 0 cã nghiÖm kÐp

  = (b-a’)-4a(c-b’) = 0 (3)

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c.

Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận
D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2.

Lêi gi¶i :

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên 2 1

b
a



;
2 4
1 1
4 4
b ac
a a
  
   
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2 nên phơng trình hồnh độ

ax2 + bx+c = 2x-2 cã nghiÖm kÐp.

 ax2 + (b-2)x+c+2 = 0 cã nghiÖm kÐp.

 = (b-2)2 –4ac(c+2) = 0 (3)

Ta có hệ phơng trình

2 2

( 2) 4 ( 2) 0

4 8 4 4 0 2 0 1

1 2 0 12 4 0 2

4 4 0 4 4 0

4
1
4

b ac c

b ac a b a b a

b

a b a b b

a

c

b ac a b ac a

b ac
a


    
          

 
  
        
   
    
  

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 2x + 2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biÕt f(1+

2 ) = x2 – 1 vµ f(0) = 0
Gi¶i:

+ Với x  0 ta đặt 
1

1 t

x

 

rồi rút x theo t ta có

1
1
x
t

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1
1

t )2 1 2

(2 )
( )
( 1)
t t
f t
t

 


V× tơng ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) = 2

(2 )
( 1)
x x
x



+ Với x = 0 thay vào cơng thức vừa tìm đợc ta cú f(0) = 0

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

(2 )
( 1)
x x
x



VÝ dơ 2: T×m biĨu thøc f(x) cđa hµm sè biÕt

2
1
( ) 2 ( )

f X f x

x

 

víi x0

Tõ c«ng thøc thay x bëi

x

ta cã

2 2

1 1 1 1 1

2 2 ( )

f f f f x

x x x x

x
 
 
       
     
       
         

 

+ Ta cã hƯ ®iỊu kiƯn víi f(x) nh sau:

2 2

1 1

( ) 2 ( ) ( ) 2

2
( )

1 1 1 2

( ) 2 ( ) 4 ( ) 2

f x f x f x f x

x x x

f x

x

f f x f x f

x x x x


  
     


   
  
 
   
     
   
     


Vậy công thức hàm số là

4
2
2
( )
3
x
f x

x

Bài tập:

Bi1: xác định biểu thức f(x) biết:

a/ 2

2
1 ( 1)

x x
f
x x
 

 
 

  vµ f(1) = 0

b/ 2

4 8

1 3 4 1

x x

f

x x x



 



 

  

  víi x 1 vµ f(1) = 0

2
2
10 4 5

2 4 ( 4)

x x x

f

x x x

 

 



 

  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết

(2 1) 2 (2 1) 2

2 1

f x g x x

x x

f g x

x x

   




    

 

   

  

   



2 2

(3 1) (6 1) 3

( 1) (2 3) 2

f x g x x

f x x g x x x



Dạng IV: Đồ Thị Hµm sè

1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số:

a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x  TXĐ

b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) là một đờng thẳng.

C¸ch vÏ:

- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn cơng thức hàm s.

Chẳng hạn A(0, b) và

B(-b
a; 0)

- V ng thng i qua A v B

c/ Đồ thị hàm số bËc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) là Parabol (P) có:

+ Đỉnh D

;
2 4

b

a a



 



 

 

+ Trục đối xứng: x =-2

b
a

+ bỊ lâm quay lªn trªn khi a>0 ; bỊ lâm quay xuèng díi khi a<0

d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y
x vi x0

Chẳng hạn: y = x

-x với x0

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của các góc vuông I và II (h×nh 1d) 0 x
h×nh 1d

e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =

 

x trong đó

 

x là kí hiệu số ngun lớn
nhất khơng vợt q x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

-1 víi   1 x 0

y = 0 víi 0 x 1 3

1 víi 1 x 2 2

2 víi 2 x 3 1

-1

0 1 2 3

-1

f/ Nhận xét:
+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
+ Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung
làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
 Vẽ đồ thị y = f(x) với x0
 Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung.
+ y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị
hàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ.
2/ Ví dụ:

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3
+ TXĐ : x  R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2
Nghịch biến với x<2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: x …0 1 2 3 4…

y …3 0 -1 0 3…

1 1 2 3 4

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua
đờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.

Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x - x

+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến
x với x  0

y = 2x- x =

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3 x víi x < 0
+ Bảng giá trị; x …0 1 -1…
y …3 1 -3…

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=

x 2 x 2

  

Ta cã y=

2
2

x 2x 2víi x 0

-x 2x 2víi x<0

   




 





Nên đồ thị là hai nhánh Parabol

y=-x2+2x+2 víi x 0

y=-x2-2x+2 với x<0

Đồ thị:

-2 -1

1 2 3

-1

Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x2 + 2 x + 2 nhận trục tung làm trc i
xng.

3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cđa hµm sè:

Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rơi tìm
điểm cao nhất( thp nht ca th .

Ví dụ1: Tìm giá trị nhá nhÊt cua hµm sè y = x1 x 2
Gi¶i

2x – 3 (x>2)
Ta cã y = 1 (1x2)

-2x + 3 (x<1)

Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x – 3 (x>2);
y = 2x + 3 (x<1) và đoạn y = 1 (1x2)

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x2+2x+2 với x0 
và y = -x2+2x+2 vi x<0

-3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Vậy giá trị lớn nhất cđa hµm sè lµ Max y = 3 khi x = 1 hc x = -1

VÝ dơ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x2 - 2 x1 + 1
Gi¶i

-x2 – 2x + 3 (x 1)
Ta cã y =

-x2 + 2x+ 1 (x < 1)

Nên đồ thị hàm số là 2 nhánh Parabol y = -x2 – 2x + 3 với (x 1) và
y =-x2 + 2x+ 1 vi (x < 1)

Vậy giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè lµ Max y = 0 khi x= 1
4/ Bµi tËp

Bài 1: Cho hàm số y = x2 4x 4 4x24x 1 ax
a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm
số với a vừa tìm đợc.

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 4x 4 x26x 9 3 x22x1

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ (x;
y thoả mãn x1 y 2 1 .

Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị

C¬ së lý thuyÕt:

+ Điểm M(xM; yM)  đồ thị hàm số y = f(x)  yM = f(xM).

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc
vào số điểm chung của hai đồ thị.

Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và
y=g(x).

 M đồ thị hàm số y = f(x) và M  đồ thị hàm số y = g(x).

 yM = f(xM) vµ yM = g(xM).

-1

-1 -2 -9/4 -4 -5

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 (xM; yM) lµ nghiƯm cđa hƯ phơng trình

( )
( )

y f x

y g x









Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc

vµo sè nghiƯm cđa phơng trình

( )
( )

y f x

y g x

1/ Cách giải :

a. bi toỏn xỏc định vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x),
(f(x) và g(x) có bậc 2)

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị các hàm số là nghiệm của hệ:

( )
( )

y f x

y g x









+ Phơng trình hồnh độ : f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị các
hàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc  2).

Hai đồ thị cắt nhau  phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt
Hai đồ thị tiếp xúc  Phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị khơng cắt nhau  phơng trình (3) vơ nghiệm.

 Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phơng trình (3).

 Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3)
tìm hoành độ x = x0 , dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định tung
độ tơng ứng y = y0.

KÕt luËn chung:

b. Chú ý: Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng (d): y = ax + b và d1: 
y=(2m-3)x+2 (a.a1 0)

+ d song song víi d1  a = a1 ; b b1
+ d c¾t d1  a a1

+ Đặc biệt d vuông góc với d1  a.a1 = -1
+ d trïng víi d1  a = a1 ; b = b1

2/ VÝ dơ:

Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng

Gi¶i

+ d//d1

2 3 3

2 2 1

m m m

m

m m

  

 

     

 

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

+ d c¾t d1  m 2m-3  m  3

+ khơng có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1

b. Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vng góc. Xác định toạ độ
điểm chung trong tng trng hp.

Giải

+ d vuông góc với d1  m(2m-3) = -1

 2m2-3m+1 = 0

 m =1 hc m = 
1
2

+ víi m =1 ta cã d: y = x +2 vµ d1: y = -x + 2 vu«ng gãc víi nhau.

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

2 2

2 0

y x y

y x x

  

 



 

  

 

Vậy với m=1 hai đờng thẳng vng góc với nhau tại A(0; 2)

+ Víi m=

2 ta cã d: y = 
1

2x vµ d1: y=-2x+2 vu«ng gãc víi nhau.

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6
1

1 5

2 2

y

y x

y x y




 

 

 



 

    

 



VËy víi m=

2 hai đờng thẳng vng góc với nhau tại B
2 6

;
5 5

 

 

 

Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tơng đói của đồ thị các hàm số y = x2
-4x+m (P) và y= 2x+1 (d). Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc.

Gi¶i

Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ

2 4
2 1

y x x m

y x

   


 


Phơng trình toạ độ x2 –4x+m = 2x+1

 x2-6x+m-1 = 0 (3)

+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt phơng trình (3) cã hai nghiÖm phËn
biÖt   = 9-m+1 > 0  m<10

+ (P) tiÕp xóc víi (D) Phuơng trình (3) có nghiệm kép
 = 9-m+1 = 0

 m=10

Víi m= 10 phơng trình (3) trở thành x2 6x + 9 = 0  x=3

Thay vµo (2) ta cã y = 7

Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7).
+ (P) không giao với (d) Phơng trinhg (3) vô nghiÖm

  = 9-m+1 < 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +
(m+2)x + 8 (P’) có khơng q một điểm chung.

Gi¶i

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ :
y = x2 – 4x – 8 (1)

y = mx2 + (m+2)x + 8 (2)

+ Phơng trình hồnh độ x2 – 4x – 8 = mx2+ (m+2)x + 8

 (m-1)x2+(m+6)x+16=0 (3)

+ (P) và (P) có không quá một điểm chung phơng trình (3) có không

qua một nghiệm.

- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng 7x+16 = 0 

x=-16

7 lµ nghiƯm duy

nhÊt.

VËy víi m=1 (P) và (P) cắt nhau tại một điểm.

- Xét m 1 (P) và (P) có không qua một điểm chung   0.
 (m + 6)2 – 64(m - 1) 0

 m2 – 52m + 100  0

 26 576m26 576 m  1

VËy (P) vµ (P’) có không quá mét ®iĨm chung 

26 576m26 576.

3: ứng dụng:

Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1)

 C¬ së lý thuyÕt:

- Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x = x0 khi đó giá trị tơng ứng
của các vế là f(x0) = g(x0) = y0.

- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0; y0).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì
số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phng trỡnh (1).

Cách giải bài toán:

- Bin lun s nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ
thị.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

- BiÖn luËn sè nghiệm chung của â và (C) => số nghiệm của phơng trình.
Ví dụ:

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x1 x 2 m
Gi¶i

+ Vẽ đồ thị hàm số y = x1 x 2 và y = m trên cùng một mặt phẳng toạ
độ.

+ Theo th ta cú

m < 1 phơng trình (1) vô nghiệm.

m = 1 phơng trình (1) có vô sè nghiÖm : 1 x 2
m > 1 phơng trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiÖm duy nhÊt

2x a   1 x 3

(1)
Giải

Phơng trình (1) 2x a  x 3 1

XÐt hai hµm sèy =

2
2

a
x a x
x a

a
x a x

  

   


  

 

 

    

  



vµ y =

2( 3)
3 1

4( 3)

x x

x

x x

 


  



Đồ thị hàm số cã d¹ng

3
2

0 1 2 3 x
y

y = m

2
y=

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Từ đồ thị ta có:

- NÕu 2 4 2 2 8 4

a a

          

thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận
biệt nên phơng trình (1) có 2 nghiệm phận biệt.

- NÕu 4 2 2 8 4

a

        

thì hai đồ thị khơng có điểm chung nên
ph-ơng trình (1) vơ nghiệm.

- Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất  hai đồ thị có một điểm chung

duy nhÊt

4 8

4
2

a

a b




  





 



 




VÝ dơ 3:

Tìm tất cả giá trị thực của k để phơng trình : (x-1)2 = 2 x k có bốn
nghiệm phận biệt.

Gi¶i

Ta cã (x-1)2 = 2 x k



2
( 1)

x

x k  

 x-k =

2
( 1)

x


-x2 + 4 – 1 = 2k (1)

 x2 – 1 = 2k (2)

Ta sẽ sử dụng phơng pháp tơng giao đồ thị để giải phơng trình

a. Ta xÐt hai hµm sè y= -x2 + 4x – 1 vµ y = 2k

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
* y= -x2 + 4x – 1 là Parabol (P

1) có giao với trục tung là (0; - 1) nhận
S(2;3) là đỉnh.

* y = 2k là đờng thẳng (d) song song với Ox.
x
-1

-4 -3 -2 -1 0 1 a

-2 -1 0 1 2
-1

y=2k
5

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

b. XÐt hµm sè y = x2 + 1 vµ y = 2k

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
* y = x2 + 1 là Parabol (P

2) có đỉnh là S’(0;1)
* y = 2k là đờng thẳng song song vơi Ox.

Khi đó phơng trình (x-1)2 = 2 x k có 4 nghiệm phận biệt  (d) cắt (P
1)

vµ (P2) tại 4 điểm phận biệt

1 3

1 2 3

2 2

2 2 1

k k

k k



   

 

   



  



4/ Bµi tËp:

Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ
tiếp điểm.

a. (P): y = x2 vµ (D): y = 4x –4

b. (C): y = x2 – 2x – 3 vµ (C’) y = 2x2 + 2x + 1

Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx2 – 2mx + (m – 1) tiếp xúc với mọi đờng
thẳng cố đinh với mọi m0.

Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a.
Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m0
  0 m0

 (2m+a)2 –4m(m-1-b) = 0 m0

 4m(a+1+b) + a2 = 0 m0

1 0 0

1
0

a b a

b
a

   

 

   



 



Vậy đờng thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx2 – 2mx+ (m-1)

m

  .

Dạng VI: Điểm cố định ( Chùm đờng thẳng, chùm Parabol )

 C¬ së lý thuyÕt:

+ Điểm M(x0; y0)  đồ thị hàm số y = f(x)  y0 = f(x0)

+ Hµm ssè y = f(x) (cã phơ thc vµo tham số m) luôn đi qua điểm
M(x0; y0) y0 = f(x0) với mọi m.

+ Phơng trình ax2 + bx + c = 0 cã nhiÒu h¬n hai nghiƯm

0
0
0

a
b

c




  

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) ( có phụ thuộc vào tham số
m) đi qua với mọi m.

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi
m.

Ta có : y0 = f(x0) (1) đúng với mọi m.

+ Biến đổi (1) về phơng trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số) có
nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phơng trình băng 0 (2)

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0
+ (Thử lại) kết luận điểm cố định.

2/ VÝ dơ:

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua
với mọi m.

Gi¶i

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với m.

 y0 = (2m+1)x0-3m+2 đúng với m

 2mx0 – 3m + x0 – y0 + 2 = 0 đúng với m
 (2x0 – 3)m + (x0 – y0 + 2) = 0 đúng với m



0
0

0 0

0
3

2 3 0 2

2 0 7

x
x

x y

y





 

 



 

  

  




Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(

3 7
;

2 2) víi m.
VÝ dơ 2:

Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 đi
qua với m

Gi¶i

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với m.

 (-m2+m-2)y

0=(m2+m-3)x0+2m-5 đúng với m

 (x0+y0)m2 + (x

0+y0+2)m-3x0+2y0 –5 = 0 đúng với m



0 0

0
0 0

0 0

1
2 0

3 2 5 0

x y

x

x y

y

x y

 







   

 




   



Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(-1;1) với m.

Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1
đi qua với mọi m.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Gi¶ sư M(x0; y0) là điểm cố dịnh mà (P) đi qua với mäi m.

 y0 = (m2 – m+2) x2

0+(2m+3)x0-4m2+1 đúng với m

(x2

0-4)m2-(x02-2x0)m+2x02+3x0+1-y0 = 0 đúng với m


2
0

0
2

0 0

0
2

0 0 0

4 0

2 0

2 3 1 0

x

x x

y

x x y

  



 

  

 





   



VËy (P) ®i qua ®iĨm M(2;15) víi mäi m.

Bµi TËp

Bài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đờng thẳng đi qua với mọi giá trị của tham
số

a. (d): y = (2m+ 1)x - 3m + 2
b. (b): (a - 1)x + (2a + 1)y = 3
c. (a): (2m + 1)x + (3m - 1)y = 4

Bài 2: Tìm m để các đờng thẳng đồng quy

(d1): 2x - 3y = -1

(d2): (m - 1)y = (m + 1)x – 2
(d3): (2m + 1)x + (3m –1)y = 4

Dạng VII: Quỹ tích đại số
 Cơ sở lý thuyết

+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM = f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm
số y = f(x)

+ Hàm số và đồ thị của nó tơng ứng là 1-1.

1/ C¸ch giải bài toán:

Tỡm tp hp im M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m.
Giải

+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM).
+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)

Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều
kiện của x để giới hạn quỹ tích.

2/ VÝ dơ:

Ví dụ 1: Tìm tập hợp giáo điểm nếu có của hai đờng thẳng
(d1): (m-1)x + 2y = 3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Gi¶i

+ Toạ độ điểm chung M của (d1), (d2) là nghiệm của hệ:

( 1) 2 3 ( 1) 2 3 ( 1) 11 1

2 2 8 4 7 4

x

m x y m x y m x m

mx y y mx y y mx m

y
m



        
    
  
   
      
    
 

 ( m1)

Ta cã

11 11

1 1

7 4 11

7
1 1
M M
M M
x x
m m
m
y y
m m
 
 
 
   

 

    
   

  => y

M- xM = 7 => yM = xM + 7

Vậy tập hợp giao điểm M của (d1) và (d2) là đờng thẳng y = x + 7 với m1

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để đờng thẳng (d): y = mx -

4 cắt Parabol (P): y

= x2 tại hai điểm phận biệt A và B . Tìm tập hợp trung ®iĨm I cđa AB.
Gi¶i

 Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ 2

1
4
y mx
x y

 


 


Phơng trình hồnh độ x2 = mx -

4  4x2 – 4x + 1 = 0 (3)

(P) cắt (d) cắt nhau tai hai điểm phận biệt phơng trình (3) có hai nghiệm

phận biệt  4m2 4 0  m  1 m1

 Với m  1 m1 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B có
hồnh độ xA, xB là nghiệm của phơng trình (3) nên xA + xB = m

Khi đó I là trung điểm của AB

1
1
1
1 1
1 1
' '
2
2
1
1
4
4
B

x x m

x
x
y mx
y mx

 


 
 
   
     


 

2
1 1
1
2
4
y x
  

Víi m  1 m1 ta cã x1<

1 1

2 x 2

  

 Vậy tập hợp điểm I là hai nhánh Parabol

1 1

1
2

y  x 

víi x1<

1 1

2 x 2

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng xOy cho ®iĨm F(

3
;1

2 ) và đơnừg thẳng d có phơng

trình y = -1. Tìm tập hợp điểm M(x;y) cách đều F và d
Giải

H¹ MH  d ta cã H(x;-1)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

VËy MF = MH MF2 = MH2

2 2

( 1) ( 1)
2

x y y

 

    

 

 

 y =
2

4 12 9

x  x

Vậy tập hợp điểm M là Parabol y =
2

4 12 9

x  x

3/ Bµi tËp

Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 . Gọi A và B là giao điểm của đờng thẳng y =
2x + m với (P). Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi.

Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2. Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ đợc hai
tiếp tuyến vng góc đến (P).

Bµi 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6. Tìm điểm M trên trơc tung sao cho
Hai tiÕp tun cđa (P) qua M cu«ng gãc víi nhau.

Híng dÉn:

+ MOy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a là tiếp tuyến của
(P)  Phơng trình hồnh độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệm kép.

  (7 k)2 4(6 a) 0  k214k25 4 a0 (3)

+ Hai tiÕp tuyÕn qua M vuông góc với nhau

Phơng trình (3) có hai nghiÖm k1. k2 = -1
 4a + 25 = -1

a= 
-13

Bài tập tổng hợp

Bi 1: Trong cựng một phẳng toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (d) là
đồ thị hàm số y = - x + m

a. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc.
b. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm

c. Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung. C là điểm đối xứng của
A qua trục tung. Chứng tỏ rằng:

+ C n»m trªn (P)

+ Tam giác ABC vuông cân

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a. (P): y =
-2
1
4x

b. Phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là:
2

4x x m

  

 x2 4x 4m0

Cho  = 0 ta cã m = 1 và tiếp điểm là A(2; - 1)

c. Xỏc định các điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vng cân

Bµi 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3

a. Chứng minh đờng thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)
b. Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x2 – 4x + 3 > 2x – 4

Bài 3: Cho Parabol (P); y =

2x2, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m 0
a. Vẽ (P)

b. Vit phng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

c. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A;
B với m 0

1. Häi H vµ K là hình chiếu của Avà B trên trục hoành. Chứng minh rằng

tam giác IHK vuông cân.

2. Chng minh dài đoạn AB > 4 với m 0.
Hớng dẫn;

2. §êng th¼ng (d)

2
2

y x

m

 

(m 0)

3. Phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là mx2+4x-4m = 0 có 
>0.

4. Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vng tại I.
5. Tính khoảng cách AB:





2
4

( A B) 4 A B 1 16 4

AB x x x x AB

m

 

       

 

Bài 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = -x2 + 4x – 3 và đờng
thẳng (d): 2y + 4x – 17 = 0

1. VÏ (P) vµ (d)

2. Tìm vị trí của điểm A  (P) và điểm B  (d) sao cho độ dài đoạn AB

ng¾n nhÊt.

Híng dÉn:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d)
y = - 2x + 6 => A(3;0)

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d’’) vng góc với (d’) tại A. Xác định

giao điểm của (d’’) với (d) để tìm B(4;

1
2)

+ Khoảng cách AB =

2 là lớn nhất

Bi 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hồnh độ x

A= -1; xB

= 2. Tìm M thuộc Parabol có hồnh độ x  



1; 2



sao cho diện tích tam giác
AMB lớn nhất.

Híng dÉn:

+ Khoảng cách tam giác AMB lớn nhất tơng đơng với khoảng cách từ M
đến AB lớn nhất.

+ Khoảng cách từ M đến AB lớn nhất tơng đơng với M là điểm tiếp xúc
của đờng thẳng song song với AB với (P).

PhÇn III

KÕt luËn chung

Qua những năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở bậc trung học cơ sở và

qua nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”
tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị. Xây dựng đợc hệ thống
bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có
ph-ơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú
học tập cho học sinh. Làm cho học sinh khơng cịn thấy sợ “Hàm số”. Chơng
trình cải cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học
sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễ hiểu hơn.

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu phát triển
các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúp các em
phát huy đợc năng lực học mơn tốn.

Trên đây là nội dung đề tài mà tơi đào sâu đã tìm hiểu. Trong q trình
thực hiện và trình bày khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong đ ợc
sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28></div>