Đề thi HSG - Đáp án TOÁN 9

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG TRÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THCS HƯƠNG TOÀN NĂM HỌC: 2010 – 2011
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
Câu 1: Tính
20102
10...10101
++++=
A
Câu 2: Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên, dương thỏa: 4x+7y=100
Câu 3: Giải phương trình:
xx
=+−
1313
Câu 4: Cho ∆ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G
Chứng minh: CotgB + CotgC ≥
3
2
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI
Câu 1: Thực hiện 10A – A, rồi đặt thừa số chung và tính A.
Câu 2: Có nhiều cách:
- Giải bằng phương trình Diophant nhanh hơn
- Đặt t = …
Câu 3: Bình phương hai vế sau khi đặt x ≥ 0 để có: 13 -
xx
=+
13
2
Cộng x vào 2 vế:

13 +x -

xxx
+=+
13
2
Đổi

biến để có phương trình bậc hai…
cuối cùng lấy lại x.
Câu 4:
Lưu ý G là trọng tâm. Đặt BG = 2x
⇒
GM = x
CG = 2y
⇒
GN = y
CotgB + CotgC =
tgCtgB
11
+
. Xây dựng tg(A+B) =
tgAtgB
tgBtgA
−
+
1
Để áp dụng Bất đẳng thức Côsi
Cotg B+ CotgC ≥
3
2
.