vSKKN2008- 2009 Ung dung he thuc Vi et.doc

Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và phát triển trí
tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học là nội dung
của việc đổi mới phơng pháp dạy học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức
đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh
THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải một số bài
toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến
thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã
tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập các em đợc rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy
tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả năng
phán đoán, suy luận của học sinh.
b) Cơ sở thực tiễn:
Các bài toán úng dụng hệ thức Vi ét có một vị trí quan trọng trong chơng trình dạy học
toán THCS. Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh: Nhẩm nghiệm của phơng
trình bậc hai trong các trờng hợp
a + b + c = 0
;
a - b + c = 0
, hoặc các trờng hợp mà tổng và tích của
hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn. Tìm đợc hai số biết tổng và
tích của chúng. Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các hệ
số của phơng trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên
quan.
Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phơng phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận
dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy
bén, giúp học sinh phát triển t duy.
Những ứng dụng của hệ thức Vi ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng

gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt
đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đợc giá trị của
tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo
dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một
công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng nh
trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh lớp 9 tôi rất
quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời
gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
Những ứng dụng của hệ thức Vi et
2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
a, Đối t ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9
b, Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao.
- các đề thi vào các trờng THPT, các chuyên đề đại số.
PHần II - giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết:
1) Hệ thức Vi ét:
- Nếu
1
x
;
2
x
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai :
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0

thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=


- Nếu phơng trình bậc ba:
3 2
ax + bx + cx + d = 0

( )
a 0
có 3 nghiệm là
1
x
;
2

x
;
3
x

1
thì
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
.
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a

+ + =



+ + =



=

( )
I
Và ngợc lại nếu 3 số
1
x
;
2
x
;
3
x
là thỏa mãn hệ thức
( )
I
thì
1
x
;
2
x
;
3
x
là nghiệm của phơng
trình bậc ba
3 2
ax + bx + cx + d = 0

( )
a 0
+) Hệ quả 1: Nếu phơng trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
có a + b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
.
+) Hệ quả 2: Nếu phơng trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
có a - b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là
2
c
x

a
=
.
+) Hệ quả 3: Nếu phơng trình
( )
3 2
ax + bx +cx + d = 0 a 0
có nghiệm
0
x

thì phơng trình phân tich đợc thành
( )
( )
2
0
x-x . Ax +Bx + C = 0

+) Có nghiệm
1x =
nếu
0a b c d+ + + =

+) Có nghiệm
1x
=
nếu
0a b c d
+ =

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S vả tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng
trình bậc hai:
2
x - Sx + P = 0
Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phơng trình:
( ) ( )
x - u . x - v = 0


( )
2
x - u+v x + u.v = 0


2
x - Sx + P = 0
Nh vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình
bậc hai. Điều kiện để có hai số là:
2
S - 4P 0


3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng
y mx n
= +
( )
0m
( )
d

và đồ thị hàm số
2
y ax=
( )
0a
( )
P
- Số giao điểm của đờng thẳng
y mx n= +
( )
0m
và đồ thị hàm số
2
y ax=
( )
0a

là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

-
( )
d
cắt

( )
P
tại 2 điểm phân biệt

phơng trình
2
0ax mx n =
có 2 nghiệm phân biệt
-
( )
d
tiếp xúc với
( )
P
tại 1 điểm

phơng trình
2
0ax mx n =
có 1 nghiệm kép.
-
( )
d
không cắt
( )
P
(không có điểm chung)

phơng trình
2

0ax mx n =
vô
nghiệm.
Chú ý: Số nguyên lớn nhất không vợt quá x là phần nguyên của x ký hiệu là
[ ]
x
.
Ví dụ: Cho b = 2,134


[ ]
2b =
; a = - 2,7544


[ ]
3a =
4. Khái niệm về giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất:
Cho hàm số
( )f x
xác định trên miền D
1) m đợc gọi là một giá trị lớn nhất
( )
GTLN
của
( )f x
trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện
sau đây:
a,
( )f x m

với
x
D
b,

x
0

D sao cho
0
( )f x m=
; Kí hiệu m = max
( )f x
,
x
D
2
2) m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất
( )
GTNN
của
( )f x
trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện
sau đây:
a,
( )f x m
với

x
D

b,

x
0

D sao cho
0
( )f x m=
; Kí hiệu m = min
( )f x
,

x
D
Với x
2


0


[ ]
)(xf
2n

0 với

x
R, n

Z



[ ]
)(xf
2n
+ M


M (M là giá trị nhỏ nhất)

Hoặc M -
[ ]
)(xf
2n




M (M là giá trị lớn nhất)
*Hệ quả:
- Nếu x > 0, y > 0 và
2
x.y = k
(không đổi) thì tổng x + y đạt GTNN

x = y
- Nếu x > 0, y > 0 và
2

x + y = k
(không đổi) thì tích x.y đạt GTLN

x = y
B. một số ví dụ về những ứng dụng của hệ thức Vi- ét
I. Dạng I: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
khi biết các hệ số a; b; c.
Hệ quả 1: Nếu phơng trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
có a + b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là x
2
=
c
a
.
Hệ quả 2: Nếu phơng trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
có a - b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm x

1
= - 1 còn nghiệm kia là x
2
= -
c
a
.
Hệ quả 3: Nếu phơng trình
( )
3 2
ax + bx +cx + d = 0 a 0
có nghiệm
0
x

thì phơng trình phân tich đợc thành
( )
( )
2
0
x-x . Ax +Bx + C = 0

+) Có nghiệm
1x
=
nếu
0a b c d
+ + + =

+) Có nghiệm

1x =
nếu
0a b c d + =

1. Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 - Trang 54)
a)
2
- 5x + 3x + 2 = 0
b)
2
2008x + 2009 x + 1 = 0
c)
( )
2
3x - 1 - 3 x - 1 = 0
d)
( ) ( )
2
m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0
H ớng dẫn cách giải:
- Muốn giải phơng trình trên ta làm nh thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phơng trình này
- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của ph-
ơng trình bậc hai
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0
có
a + b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm

1
1x =
còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
hoặc
a - b + c = 0
thì phơng trình có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm
kia là
2
c
x
a
=
.
- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm của phơng trình
bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau:
Giải:
a) - 5x
2
+ 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)
Vì a + b + c =
( )
5

+ 3 + 2 = 0

phơng trình có hai nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
2
5

.
3
b)
2
2008x + 2009 x + 1 = 0
(a = 2008; b = 2009; c = 1)
Vì
a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0

phơng trình có hai nghiệm là:
1
1x =
;
2
1
2008
x =
.
c)
( )

2
3x - 1 - 3 x - 1 = 0

( )
{ }
3; b = - 1 - 3 ; c = - 1a =
Vì
( )
( )
3- - 1 - 3 + - 1 0a b c

+ = =




phơng trình có hai nghiệm là:
1
1x =
;
2
1 1
3 3
x

= =
ữ

d)
( ) ( )

2
m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0

( ) ( )
( )
m - 1 ;b = - 2m + 3 ; c = m + 4a =
Vì
( ) ( ) ( )
a - b + c = m - 1 - - 2m + 3 + m + 4 = 0


phơng trình có hai nghiệm là:
1
1x =
;
2
1 1
4 4
m m
x
m m

= =
+ +
.
Sau khi tính đợc nghiệm của phơng trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi
Casio giải phơng trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm đợc ở phần a và b.
Kết luận:
-
Khi giải một phơng trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi et để tính nhẩm nghiệm

của phơng trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm đợc nghiệm của phơng trình thì ta mới dùng
công thức nghiệm để giải.
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi et và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm
của phơng trình.
Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán nh sau:
2. Ví dụ 2: Giải phơng trình
a)
3 2
5x - 6x + 8x - 7 = 0
b)
3 2
4x +2x + 8x +10 = 0
H ớng dẫn cách giải:
Hãy vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc ba

( )
3 2
ax + bx +cx + d = 0 a 0

+) Có nghiệm
1x
=
nếu
0a b c d
+ + + =

+) Có nghiệm
1x =
nếu
0a b c d + =

- Khi đó các em trình bày lời giải nh sau:
Giải:
a)
3 2
5x - 6x + 8x - 7 = 0
có tổng các hệ số
a + b + c + d = 5 - 6 + 8 - 7 = 0

nên phơng trình có nghiệm
1x =
khi đó phơng trình
3 2
5x - 6x + 8x - 7 = 0



( ) ( )
( )
3 2 2
5x - 5x - x - x + 7x - 7 = 0


( ) ( ) ( )
2
5x . x - 1 - x. x - 1 + 7. x - 1 = 0


( )
( )

2
x - 1 . 5x - x + 7 = 0


2
x - 1 = 0
5x - x + 7= 0




( )
( )
1
2

+) Giải phơng trình
( )
1

x - 1= 0 x =1
+) Giải phơng trình
( )
2

2
5x - x + 7 = 0

Ta có
( )

2
1 4.5.7 1 140 141 0 141 = = + = > =

phơng trình
( )
2
có 2 nghiệm
( )
1
1 141
1 141
2.1 2
x
+
+
= =
;
( )
2
1 141
1 141
2.1 2
x


= =
Vậy phơng trình có 3 nghiệm
1
1 141
2

x
+
=
;
2
1 141
2
x

=
;
3
1x =
b)
3 2
4x +2x + 8x +10 = 0
có
a - b + c - d = 4 - 2 + 8 - 10 = 0

4
nên phơng trình có nghiệm
1x
=
khi đó phơng trình
3 2
4x +2x + 8x +10 = 0


( ) ( )
( )

3 2 2
4x + 4x - 2x +2 x + 10x +10 = 0

( ) ( ) ( )
2
4x . x + 1 - 2x. x + 1 + 10. x + 1 = 0


( )
( )
2
x + 1 4x - 2 x + 10 = 0


2
x - 1 = 0
4x - 2 x + 10 = 0




( )
( )
1
2

+) Giải phơng trình
( )
1

x + 1 = 0 x = - 1

+) Giải phơng trình
( )
2

2
4x - 2 x + 10 = 0

Ta có
( )
2
2 4.4.10 4 160 164 0 164 2 41 = = + = > = =

phơng trình
( )
2
có 2 nghiệm
( )
1
2 41
2 2 41 1 41
2.4 8 4
x
+
+ +
= = =

( )
2

2 41
2 2 41 1 41
2.4 8 4
x


= = =
Vậy phơng trình có 3 nghiệm
1
1 41
4
x
+
=
;
2
1 41
4
x

=
;
3
1x =
Nh vậy:
- Qua 2 ví dụ trên tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ
thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai và phơng trình bậc ba một ẩn.
- Chú ý trong quá trình giải phơng trình chúng ta nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để
nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai bậc ba một ẩn.
3. Ví dụ 3: Giải phơng trình

( )
( )
4 2
x + x +1 5x - 6x - 6 = 0
Giải:
Nhận thây
x = - 1
không là nghiệm của phơng trình nên ta chia 2 vế của phơng trình cho
( )
2
x +1
ta đợc phơng trình:
2
2 2
x x
5. 6 0
x +1 x +1

+ =
ữ ữ

Đặt
2
x
x +1
y =
ta dợc phơng trình
2
y 5y 6 0+ =

bằng phơng pháp nhẩm nghiệm ta tính đợc
1
1y =
và
2
6y =
+) Với
1
1y =



2
x
1
x +1
=



( )
2
x 1. 1x= +


2
x 1 0x =

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm
1

1 5
2
x
+
=
;
2
1 5
2
x

=
+) Với
2
6y =



2
x
6
x +1
=



( )
2
x 6 1x= +

2
x 6 6 0x+ + =

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm
3
3 3x = +
;
4
3 3x =
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm
1
1 5
2
x
+
=
;
2
1 5
2
x

=
;
3
3 3x = +
;
4
3 3x =

Qua ví dụ 3 tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải phơng trình bằng cách vận dụng hệ thức Vi
- ét vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn và hớng dẫn cách biến đổi linh hoạt
(đặt ẩn phụ) để đa phơng trình bậc 4 về phơng trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm đợc
qua đó các em đợc rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng
phân tích, dự đoán. . .
Phơng pháp chung:
5
- Vận dụng các hệ quả của hệ thức Vi ét để tính nhẩm các nghiệm của phơng trình bậc hai,
bậc ba. Hoặc các phơng trình đa đợc về dạng cơ bản để tinh nhẩm nghiệm.
II. Dạng II: ứng dụng của hệ thức Vi et vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của
chúng:
Nếu hai số u và v có tổng
u + v = S
và tích
u.v = P
thì hai số u và v là hai nghiệm của
phơng trình bậc hai:
2
x - Sx + P = 0
( SGK Toán 9 - Trang 52)
Điều kiện để có hai số là:
2
S - 4P 0


1. Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
H ớng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
Tức là ta cần tìm 2 số
1

x
và
2
x
biết
1 2
1 2
27
. 180
x x
x x
+ =


=

. Nếu áp dụng hệ thức Vi et đảo thì
1
x
và
2
x

là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai
2
x - 27x + 180 = 0
ta có lời giải nh sau:
Giải:
a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180
Nên 2 số là nghiệm của phơng trình:

2
x - 27x + 180 = 0

Ta có:
2
= 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0



9 3 = =



phơng trình có 2 nghiệm
1
27 3
15
2
x
+
= =
;
2
27 3
12
2
x

= =
Vậy không có hai số cần tìm là 15 và 12.

b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phơng trình:

2
x - x + 5 = 0

Ta có:
( )
2
= -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0


phơng trình trên vô nghiệm
Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài.
Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:
2. Ví dụ 2:
a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m
2
b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm
2
H ớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?
- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? .
( )
2. 100
. 621
a b
a b

+ =

ữ

ữ
=



.
- Vậy
50
. 621
a b
a b
+ =


=

thì a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai nào? (
2
x - 50x + 621 = 0
)
Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phơng trình:
( )
2. 100
. 621
a b
a b
+ =

=



50
. 621
a b
a b
+ =


=


Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
x - 50x + 621 = 0



phơng trình có 2 nghiệm
1
27x =
;
2
23x =
Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m).
b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phơng trình

( )
2. 20
. 32
a b
a b
+ =


=





10
. 32
a b
a b
+ =


=


Nên a và b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
x - 10x + 32 = 0

Ta có:
( )

2
' 5 1.32 7 0 = = <

phơng trình vô nghiệm
Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm
2
.
Kết luận: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi et để đa về
dạng phơng trình bậc hai một ẩn rồi giải.
III. Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phơng trình đối xứng.
6
1. Khái niệm hệ ph ơng trình đối xứng:
Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phơng trình
không thay đổi.
Ví dụ: Phơng trình đối xứng
11x y xy+ + =



11y x yx+ + =

2 2
25x y+ =



2 2
25y x+ =

Một hệ phơng trình đợc gọi là hệ đối xứng loại I nếu nó gồm những phơng trình đối xứng.

Ví dụ: Hệ phơng trình đối xứng loại I:
2 2
2 2
25
13
x y
x y xy

+ =


+ =




2 2
2 2
25
13
y x
y x yx

+ =


+ =


2. Cách giải hệ ph ơng trình đối xứng loại I.

+) Biểu diễn từng phơng trình qua
x y+
;
xy

+) Đặt
S x y= +
;
P xy=
ta đợc hệ phơng trình mới chứa các ẩn S và P
+) Giải hệ phơng trình tìm S và P
+) Các số x và y là nghiệm của phơng trình
2
0t St P + =
(Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm
2 số khi biết tổng và tích của chúng)
(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phơng trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn
2
S 4 0P
)
Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phơng trình theo tham số t từ đó suy ra
nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình
a)
( )
( )
5 2 19
3 35
x y xy
x y xy

+ + =


+ + =


b)
2 2
7
5
x xy y
x y

+ =

+ =

c)
2 2
18
12
x y
y x
x y

+ =



+ =

d)
( )
3 3
7
2
x y
x y xy

+ =


+ =


H ớng dẫn cách giải:
- Em có nhận xét gì về hệ phơng trình
( )
( )
5 2 19
3 35
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


- Muốn giải hệ phơng trình trên ta làm nh thế nào ?

(GV nêu cách làm bằng cách đặt ẩn phụ
S x y= +
và
.P x y=
khi đó các em thảo luận và trình
bày lời giải nh sau)
Giải:
a)
( )
( )
5 2 19
3 35
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


Đặt
S x y= +
và
.P x y=
ta có hệ phơng trình


5 2 19
3 35
S P

S P
+ =


+ =



15 6 57
2 6 70
S P
S P
+ =


+ =



13 13
3 35
S
S P
=


+ =

1
1 3 35
S
P
=


+ =


1
12
S
P
=


=



1
. 12
x y
x y
+ =


=

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
12 0X X =
giải
phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là
1
4X =
và
2
3X =
.
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
4; 3
và
( )
3; 4
.
- Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số (không đặt
ẩn
phụ) ta cũng tính đợc
1
. 12
x y
x y
+ =


=

từ đó áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ phơng trình tìm x; y.
b)
2 2
7
5
x xy y
x y

+ =

+ =




( )
2 2
2 3 7
5
x xy y xy
x y

+ + =


+ =



7

( )
2
3 7
5
x y xy
x y

+ =


+ =





2
5 3 7
5
xy
x y

=

+ =

6
5
xy
x y
=


+ =


Theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
5 6 0X X + =

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là
1
3X =
và
2
2X =
.
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
3; 2
và
( )
2;3
.
c)

2 2
18
12
x y
y x
x y

+ =



+ =




3 3
18
12
x y xy
x y

+ =

+ =




( ) ( )

3
3 18
12
x y xy x y xy
x y

+ + =


+ =






3
12 3 .12 18
12
xy xy
x y

=

+ =




54 1728

12
xy
x y
=


+ =




32
12
xy
x y
=


+ =


theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
12 32 0t t + =

Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm là
1
4t =
và
2

8t =
.
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
4;8
và
( )
8;4
.
d)
( )
3 3
7
2
x y
x y xy

+ =


+ =





( ) ( )
( )
3
3 7

2
x y xy x y
x y xy

+ + =


+ =




( ) ( )
( )
3
3. 2 7
2
x y
x y xy

+ =


+ =




1
2

x y
xy
+ =


=

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
2 0t t =
(1)
vì
( ) ( )
a - b + c = 1- -1 + -2 = 0
nên phơng trình (1) có nghiệm 2 là
1
1t =
và
2
2t =
.
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
1;2
và
( )
2; 1
.
Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm
x a

y b
=


=

thì nó cũng có nghiệm
x b
y a
=


=

Chúng ta cần lu ý điều này để không bỏ xót nghiệm của hệ phơng trình.
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình
a)
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

b)
4 4
2 2

17
3
x y
x y xy

+ =


+ + =


c)
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =

+ =


+ + =

d)
9
27

1 1 1
1
x y z
xy yz xz
x y z


+ + =


+ + =



+ + =


e)
( ) ( )
2 2
18
1 1 72
x x y y
x x y y

+ + + =


+ + =

H ớng dẫn cách giải:
- Muốn giải hệ phơng trình
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

ta làm nh thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là biến đổi hpt về dạng tổng và tích của x và y bằng cách đặt
S x y= +
và
.P x y=
ta có hệ pt
2
5
12 0
S P
S S
+ =


=

rồi giải hệ phơng trình này.

- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm của ph ơng
trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh sau:
Giải:
a)
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


( )
( )
2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =



+ =

( )
( ) ( )
2
5
5 7
xy x y
x y x y
= +



+ + =



8


( )
( ) ( )
2
5
12 0
xy x y
x y x y
= +



+ + =

Đặt
S x y= +
và
.P x y=
Ta có hệ phơng trình
2
5
12 0
S P
S S
+ =


=



5
3; 4
S P
S S
+ =


= =

+) Với S = 3

P = 2 ta có
3
2
x y
xy
+ =


=

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của
phơng trình bậc hai
2
3 2 0t t + =
(1)
vì
( )
a + b + c = 1+ -3 + 2= 0
nên phơng trình (1) có nghiệm 2 là
1
1t =
và
2
2t =
.
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
1;2
và
( )

2;1
.
+) Với S = 2

P = 3 ta có
2
3
x y
xy
+ =


=

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của
phơng trình bậc hai
2
2 3 0t t + =
(2)
Giải pt (2) ta có
( )
2
' 1 1.3 1 3 2 0 = = = <
nên phơng trình (2) vô nghiệm
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là
( )
1;2
và
( )
2;1

.
Tôi gợi ý đối với hpt này ta biến đổi vế trái của hpt thành tổng của
2 2
;x y xy+
khi đó ta có lời giải
nh sau:
b)
4 4
2 2
17
3
x y
x y xy

+ =


+ + =




( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 17

3
x y xy
x y xy

+ =


+ + =


Đặt
2 2
;S x y P xy= + =

Ta có hệ phơng trình
2 2
2 17
3
S P
S P

=

+ =




( )
2

2
2 3 17
3
S S
P S

=


=





( )
2 2
2. 9 6 17
3
S S S
P S

+ =


=

2 2
18 12 2 17
3
S S S
P S

+ =

=




2
12 35 0
3
S S
P S

+ =

=


( )
( )
1
2
Giải phơng trình

2
12 35 0S S + =

( )
1
ta đợc
1
7S =
;
2
5S =
+) Với
1
7S =


1
4P =
ta có
7
4
x y
xy
+ =


=

(I)
theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai

2
7 4 0t t =
(3)
Giải phơng trình (3) ta có
( ) ( )
2
7 4.1. 4 49 16 65 0 = = + = >
nên phơng trình (3) có 2
nghiệm phân biệt
( )
1
7 65
7 65
2.1 2
t
+
+
= =
;
( )
2
7 65
7 65
2.1 2
t


= =

hệ phơng trình (I) có 2 nghiệm là

7 65 7 65
;
2 2

+
ữ
ữ

và
7 65 7 65
;
2 2

+
ữ
ữ

.
+) Với
2
5S =


2
2P =
ta có
5
2
x y
xy

+ =


=


( )
II

theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phơng trình bậc hai
2
5 2 0t t =
(4)
Giải phơng trình (4) ta có
( ) ( )
2
7 4.1. 4 49 16 65 0 = = + = >
nên phơng trình (4) có 2 nghiệm
phân biệt
( )
3
5 33
5 33
2.1 2
t
+
+
= =
;
( )

4
5 33
5 33
2.1 2
t


= =
9

hệ phơng trình
( )
II
có 2 nghiệm là
5 33 5 33
;
2 2

+
ữ
ữ

và
5 33 5 33
;
2 2

+
ữ
ữ

.
Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm là:

7 65 7 65
;
2 2

+
ữ
ữ

;
7 65 7 65
;
2 2

+
ữ
ữ

;
5 33 5 33
;
2 2

+
ữ
ữ

và
5 33 5 33
;
2 2

+
ữ
ữ

.
c)
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =

+ =


+ + =




( ) ( )

2
6
7
2 14
x y z
xy yz xz
x y z xy yz xz

+ + =


+ =


+ + + + =





( )
2
6
7
6 2 14
x y z
xy yz xz
xy yz xz

+ + =

+ =


+ + =





6
7
11
x y z
xy yz xz
xy yz xz
+ + =


+ =


+ + =


( )
( )
( )
1
2

3



( )
6
7
9
x y z
xy yz xz
x z y

+ + =

+ =


+ =




( )
( )
6
7
9
x z y
xy yz xz
x z y

+ + =


+ =


+ =


( )
( )
( )
1
2
3
Từ
( )
1
;
( )
3
và áp dụng hệ thức Vi ét suy ra
( )
x + z ; y
là nghiệm của phơng trình bậc hai:

2
6 9 0t t+ + =

( )

2
3 0t =

3t =
khi đó hệ phơng trình trở thành hệ
3
2
3
y
xz
x z
=


=


+ =


( )
( )
( )
4
5
6
Từ
( )
5
;

( )
6
và hệ thức Vi - et suy ra
x ; z
là nghiệm của phơng trình bậc hai:

2
3 2 0m m + =
Giải phơng trình này
1
2;m =

2
1m =

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là
( )
1;3;2
;
( )
2;3;1
* Nhận xét: Bài toán giải hệ phơng trình ba ẩn bằng cách biến đổi thích hợp thì ta có thể đa bài
toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng (với số thứ nhất là
x + z
và số thứ hai là
xz
và tim đợc x và z nhờ áp dụng hệ thức Vi ét từ đó tìm đợc các nghiệm của hệ phơng trình.
d)
9
27

1 1 1
1
x y z
xy yz xz
x y z


+ + =


+ + =



+ + =



( )
( )
( )
1
2
3
H ớng dẫn cách giải: áp dụng hệ thức Vi et đối với phơng trình bậc ba:
3 2
ax + bx + cx + d = 0
có 3 nghiệm là
1
x

;
2
x
;
3
x
thì
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
.
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a

+ + =



+ + =



=

( )
I
và ngợc lại nếu 3 số
1
x
;
2
x
;
3
x
là thỏa mãn hệ thức
( )
I
thì
1
x
;
2
x
;
3
x
là nghiệm của ph-
ơng trình bậc ba
3 2
ax + bx + cx + d = 0

( )
a 0
khi đó ta có lời giải nh sau:
Giải:
- Nhận thấy
0; 0; 0x y z= = =
không phải là nghiệm của hệ phơng trình
- Với
0; 0; 0x y z
ta có : Nhân cả 2 vế của phơng trình
( )
3
với
xyz
ta đợc:
xy yz xz xyz
+ + =

( )
4
So sánh
( )
2
và
( )
4
ta đợc
27xyz
=

khi đó ta có hệ phơng trình:
10
9
27
27
x y z
xy yz xz
xyz
+ + =


+ + =


=

Theo định lí Vi et đối với phơng trình bậc ba thì x; y; z là nghiệm của
phơng trình bậc ba một ẩn:
3 2
9 27 27 0X X X + =



( )
3
3 0X =



3X

=
Vậy hệ phơng trình có nghiệm
3x y z= = =
Nhận xét: Với bài toán giải hệ phơng trình trên ta sử dụng phép biến đổi hợp lí để đa bài toán về
dạng có thể áp dụng đợc hệ thức Vi et đối với phơng trình bậc ba một ẩn từ đó giải đợc hệ ph-
ơng trình.
e)
( ) ( )
2 2
18
1 1 72
x x y y
x x y y

+ + + =


+ + =





( ) ( )
( ) ( )
1 1 18
1 1 72
x x y y
x x y y

+ + + =


+ + =





( )
( )
1
2
Từ
( )
1
;
( )
2
và áp dụng hệ thức Vi - et suy ra
( )
x x+1
;
( )
y+1y
là nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
18 72 0t t + =

1

6;t =

2
12t =
Khi đó xảy ra hai trờng hợp
( )
( )
x x+1 6
y+1 12y
=


=



( )
I

( )
( )
x x+1 12
y+1 6y
=


=

( )
II
Giải hệ phơng trình
( )
I
:
( )
( )
x x+1 6
y+1 12y
=


=





2
2
x 6 0
12 0
x
y y

+ =


+ =

giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm:
2
3
x
y
=


=

v
3
4
x
y
=


=


Giải hệ phơng trình
( )
( )
x x+1 12
y+1 6y

=


=



( )
II



2
2
x 12 0
6 0
x
y y

+ =


+ =




giải hệ phơng trình này ta đợc 2 nghiệm :
3
2

x
y
=


=

v
4
3
x
y
=


=


Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm là;
( )
2;3
;
( )
3; 4
;
( )
3; 2
;
( )
4; 3

.
Nhận xét: Bài toán nhìn vào rất phức tạp nhng chỉ biến đổi đôi chút và vận dụng linh hoạt
hệ thức Vi ét về tổng và tích của 2 số x +y và x.y nhng nhìn nhận các số là
( )
1x x +
và
( )
1y y +
ta sẽ đa đợc hệ phơng trình về dạng đơn giản hơn đó là hệ hai phơng trình bậc hai,
mỗi phơng trình bậc hai một ẩn.
Phơng pháp chung:
- Nh vậy từ những bài toán giải hệ phơng trình đối xứng loại I rất phức tạp xong nếu biết biến đổi
linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi - et về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta sẽ đ a bài
toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm đợc nghiệm của hệ phơng trình.
- Khi giải hệ phơng trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi các ẩn đó là
nghiệm của một phơng trình rồi sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phơng trình mới này. Nghĩa
là ta đã chuyển việc giải hệ phơng trình n ẩn về giải một phơng trình bậc n một ẩn, nếu phơng
trình này giải đợc thì đó là nghiệm của hệ n phơng trình đã cho.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Giải hệ phơng trình
a)
2 2
2
4
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

đ/s
( )
{ }
( ) ( )
{ }
; 0;2 ; 2;0x y
=
b)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =



( )
{ }
( ) ( )
{ }
; 4;9 ; 9;4x y
=
c)
2 2
2 2

1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


đ/s
( )
{ }
( )
{ }
; 1;1x y
=
d)
( )
( )
( )
( )
2 2

2 2
3
15
x y x y
x y x y

+ + =


=



( )
{ }
( ) ( )
{ }
; 1;2 ; 2;1x y
=

11
2. Bài 2: Giải hệ phơng trình
a)
2
2
3
3
x y xy
y x xy

+ =


+ =


b)
( )
4 4 2 2
2 2
13
3
x y x y
x y xy

+ =


+ =


c)
9
27
1 1 1
1
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =


+ + =



+ + =



IV. Dạng IV: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc tính giá trị biểu thức đốI xứng của
các nghiệm - tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho trớc.
1. Ví dụ 1: Cho phơng trình
2
4 1 0x x+ + =

( )
1
a) Giải phơng trình
( )
1
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
( )
1

. Tính giá trị của biểu thức:
3 3
1 2
B x x= +

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
H ớng dẫn cách giải:
- Khi tôi nêu ví dụ các em đã nhanh chóng vận dụng công công thức nghiệm để giải phơng
trình tìm đợc nghiệm đối với phần a.
- Đối với biểu thức
3 3
1 2
B x x= +
ta có thể vận dụng hằng đẳng thức tổng của hai lập phơng
( )
( )
3 3 2 2
A B A B A AB B+ = + +
;
( ) ( )
3
3 3
3A B A B AB A B+ = + +
hoặc thay vào trực tiếp để
tính. Khi đó các em có thể trình bày lời giải nh sau
Giải:
a) Xét phơng trình
2
4 1 0x x+ + =

( )
1
Ta có:
2
' 2 1.1 4 1 3 0 = = = >


Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
2 3
2 3
1
x
+
= = +
và
2
2 3
2 3
1
x

= =
Vậy phơng trình có nghiệm
1
2 3x = +
;
2
2 3x =

b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
4
. 1
x x
x x
+ =


=


Khi đó
3 3
1 2
B x x= +
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
( ) ( )
3

4 3.1. 4 64 12 52 = + =

Vậy
3 3
1 2
52B x x= + =

Hoặc học sinh có thể thay trực tiếp
1
2 3x = +
;
2
2 3x =
vào biểu thức B
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3
1 2
2 3 2 3 8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3B x x= + = + + = + + +

8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3 52= + + =
Vậy
3 3
1 2
52B x x= + =

2. Ví dụ 2: Cho phơng trình ( ẩn x):
2
x - 2x - 2m = 0

.
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
( ) ( )
2 2
1 2
1 + x 1 + x = 5
.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
H ớng dẫn cách giải: - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
( )
0
(hoặc a.c < 0).
Sau đó áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích của 2 nghiệm. Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giải hệ
phơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài
toán ta có lời giải nh sau:
Giải:
a) Xét phơng trình
2
x - 2x - 2m = 0

12
Ta có:
( )
2
' 1 1.2 1 2m m = = +
Để phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

'
> 0



1 + 2m > 0


1
m > -
2
- Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m
- Để phơntg trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện
( ) ( )
2 2
1 2

1 + x 1 + x = 5


2 2 2 2
1 2 1 2
1 5x x x x+ + + =

( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4x x x x x x + + =

( )
*
Thay x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m vào
( )
*
có
2
4 4 4 4m m+ + =

2
4 4 0m m + =

0
1
m
m
=



=

Kết hợp với
1
2
m >
ta có m = 0 thỏa mãn.
Vậy
m = 0
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
( ) ( )
2 2
1 2
1 + x 1 + x = 5
.

3. Ví dụ 3: Cho phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+
c)
1 1
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1 2
x x
và
2
2 1

x x
là nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
a) Xét phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
- Ta có:
( )
2
9 4.2.6 81 48 33 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
- áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
9
2
6
. 3
2
x x
x x

+ =

= =


Vậy
1 2
9
2
x x+ =
;
1 2
. 3x x =
b) Ta có:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=

3
9 9 729 81 405
3.3.
2 2 8 2 8

= + =
ữ


Vậy giá trị biểu thức
3 3
1 2
405
8
x x+ =

c) Ta có:
1 2
1 2
9
2
6
. 3
2
x x
x x

+ =

= =




1
0;x >
2
0x >
;

1
0;x >
2
0x >
;
1 2
. 0x x >
;
1 2
0x x+ >

Đặt A =
1 1
x x+
( A > 0)

( )
( )
2
2
1 1 1 1 2 2 1 2 1 2
A = 2 . 2x x x x x x x x x x+ = + + = + +



2
9 9 4 3
A 2 3
2 2
+
= + =
( Vì A > 0 )



9 4 3
A
2
+
=

13
Vậy
1 1
x x+

=
7 2 2
2
+
Chú ý: Để tính đợc tổng
A B+
thì ta cần chứng minh đợc điều kiện để tồn tại các căn
thức và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình phơng biểu thức đó để tính theo tổng và
tích các nghiệm của phơng trình bậc hai
+)
( )
2A B A B AB+ = + +
+)
( )
( )
.A A B B A B A B AB

+ = + +

+)
( )
.A B B A AB A B+ = +
4. Ví dụ 4: Cho phơng trình
( )
2
4 3 3 0x m x m + + + =
(m là tham số)
a) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1

; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2006 -2007)
H ớng dẫn cách giải:
- Đối với phần a) các em hiểu phơng trình có 1 nghiệm bằng 2 có nghĩa là x = 2 từ đó các em
thay x = 2 vào phơng trình để tìm m từ đó tìm đợc nghiệm còn lại
- Đối với phần b) các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tích các nghiệm, thay vào
biểu thức
3 3
1 2
0x x+
từ đó tính đợc
3 2
3 3 28 0m m m+ + +
nhng các em (có thể không) phân
tích đợc
3 2
3 3 28 0m m m+ + +
thành
( )
( )
2
7 4 0m m m + +
để tìm đợc m tôi đã gợi ý sử dụng
máy tính Casio để tìm đợc nghiệm
1

4x =
;
2
1
2598076211
2
x i= +
;
3
1
2598076211
2
x i=
từ đó
phân tích đợc thành
( )
( )
2
7 4 0m m m + +
bằng cách áp dụng tính chất
(Nếu
x a=
là một nghiệm của đa thức
( )
f x
khi đó
( ) ( )
f x x aM
hay
( ) ( ) ( )

.f x x a Q x=
)
Giải:
a) Để phơng trình
( )
2
4 3 3 0x m x m + + + =
có 1 nghiệm bằng 2



( )
2
2 4 .2 3 3 0m m + + + =


4 2 8 3 3 0m m
+ + =


1m
=
Vì
1 2
4x x m+ = +



2 2
2 1 4 3x x+ = + =

Vậy m = 1 và
2
x
= 3
b) Xét phơng trình
( )
2
4 3 3 0x m x m + + + =

Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
4 4.1. 3 3 8 16 12 12 4 4 2 0m m m m m m m m = + + = + + = + =

để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì
0




( )
2
2 0 2m m
- áp dụng hệ thức Vi et ta có:
1 2
1 2
4
. 3 3

x x m
x x m
+ = +


= +

Khi đó
3 3
1 2
0x x+


( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
3 3 3 3 0x x x x x x x x x x+ + + +


( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 0x x x x x x+ +

( )
*
Thay
1 2 1 2
4; . 3 3x x m x x m+ = + = +
vào

( )
*
ta đợc
( ) ( ) ( )
3
4 3 3 3 4 0m m m+ + +


3 2 2
12 48 64 9 9 36 36 0m m m m m m+ + +



3 2
3 3 28 0m m m+ + +


( ) ( )
( )
3 2 2
4 4 7 28 0m m m m m+ + + +


( )
( )
2
7 4 0m m m + +
Mà
2
2

1 27
7 0
2 4
m m m

+ = + >
ữ


( )
m R
vì
2
1
0
2
m


ữ

( )
m R
14


( )
4 0m +

4m

Vậy với
4m

và
2m

thì phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+
.
5. Ví dụ 5: (Đề thi vào THPT Quốc học Huế năm học 2005 2006)
Cho phơng trình:
2
2 1 0mx mx + =
(
m
là tham số)
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình có nghiệm và tính các nghiệm của phơng trình theo
m
.

2. Tìm giá trị của
m
để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Giải:
1) - Để phơng trình
2
2 1 0mx mx + =

( )
*
có nghiệm



' 0




2
0m m



( )
1 0m m



1

0
m
m






- Khi đó phơng trình
( )
*
có 2 nghiệm phân biệt
( )
1
1m m m
x
m
+
=
;
( )
2
1m m m
x
m

=

2) áp dụng hệ thức Vi - et cho phơng trình

2
2 1 0mx mx + =

( )
*
ta có
1 2
1 2
2
1
.
x x
x x
m
+ =



=


- Để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, giả sử
1 2
2x x=
khi đó ta có hệ phơng trình :
2 2
2 2
1
2 .
2 2

x x
m
x x

=



+ =




2 2
2 2
1
2 .
2 2
x x
m
x x

=



+ =

2
2
2
1
2
3 2
x
m
x

=



=





2
2
2 1
2
3
2
3
m
x

=

ữ




=





2
8 1
9
2
3
m
x

=




=

2
9
m
8
2
3
x

=




=


( thỏa mãn điều kiện
1
0
m
m

)
Vậy với
9
m
8
=
thì phơng trính có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Hoặc các em có thể thay trực tiếp 2 nghiệm vừa tìm đợc và cho
1 2
2x x=
từ đó ta cùng tìm
đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
6. Ví dụ 6: Cho phơng trình
( )
2
2 1 2 15 0x m x m
+ + =
1) Giải phơng trình khi m = 0
2) Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình có nghiệm thỏa mãn
2 1
5 4x x+ =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2000 -2001 - Hải Dơng)
H ớng dẫn cách giải:
Đối với phần 2 ta cần tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm từ đó áp dụng hệ thức Vi - et

tính tổng và tích các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình, và kết hợp với điểu kiện bài toán
2 1
5 4x x+ =
rồi giải hệ phơng trình
1 2
1 2
2 1
2 2
. 2 15
5 4
x x m
x x m
x x
+ = +


=


+ =

từ đó tìm đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giải:
1) Thay m = 0 vào phơng trình ta đợc
2
2 15 0x x

=
Giải phơng trình này ta đợc
1
5x =
và
2
3x =

Vậy với m = 0 thì phơng trình có nghiệm
1
5x =
và
2
3x =
.
15
2) Xét phơng trình
( )
2
2 1 2 15 0x m x m
+ + =

( )
*
Ta có:
( ) ( )
2
2 2
' 1 1. 2 15 2 1 2 15 16 0m m m m m m = + = + + + = + >

( )
m

vì
2
0m

( )
m R


phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
+) áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình
( )
*
ta có
1 2
1 2
2 2
. 2 15
x x m
x x m
+ = +


=


( )
( )

1
2

Để phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2 1
5 4x x+ =

( )
3
Từ
( )
1
và
( )
3
ta có hệ phơng trình
1 2
2 1
2 2
5 4
x x m
x x
+ = +


+ =

1 2
2 1
2 2
5 4
x x m
x x
+ = +


+ =





1 2
1 2
2 2
5 4
x x m
x x
+ = +


+ =

1
2
1
2
1
2 2
2
m
x
m
x m


=





+ = +





1
2
1

2
5 3
2
m
x
m
x


=



+

=



Thay
1
1
2
m
x

=
;
2
5 3

2
m
x
+
=
vào phơng trình
( )
2
ta đợc phơng trình:
1 5 3
. 2 15
2 2
m m
m
+
=

( ) ( ) ( )
1 . 5 3 4 2 15m m m + =

2
5 5 3 3 8 60m m m m + =

2
5 6 63 0m m+ =
Giải phơng trình này ta đợc
1
3m =
;
2

21
5
m =
Vậy với
3m =
; hoặc với
21
5
m =
thì phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn
2 1
5 4x x+ =
7. Ví dụ 7: Cho hàm số
2
1
2
y x=
có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình
y = x + m
.
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2

1 1
2
x x
+ =
H ớng dẫn cách giải:
Đối với bài toán này ta cần vận dụng điều kiện để Parabol và đờng thẳng cắt nhau tại 2
điểm phân biệt. (
( )
d
:
y mx n= +
cắt
( )
P
:
2
y ax=
tại 2 điểm phân biệt

phơng trình
2
0ax mx n =
có 2 nghiệm phân biệt). Khi đó các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và
tích các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình:
2
2 2 0x x m =

, thay vào biểu thức
2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =
từ đó tìm
đợc m thỏa mãn điều kiện bài toán, ta có lời giải nh sau.
Giải:
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
2
1
2
x x m= +


2
2 2 0x x m =
(1)
- Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt


'
> 0

1 + 2m > 0

m >
1

2

- Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m
Để
2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =

2 2
1 2
2 2
1 2
2
x x
x x

+
=

( )
2
1 2 1 2
2 2
1 2
2
2
x x x x
x x
+
=
(*)
16
Thay x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m vào (*) ta có
2
4 4
2
4
m

m
+
=

2
1 2m m + =


2
2 1 0m m =

( )
**

- Vì
( ) ( )
a + b + c = 2+ -1 1 0+ =
nên phơng trình
( )
**
có nghiệm
1
1m =
;
2
1
2
m =
Vậy với
1

1m =
;
2
1
2
m =
thì phơng trình có nghiệm thỏa mãn
2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =
.
8. Ví dụ 8: Cho parabol
( )
P
có đỉnh ở gốc toạ độ O và đi qua điểm
1
1;
4
A


ữ

.
1) Viết phơng trình của parabol
( )
P

.
2) Viết phơng trình đờng thẳng
( )
d
song song với
2 1x y+ =
và đi qua điểm
(0; )B m
. Với giá trị
nào của
m
thì
( )
d
cắt parabol
( )
P
tại hai điểm có hoành độ
1 2
,x x
sao cho
1 2
3 5 5x x+ =
.
Giải:
a) Vì Parabol
( )
P
có đỉnh ở gốc tọa độ
( )

O 0; 0
nên
( )
P
có dạng
2
y ax=

( )
0a

Vì
( )
P
đi qua điểm
1
1;
4
A


ữ

nên ta có
2
1
.1
4
a =

1
4
a =
Vậy phơng trình của
( )
P
là :
2
1
4
y x=
b) Ta có:
2 1x y+ =

1 1
2 2
y x = +
. Giả sử phơng trình đờng thẳng
( )
d
là
y ax b= +
- vì đờng thẳng
y ax b= +
song song vói đờng thẳng
1 1
2 2
y x= +

1
2
1
2
a
b

=







Mà đờng thẳng
y ax b= +
đi qua điểm
(0; )B m
ta có
.0m a b
= +
b m
=
Vậy phơng trình đờng thẳng
( )
d
là

1
2
y x m= +
với
1
2
m


ữ

- Để đờng thẳng
( )
d
cắt
( )
P
tại 2 điểm có hoành độ
1
x
và
2
x


phơng trình hoành độ giao điểm
2
1 1
4 2
x x m = +

có 2 nghiệm
1
x
và
2
x

phơng trình
2
2 4 0x x m + =

( )
*
có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
Khi đó
( )
2
' 1 1.4 0m =



1 4 0m

1
4
m

- áp dụng hệ thức Vi- et cho phơng trình
( )
*
ta có
1 2
1 2
2
4
x x
x x m
+ =


=


( )
( )
1
2

Để phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn điều kiện

1 2
3 5 5x x+ =

( )
3
Từ
( )
1
và
( )
3
ta có hệ phơng trình
1 2
2 1
2 2
5 4
x x m
x x
+ = +


+ =




1 2
2 1
2 2
5 4

x x m
x x
+ = +


+ =




1 2
1 2
2
3 5 5
x x
x x
+ =


+ =




1 2
1 2
5 5 10
3 5 5
x x
x x

+ =


+ =




1
1 2
2 5
2
x
x x
=


+ =




1
2
5
2
1
2
x
x

=




=



17
Thay
1
5
2
x =
;
2
1
2
x =
vào phơng trình
( )
2
ta đợc
5 1
. 4
2 2
m

=
ữ




5
4
4
m =



5
16
m =
(thỏa mãn điều kiện
1
4
m
)
Vậy với
5
16
m =
thì phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn
1 2

3 5 5x x+ =
Chú ý : Trong bài tập trên ta đã vận dụng điều kiện để đờng thẳng và parabol cắt nhau tại 2
điểm phân biệt (Đờng thẳng
( )
d
:
y mx n
= +
cắt Parabol
( )
P
:
2
y ax=
tại 2 điểm phân biệt

phơng trình
2
0ax mx n =
có 2 nghiệm phân biệt) và hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các
nghiệm để tính đợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
9. Ví dụ 9: Gọi
1
x
;
2
x

3
x

;
4
x
là tất cả các nghiệm của phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 = 1
Tính
1 2 3 4
. . .x x x x
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Tỉnh Hải Dơng - Năm học 2005 - 2006)
Giải:
- Xét phơng trình
( ) ( ) ( ) ( )
x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 = 1

( )
1


( ) ( ) ( ) ( )
x + 2 x + 8 x + 4 x + 6 = 1




2 2
10 16 10 24 - 1 = 0x x x x

+ + + +

Đặt
2
10 16= yx x+ +


( )
8 - 1 = 0y y +



2
8 - 1 = 0y y+

( )
2

Ta có:
2
' 4 1.1 16 1 15 0 ' 15 = = = > =


phơng trình
( )
2
có nghiệm
1
4 15y = +
;
2
4 15y =

+) Với
1
4 15y = +



2
10 16 4 15x x+ + = +



2
10 20 15 0x x+ + =

( )
3
Xét phơng trình
( )
3
ta có
( )
2
3
' 5 20 15 5 15 0 = = + >


phơng trình
( )
3

có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x



1 2
. 20 15x x =
+) Với
2
4 15y =



2
10 16 4 15x x+ + =



2
10 20 15 0x x+ + + =

( )
4
Xét phơng trình
( )
4

ta có
( )
2
3
' 5 20 15 5 15 0 = + = >


phơng trình
( )
4
có 2 nghiệm phân biệt
3
x
;
4
x



3 4
. 20 15x x = +
Khi đó
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 2 3 4 1 2 3 4
. . . . . . 20 15 20 15 20 15 400 15 385x x x x x x x x= = + = = =
Vậy
1 2 3 4

. . . 385x x x x =

Nhận xét: Trong bài tập này phơng trình đã cho có bậc 4 xong nếu ta vận dụng linh hoạt và
sáng tạo hệ thức Vi et để tính tích các nghiệm
1
x
.
2
x
và
3
x
.
4
x
từ đó ta có thể tính đợc giá trị
biểu thức
1 2 3 4
. . .x x x x
.
10. Ví dụ 10: Cho phơng trình
( )
2
2 1 4 0x m x
=

Gọi x
1
; x
2

là hai nghiệm của phơng trình. Hãy tìm m để
1 2
5x x+ =
.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2006 -2007 - Hải Dơng)
Giải:
+) Xét phơng trình
( )
2
2 1 4 0x m x
=

( )
*
Vì
( )
a.c =1. -4 4 0= <

( )
m R


phơng trình
( )
*
có 2 nghiệm phân biệt
1
x
và
2

x
với mọi giá trị của m
+) áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình
( )
*
ta có
1 2
1 2
2 2
. 4
x x m
x x
+ =


=


18
+) Để phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
1 2
5x x+ =



( )
2

2
1 2
5x x+ =


2 2
1 1 2 2
2 25x x x x+ + =


2 2
1 1 2 2
2 25x x x x+ + =
mà
1 2 1 2 1 2
. 4 0 2 . 2 .x x x x x x= < =


2 2
1 1 2 2
2 25x x x x + =


( )
2 2
1 1 2 2 1 2
2 4 25x x x x x x+ + =


( )

2
1 2 1 2
4 25x x x x+ =


( ) ( )
2
2 2 4. 4 25m =


2
2 8 5 0m m =

( )
**

Giải phơng trình
( )
**
ta đợc
1
4 26
2
m
+
=
;
2
4 26
2

m

=
Vậy với
4 26
2
m
+
=
hoặc
4 26
2
m

=
thì phơng trình
( )
*
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
1 2
5x x+ =
Chú ý : Trong bài tập trên ta đã vận dụng công thức
2 2
A B A B= =
với
( )
; 0A B
;
.A B AB=
;

2
2
A A=
để biến đổi và kết hợp vận dụng hệ thức Vi et thì ta có thể tìm đ ợc
các giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Phơng pháp chung:
Nh vậy trong bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện của các nghiệm đối xứng
hoặc liên hệ với nhau theo một hệ thức nào đó chúng ta cần làm nh sau:
+) Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
( )
0
(hoặc a.c < 0).
+) áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích của 2 nghiệm.
+) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các
nghiệm chúng ta tìm đợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán.
+) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận bài toán.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol
2
y = x
(P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
( )
y = 2 a - 1 x + 5 - 2a
; (a là tham số)
1. Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x
1
, x
2

. Tìm a để
2 2
1 2
x + x = 6.
2. Bài 2: Cho phơng trình
2
6 1 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1)
2 2
1 2
x x+
2)
1 1 2 2
x x x x+
3)
( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1
x x x x x x
x x x x

+ + +
+
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2002 -2003 - Hải Dơng)
Bài 3: Cho phơng trình
( ) ( )
2
3 3 2 5 1 0x x + + =

( )
1
Gọi
1 2
;x x
là các nghiệm của phơng trình
( )
1
. Tính giá trị của biểu thức:

( )
( )
( )
( )
2009 2009 2008 2008 2007 2007
1 2 1 2 1 2
3 3 2 5 1S x x x x x x= + + + +
4. Bài 4: Cho phơng trình
2
2 2 3 0x mx m + =

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
19
3) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1
1 1 4x x x x + =

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 1999 -2000- Hải Dơng)
5. Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình: y = 2x
2
, một đờng thẳng (d)
có hệ số góc bằng m và đi qua điểm
( )
I 0; 2
.
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2) CMR: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x
A
, x
B
. CMR:
A B
x - x 2

6. Bài 6: Cho hàm số:
2
y = x
(P) và
2
y = 3x + m

(d)
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi y
1
và y
2
là tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P). Tìm m để
1 2 1 2
y +y = 11y y
.
7. Bài 7: Cho parabol (P):
2
x
y =
2
và đờng thẳng (d):
y = mx - m + 2
(m là tham số).
1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x = 4.
2. CMR đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với
m R
.
3. Giả sử (x

1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ giao điểm của (d) và (P). CMR:
( )
( )
2121
122 xxyy ++
8. Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc
đồ thị (P) của hàm số
2
y ax=
và điểm B không thuộc (P).
a) Tìm hệ số
a
và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2
điểm A và B. Xác định tọa độ giao điểm thứ
hai của (P) và đờng thẳng AB.
9 Bài 9. Cho phơng trình
( )
2
2 1 2 x + 1 = 0m x m +

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng
( )

1;0
b) Xác định m để 2 nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn:
1 2
2 2
1x x =

(Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Tây năm học 2006- 2007)
10 Bài 10. Cho phơng trình:
( ) ( )
2 2
x 3 x + x - 2 = mx+
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Tìm m là để phơng trình có 4 nghiệm x
1
; x
2
; x
3
; x
4
thỏa mãn
1 2 3 4
1 1 1 1
8
x x x x
+ + + =

V. Dạng V. ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc lập phơng trình bậc hai có chứa hai biểu
thức là 2 nghiệm của phơng trình.
1. Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:
2
53
;
2
53
21
+
=

= xx
.
H ớng dẫn cách giải:
- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm ntn?
(Nếu hai số u và v có tổng
u + v = S
và tích
u.v = P
thì hai số u và v là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
x - Sx + P = 0
; Đ/K
2
4S P
)
Giải:
Ta có
1 2

3 5 3 5 3 5 3 5
3
2 2 2
x x
+ + +
+ = + = =


( ) ( ) ( )
2
2
1 2
3 5 3 5 3 5
3 5 3 5 9 5
. . 1
2 2 4 4 4
x x
+

+
= = = = =
ữ ữ
ữ ữ

Vì
1 2
3x x+ =
và
1 2
. 1x x =

. Nên
1
x
;
2
x
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
3 1 0x x + =
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
3 1 0x x + =
20
Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trớc là nghiệm thì
ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng) ta làm nh sau:
- Bớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập.
2. Ví dụ 2: Cho phơng trình
2
2 7 4 0x x + =

1
x
;
2
x
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2

x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1 2
x x
và
2
2 1
x x
là nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Tỉnh Hải Dơng - Năm học 2005 -2006)
Giải:
1) Xét phơng trình
2
2 7 4 0x x + =
Ta có:
( )
2
7 4.2.4 49 32 17 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1

x
;
2
x
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
7
2
. 2
x x
x x

+ =



=

b) Ta có:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )

3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
3
7 7
3.2.
2 2


ữ ữ

=
343 42 343 168 175
8 2 8 8

= =
Vậy
3 3
1 2
x x+
=
175
8
2) Đặt u =
2
1 2
x x
và v =
2

2 1
x x

Ta có: u + v =
( )
2
1 2
x x
+
( )
2
2 1
x x
=
2 2
1 2
x x+
-
( )
1 2
x x+
=
( )
2
1 2 1 2
2x x x x+
-
( )
1 2
x x+

=
2
7 7
2.2
2 2

+
ữ

=
49 7 49 16 14 47
4
4 2 4 4
+
+ = =


u + v
47
4
=
Mà: u . v =
( )
2
1 2
x x
.
( )
2
2 1

x x
=
2 2
1 2
.x x
-
( )
3 3
1 2
x x+
-
1 2
.x x
=
( )
2
1 2
x x
-
( )
3 3
1 2
x x+
-
1 2
.x x

= 2
2
-

175
8
- 2 =
175 16 175 159
2
8 8 8

= =


u . v
159
8

=

Vì 2 số u và v có tổng u + v
47
4
=
và tích u.
159
8

=
.
Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
47 159
0

4 8
X X =
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
47 159
0
4 8
X X
=
3. Ví dụ 3: Cho phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Xác định phơng trình bậc hai nhận
1 2
2 3x x
và
2 1
2 3x x
là nghiệm.
Giải:
- Xét phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
- Ta có:
( )

2
9 4.2.6 81 48 33 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
9
2
. 3
x x
x x

+ =



=

Đặt u =
1 2
2 3x x
và v =
2 1
2 3x x

- Ta có:
( ) ( )
1 2 2 1
2 3 2 3u v x x x x+ = +
1 2
2 3x x=
+
2 1
2 3x x
= -
( )
1 2
x x+
=
9
2




9
2
u v+ =
- Mà:
( ) ( )
1 2 2 1
. 2 3 . 2 3u v x x x x=
=
1 2

4 .x x
-
( )
2 2
1 2
6 x x+
-
1 2
9 .x x
=
1 2
7 .x x
( )
2
1 2
6 x x +

21
=
2
9 81 84 81 3
7.3 21
2 4 4 4


= = =
ữ

u . v
3
4
=

Vì 2 số u và v có tổng u + v =
7
2

và tích u. v
3
4
=
.
Nên u; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
7 3
0
2 4
X X
=
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
7 3
0
2 4
X X =
4. Ví dụ 4: Gọi y
1
và y

2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
y + 5y +1 = 0
. Tìm a; b sao cho phơng
trình
2
x + ax + b = 0
có hai nghiệm là:
2
1 1 2
x = y + 3y
và
2
2 2 1
x = y + 3y
.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Tỉnh Hải Dơng - Năm học 2005 -2006)
Giải:
- Xét phơng trình
2
y + 5y +1 = 0
Ta có:
2
5 4.1.1 25 4 21 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
y
;

2
y
- áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
5
. 1
y y
y y
+ =


=

Đặt
2
1 1 2
x = y +3y
và
2
2 2 1
x = y + 3y
- Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
x + x = y + 3y y + 3y y + y 3y 3y+ = + +

( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 2 1 2 1 2
y + y 2y y 3 y y 5 2.1 3. 5 8= + + = + =



1 2
x + x 8=
Mà:
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 3 3
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
x .x y + 3y . y + 3y y y 3 y + y 9y y= = + +

( ) ( ) ( )
2 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= y y 3 y +y 9y y y +y 9y y+ +


( ) ( )
3
2
=1 3 -5 9.1 -5 9.1=1-125 45 9 70+ + + + =

1 2
x .x 70=
Vì 2 số
1
x
;
2
x
có tổng
1 2
x + x 8=
và tích
1 2
x .x 70=
Nên
1
x
;
2
x
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
8 70 0X X
=
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
8 70 0X X

=
5. Ví dụ 5: a) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:

1 2
x . x = 4
và
4
7
11
2
2
2
2
1
1


=

+
a
a
x
x
x
x

b) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là :
3 5
3 5

+
H ớng dẫn cách giải:
- Đối với phần a thì ta đã biết đợc tích của hai số
1 2
x . x = 4
nên ta cần tính
1 2
x + x = ?

- Từ đó tôi hớng dẫn cho học sinh tìm tổng
1 2
x + x = ?
từ biểu thức
4
7
11
2
2
2
2
1
1


=

+
a
a
x
x
x
x

ta có lời giải nh sau.
Giải:
a) Ta có:
4
7
11
2
2
2
2
1
1


=

+
a
a
x
x
x

x

( )
1



( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 2 1
2
1 2
1 1
7
1 1 4
x x x x
a
x x a
+

=





2
1 2 1 1 2 2
2

1 2 1 2
7
1 4
x x x x x x a
x x x x a
+
=
+



( )
( )
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
7
1 4
x x x x
a
x x x x a
+

=
+ +

( )
( )
2
1 2
2
1 2
8
7
4 1 4
x x
a
x x a
+

=
+ +



( )
( )
2
1 2
2
1 2
8
7
5 4
x x
a

x x a
+

=
+



( )
( )
( )
( )
2 2
1 2 1 2
8 4 5 7x x a x x a + = +




( )
2
1 2
3 3 3x x a+ = +


2
1 2
1x x a+ = +
22
Điều kiện:

( )
2 2 2
4 0 1 4 0 3 0 3S P a a a +
hoặc
3a
Vậy là nghiệm của phơng trình:
( )
2 2
1 4 0X a X + + =
với
3a
hoặc
3a
Nhận xét: Để lập đợc phơng trình bậc hai khi biết tích hai ẩn và hệ thức
( )
1
thì ta cần
tìm tổng của hai ẩn để áp dụng định lí Vi et.
b) Phơng trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát
2
0x px q+ + =

( )
2
với
( )
;p q Z
Ta có:
( )
( ) ( )

( ) ( )
2
2 2
3 5
3 5 8 2 15 8 2 15
4 15
2
3 5
3 5 3 5
3 5


= = = = +

+
+

Vì phơng trình
( )
2
có một nghiệm là :
4 15 +
ta có:
( ) ( )
2
4 15 4 15 0p q + + + + =

31 8 15 15 4 0p p q + + =



( ) ( )
31 4 8 15 0p q p + =
+) Nếu
8 0p



31 4
15
8
p q
p
+
=

(vô lí) Vì
15 R
;
31 4
8
p q
Z
p
+

+) Nếu
8 0p =
tức là
8p =

1q =
Cho nên phơng trình cần tìm là:
2
8 1 0x x+ + =
Nhận xét: Khi lập phơng trình bậc hai khi biết trớc một nghiệm và các hệ số là số nguyên.
Ta cần thay nghiệm của phơng trình vào phơng trình ban đầu và xét các hệ số nguyên đó.
Phơng pháp chung:
+) Muốn lập phơng trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trớc ta làm nh sau:
- Bớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phơng trình cần lập. ta tính tổng và tích
của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định phơng trình cần lập.
+) Trong trờng hợp phơng trình bậc hai cần lập biết trớc một nghiệm và các hệ số là các số
nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phơng trình ban đầu rồi tìm các hệ số đó.
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Cho phơng trình
2
2 5 1 0x x =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2

x x+
;
1 2
.x x
b)
2 2
1 2 1 2
2x x x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1
x
và
2
2
x
là nghiệm.
2. Bài 2 1) Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là:
1
4
3 5
x =
+
2) Tính:
44
53
4
53
4

+








+
=P
3. Bài 3 Cho phơng trình:
( )
2
mx + 2 m - 2 x + m - 3 = 0
(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
;

.
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

c) Lập phơng trình bậc hai nhận
3



và
3



là nghiệm.
VI. Dạng VI: ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc xét mối quan hệ giữa các nghiệm
của phơng trình bậc hai.
1. Ví dụ 1: Cho phơng trình
2
ax + bx + c = 0
có 2 nghiệm dơng
1
x
,
2
x
. CMR: phơng trình
2
cx + bx + a = 0
cũng có hai nghiệm dơng, gọi 2 nghiệm đó là
3
x
,
4

x
. CMR:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
H ớng dẫn giải:
23
- Để chứng minh phơng trình
2
cx + bx + a = 0
cũng có 2 nghiệm dơng ta cần chứng minh
điều gì? (
2
4 0b ac =
;
3 4
0
b
x x
c
+ = >
;
3 4
. 0
a
x x
c
= >
)
Giải
Vì phơng trình

2
ax + bx + c = 0
có 2 nghiệm dơng
1
x
,
2
x
nên

2
1 2
1 2
4 0
0
. 0
b ac
b
x x
a
c
x x
a


=


+ = >

= >



. 0
. 0
a b
a c
<
>

( )
( )
1
2
từ
( )
1
và
( )
2

b và c trái dấu, a và c trái dấu


2
2
3 4

4 0
0
b ac
b
x x
a

=


+ = >





3 4
. 0
a
x x
c
= >
Nh vậy các nghiệm
3
x
,
4
x
của phơng trình
2

cx + bx + a = 0
cũng dơng
Bất đẳng thức Cô si : Với hai số không âm A và B ta có:
( )
2
0A B+


2A B AB +
(dấu bằng xảy ra khi A = B)
áp dụng cho 4 số dơng
1
x
,
2
x
3
x
,
4
x
là các nghiệm của phơng trình
2
ax + bx + c = 0
và
2
cx + bx + a = 0

ta có:
( ) ( )

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2 4 . 4
c a c a
x x x x x x x x x x x x
a c a c

+ + + = + + + ì + ì = + ì =
ữ
ữ

Vậy
1 2 3 4
4x x x x+ + +
(đpcm)
Nhận xét:
- Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt d-
ơng (
0

;
1 2
0x x+ >
;
1 2
. 0x x >
)
- áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình bậc hai đồng thời vận dụng linh hoạt
Bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đã chứng minh đợc
1 2 3 4
4x x x x+ + +

2. Ví dụ 2: Tìm m để 2 phơng trình
2
x + 2x + m = 0

( )
1

2
x + 3x - 2m = 0

( )
2

có 2 nghiệm phân biệt và các nghiệm của phơng trình xen kẽ nhau
H ớng dẫn giải:
- Phơng trình
2
x + 2x + m = 0
và
2
x - 2x - 2m = 0
có 2 nghiệm phân biệt khi nào? (
' 0

)
- Khi nào thì hai nghiệm của 2 phơng trình xen kẽ nhau?
Giải
Gọi các vế trái của phơng trình
( )
1

và
( )
2
là
( )
f x
và
( )
g x
khi đó
( )
f x
có 2 nghiệm phân biệt
1
x
<
2
x



' 0



1 0m >


m < 1

( )
g x
có 2 nghiệm phân biệt
3
x
,
4
x
xen kẽ các nghiệm
1
x
,
2
x


( )
g x
có 1 nghiệm thuộc
( )
1 2
;x x
và có 1 nghiệm ngoài
[ ]
1 2
;x x


( ) ( )
1 2

. 0g x g x <



( ) ( )
2 2
1 1 2 2
x + 3x - 2m . x + 3x - 2m < 0

( )
*
Do
( )
f x
có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
nên
2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
x = -2x - m
x = -2x - m
x +x 2

x .x m




=


=

( )
**
24
Thay
( )
**
vào
( )
*
ta đợc
( ) ( )
1 2
x - 3m . x - 3m < 0




( )
2
1 2 1 2

x x - 3m x + x 9 < 0m+



( )
2
m- 3m -2m 9 < 0m+



2
9 +7m< 0m



7
< m < 0
9

Vậy với
7
< m < 0
9

thì các nghiệm của hai phơng trình xen kẽ nhau.
Nhận xét:
- Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt
rồi áp dụng hệ thức Vi et cho phơng trình thứ nhất thay thế vào phơng trình thứ hai thì
ta đợc điều cần tìm.
Bài tập áp dụng:

1. Bài 1: Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình:
2
x + px + 1 = 0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình :
2
x + qx + 1 = 0
;
( )
;p q Z
1. Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
A = u - r v - r u + s v + s
là số nguyên.
2. Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3.
2. Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dơng)
Gọi
1
x
;
2
x
là nghiệm của phơng trình:
2
x + 2004x + 1 = 0
.
3
x
;
4
x

là nghiệm của phơng trình:

2
x + 2005x + 1 = 0
. Tính giá trị biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 3 1 4 2 4
A x x x x x x x x= + +
3. Bài 3: Cho phơng trình
2
x + bx + c = 0

( )
1
và
2
x + mx + n = 0

( )
2
. Biết rằng b, c là nghiệm
của phơng trình
( )
2
và m, n là nghiệm của phơng trình
( )
1
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
10b c m n+ + + =

4. Bài 4: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x
2
1 1 1
a x +b x + c = 0
và
2
2 2 2
a x +b x + c = 0
có nghiệm.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
a a a ac c b b b c b c =
5. Bài 5 : Gọi a và b là 2 nghiệm của phơng trình
2
x + px + 1 = 0
.
c và d là 2 nghiệm của phơng trình
2
x + qx + 1 = 0

Chứng minh hệ thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a c a d b c b d p q =
VII. Dạng VII: ứng dụng hệ thức Vi et vào bài toán cực trị đơn giản.
1. Ví dụ 1: Cho phơng trình:
( )
2

2 3 0x m x m + =
1) Giải phơng trình khi m = - 2
2) Gọi

;

là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để
2 2

+
đạt giá trị nhỏ nhất
H ớng dẫn giải:
- Khi tôi đa ra bài tập này các em đều rất lúng túng tìm cách giải phần 2) bài tập dạng này
nh thế nào. Tôi hớng dẫn các em cách giải đối với dạng tam thức bậc hai để tìm GTLN; GTNN ta
thờng biến đổi biểu thức A về dạng
A = M - k.f
2
(x) ( M; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
Hoặc A = k.f
2
(x) + m ( m; k là hằng số, f(x) là nhị thức bậc nhất)
Từ hớng dẫn tổng quát trên các em đã tìm đợc cách giải bài toán trên nh sau:
Giải
1) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc
2
7 2 0x x+ =
Ta có:
2
7 4.1.2 41 0 = = >

phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
7 41
2
x
+
=
;
2
7 41
2
x

=
.
25