SKKN Ung dung he thuc viet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (295.22 KB, 37 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài...2

2. Mục đích nghiên cứu...2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu...3

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu...3

5. Phương pháp nghiên cứu...3

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn...5

2. Thực trạng ...5

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ
thức
Vi-Ét để giải phương trình bậc hai...6

I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn...7

II. Lập phương trình bậc hai ...8

III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng...10

IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình ...11

V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao
cho hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số...14

VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm...15

VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai...18

VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm...19

Chương III: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm...20

2. Nội dung thực nghiệm:
Tiết dạy thực nghiệm 1 ...21

Tiết dạy thực nghiệm 2 ...26

3. Kết quả thực nghiệm...30

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin
trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa,
nước ta vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh
càng phải nổ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ

sung nhân tài cho đất nước.

Mơn Tốn ở THCS có một vai trị rất quan trọng, một mặt nó phát triển
hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình
thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng
và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi
vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Tốn
học.

Chương trình Tốn THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành
cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tịi đủ cách giải bài tốn để phát huy
tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.

Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên
của Tỉnh... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp
10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài
tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung
và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa
dang.

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng
khơng giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em khơng
biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.

Vì thế tơi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các
em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn bậc
hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tơi
chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”.

2. Mục đích nghiên cứu:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu
cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học
sinh nhận dạng, hiểu được bài tốn, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét ,
tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức
để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.

- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết
ứng dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
- Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học

nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài tốn bậc hai và có bao
nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức.

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Nghiên cứu 20 học sinh giỏi khá đang học lớp 9 ở trường THCS
Trịnh Hoài Đức – Huyện Trảng Bom - Đồng Nai.

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong mơn đại số lớp
9, tìm hiểu các bài tốn bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.

5. Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương
pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tôi đọc và chọn ra các bài tốn bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét,
sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng sau:

 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương
trình.

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương
trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn

biểu thức chứa nghiệm.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.

- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:

Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm

với các câu hỏi sau:

Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ?

Câu 2: Em thích các bài tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét
khơng?

Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung tốn
khơng ?

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:

a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0

b/ x2 + 7x + 12 = 0

Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có

hai nghiệm x1 , x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức

3 3

1 2 1 2

P x x  x x theo m.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề

tài

1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm
giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có
trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng
nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết
kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực
hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học
và hoạt động ngoại khóa.

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ
thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập
phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý

thuyết vừa học.

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng khơng
có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em
nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi
dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.

2. Thực trạng :
a. Thuận lợi:

- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối 9 được 3
năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức
cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết
phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn
bậc hai”.

- Tơi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.

- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
b. Khó khăn:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm
nơng nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ
giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.

c. Thực trạng của giáo viên và học sinh xã An Viễn- Trảng 
Bom-Đồng Nai:

Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở An
viễn cịn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:

 Những mặt đã đạt được:

- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình.
Học sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt
98%).

- Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học
sinh đạt giỏi huyện mơn Tốn.

- Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ
vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ.

 Những mặt chưa đạt:

- Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh
các khối 6 ; 7 ; 8.

- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để
nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn
cịn rất hạn chế.

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp

học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:

- Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho
học sinh nắm được định lý Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

có 2 nghiệm : 1 2 ; 2 2

b b

x x

a a

     

 

Suy ra :



 







1 2

2 2
2

1 2 2 2 2 2

2 2 2

4 4

4 4 4 4

b b b b

x x

a a a a

b b b b b ac ac c

x x

a a a a a

       

    

         

    

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
Vậy: 1 2

b
S x x

a



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1. 2
c
P x x

a

 

- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức
Vi-ét để giải. Trong đề tài này tơi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:

 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương
trình.

biểu thức chứa nghiệm.

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc
hai.

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.

Cụ thể như sau:

I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

1. Dạng đặc biệt:

Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)

a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a+ b + c =

Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c
a
b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a- b +

c = 0

Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

c
a


Ví dụ:

Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)

b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Phương trình (1) có dạng a- b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = -1

và nghiệm kia là x2 =
3
2



Phương trình (2) có dạng a+ b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1

và nghiệm kia là x2 =
11
3



Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

a/ 35x2 - 37x + 2 = 0

b/ 7x2 + 500x - 507 = 0

c/ x2 - 49x - 50 = 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x

1 = 2, tìm p và nghiệm

kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x

1 = 5, tìm q và nghiệm

kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và

hai nghiệm của phương trình.

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương

trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:

a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:

4 – 4p + 5 = 0

1
4

p

 

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = 1

5 5

x 
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:

25+ 25 + q = 0  q50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 1

50 50

10
5

x

 

 

c/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và

theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:

1 2 1

1 2 2

11 9

7 2

x x x

  

 



 

  

 

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18

d/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và

theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

1 2 2 2 2 2

2 2

1 2 2

2 5

2 50 5

. 50 5

x x x

x x

x x x

 

 

    

 

 

 

Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
Với x2 5 thì x110 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) =
-15

II. Lập phương trình bậc hai :

1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2

Ví dụ:

Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2
1 2

. 6

S x x
P x x

  




 



Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:

x2 – Sx + P = 0  x2 – 5x + 6 = 0

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3

b/ x1= 3a và x2= a

c/ x1= 36 và x2= - 104

d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức
chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước

Ví dụ:

Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x

1; x2 . Khơng

giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1 2

y x
x

 

và 2 1 2

y x
x

 

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:









1 2

1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 9

3 2

x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 9

. . . 1 1 2 1 1

2 2

P y y x x x x

x x x x

   

              

   

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y2 Sy P 0hay

2 9 9 0 2 2 9 9 0

2 2

y  y   y  y 
Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1; x2 .

Khơng giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y
thỏa mãn:

1 1
2

y x
x

 

và 2 2 1

y x
x

 

(Đáp số:

2 5 1 0 6 2 5 3 0

6 2

y  y   y  y 

)

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x

1; x2 .

Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y
thỏa mãn:

4
1 1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(Đáp số: y2 727y 1 0)

3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x

1; x2 mà x1
< x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x1



21



và





2 1 1
x  x

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế
Vinh_Đồng Nai, năm học: 200-2009)

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x

1; x2 . Hãy

lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:

a/ y1x1 3 và y2 x2 3
b/ y1 2x11 và y2 2x21

(Đáp số: a/ y2 4y 3 m2 0 ; b/ y2 2y (4m2 3) 0 )

III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:

Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:

Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1

Bài tập áp dụng:

Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2

b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41

b/ a - b = 5 và a.b = 36
c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ
thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.

Từ







2 2



2 2 2 81

9 81 2 81 20

a b

a b   a b   a  ab b   ab   

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng:

1
2

4
9 20 0

5
x
x x
x


    



Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4

b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36

Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng:
1

4
5 36 0

9
x
x x

x


    



Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ



a b



2 



a b



2 4ab



a b



2 



a b



24ab169





2 2 13

13
13
a b
a b
a b
 

    
 


- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1

4
13 36 0

9
x
x x
x


    



Vậy a = - 4 thì b = - 9

- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1

4
13 36 0

9
x

x x
x


    



Vậy a = 4 thì b = 9

c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

Từ





2 2 61 2 2 2 61 2.30 121 112 11

a b

a b a b a b ab

a b
 

            
 


- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
1

5
11 30 0

6
x
x x
x


    



Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5

- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
1

5
11 30 0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5

IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết
biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S
và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu
thức.

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2

Ví dụ 1:









2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2

x x  x  x x x  x x  x x  x x











 



3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2

x x  x x x  x x x  x x  x x  x x 

 

   









2 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2

x x  x  x  x x  x x  x x  x x  x x

 

1 2
1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



 

Ví dụ 2: x1 x2 ?

Ta biến đổi













2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4 1 2 1 2 4 1 2

x  x x  x x x  x  x x x  x x  x x  x x





1 2 1 2 4 1 2

x x x x x x

    

Bài tập áp dụng:

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ x12 x22 ?

( HD x12 x22 



x1 x2

 

x1x2



...)
b/x13 x23 ?

(HD











 



3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ...

x  x  x  x x x x x  x  x  x x  x x  

  )

c/ x14 x24 ?

( HD x14 x24 



x12x22

 

x12 x22



...)
d/x16x26 ?

( HD

   



 



3 3

6 6 2 2 2 2 4 2 2 4

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ...

x x  x  x  x x x  x x x 

)
e/x16 x26 ?

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

h/ 1 2

1 1

x  x  

2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

Ví dụ :

Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:

a/ x12x22
b/ 1 2

1 1

x x
Giải:

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

1 2
1 2

8
. 15

S x x
P x x

  




 











2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 8 2.15 34

x x  x  x x x  x x  x x  x x   

1 2
1 2 1 2

1 1 8

x x

x x x x



  

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy

tính:





2
2 2
1 2
x x

(Đáp án: 46)
b/

1 2
2 1
x x

x  x (Đáp án:

34
15)

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy

tính:

a/ x12x22 (Đáp án: 65)
b/ 1 2

1 1

x x (Đáp án: 98)

3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Khơng giải phương trình, hãy

tính:

a/ x12x22 (Đáp án: 138)
b/ 1 2

1 1

x x (Đáp án:

14
29)

4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Khơng giải phương trình, hãy

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a/ x12x22 (Đáp án: 1)
b/

1 2

2 1 1 1

x x

x  x  (Đáp án:

5
6)

c/ 1 2

1 1

x x (Đáp án: 3)

1 2

1 x 1 x

x x

 



(Đáp án: 1)

5/ Cho phương trình: x2 - 4 3x + 8 = 0 có 2 nghiệm x

1, x2 . Khơng giải

phương trình, hãy tính:

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

Q

x x x x

 





(HD:

















2
2

2 2

1 2 1 2

1 1 2 2

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

6. 4 3 2.8

6 2

6 10 6 17

5 5 5 2 5.8 4 3 2.8 80

x x x x

x x x x

Q

x x x x x x x x x x



 

 

   

       

   

)

6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm

x1, x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức :

3 3

1 2 1 2

A x x  x x theo m.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm
2008)

V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước
sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1

và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó

đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x

1 và x2. Lập

hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng

không phụ thuộc vào m.
Giải:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>



 



1
1

1 0 1

' 0 1 4 0 5 4 0

m
m

m m

m

m m m m





  
   
  
   
         
   


Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

1 2 1 2

2 2

2 (1)

1 1

4 3

. . 1 (2)

1 1

m

S x x S x x

m m

m

P x x P x x

m m
 
      
 
   

 

      
   
 

Rút m từ (1), ta có: 1 2 1 2

2 2

2 1 (3)

1 x x m 2

m      x x 

Rút m từ (2), ta có: 1 2 1 2

3 3

1 1 (4)

1 x x m 1

m       x x
Từ (3) và (4), ta có:



1 2





1 2





1 2



1 2

1 2 1 2

2 3

2 1 3 2 3 2 8 0

2 1 x x x x x x x x

x x    x x          

Ví dụ 2 :

Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0.

chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị

của m.
Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:



 



1
1

1 0 1

' 0 1 4 0 5 4 0

m
m

m m

m

m m m m





  
   
  
   
         
   

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
S x x

m
m
P x x

m


  

 


  
 


Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =

2 4 6 2 8 8( 1) 0

3. 2. 8 0

1 1 1 1

m m m m m

m m m m

    

    

   

Vậy A = 0 với mọi m1 và

4
5

m

Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị của m.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x

1 và x2.

Hãy lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1

và x2 độc lập đối với m.

Hướng dẫn:

- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm

phân biệt x1 và x2

- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2



x1x2



 x x1 2 5 0 độc lập đối
với m.

2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x

1 và x2.

Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1

và x2 khơng phụ thuộc giá trị của m.

Hướng dẫn:

- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm

phân biệt x1 và x2

- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2x x1 2



x1x2



17 0 khơng phụ
thuộc giá trị của m.

VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1

và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0).

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải
phương trình (có ẩn là tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị
cần tìm.

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham

số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1x2 x x1 2

Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:













0 0

1 0

' 9 2 1 9 27 0

' 0 ' 3 21 9 3 0

m m

m

m m m

 

 

 

  

 

  

      

        

    





0 0

' 9 1 0 1

m m



  



   

    

 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

1 2

6( 1)
9( 3)
.

m
S x x

m
m
P x x

m




  








  




Vì x1x2 x x1 2 (giả thiết)
Nên

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 3 21 7

m m

m m m m

m m

 

        

( thỏa mãn)

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ

thức: x1x2 x x1 2

Ví dụ 2 :

Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m

để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x x1 2 5



x1x2



 7 0

Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
'

 









2 2 7

' 2 1 4 2 0

m m m

       

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

1 2
2

1 2

2 1

. 2

S x x m

P x x m

   





  




Vì 3x x1 2 5



x1x2



 7 0 (giả thiết)

Nên









2( )

3 2 5 2 1 7 0 4

( )

m TM

m m

m KTM





     

 



Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ

thức: 3x x1 2 5



x1x2



 7 0

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 2x2 0

2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4x13x2 1

3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 5x2 6

Hướng dẫn:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1x2và tích
nghiệm x x1 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.

+ Cịn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn như
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi
về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng
tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.

Bài 1:

ĐKXĐ:

16
0;

m m

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:





 

1 2
1 2
4
1
7
.
m m

S x x

m
m
P x x

m
  
  




  



Theo đề bài ta có:









1 2 2 0 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 6 2 2 1 2 3 1

x  x   x  x  x x  x  x x  x  x x  x

Suy ra:









 

1 2 2

1 2 1 2

1 2 1

2 9 2

2 3

x x x

x x x x

x x x

 



  

 



Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 m

1 = 1 ; m2 = -128 .

Bài 2:

ĐKXĐ: 11 96m11 96

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:

 

1 2
1 2

1
1

. 5 6

S x x m

P x x m

   




  



Theo đề bài ta có:









1 1 2

1 2

2 1 2

1 3

4 3 1

4 1

x x x

x x

x x x

   

   
  



















 

1 2 1 2 1 2

1 3 . 4 1

7 12 1 2

x x x x x x

   

        

     

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 3:

Vì  



3m 2



24.3 3



m1



9m224m16



3m4



2 0với mọi số thực m
nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:





 

1 2
1 2
3 2
3
1
3 1
.
3
m
S x x

m
P x x




  



 
  



Theo đề bài ta có:









1 1 2

1 2

2 1 2

8 5 6

3 5 6

8 3 6

x x x

x x

x x x

   

   
  



















1 2 1 2 1 2

64 5 6 . 3 6

64 15 12 36

x x x x x x

   

        

     

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: m



45m96



0

0
32
15
m
m




 
 (TMĐK).

VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0  0  0 ; P< 0

cùng dấu   P > 0  0  0 ; P > 0

cùng dương + + S > 0 P > 0  0  0 ; P > 0 ; S > 0

cùng âm - - S < 0 P > 0  0  0 ; P > 0 ; S < 0

Ví dụ :

Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 =

0 có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:















 



2 2

2
2

3 1 4.2. 6 0

7 0

2 3

0 0 3 2 0

m m m

m m

m

m m

P P P m m

      
    
 
  
     
    
    
    


</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài tập áp dụng:

1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2)

= 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0

có 2 nghiệm âm.

3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x2 +2x + m = 0 có ít

nhất một nghiệm khơng âm.

VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x

1 và x2 là các

nghiệm của phương trình. Tìm m để: A = x12 x22 6x x1 2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:

Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có:





1 2
1 2

2 1

S x x m

P x x m

    


 



Theo đề bài ta có:

A =













2 2 2

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2 2 1 8 4 12 1 2 3 8 8

x x  x x  x x  x x  m  m m  m  m  

Suy ra:

min 8 2 3 0

A  m   m

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x

1 và x2 là các nghiệm

của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:





1 2
2 2

1 2 1 2

2 1

x x
B

x x x x



  

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:

1 2
1. 2 1

S x x m

P x x m

  




  



Theo đề bài ta có:













1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 1 3

2 2 2 1

2 1 2 2 2

m

x x x x m

B

x x x x x x m m

  

   

      

Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:









2 2

2 2 1 1

2 2

m m m m

B

m m

    

  

 

Vì









2
2

1 0 0 1

2
m
m B
m

     


Vậy maxB = 1  m = 1

Với cách thêm, bớt khác ta lại có:

















2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 4 4 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

        

   

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vì













2
2
2
2 1

2 0 0

2
2 2
m
m B
m

     

. Vậy
1
min 2
2

B  m

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ

tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với mọi
m.

2
2

2 1

2 2 1 0

m

B Bm m B

m



     

 (với ẩn là m và B là tham số) (*)

Ta có:   1 B B



2 1



 1 2B2B

Để phương trình trên (*) ln có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
Hay 1 2 B2B 0 2B2 B  1 0



2B1

 

B1



0

2 1 0 2

1 0 1 1

1
2

2 1 0 1

2
1 0
1
B
B
B B
B
B
B
B
B
 




   


 
   
 

      
   
 
 
 
 
 

  


Vậy: maxB 1 m1;

min 2

B  m
Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .

Tìm m để biểu thức A



x1 x2



2 có giá trị nhỏ nhất.

2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x
1 và

x2 thỏa mãn điều kiện

2 2
1 2 10

x x  có giá trị nhỏ nhất.

3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2

nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :

a/ A x 1x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B x 12x22 x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m

để biểu thức C x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức

2 2
1 2

D x x đạt giá trị nhỏ nhất.

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

1. Mục đích thực nghiệm:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

trình bậc hai một ẩn ; tìm hai số biết tổng và tích của chúng ; tính
giá trị của các biểu thức nghiệm…

- Tìm hiểu ý thức tự học ở học sinh, giúp học sinh thấy được sự
cần thiết phải tham khảo thêm tài liệu, sách tham khảo,…

- Giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài toán bậc hai, nhất là trong
các kỳ thi tuyển.

2. Nội dung thực nghiệm:

Tiết dạy thực nghiệm 1:

§6.

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I. MỤC TIÊU:

Giúp học sinh nắm vững hệ thức Vi-ét.

Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp
a+b+c=0; a – b + c = 0 hoặc trường hợp tổng và tích hai nghiệm là

những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn.

- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
II. CHUẨN BỊ:

 GV: Giáo án, SGK, Bài tập in ở phiếu học tập để phát cho học sinh.

 HS: MTBT, Bài soạn, bảng nhĩn, bảng con.

III. TIẾN HÀNH:

A. Ổn định lớp , kiểm tra sĩ số HS:

B. Kieåm tra bài cũ:

HS1: Giải các phương trình sau:
a/ 2x2 -5x + 3 = 0

b/ 3x2 + 7x + 4 = 0

HS2: Tìm tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình: 35x2 - 37x + 2 =

Gi

ải:   





2 4.35.2 1089 0 

Suy ra: phương trình có hai nghiệm: 1 2

37 1089 37 1089 2

2.35 2.35 35

x    x   

Vậy:

1 2

2 37

1 ;

35 35

2 2

. 1.

35 35

S x x
P x x

    

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

GV: gọi HS nhận xét bài làm của các bạn.

GV: Bài làm của bạn đúng rồi nhưng còn có cách khác nhanh hơn, bạn
nào biết làm cách nhanh hơn khơng?

HS: lên làm (hoặc khơng có ai lên)

GV: Cả hai bài làm trên đều có thể nhẩm nghiệm x1 ; x2 mà khơng cần

tính . Hơn nữa, ta cịn có thể tính tổng S và tích P hai nghiệm của phương

trình mà khơng cần tìm nghiệm của phương trình đó. Tất cả các em sẽ

biết sau khi ta học bài này.

GV: Giới thiệu về nhà toán học Vi_ét, người đã phát hiện ra mối quan hệ
giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai, nay dược phát
biểu thành 1 định lý mang tên ông. Hôm nay ta sẽ học định lý Vi-ét và
vận dụng nó vào giải bài tập.

C. Nội dung bài mới

Hoạt động GV: Hoạt động học sinh Nội dung:

 Hoạt động1: Đi đến hệ thức Vi-ét: (12’)

Cho phương trình:

ax2 +bx +c = 0 (a 0)

Nêu công thức nghiệm
tổng quát khi  > 0.

?1: Yêu cầu học sinh hoạt
động cá nhân theo phân
công 2 học sinh làm bài
tại bảng.

?Vaäy nếu phương trình

bậc hai ax2 +bx +c = 0 (a

0) coù hai nghiệm phân
biệt, ta có điều gì?

 Định lý Vi-ét

- Hệ thức trên thể hiện

x1=−b+√Δ
2a
x2=− b −√Δ

2a
-HS1:

1 2 2 2

b b

x x
a a
     
  

2
2
b
a



b
a


-HS2:



 



1. 2 2

b b
x x
a
     










2
2

4
b
a
  






2 2
2
4
4

b b ac

a
 


c
a

Hs trả lời.

1. Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình:

ax2 +bx +c = 0 (a 0)

khi >0 ta có:

1 2
2 2
b b
x x
a a
     
  

2
2
b
a



b
a





 



1. 2

2
b b
x x
a
     










2
2
4
b
a
  






2 2
2
4
4

b b ac

a
 


c
a

Định lý:

Neáu x1, x2 là hai

nghiệm của phương trình

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

mối liên hệ giữa các
nghiệm và các hệ số của
phương trình.

?Hãy xét xem nếu phương
trình có nghiệm kép thì
cơng thức trên cịn đúng
khơng?

? Từ nay nếu gặp yêu cầu
như BT ở KTBC thì các em
có làm cách đó khơng?

GV gọi 2 Hs lên làm 2 câu
bài tập

Hs trả lời: nếu phương
trình có nghiệm kép thì
cơng thức trên vẫn đúng.

-khơng cần làm cách đó
vì theo Định lý Vi-ét ta
có:

1 2

37
35

1
.

b
x x

a
c
x x

a




  





  




Hs hoạt động cá nhân
trả lời

a/ x1 +x2 = 9/2

x1.x2 = 1

b/ x1 +x2 = 2

x1.x2 = 1/3

{

x1+x2=−b

a

x1.x2=c

a

Bài tập:

Cho phương trình:
a/ 2x2 – 9x +2 = 0

b/ -3x2 + 6x -1 = 0

Biết rằng hai phương trình
trên có nghiệm, hãy tính
tổng và tích các nghiệm
của chúng?

 Hoạt động2: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của pt bậc hai: (10’)

-Nhờ định lý Vi-et nếu đã
biết một nghiệm của
phương trình bậc hai, ta có
thể suy ra nghiệm kia.
-Chia cho HS hoạt động
nhĩm theo tổ làm ?2 ; ?3:

(sgk/51)

- nhận xét bài làm của các
tổ và hỏi thêm:

-các em có nhận xét gì sau
hai bài tập trên khơng?

-Hoạt động nhóm thực
hiện - tổ 1 và tổ 3 làm ?
2

- tổ 2 và tổ 4 làm ?3

-treo bảng nhóm cùng

nhau nhận xét
-HS trả lời

?2: a/ a = 2; b =-5; c = 3
b/ Thay x = 1 vào phương
trình:

2.12 -5.1+3 = 0

 x = 1 laø một nghiệm
của phương trình.

c/Theo Viét x1.x2 = c/a;

x1= 1 x2 = c/a = 3/2

?3: Tương tự

 Tổng qt:

* Nếu phương trình:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

-GV HD HS đi đến tổng
quát

-Gọi 2 HS lên bảng làm ?4
và 1 HS lên tìm nghiệm của
pt ở phần KTBC

- GV gọi 4HS lên bảng làm

bài tập 26

-Hs hoạt động cá nhân ?
4

-HS1: làm câu a

-HS2: : làm câu b

-HS3: pt: 35x2 - 37x + 2

= 0

Ta có a + b + c = 0 
x1=1; x2= 2/35

- 4HS lên bảng làm, cịn
lại làm vào vở.

có a + b + c = 0 thì phương
trình có một nghiệm x1 =

1, còn nghiệm kia x2 =

c
a

* Nếu phương trình:

ax2 +bx +c = 0 (a 0)

coù a - b + c = 0 thì phương
trình có một nghiệm x1=-1

còn nghiệm kia x2 = - ca

a/ Ta có: a + b + c =

-5+3+2= 0  x1=1; x2=
-2/5

b/ Ta có: a-

b+c=2004-005+1=0  x1= -1; x2 =
-1/2004

 Hoạt động 3: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của

chúng: (12’)

-Giả sử 2 số cần tìm có:
tổng S= x1 + x2 và tích

P=x1.x2

- Tìm hai số x1, x2 như thế

nào?

-u cầu học sinh nghiên
cứu Ví dụ 1 SGK trang 52
- Gọi một số là x, hãy tìm
số kia theo S và x?

- Hãy lập phương trình dựa
vào tích P

-Nếu  S2 4P0thì pt có

nghiệm, các nghiệm chính

-Đọc ví dụ SGK tr 52.

-Một số là x,
số kia là S–x

P= x.(S-x)

2
2

P S x x
x Sx P

  

   

2.Tìm hai số biết tổng và

tích của chúng:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

là 2 số cần tìm.

?5 SGK tr 52:

Ví dụ 2 SGK trang 52
Bài 28a SGK tr 52:
u+v= 32; u.v= 231
Tìm u và v

Laøm ?5 vaøo phim.
- đĐọc kỹ VD 2 ở SGK.

Hs hoạt động cá nhân
bài tập 28 tại bảng +
phim.

X2 – SX + P = 0

Điều kiện để có hai số là

S2 – 4P 0

D. Cuûng cố:2 phút

- Nhắc lại hệ thức Viét, cơng thức nhẩm nghiệm.
- Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

E. Dặn dò về nhà: 2 phút

- Về nhà học thuộc hệ thức Vi ét và xem lại các ứng dụng đã học.
- làm bt 27; 29 ; 32 trang 54 sgk

- Chuẩn bị các bài tập 30,31, 33 trang 54 sgk

GV: Ngoài các ứng dụng đã học, ta cịn các ứng dụng:

 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.

 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.

 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

GV: về nhà các em nên đọc sách tham khảo để biết cách giải các bài toán bậc

hai cĩ ứng dụng hệ thức Viét, cơ cụng sẽ chọn một số bài hướng dẫn các em
làm ở tiết học bồi dưỡng, nâng cao kiến thức.

Trịnh Hoài Đức, ngày 13 tháng 9 năm 2010

Chữ ký Ban Giám Hiệu: Người dạy:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tiết dạy thực nghiệm 2:

ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ

CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

I. MỤC TIÊU:

 Giúp học sinh biết vận dụng được ứng dụng của hệ thức Vi-ét để tính
giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

- Biến đổi để làm xuất hiện tổng và tích 2 nghiệm.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét thay giá trị vào để tính.

 Biết làm các bài tập tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

II. CHUẨN BỊ:

 GV: Giáo án, SGK, Bài tập in ở phiếu học tập để phát cho học sinh.

 HS: MTBT, Bài soạn, bảng nhĩn, bảng con.

III. TIẾN HÀNH:

A. Ổn định lớp , kiểm tra sĩ số HS:

B. Kiểm tra bài cũ:

HS1: Hãy phát biểu định lí Vi ét. Và làm bài tập :

Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ x2 +7x + 10 = 0

b/ x2 - 49x - 50 = 0

c/ (m-1)x2 – (2m+3)x +m+4 = 0 với m≠1

GV: gọi HS nhận xét và sửa cho đúng.

C. Nội dung bài mới:

GV: Ở bài học hệ thức Vi-ét và ứng dụng, ta đã được học định lí Vi-ét
và ứng dụng vào các dạng bài tốn :

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp
a+b+c=0; a – b + c = 0 hoặc trường hợp tổng và tích hai nghiệm là
những số nguyên với giá trị tuyệt đối không q lớn.

- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.

Ngồi ra , ta cịn cĩ thể ứng dụng hệ thức Vi-étvào giải các dạng tốn khác

nhö:

 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.

 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa

nghiệm.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Hơm nay, ta sẽ tìm cách giải một số bài tốn dạng tính giá trị của biểu thức
nghiệm của phương trình:

Hoạt động GV: Hoạt động học sinh

 Hoạt động 1: Biến đổi để làm xuất hiện tổng và tích 2 nghiệm

VD1: a/





2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2
x x  x  x x x  x x

(x1x2)2 2x x1 2

GV hướng dẫn HS cách thêm bớt
1 2

2x x để có hằng đẳng thức thứ 
nhất.

GV gọi HS lên làm câu b/, c/, d/

VD2: x1 x2 ?

GV: em nào biến đổi được biểu
thức x1 x2 ?

GV: gọi 1 HS lên khai triển hằng
đẳng thức



x1 x2



2 ?

GV: Hãy biến đổi, thêm bớt như
VD 1 để làm xuất hiện x1x2, x x1. 2
?

GV: chia HS thành nhóm làm 2
câu

HS1: làm câu b/

x13x23 



x1x2





x12 x x1 2x22





 



1 2 1 2 3 1 2
x x  x x x x 

   

 

HS2: làm câu c/

  







4 4 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2

x x  x  x  x x  x x





2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 2

x x x x x x

 

   

 

HS3: làm câu d/

2 1 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 x x x x

x x x x x x

 

  

HS lên khai triển hằng đẳng thức



x1 x2



2 ?





2 2 2

1 2 1 2 1 2 2
x  x x  x x x

HS làm



x1 x2



2 x12 2x x1 2x22





x122x x1 2x22



 4x x1 2





1 2 4 1 2

x x x x

  





1 2 1 2 4 1 2

x x x x x x

    

- Nhóm 1 và nhóm 3 làm:
a/ x12 x22 ?



 



2 2

1 2 1 2 1 2 ...

x  x  x  x x x 

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>









3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

x  x  x  x x x x x



 



1 2 1 2 1 2 ...
x x  x x x x 

    

 

 Hoạt động 2: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm:

VD3: Cho pt: x2-8x+15 = 0, Khơng

giải phương trình, hãy tính:
a/ x12x22

b/ 1 2

1 1

x x

GV: theo hệ thức Vi ét ta có diều
gì?

GV: hướng dẫn HS biến đổi, thêm
bớt để làm xuất hiện x1x2, x x1. 2
rồi áp dụng Hệ thức Vi ét để tính.
GV: gọi 2 HS lên bảng

VD 4: Cho phương trình:

x2 - 4 3x + 8 = 0 có 2 nghiệm x
1,

x2 . Khơng giải phương trình, hãy

tính:

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

Q

x x x x

 





GV cho HS hoạt động nhóm làm

GV: gọi HS đại diện nhóm lên trình

bày

GV nhận xét và sửa lại cho đúng.

HS: Theo hệ thức VI_ÉT

Ta có:

1 2
1 2

8
. 15

S x x
P x x

  




 


HS1: làm câu a/









2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2
x x  x  x x x  x x  x x  x x
82 2.15 34

HS2: làm câu b/

1 2
1 2 1 2

1 1 8

x x
x x x x



  

HS hoạt động nhóm làm VD4

1 HS lên trình bày:
Theo hệ thức VI_ÉT

Ta có:

1 2
1 2

4 3

. 8

S x x
P x x

   


 



Ta lại có:

2 2

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

Q

x x x x

 











1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

6 2

5 2

x x x x

x x x x x x

 

   
 









2
2

6. 4 3 2.8 17
80
5.8 4 3 2.8



 

  

 

 

Các nhóm nhận xét

D. Củng cố:2 phút

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

- Cách giải một số bài toán dạng tính giá trị của biểu thức nghiệm của
phương trình:

+ Biến đổi để làm xuất hiện tổng và tích 2 nghiệm.

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét thay giá trị vào để tính.
E. Dặn dò về nhà: 2 phút

- Về nhà ôn lại hệ thức Vi-ét và xem lại các ứng dụng đã học.
- Làm các bài tập sau:

1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:





2
2 2
1 2
x x

(Đáp án: 46)
b/

1 2
2 1
x x

x  x (Đáp án:

34
15)

2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, hãy

tính:

a/ x12x22 (Đáp án: 65)

b/ 1 2

1 1

x x (Đáp án:

9
8)

3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Khơng giải phương trình, hãy

tính:

a/ x12x22 (Đáp án: 138)
b/ 1 2

1 1

x x (Đáp án:

14
29)

4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:

a/ x12x22 (Đáp án: 1)
b/

1 2

2 1 1 1

x x

x  x  (Đáp án:

5
6)

c/ 1 2

1 1

x x (Đáp án: 3)

1 2

1 x 1 x

x x

 



(Đáp án: 1)

6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x
1, x2

(x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức :

3 3

1 2 1 2

P x x  x x theo m.

Trịnh Hoài Đức, ngày 16 tháng 9 năm 2010

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

3. Kết quả thực nghiệm:

Trước và sau khi dạy hai tiết dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát 20
học sinh với 5 câu hỏi và đã thu được kết quả như sau:

Câu

hỏi Nội dung

Kết quả thống kê

Trước khi dạy tiết
thực nghiệm 2

Sau khi dạy tiết
thực nghiệm 2

Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
1 thức không ?Em có muốn nâng cao kiến 16 HS 80% 19 HS 95%

2

Em thích các bài tốn bậc
hai có ứng dụng hệ thức
Vi-ét không?

17 HS 85% 19 HS 95%

3

Em có thích đọc nhiều sách
tham khảo nội dung tốn
khơng ?

10 HS 50% 17 HS 85%

4

Em hãy đọc lại định lý
Vi-ét và nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:

a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0

b/ x2 + 7x + 12 = 0

15 HS 75% 18 HS 990%

5

Cho phương trình:

x2 – 3x + m = 0, với m là

tham số, có hai nghiệm x1,

x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu

thức P x x 13 2 x x1 23 theo m.

11 HS 55% 18 HS 80%

PHẦN III: KẾT LUẬN

1. Kết luận:

Qua tìm hiểu, trị chuyện với học sinh, tơi nhận thấy đa số các em đã nhận
thức được tầm quan trọng của việc học ở phổ thơng chính là địn bẩy đưa các
em đến tương lai tươi đẹp.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học
ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…

Mong rằng đề tài này : “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn bậc
hai” góp phần giúp các em thêm kiến thức , biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào
giải các bài toán bậc hai để các em thêm tự tin trong các kỳ thi tuyển.

Chắc hẳn trong đề tài này : “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tốn
bậc hai”, tơi cịn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của q thầy, cơ giáo
và các em học sinh.

2. Kiến nghị:

- Hiện nay các trường phổ thông chú trọng nhiều việc phụ đạo học
sinh yếu, kém nhưng chưa quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến
thức cho học sinh khá, giỏi các khối lớp 6; 7; 8. Nên có chương
trình dạy mở rộng và nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi
các khối lớp 6; 7; 8.

- Nên có chương trình hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham
khảo tất cả các môn học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Tuyển tập các bài toán hay và khó _Đại số 9 của nhà xuất
bản đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả:
Phan Văn Đức-Nguyễn Hồng Khanh-Lê Văn Thường).
2. Sách giáo khoa Tốn 9 _ Tập 2.

3. Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2.
4. Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2.

5. Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 của nhà
xuất bản giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc
Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc).

6. Các đề thi tuyển học sinh giỏi các cấp của tỉnh Đồng Nai,

tỉnh Bình Thuận và các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng
năm.

7. Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào 10 của tỉnh Đồng Nai, tỉnh
Bình Thuận.

8. Tài liệu ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn của Nhà
xuất bản giáo dục Việt Nam.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37></div>

SKKN Ung dung he thuc viet

MỤC LỤC

<b>PHẦN I: MỞ ĐẦU</b>

<b>PHẦN II: NỘI DUNG</b>

<b>Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề</b>

<b>tài</b>

<b>Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp</b>

<b>học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:</b>



 









































































 



   



























 













 





 



   



 





