ON TAP HSG TOAN 6VIP

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (243.77 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

chuyên đề: số tự nhiên - áp dng.

**********

* Các bài toán về dÃy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.

a) 1 2 3 4 ...    n b) 2 4 6 8 .... 2.     n
c) 1 3 5 ... (2.    n1) d) 1 4 7 10 ... 2005    
e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+.+2001

Bài toán 2: TÝnh nhanh tæng sau: A    1 2 4 8 16 .... 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ cã hai ch÷ sè

b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ sè.

Bài tốn 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay khơng số tự nhiên n sao cho 1 2 3 ....    n 2004

c) Chøng minh r»ng:



(1 2 3 ....   n) 7



kh«ng chia hÕt cho 10 n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 .... 1999.2000   

b) ¸p dơng kÕt quả phần a) tính nhanh B1.1 2.2 3.3 ... 1999.1999   
c) TÝnh nhanh : C 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50.

HÃy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n cđa c¸c d·y sè sau:

a) 3;8;15;24;35;... b) 3; 24;63;120;195;... c) 1;3;6;10;15;...
d) 2;5;10;17; 26;... e) 6;14;24;36;50;... g) 4; 28;;70;130;....

Bài toán 7: Cho d·y sè 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;...     

Hái trong d·y sè trªn có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.

Bài toán 8: Cho S1 1 2;S2   3 4 5;S3    6 7 8 9;S4 10 11 12 13 14;..  . Tính S100.
Bài toán 9: Tính bằng cách hỵp lý.

41.66 34.41
3 7 11 ... 79

A 

    b)

1 2 3 .. 200
6 8 10 .. 34

B    

    c)

1..5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

C   

 

Các bài toán về tập hợp .

Bài toán 10: Cho a) A



1; 2



; B



1;3;5



b) A



x y,



; B



x y z t, , ,



Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Bài toán 11: Cho a) A



x N x 2; 3;x x100



b) B



x N x 6;x100

HÃy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 12: Cho C353535 D478478478

a) ViÕt tËp hỵp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần
tö.

b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần t thuc P
v mt phn t thuc Q.

Bài toán 13: Cho a) A



x N x ab a  ; 3.b



b) B



x N 20x



c) C



x N x 11.n3;n N x ; 300



Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử.

Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng.
a) A



1;4;9;16; 25;36; 49;64;81;100



b) B



2;6;12;20;30;42;56;72;90



chuyên đề: tp hp , tp hp con - ỏp dng.

**********

Bài toán 1: Cho tËp hỵp A



a b c d e, , , ,



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c) Cã bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?

Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp 
sau.

a) A



1;3;5



; B



1;3;7



b) A



x y,



; B



x y z, ,



c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.

Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thùc sù cña B nÕu AB A B;  . H·y viÕt c¸c tËp con thùc sù
cđa tËp hợp B

1; 2;3

Bài toán 4: Cho các tập hợp A



1; 2;3; 4



; B

3;4;5

Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A

1; 2;3; 4

a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất c cỏc tp hp con ca tp hp A.

Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu AB B; D thì AD

Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:

a) x B thì x A b) x A th× x B ,  x B th× x A

Bài toán 8: Cho tập hợp K

5;6;7;8

. Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần
tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn.

Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) CMR: H K
c) TËp hợp M có số phần tử sao cho H M M; K .

+ Hái M cã Ýt nhÊt bao nhiªu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?
+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mÃn điều kiện trên.

Bài toán 10: Cho tập hợp M

30;4; 2005; 2;9

. HÃy nêu tập hợp con cđa tËp M gåm nh÷ng
sè:

a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè c) Là số chẵn.

Bài to¸n 11: Cho A



x N x 2; 4;x x100



; B



x N x 8;x100

a) HÃy liệt kê các phần tử của tập hỵp A ; tËp hỵp B.

b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu khơng ? Vì sao ?
Bài tốn 12: Cho a



18; 42;60



, b



35;52



.
Hãy xác nh tp hp M

a b

Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: BA

b) ViÕt tËp hỵp M sao cho BM M, A. Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy.
Bài toán 14: Cho A



x N x 7.q3;q N x ; 150



a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M 



1;13;21; 29;52



. Tìm x y M;  biết 30 x y40

chuyên đề: các phép toán về s t nhiờn - ỏp dng .

**********

Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.

Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0a b c  .

a) ViÕt tËp A c¸c số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) ab bc ca abc   b) abc ab a  874

c) abcd abc ab a   4321 d) **.** *** (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là
số có ba chữ số nh nhau)

Bi toỏn 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có
bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. Tổng của hai số này bằng 11330. Tính tổng: a b c d  
Bài tốn 5: a) Có hay khơng một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ 
số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999.

b) Tồn tại hay khơng một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy
viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999 ?.

Bài tốn 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của 
số đó thì đợc số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai ch s ban u.

Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân
a) 2005 . 2005 .

33....3.99...9

c s c s
A

b) 2005 . 2005 .

33...3.33...3

c s c s
B

Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836. Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của 
số thứ hai là 3. Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ đợc hai số có hai chữ số mà số này gấp
hai lần số kia. Tìm hai số đó.

Bài tốn 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số nh nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số
nh nhau ta đợc thơng là 2, cịn d. Nếu xố một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số
chia thì thơng của phép chia vẫn bằng 2 nhơng số d giảm hơn trớc là 100. Tìm số bị chia v
s chia lỳc u.

Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A2005 1005 : (999 x) với x N

Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dÃy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,. Hỏi chữ số thứ
659 là chữ số nào ?

Bài toán 12: Cho S 7 10 13 ... 100
a) Tính số số hạng của tổng trên.

b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng.
c) Tính tổng S

Bi tốn 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng 
chục với chữ số hàng đơn vị. Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì đợc thơng là

2 và d 2. Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cựng l 1.

Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A=



11....122....2

n c.s1   n c.s2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 
chữ số 6. Hãy tính tích A.B

chuyên đề: luỹ tha vi s m t nhiờn - ỏp dng.

**********

Bài toán 1:

Tìm chữ số tận cùng của các tích sau

a)

31 .352 2

b)

16 .1252 2

c)

200 .722 2

d)

121 .3162 2

Bài toán 2:

Tính giá trị của các biểu thøc sau:

a)

a a3. 9

b)

( )a5 7

b)

( ) .a6 4a12

d)

(2 ) .(2 )3 5 3 3

Bµi toán 3:

Viết tích sau dới dạng một luỹ thừa

a)

4 .210 30

b)

9 .27 .8125 4 3

c)

25 .12550 5

d)

64 .4 .163 8 4

Bài toán 4:

Viết mỗi thơng sau díi d¹ng mét l thõa

a)

3 : 38 6

;

7 : 75 2

;

19 :197 3

;

2 :810 3

;

12 : 67 7

;

27 : 815 3

b)

10 :106

;

5 : 258 2

;

4 : 649 2

;

2 : 3225 4

;

18 : 93 3

;

125 : 253 4

Bài toán 5:

Tính giá trị của c¸c biĨu thøc

a)

5 : 56 33 .33 2

b)

4.52  2.32

Bµi toán 6:

Viết các tổng sau thành một bình phơng.

a)

1323

b)

132333

c)

13233343

d)

1323334353

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a)

213

b) 421 c) 1256 d) 2006 e)

abc

g)

abcde

Bài toán 8 :

Tìm

x N

biết

a)

3 .3 243x 

b)

x20 x

c)

2 .16x 2 1024

d)

64.4x 168

Bài toán 9 :

Viết các tích sau díi d¹ng mét l thõa

a)

5 .5 .5x x x

b)

x x1. ...2 x2006

c)

x x x. . ...4 7 x100

d)

x x x2. . ...5 8 x2003

Bài toán 10:

Tìm x, y

N

biết

2x 80 3y

Bài toán 11:

Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý

a)

(217 17 ).(92 15 3 ).(215 4 4 )2

b)

(71997 71995) : (71994.7)

c)

(1223344 ).(15 323334 ).(33 8 81 )2

d)

(288 ) : (2 .2 )3 5 3

Bài toán 12:

Viết kết quả phép tính sau díi d¹ng mét l thõa

a)

16 : 46 2

b)

27 : 98 4

c)

125 : 255 3

d)

4 .514 28

e)

12 : 2n 2n

g)

64 .16 : 44 5 20

Bài toán 13:

Tìm

x N

biết

a)

2 .4 128x 

b)

x15 x

c)

(2x1)3 125

d)

(x 5)4 (x 5)6

e)

x101x

g)

2x15 17

h)

(7x11)3 2 .55 2200

i)

3x25 26.2 22.30

k)

27.3x 243

l)

49.7x 2041

m)

64.4x 45

n)

3x 243

p)

3 .34 n 37

Bài toán 14:

Tìm số d khi chia A, B cho 2 biÕt

a)

A(4n6n8n10 ) (3n  n5n7n9 )n

b)

B2003n2004n2005 ;n n N

Bài toán 15:

Tìm

n N

biÕt: a)

9 3 n 81

b)

25 5 n 125

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

Bµi toán 16:

Tính giá trị của các biểu thức

a)

10 10
9 4

3 .11 3 .5
3 .2

A 

b)

10 10
8

2 .13 2 .65
2 .104

B 

c)

9 4

4 .36 64
16 .100

C 

d)
3 2
4
72 .54

108
D
e)

6 4 5
12

4 .3 .9
6
E
f)
13 5
10 2
2 2
2 2

F  

 
g)
2
5
21 .14.125
35 .6
G
h)

3 4 2
5

45 .20 .18
180
H 

22 7 15
14 2

11.3 .3 9
(2.3 )

I

Bài toán 17:

T×m

n N *

biÕt

a)

32 2 n 128

b)

2.16 2 n 4

c)

3 .32 n 35

d)

(2 : 4).22 n 4

e)

4 7

.3 .3 3
9
n


g)

.2 4.2 9.2
2
n n
 

h)

1
.27 3
9
n n


i)

64.4n 45

k)

27.3n 243

l)

49.7n 2401

Bài toán 18:

Tìm x biÕt

a)

(x1)3 125

b)

2x2 2x96

c)

(2x1)3 343

d)





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bµi toán 19:

Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.

a)

A202122.... 2 2006

b)

B  1 3 32.... 3 100

c)

C  4 4243.... 4 n

d)

D 1 5 52.... 5 2000

Bài toán 20:

Cho A  1 2 2223.... 2 200. H·y viÕt A+1 dới dạng một luỹ thừa.

Bài toán 21:

Cho B 3 3233... 3 2005. CMR: 2B+3 lµ l thõa cđa 3.

Bµi to¸n 22:

Cho C 4 2223.... 2 2005. CMR: C là một luỹ thừa của 2.

Bài toán 23:

Chứng minh r»ng:

a)

55 54 5 73

b)

7675 7 114

c)

10910810 2227

e)

106 5 597

g)

3n2 2n23n 2 10n  n N*

h)

817 279 9 4513

i)

810 89 8 558

k)

109 10810 5557

Bài toán 24:

a) Viết các tổng sau thành một tích:

2 2 2

;

2 2 223

;

2 2 22324

b) Chøng minh r»ng:

A 2 2223... 2 2004

chia hÕt cho 3; 7 và 15.

Bài toán 25:

a) Viết tổng sau thành mét tÝch

34353637

b) Chøng minh r»ng:

B  1 3 32.... 3 40 99

Bài toán 26:

Chứng minh rằng:

a)

S1 5 5253... 5 20046;31;156

b)

S2  2 2223.... 2 10031

c)

s3 1652 3315

d)

S4 53! 51! 29 

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
I. Tóm tắt lý thuyết.

1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
+ Tích của các số lẻ là một số lẻ.

+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
+ x a0. y0 (víi a N ) + x a5. y5 (với a N a ; lẻ)
2. Tìm chữ sè tËn cïng cña mét luü thõa.

+ 0 0

n

x y (n N*

 ); + x1n y1 (n N ); + x5n y5 (n N *); + x6n y6(n N *)

+
2 1

4 k 4

x  y (k N ); + x92k1y9 (k N ); + x42k y6 (k N*

 ); +

9 k 1

x y (k N*

 )

+
4

2 n 6

x y (n N*

 ); + x84n y6 (n N *); + x34n y1 (n N *); + x74n y1 (n N *);

* Chó ý: Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tự nhiên.

- Một số chính phơng có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không cã tËn cïng lµ 2; 3; 7; 8
II. Bµi tËp áp dụng:

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của c¸c sè sau.
22003; 4 ;9 ;3 ;7 ;899 99 99 99 99;

3
7
5

789 ; 74835

; 8732; 5833; 2335

Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011...2017 2002.2004.2006.2008
Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng nh nhau.

a) 11a và a (a N ) b) 7a và 2a (a là số chẵn)
Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

d) 8102 2102 e)1752441321

g)

122004 21000

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 22003 và 32003;
2005
5

19 ; 234567
;

5
7
6
579
Bài toán 6: Tìm chữ số tận cïng cđa tỉng 5 5 2 53... 5 96

Bài toán 7: Chứng minh rằng số

2006 94
2004 92

.(7 3 )

A

là một số tự nhiên.

Bài toán 8: Cho S 303132... 3 30. Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số
chính phơng.

Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho n2 n 2 5
Bài toán 10:

* Chú ý: + 01 01
n

x y (n N*

 ) + 25 25

n

x y (n N*

 ) + 76 76

n

x y (n N*

 )

+ C¸c sè 3 ;81 ;7 ;51 ;9920 5 4 2 2 cã tËn cïng b»ng 01
+ C¸c sè: 2 ;6 ;18 ; 24 ;68 ;7420 5 4 2 4 2 cã tËn cïng b»ng 76

+ Sè 26 (n n1) cã tËn cïng b»ng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các sè sau.

100 1991 51 99 666 101 101
2 ;7 ;51 ;99 ;6 ;14 .16 ; 22003
Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 41998
Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phơng không ?

a) 1088 b) 100! 7 c) 1010010501

chuyên đề:

luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dng (Tip theo)

=====

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

Bài toán 1:

Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

a)

20022005

;

19921994

;

332003.342003

;

282006.811003

;

1892.1892 .1892 ...18924 7 100

b)

20032001

;

1973 .1973 .1973 ...19731 2 3 100

;

272003.92003

;

81 .343 .92007 669 2007

c)

19972005

;

92006.232006

;

1997 .1997 .1997 ...19972 5 8 2003

;

111 .271999 1999

d)

1981997

;

19982002

;

362003.632003

;

1998.1998 .1998 ...19987 13 151

Bài toán 2:

Tìm chữ số tËn cïng cđa c¸c sè sau.

a)

19992001

;

992004

;

72005.272005

;

2004
2006

999

;

999999999

;

2006
5
19
1999

b)

20042005

;

19942004

;

8 .28205 205

;

896
895

894

;

200420112006

;

1954
5
7
194

Bài toán 3:

Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a)

2004
2001

2002

;

199220002005

;

83
82
81
72

;

b)

2005
2004

2003

;

19320012004

;

2006
6
21
83

c)

2006
2000

1997

;

27101105110

;

2003
2002
2001
2007

d)

2000
200

1998

;

24201205.42201205

;

2005
2003
2001
198

Bài toán 4:

Cho

A202122.... 2 2005

Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phơng

Bài toán 5:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b) Tìm chữ số tận cùng của B

Bài to¸n 6:

Cho

S  2 2223.... 2 100

a) Chøng minh rằng

S3

b) Chứng minh rằng

S15

c) Tìm chữ số tận cùng của S

Bài toán 7:

Tìm chữ số tận cïng cđa c¸c sè sau

a)

23!

b)

37! 24!

c)

2.4.6....1998 1.3.5....1997

Bài toán 8:

Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?

a)

49!

b)

7.8.9....81

c)

100!

Bài toán 9:

Chứng minh rằng

a)

200220041002100010

b)

19992001201200510

c)

9
9 9
9 9
9 9 10

Bài toán 10:

Chứng minh rằng: a)

0,3.(2003200319971997)

là một số tự nhiên

b)

2006 1998
2004 1994

.(1997 1993 )

10 

lµ mét sè tù nhiªn

chuyên đề:

luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

Các bài toán so sánh hai luỹ thừa

=====







=====

* Tãm t¾t lý thuyÕt:

a) NÕu m n th× am an (a>1) b) NÕu a b th× an bn (n>0)
c) NÕu a 0)

* Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn

a) 1030 và 2100 b) 333444 vµ 444333

c) 1340 vµ 2161 d) 5300 và 3453
Bài toán 2: So sánh các số sau

a) 5217 vµ 11972 b) 2100 vµ 10249
c) 912 vµ 277 d) 12580 vµ 25118
e) 540 vµ 62010 f) 2711 vµ 818
Bài toán 3: So sánh các số sau

a) 536 vµ 1124 b) 6255 vµ 1257
c) 32n vµ 23n (n N *) d) 523 vµ 6.522
Bài toán 4: So sánh các số sau

a) 7.213 vµ 216 b) 2115 vµ 27 .495 8
c) 19920 vµ 200315 d) 339 vµ 1121
Bµi to¸n 5: So s¸nh c¸c sè sau

a) 7245 7244 vµ 7244 7243 b) 2500 vµ 5200 c) 3111 vµ 1714
d) 324680 vµ 237020 e) 21050 vµ 5450 g) 52n và 2 ;(5n n N )
Bài toán 6: So sánh các số sau

a) 3500 và 7300 b) 85 vµ 3.47 c) 9920 vµ 999910
d) 202303 vµ 303202 e) 321 vµ 231 g) 111979 vµ 371320
h) 1010 vµ 48.505 i) 19901019909 vµ 199110

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) 10750 vµ 7375 b) 291 vµ 535 c) 544 vµ 2112
Bài toán 8: Tìm x N biÕt

a) 16x 128 b) 

1 2 18

18 / 0

5 .5 .5x x x 100...0 : 2

c s

Bài toán 9: Cho S 1 2 22... 2 2005.
HÃy so sánh S với 5.22004

Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
HÃy so sánh m với 10.98

Bi toỏn 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số
đợc dùng một lần và chỉ dùng một lần

chuyên đề:

chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

=====





=====

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Nhắc lại về quan hÖ chia hÕt:

Cho a b N b;  ; 0. NÕu cã sè tù nhiªn k sao cho a b k . ta nãi a chia hÕt cho b

Kí hiệu: a b . đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ớc của a.

2. TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng:

a) TÝnh chÊt 1: a m ; b m a + b m  

+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a b : a m ; b m a - b m  

2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng:
1 ; 2 ;....; n 1 2 ... n

a m a m  a m  a a  a m

b) TÝnh chÊt 2: NÕu a kh«ng chia hÕt cho m; b chia hÕt cho m thì a+b không chia hết cho m

+ Chỳ ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b

- Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không
chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m.

3. C¸c dÊu hiƯu chia hÕt cho 2; 5; 3; 9.

a. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ

những số đó mới chia hết cho 2.

b. DÊu hiƯu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số

ú mi chia ht cho 5.

c. DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: C¸c sè cã tỉng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những

s ú mi chia ht cho 9.

d. DÊu hiƯu chia hÕt cho 3: C¸c sè cã tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hÕt cho 3 vµ chØ

những số đó mới chia hết cho 3.

e. C¸c dÊu hiƯu chia hÕt cho 4; 8; 25; 125
II. Bài tập áp dụng.

Bài toán 1: Chứng minh r»ng: nÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hết cho c thì a chia hết cho c

Bài to¸n 2: Chøng minh r»ng nÕu a m  k a m.  (k N )

Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng: a) ab ba 11 b) ab ba 9 với a>b

Bài toán 4: Chứng minh rằng:

a) S  1 2 22.... 2 39 lµ béi cđa 15 b) T 1257 259 lµ béi cña 124
c) M  7 72  3 ... 720008 d)

2 3 .... 2n 1; ,
P a a  a  a a a n N

Bài toán 5: Cho a c và b c . Chøng minh r»ng: ma nb c ma nb c m n N ;  ; , 

Bµi toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiÕp chia hÕt cho 3, tỉng cđa 5 sè tù nhiên liên tiếp

không chia hết cho 5.

Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hÕt cho 6,

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài toán 8: Tìm n N để

a) n 6 n b) 4.n 5 n c) 38 3 n n
d) n5n1 e) 3n4n1 g) 2n1 16 3 n

Bài toán 9: Cho a b N;  vµ a b 7. Chứng minh rằng: 4a3 7b

Bài toán 10: CMR:a) n N th×  / 1

2. 11...1 3

nc s

A n 

b) a b n N, ,  th×



/ 1

(10n 1). (11...1 ). 9

nc s

B  a  n b

Bài toán 11: a) CMR: n N th× 10n 2 3 b)



/ 8

88...8 9 9

nc s

n

  

chuyên đề:

chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

C¸c phơng pháp chứng minh chia hết

=====

Ph

ơng pháp 1:

để chứng minh

A b

(

b0

). Ta biểu diễn

A b k .

trong đó

k N
Bài tốn 1: Cho n N . Chng minh rng: (5 )n 100125

Bài toán 2: Cho A 2 22... 2 2004. Chøng minh r»ng:

a) A6 b) A7 c) A30
Bài toán 3: Cho S 3 32... 3 1998. Chøng minh r»ng :

a) S12 b) s39
Bµi to¸n 4: Cho B 3 32... 3 100

Chứng minh rằng: B120
Bài toán 5: Chứng minh rằng

a) 3636 9 4510 b) 810 89 8 558 c) 55 545 73
d) 767 7 115 4 e) 24 .54 .2 7254 24 10 63 g) 817  279 9 4513
h) 3n33n12n32n26 n N i) (2102112 ) : 712 là một số tự nhiên.

Ph

ơng pháp 2

: Sử dụng hệ quả tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng

NÕu

a b m 

vµ

a m  b m

Bài tốn 6: Tìm n N để:

a) 3n2n1 b) n22n7n2 c) n21n1
d) n8n3 e) n6n1 g) 4n 5 2 n1
h) 12 n8 n i) 20n k) 28n1
l) 113 n 7 m) 113 n13

Bài toán 7: Tìm n N .để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên

2
3
n

7
1

n c)

1
1
n
n



 d)

2 8

5 5

n n

Ph

ơng pháp 3:

Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chøa n) chia hÕt cho b (

b0

)Ta

cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d khi chia n cho b

Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2
b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.
c) Chøng minh r»ng: TÝch cđa 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24

d) Chøng minh r»ng: TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120

(Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia ht, khụng cn CM li)

Bài toán 9: Chứng minh r»ng: a) (5n7)(4n6) 2 n N

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bµi to¸n 10: Chøng minh r»ng: A n n ( 1)(2n1) 6 n N

Bài toán 11: a) Cho n N . Chứng minh rằng: n23 hoặc n2 chia 3 d 1
b) CMR: Không tn ti n N n2 1 300...0

Bài toán 12: Chøng minh r»ng: m n N,  ta luôn có m n m. ( 2 n2) 3
Bài toán 13: Chøng minh r»ng: (n20052006)(n20062005) 2 n N

Bài toán 14: CMR không tồn tại n N để
2

15 2004

1 20042004...2004

so

n        

chuyên đề:

chia ht trong tp s t nhiờn .

Các phơng pháp chøng minh chia hÕt (TiÕp)

=====







=====



Ph

ơng pháp 4:

Để chứng minh

A b

. Ta biểu diễn b dới dạng

b m n .

. Khi đó

+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh

A m

và

A n  A m n .

hay

A b

+ NÕu

( ; ) 1m n 

ta biểu diễn

A a a 1. 2

rồi tìm cách chøng minh

a m a n1 ; 2

th× tÝch

1. 2 .

a a m n

tøc

A b

Bµi to¸n 1: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2
b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.
c) TÝch cđa bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24.

d) TÝch cđa 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hết cho 120

Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 1 6
Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hÕt cho 8

b) Chøng minh r»ng: TÝch cña ba sè chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
c) Chøng minh r»ng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B10n18n 1 27

Bài toán 5: Chứng minh rằng:

a) 10n 36n1 27  n N n; 2

b) sè 27 / 1

11...1 27

c s





Ph

¬ng pháp 5:

Dùng dấu hiệu chia hết

Bài toán 6: Chøng minh r»ng: 1020006 8 72
Bài toán 7:

Chøng minh r»ng: a) Sè  / 5

55...5

nc s kh«ng chia hÕt cho 125 (n N *)
b) 10n2 93

c) 3737 23 1023
Bài toán 8:

Chứng minh r»ng: a) 1033 8 2;9 b) 1010 14 3; 2
c) 1050 5 3;5 d) 102526 2;9
Bµi toán 9:

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp cã ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, số kia
chia hết cho 8.

Bài toán 10: Chøng minh r»ng  n N th×

a) 24n1 3 5 b) 24n2 1 5 c) 92n1 1 10
d) 74n 1 5 e) 34n1 2 5

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng: b a

b) Giả sử b=k.a. Chứng minh rằng k là ớc của 10.
c) Tìm các số ab nói trên

chuyờn :

chia ht trong tp s t nhiờn .

Các phơng pháp chøng minh chia hÕt (TiÕp)



Ph

ơng pháp 6:

để chứng minh

A b

ta biểu diễn

A A 1A2....An

và chứng minh các

( 1, )

i

A i n b

Bài toán 1: CMR: a) n N th×  / 1

2. 11...1 3

nc s

A n 

b) a b n N, ,  th×  / 1

(10n 1). (11...1 ). 9

nc s

B  a  n b

c) / 8

88...8 9 9

nc s

n

Bài toán 2:

Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a9
Bài tốn 3:

Tìm các chữ số x, y để 1994xy72
* Cỏc bi toỏn tng hp:

Bài toán4:

Chứng minh rằng: 882 1720

Bài toán 5: Chứng minh rằng: m4 13n 10m n 13 m n N,
Bài toán 6:

Cú hay không hai số tự nhiên x, y sao cho (x y x y )(  ) 2002
Bài tốn7: Tìm n N để

a) 4n 5 13 b) 5n 1 7
c) 25n 3 53 d) 18n 3 7
Bµi toán 8 :

Chứng minh rằng nếu ab cd 11 thì abcd11

Bài toán 9 : Cho hai số tự nhiên abc và deg đều chia 11 d 5. Chứng minh rằng s

deg 11

abc

Bài toán 10 :

Cho abc deg 13 . Chứng minh rằng: abcdeg 13
Bài toán 11:

Cho biết số abc7.Chøng minh r»ng: 2a3b c 7

Bài toán 12 : Cho số abc4 trong đó a, b là các chữ số chẵn. Chứng minh rằng:
a) c4 b) bac4

Bài toán 13:

Tìm các chữ số a, b sao cho a b 4;7 5 1 3a b
Bài toán 14:

Cho 3a2 17( ,b a b N ). Chứng minh rằng: 10a b 17
Bài toán 15:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài toán 16: Chứng minh rằng: 9.10n 18 27  n N

Bài toán 17: Chứng minh rằng: nếu abcd99 thì ab cd 99 và ngợc lại
chuyên đề:

chia hết trong tp s t nhiờn .

ôn tập tổng hợp Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp)

Bài toán 1:

Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a.

Bµi toán 2:

Tìm số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị là số tự nhiªn

a)

3 5
1
n
n



b)

13
1
n

n



c)

3 15
1
n
n



d)

2 13
1
n
n





e)

3 5
2
n
n





g)

6 5
2 1

n
n

Bài toán 3:

Biết

a b 7.

Chứng minh rằng:

aba7

Bài to¸n 4:

BiÕt

a b c  7.

Chøng minh r»ng: nếu

abc7

thì b=c

Bài toán 5:

Tìm số tự nhiên

ab

sao cho

567 9 45a b

Bài toán 6:

Tìm các cặp số tự nhiên (a,b) sao cho

a)

1 1
6 3

b

a  

b)

1 3

4 4

a
b

Bài toán 7:

Cho số

N dcba

. Chøng minh r»ng:

a)

N4 a2 4b

b)

N8 a2b4 8c

c)

N16 a2b4c8 16d

với b chẵn

Bài toán 8:

Chøng minh r»ng:

a)

2x3 17y  9x5 17y

b)

a4 13b 10a b 13

c) 3

a2 17b 10a b 17

Bài toán 9:

Chøng minh r»ng:

a)

10n 72n1 81  n N

b)

81 / 1

11...1 81

c s

Bài toán 10:

Tìm các sè tù nhiªn n sao cho

a)

n11n1

b)

7n n  3

c)

n22n6n4

d)

n2 n 1n1

Bài toán 11:

Chứng minh rằng một số có hai chữ số chia hết cho 7 khi và chỉ khi tổng

của chữ số hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn v chia ht cho 7.

Bài toán 12:

Với a, b là các chữ số khác 0. Chứng minh rằng:

a)

abba11

b)

aaabbb37

c)

ababab7

d)

abab baba 9

vµ 101 với a>b

Bài toán 13:

Cho s t nhiờn A, Ngời ta đổi chỗ các chữ số của số A để đợc số B gấp ba lần

số A. Chứng minh rằng B chia hết cho 27.

chuyên đề:

số nguyên tố – hợp số .

=====







=====

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

T×m hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 2005.

Bài toán 2:

Tìm các số nguyên tố p để

4p11

là s nguyờn t nh hn 30.

Bài toán 3:

Cho

A 5 52.... 5 100

a) Số A là số nguyên tố hay hỵp sè. b) Số A có là số chính phơng không ?

Bài toán 4:

Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ?

a)

A1.3.5.7...13 20

b)

B147.247.347 13

Bài toán 5:

Cho

n N *

. Chøng minh r»ng sè

 / 1 / 1

11...1211...1

nc s nc s
A

là hợp số.

Bài toán 6:

a) Cho n là một số không chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng:

n2

chia 3 d 1.

b) Cho p là số nguyên tổ lớn hơn 3. Hỏi

p22003

là số nguyên tố hay hợp số ?

Bài toán 7:

Cho

n N n ; 2

và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng:

n21

và

n21

khụng th ng thi l s nguyờn t.

Bài toán 8:

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng tỏ rằng: p có dạng

6k1

hoặc

6k5

với

k N *

b) Biết

8p1

cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng:

4p1

là hợp số.

Bài toán 9:

Cho

p

và

p8

đều là số nguyên tố (p>3). Hỏi p+100 l s nguyờn t hay hp

s ?

Bài toán 10:

Cho

n29k

víi

k N

. Víi gi¸ trị nào của k thì n:

a) Là số nguyên tố

b) Là hợp số

c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số.

Bài toán 11:

Chứng minh rằng: nếu 8p-1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.

Bài toán 12:

Tỡm tt c cỏc s nguyờn tố p, q sao cho

7p q

và

pq11

u l s nguyờn t.

Bài toán 13:

Tỡm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên t.

Bài toán 14:

Tìm số nguyên tố p sao cho a)

3p5

là số nguyên tố.

b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố.

chuyên đề:

số nguyên tố – hợp số . (Tiếp theo)

=====

Bài toán 15:

Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số

a)

A13.15.17 91

. b)

B2.3.5.7.11 13.17.19.21

.

c)

C 12.3 3.41 240 

d)

D45 36 72 81  

e)

E91.13 29.13 12.13 

g)

G4.19 5.4

h)

H 323.17 34.3 3

i)

I  7 72737475

Bài toán 16:

Cho

n2.3.4.5.6.7

. CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2;

n+3; n+4; n+5; n+6; n+7

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tìm số nguyên tố p sao cho

p6;p8;p12;p14

đều là số nguyên t

Bài toán 18:

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:

(p1)(p1)

chia hết cho

24. Bài toán 19:

Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 4p+1 là hợp số.

Bài toán 20:

Cho p và 10p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 5p+1 là hợp số.

Bài toán 21:

Chng minh rng vi mọi số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 khơng thể đồng

thời là những số ngun tố.

Bµi to¸n 22:

Hai số

2n1

và

2n 1

với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay ng thi l

hp s c khụng ?

Bài toán 23:

Tìm số ngun tố p để có

a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.

b) p+2; p+6 và p+8 đều là số nguyên tố.

c) p+6;p+12; p+24; p+38 đều là số nguyờn t.

d) p+2; p+4 cng l s nguyờn t.

Bài toán 24:

Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho

2a3b6c78

Bài toán 25:

CMR:

2001.2002.2003.2004

+1 là hợp số.

Bài toán 26:

Tìm số nguyên tố p sao cho

p244

là số nguyên tố.

Bài toán 27:

CMR: Hai s

19941001

v

19941001

khơng thể đồng thời là số ngun tố

Bµi toán 28:

Tìm số nguyên tố p sao cho

p94

và p+1994 cũng là số nguyên tố

Bi toỏn 29:

Tìm tất cả các số nguyên tố p để

2p p2

cũng là số nguyên tố.

ÔN TậP TổNG HợP CHUYấN S T NHIấN

=====

Bài toán 1: TÝnh a)

18.123 9.4567.2 3.5310.6
1 4 7 10 ... 55 58 490

A  

       b)

15 9 20 9
9 19 29 6

5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27

B 



c) 2 2

2181.729 243.81.27
3 .9 .243 18.54.162.9 723.729

C 

  d)

10 15 14 13
18 7 3 15 25

2 .6 3 .15.4
2 .18 .3 3 .2

D 



Bài toán 2: a) Hãy viết liên tiếp hai mơi chữ số 5 và đặt một số dấu cộng vào giữa các chữ 
số để đợc tổng bằng 1000.

b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 và đặt một số dấu cộng vào giữa cỏc ch s c tng
bng 1000.

Bài toán 3:

Cho bảng vng gồm 9 ơ vng nh hình 1. Ngời ta viết vào các ô
của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10 (mỗi số chỉ viết 1 lần). Biết
rằng tổng của các số ở các hàng, các cột và hai đờng chéo bằng
nhau. Hãy lp bng ú

Bài toán 4: Trong hộp có 2000 viên bi. Hai ngời tham gia một trò
chơi, mỗi ngời lần lợt phải bốc ít nhất 11 viên bi và nhiều nhất là
20 viên bi ra khỏi hộp. Ngời nào bốc 11 viên bi cuối cùng thì thua
cuộc.

10 2

8
H×nh 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài toán 5: CMR: số tự nhiên viết bởi 100 chữ số 1 tiếp theo là 100 chữ số 2 là tích của hai 
số tự nhiên liên tiếp.

Bi toỏn 6: Tìm số tự nhiên abc biết (a b c  )3 abc trong đó a, b, clà ba chữ số khác
nhau.

Bài toán 7: Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó a và b là các số khi chia cho 5 d 3, còn c khi 
chia cho 5 d 2.

a) T×m sè d cña a+b+c; a+b-c; a+c-b khi chia cho 5.

b) Hai số nào trong ba số trên có tổng chia hết cho 5, hiệu chia hết cho 5 ? Vì sao ?
Bài toán 8: Phải thay x bởi chữ số nào để

a) 113 x 7 b) 113+x chia 7 d 5 c) 20 20 20 7x x x
d) 12 2 3 3 x  e) 5 793 4 3x x 

Bài toán 9: Ba lớp 6A, 6B, 6C chia nhau một số bút máy, đựng trong 6 hộp. Hộp thứ nhất 
đựng 31 chiếc, hộp thứ hai đựng 20 chiếc, hộp thứ ba đựng 19 chiếc, hộp thứ t đựng 18
chiếc, hộp thứ năm đựng 16 chiếc và hộp thứ sáu đựng 15 chiếc.Hai lớp 6A và 6B đã nhận 5
hộp và số bút máy mà lớp 6A nhận gấp 2 lần số bút máy của lớp 6B. Hỏi lớp 6C nhận c
bao nhiờu bỳt mỏy ?

Bài toán 10: Chứng minh rằng số

2006

10 8

A

là số tự nhiên.

Bi toỏn 11: Tìm tất cả các số dạng 6 1a bc biết rằng số đó chia hết cho 3; 4 và 5.
Bài tốn 12: Tìm các chữ số x, y để: a) 56 3 36x y b) 71 1 45x y

Bài toán 13: Giả sử p p1; 2 là hai số nguyên tố lẻ liªn tiÕp (p1  p2). Chøng minh r»ng sè
1 2

2
p p

là một hợp số.

ÔN TậP TổNG HợP CHUYÊN Đề Số Tự NHIÊN (Tiếp)

=====

=====

Bài tốn 1:

Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 303. Tìm số lớn nhất trong ba

số đó.

Bài tốn 2:

Tổng của bốn số lẻ liên tip l 216. Tỡm bn s ú.

Bài toán 3:

Tìm hai sè tù nhiªn, biÕt r»ng:

a) Tỉng cđa chóng bằng 266 và giữa chúng chỉ có ba số lẻ

b) Tổng của chúng bằng 310 và giữa chúng chỉ có 2 số chẵn.

Bài toán 4:

Tổng của hai số a vµ b víi hiƯu cđa chóng b»ng 58. TÝnh a vµ b.

Bài tốn 5:

Hiệu của hai số là 57. Nếu bỏ chữ số 3 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì đợc

số trừ. Hãy tìm số bị trừ và số trừ.

Bài tốn 6:

Bình nghĩ về một số. Lấy số đó cộng thêm 5 rồi chia tổng đó cho 3, nhân

với 4, trừ đi 6, chia cho 7 đợc 2. Hỏi Bình nghĩ về s no ?

Bài toán 7:

Cho tích a.b.c

Nếu thêm b vào a thì tích tăng thêm là A. Nếu thêm c vào b thì tích tăng thêm là B.

Nếu tăng a vào c thì tích tăng thêm là C. Chøng minh r»ng:

a b c3. .3 3 A B C. .

Bài toán 8:

Rút gọn a)

100 160
289 80

125 .2
5 .4
A

b)

8 8
8 3 4

9 .5
3 .27 .5
B

Bài tốn 9:

a) Tìm những số tự nhiên chẵn x<200 để khi chia cho một số tự nhiên n

thì đợc thơng là 4 và d 30

b) Trong một phép chia cho 45 ta đợc thng bng s d. Tớnh s b chia.

Bài toán 10:

Trong một phép chia, thơng là 16, số bị chia lớn hơn số chia là 210. Tìm

số chia.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài tốn 12:

Tìm những số tự nhiên

a200

, biết rằng trong phép chia a cho b đợc

thơng là 4 và số d là 35.

Bài toán 13:

Tìm hai số có tổng gấp ba lần hiệu và b»ng nưa tÝch cđa chóng.

Bài tốn 14:

Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 13 và hiệu giữa số đó với số

có hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại bằng một số có chữ số hàng đơn vị là 7. Tìm số

đó.

Bài tốn 15:

Tìm chữ số tận cùng của số

19m5n 1890p

trong ú

m n p N, ,

Bài toán 16:

Cho x, y, z là các số tự nhiên khác 0 thoả mÃn

x2y2z2 192

Tìm chữ số tận cùng cđa sè

19x5y20032z

.

Bài tốn 17:

Chứng tỏ rằng: tổng một số chẵn các số hạng của các số tự nhiên khác 0

đầu tiên thì chia hết cho số tự nhiên đứng liền sau số hạng lớn nhất của tổng

Bài toán 18:

Thay x, y bởi các chữ số thích hợp

123 4 9x y

Bài toán 19:

Chứng minh rằng:

(2 1)(7 1) 6

n n n   n N

Bài toán 20:

Số

n2 n 1

chẵn hay lẻ ? Tìm số d của phép chia số đó cho2, cho 5.

nguyên lý ĐiRICHle - áp dụng

=====







=====

I. Tóm tắt lý thuyết:

- Nguyên lý Đirichlê còn gọi là nguyên lý thỏ và lồng

Dng phát biểu đơn giản: “ Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì có ít nhất 1 lồng nhốt

nhiỊu h¬n 2 con thá ”

 Tổng qt: “Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a bq r  trong đó 0 r b thì có ít

nhÊt mét mét lång nhèt tõ q+1 con thá trë lªn ”



Chú ý: - Các bài toán áp dụng nguyên lý Đirichlê để giải thờng là các bài toán chứng
minh sự tồn tại một sự vật hay sự việc nào đó mà khơng cần phải chỉ ra một cách cụ thể sự
vật hay sự việc đó.

- Ta cần suy nghĩ để làm xuất hiện khái niệm “ Thỏ ” và “ Lồng ”, khái niệm
“nhốt thỏ vào lồng “ nhng khi trình bày lời giải cố gắng diễn đạt theo ngụn ng toỏn hc
thụng thng.

II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1:

Chứng minh rằng: trong 11 số tự nhiên bÊt kú bao giê còng cã Ýt nhÊt 2 sè có chữ số
tận cùng giống nhau.

Bài toán 2:

Chứng minh r»ng: trong 5 sè tù nhiªn bÊt kú bao giê cịng cã thĨ chän ra hai sè mµ
hiƯu của chúng chia hết cho 4.

Bài toán 3:

Chng minh rằng: trong 101 số tự nhiên bất kỳ có thể tìm đợc hai số có hai chữ số tận
cùng giống nhau.

Bài toán 4:

Chng minh rng: trong n+1 s t nhiên bất kỳ có thể tìm đợc hai số có hiu ca
chỳng chia ht cho n.

Bài toán 5:

Một lớp học có 50 học sinh làm bài kiểm tra toán. Điểm bài kiểm tra là một số tự
nhiên. Biết rằng không có học sinh nào bị điểm dới 5 và có 2 điểm 10. Chứng minh rằng: có
ít nhất 10 học sinh có cùng một loại điểm.

Bi toỏn 6: Một tổ 10 học sinh thảo luận về thi đua, có 1 học sinh phát biểu 5 lần, các học 
sinh khác đều phát biểu nhng có số lần phát biểu ít hơn. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3
học sinh có số lần phát biểu nh nhau.

Bài tốn 7:Có 62 quyển vở chia cho 12 học sinh. Chứng minh rằng:
a) ít nhất cũng có 1 học sinh đợc từ 6 quyển vở trở lên

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài tốn 8:Có 12 mảnh giấy, trên mỗi mảnh ghi một trong các số 1, 2, 3. Chia đều 12 mảnh 
giấy đó cho 6 ngời. Mỗi ngời tình tổng các số ghi trên hai mảnh giấy. Chứng minh rằng ít
nhất cũng có 2 ngời có cùng một tng.

Bài toán 9:

Một lớp học có 40 học sinh. Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt 4 häc sinh cã cùng tháng
sinh.

Bài toán 10:

Chng minh rng: tn ti một bội của 1989 đợc viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.

nguyên lý ĐiRICHle - áp dụng (Tiếp theo).

=====

Bài toán 11:

Một trờng có 1000 học sinh gåm 23 líp. Chøng minh r»ng ph¶i cã Ýt nhất một

lớp có từ 44 học sinh trở lên.

Bài to¸n 12:

Mét líp häc cã 50 häc sinh. Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt 5 häc sinh cã th¸ng

sinh giống nhau.

Bài toán 13:

Một lớp học có 50 học sinh, cã duy nhÊt mét häc sinh thiÕu nhiỊu bµi tËp nhÊt

lµ thiÕu 3 bµi tËp. Chøng minh r»ng tồn tại 17 học sinh thiếu bài tập nh nhau (Trờng

hợp không thiếu bài tập coi nh thiếu 0 bµi)

Bµi tËp 14:

Bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D có tất cả 44 học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi

của lớp 6D không quá 10 ngời. Chứng minh rằng ít nhất một tong ba lớp 6A, 6B, 6C

có số học sinh giỏi từ 12 trở lên.

Bài toán 15:

Trong 45 hc sinh lm bi kim tra, khơng có ai bị điểm dới 2, chỉ có 2 học

sinh đợc điểm 10. Chứng minh rằng: ít nhất cũng tìm đợc 6 học sinh có điểm kiểm tra

bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên )

Bài toán 16:

Cho 12 số tự nhiên khác nhau có hai chữ số. Chứng minh rằng tồn tại hai số có

hiệu là một số có hai chữ số nh nhau.

Bài toán 17:

Chứng minh rằng: tồn tại một bội số của 17

a) Đợc viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.

b) Đợc viết bởi toàn chữ số 1.

Bài toán 18:

Chng minh rng: tn ti mt bi s của 23 đợc viết đợc viết bởi toàn chữ số 4.

Bài toán 19:

Chứng minh rằng : tồn tại một bội số của 17 có tận cùng là 219.

Bài toán 20:

Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 2003 có tận cùng là 2006.

b) Tồn tại một bội số ca 2003 c vit bi ton ch s 3.

Bài toán 21:

Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 89 đợc viết bởi toàn chữ số 5.

b) Tồn tại một bi s ca 89 cú tn cựng l 1234.

Bài toán 22:

a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho

3k

cã tËn cïng lµ 001.

b) Chøng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho

7k

cã tËn cïng lµ 0001.

chuyên đề:

số chính phơng - áp dụng.

=====

* Các bài toán về số lợng các ớc của một số.

Bài toán 1:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ớc.

Bài toán 2:

Tìm số tự nhiªn nhá nhÊt cã 10 íc sè

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

b) Tìm số hồn chỉnh n biết n=p.q trong đó p, q l cỏc s nguyờn t.

Bài toán 4:

Tìm số tù nhiªn A biÕt A chia hÕt cho 5, A chia hÕt cho 49 vµ A cã 10 íc

sè.

Bµi toán 5

: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 15 ớc, có 9 ớc.

Bài toán 6:

Cho số tự nhiên

1 . 2
x y

Bp p

trong đó

p p1; 2

nguyên tố;

x y N,  *

.

BiÕt B

cã 15 íc. Hái B

cã bao nhiªu íc?

Bài tốn 7:

Biết rằng số tự nhiên n có đúng 1995 ớc số trong đó có 1 ớc nguyên tố

chẵn. a) Chứng minh rằng: n là số chính phơng.

b) Chøng minh r»ng n chia hÕt cho 4.

c) n có nhiều nhất mấy ớc nguyên tố.

Bài toán 8:

Một số tự nhiên n là tổng bình phơng của ba số tự nhiên liên tiếp. Chứng

minh rằng: n không thể có 17 ớc số.

Bài toán 9:

Cho a là một hợp số. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố a chỉ chứa 2 thừa

số nguyên tố khác nhau là

p p1; 2

. Biết

a3

có tất cả 40 ớc số. Hỏi

a2

có bao nhiêu ớc ?

* Các bài toán về số chính phơng

Bi toỏn 10:

Tỡm số chính phơng có bốn chữ số đợc viết bởi các chữ số 3,6,8,8

Bài toán 11:

Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 12 ta đợc số

A123...1112

Số A có thể có 81 ớc số khơng ? Tại sao ?

Bài tốn 12

: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 ta đợc một số

chính phơng.

Bài tốn 13

: Tìm số chính phơng có bốn chữ số đợc viết bởi các chữ s 0,2,3,5

Bài toán 14:

Tìm số chính phơng có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai

chữ số cuối giông nhau.

Bi toỏn 15:

Vit s tự nhiên từ 1 đến 101 thành một dãy số làm thành só A.

a) A có là hợp số khơng ?

b) A có là số chính phơng không ?

c) A cã thĨ cã 35 íc kh«ng ?

Bài tốn 16:

Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng: 2n+1 v 3n+1 u l s chớnh

phng.

Bài toán 17:

Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, một số tự nhiên B gồm 50 chữ số

2. Chứng minh rằng: A-B là một số chính phơng.

Bài toán 18:

Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng

1! 2! 3! ....   n!

lµ mét sè chÝnh ph¬ng.

ơn tập tổng hợp chun đề chia hết - số nguyên tố .

=====





=====

Bài toán 1:

Cho

n N

chứng minh r»ng: a)

(n10)(n15) 2

b)

n n( 1)(2n 1) 6

Bài toán 2:

Một học sinh viết các số tự nhiên từ 1 đến

abc

phải viết tất cả m chữ số.

Biết rằng

m108

. Tìm

abc

Bµi to¸n 3:

Cho tỉng

1 2 3 4 ... 8 9     

xoá hai số bất kỳ thay bằng hiệu của chúng và cứ làm nh vậy nhiều lần. Có cách nào

làm cho kết quả cuối cựng bng 0 c khụng ?

Bài toán 4:

Chứng minh rằng: không tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho

333; 335; 341

abc a  abc b abc c

Bài toán 5:

Chứng minh rằng: nếu

ab2.cd

thì

abcd67

Bài toán 6:

Chứng minh rằng: nếu

ab cd eg  11

th×

abcdeg 11

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b)

abcdeg 23; 29

nếu

abc2.deg

Bài toán 8:

Chng minh rng nu vit thêm đằng sau một số có hai chữ số số gồm hai chữ

số ấy viết theo thứ tự ngợc li thỡ c mt s chia ht cho 11.

Bài toán 9:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của

nú.

Bài toán 10:

Chứng minh rằng số tự nhiên viết bởi 27 số 10 liên tiếp thì chia hết cho 27.

Bài toán 11:

Tìm số nguyên tố p sao cho a)

p2;p10

là số nguyên tố.

b)

p10;p20

là số nguyên tố.

Bài toán 12:

a) Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số.

b) Cho p là số nguyên tố, 8p-1 là số nguyên tố. CMR: 8p+1 là hợp số

c) Cho p là số nguyên tố, 20p+1 cũng là số nguyên tố. CMR: 10p+1 là hợp số.

Bài toán 13:

Cho ba s nguyờn t lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trc l d n v.

Chng minh rng

d6

Bài toán 14:

Cho

a b N n N,  ;  *

. Biết

an7.

Chứng minh rằng:

a298 49b

Bài toán 15:

Cho

a b N n N,  ;  *

. BiÕt

an5

</div>

ON TAP HSG TOAN 6VIP

**********















































**********















































**********

**********

<b>Bài toán 1:</b>

Tìm chữ số tận cùng của các tích sau

a)

b)

c)

d)

<b>Bài toán 2:</b>

Tính giá trị của các biểu thøc sau:

a)

b)

b)

d)

<b>Bµi toán 3:</b>

Viết tích sau dới dạng một luỹ thừa

a)

b)

c)

d)

<b>Bài toán 4:</b>

Viết mỗi thơng sau díi d¹ng mét l thõa

a)

;

;

;

;

;

b)

;

;