De thi HSG Toan 9 Nam 20122013 Nghia Dan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN

<b>PHÒNG GD & ĐT</b> <b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013</b>
<b>Mơn: Tốn 9</b>

<i>Thời gian: 120 phút</i>
<b>Câu 1: (4 điểm) </b>

<i> </i>a) Chứng minh:

√

6+4√2<i>−</i>

_√

3<i>−</i>2√2 là một số nguyên .
b) Rút gọn biểu thức: C = sin2₂0_+sin2₃0_+…+sin2₈₈0
<b>Câu 2: (6 điểm) </b>

a) Giải phương trình: 3x2_{+ 4x + 10 = 2} 14x2_ 7

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x.y - x - y = 2

c) Chứng minh rằng 3n _{+ 4 khơng là số chính phương (với}<i>_{n N}</i>_ ₎

<b>Câu 3: (4 điểm) </b>

a) Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1
Chứng minh: <i>b c</i> 16<i>abc</i>

b) Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x y z

P

x 1 y 1 z 1

  

  

<b>Câu 4: (5 điểm) Cho đường trịn </b><i>(O;R)</i> và hai đường kính bất kỳ <i>AB, CD</i> sao cho
tiếp tuyến tại <i>A</i> cắt các đường thẳng <i>BC, BD</i> thứ tự tại <i>E</i> và <i>F</i>. Gọi <i>P, Q</i> lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng <i>EA</i> và <i>AF</i>.

a) Chứng minh rằng <i>O</i> là trực tâm của tam giác <i>BEQ</i>.

b) Chứng minh rằng đường vuông góc với <i>BQ</i> kẻ từ <i>P</i> đi qua trung điểm của
đoạn thẳng <i>OA</i>.

c) Hai đường <i>AB</i> và <i>CD</i> có vị trí như thế nào thì tam giác <i>BPQ</i> có diện tích nhỏ
nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó theo <i>R</i>.

<b>Câu 5: (1,0 điểm)</b>

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức:
BC2_{+ AB.AC - AB}2_{= 0. Tính:}

 2

A B

3


<i><b> Chú ý:- Thí sinh bảng B khơng phải làm câu 2c</b></i>

<i><b> - Thí sinh khơng được sử dụng máy tính</b></i>

<i></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG A</b>

<b>Câu</b> <b>Ý</b> <b>Nội dung</b> <b>Biểu</b>

<b>điểm</b>
<b>1</b>
<b>(4đ)</b>
<b>a</b>
<b>2đ</b>
2 2

6 4 2  3 2 2  (2 2)  ( 2 1) (2 2) ( 2 1) 3.  

Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm. <b>2,0</b>

<b>b</b>
<b>2đ</b>

Ta biết: Với 0 < α < 900

Ta có sinα = cos(900_{-α), sin}2_{α + cos}2_{α = 1}
C = sin2₂0 _{+ sin}2₃0 _{+ … + sin}2₈₈0

C = (sin2₂0 _{+ sin}2₈₈0_{) + ... + (sin}2₄₄0 _{+ sin}2₄₆0_{) + sin}2₄₅0
C = (cos2₈₈0 _{+ sin}2₈₈0_{) + ... + (cos}2₄₆0 _{+ sin}2₄₆0_{) + sin}2₄₅0
C = 1+1+....+1+

1
2₌
1 87
43
2 2
 
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>2</b>
<b>(6đ)</b>
<b>a</b>
<b>2đ</b>
ĐKXĐ:
2 2

x ; x

2 2



 

3x2_{+ 4x + 10 = 2} 14x2 _ 7

 x24x 4 2x  2 1 2 2x21. 7 7 <i>₌</i>₀

2 2

(x 2) ( 2x 1 7) 0

     

2

x 2

x 2 0

x 2

x 2

2x 1 7 0

x 2


 

 
      
  
 
 _


 _{(thỏa mãn)}

<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>b</b>
<b>2đ</b>

Ta có: x.y - x - y = 2  x.( y -1) - y = 2
 _{x.(y - 1) - (y - 1) = 3}
 _{(x -1).(y - 1) = 3}

Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 cũng là các số
nguyên và là ước của 3. Suy ra các trường hợp sau:

x 1 3
y 1 1

 



 

 _;

x 1 1
y 1 3

 



 

 _;

x 1 1

y 1 3

 




 

 _;

x 1 3

y 1 1

Giải các hệ này ta có nghiệm của phơng trình :
(4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)

<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,75</b>
<b>0,5</b>
<b>c</b>
<b>2đ</b>

-Với n = 2k+1 (kN_{), ta có:}

n 2k 1

3 4 (3  1) 3 4m 3

      _(m__N_{), không phải là scp}

- Với n = 2k, giả sử 32k_{+4 = p}2_{, suy ra p lẻ nên p có dạng}

2l 1 (l N) 

k 2 2

k 2
k 2

(3 ) 4 4l 4l 1 4l(l 1) 1

(3 ) 4 8r 1 (r N)
(3 ) 8q 5 (q N)

       

    

   

Điều này vô lý. suy ra đpcm

<b>0,5</b>
<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>3</b>
<b>(4đ)</b>
<b>a</b>
<b>2đ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

a (b c) 2 a(b c)

(a b c) 4a(b c)

   

   

2

1 4a(b c)

(b c) 4a(b c) 16abc

 

   

<b>1,0</b>
<b>1,0</b>

<b>b</b>
<b>2đ</b>

Ta có

1 1 1

P= 1- 1-

1-x 1 y 1 z 1

 

   

 

     

  

     

1 1 1

P 3

x 1 y 1 z 1

 

  _   _

  

 

Mặt khác, với x, y, z > 0
Ta có

1 1 1 9

x 1 y 1 z 1 (x 1) (y 1) (z 1)          

1 1 1 9

x 1 y 1 z 1 4

   

  

Vậy

9 3

P 3

4 4

  

x 1 y 1 z 1

3 1

P x y z

x y z 1

4 3

    


  _    

  


Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
3
P

4



tại

1
x y z

3

  

<b>0,5</b>
<b>0,25</b>

<b>0,5</b>

<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>4</b>

<b>(5đ)</b>

Vẽ hình

<b>a</b>
<b>2đ</b>

Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF
Suy ra: OQ BE

Vì BA  EQ nên O là trực tâm của tam giác BEQ.

<b>1,0</b>
<b>1,0</b>
<b>b</b>

<b>2đ</b>

Đường thẳng qua P và  BQ cắt AB tại H, dễ thấy PH//EO
Vì P là trung điểm của EA nên H là trung điểm của AO.

<b>1,0</b>

<b> 1,0</b>
<b>c</b>

<b>1đ</b>

Ta có:

BPQ

1 1 AE AF AE AF

S AB.PQ 2R. R. R. AE.AF

2 2 2 2



 

   

Vì AE.AF = AB2_{= 4R}2_nênS__BPQ R. 4R2 2R2

Dấu “=” xảy ra khi AE = AF hay tam giác BEF vng cân
tai B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Khi đó AB  CD

<b>0,25</b>

<b>5</b>
<b>(1đ)</b>

<b>D</b> <b>B</b>

<b>C</b>

<b>A</b>

Tõ BC2 _{+ AB.AC - AB}2 _{= 0}

2 BC AB AC

BC AB(AC AB)

AB BC



    

Nªn AB > AC. Trên AB lấy D sao cho AC = AD

 _{BD = AB – AC}



BC BD

AB BC  ABC_~CBD(c.g.c)_ _{ACB CDB} _ ₍₁₎
Mặt khác: CDB A ACD   ₍₂₎

Ta có

 1800 A

ACD

2




(3)

Từ (1), (2), (3) có :

  1800 A A 180 0

ACB A

2 2

 

  

 0  0   0 

2C 180 A 2 180 (A B) 180 A

       

 

   

0 2 0

180 3A 2B A B 60

3

     

<b>0,25</b>
<b>0,25</b>
<b>0,25</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B</b>

<b>Câu</b> <b>Ý</b> <b>Nội dung</b> <b>Biểu</b>

<b>điểm</b>
<b>1</b>
<b>(4đ)</b>
<b>a</b>
<b>2đ</b>
2 2

6 4 2  3 2 2  (2 2)  ( 2 1) (2 2) ( 2 1) 3.  
Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm. <b>2,0</b>

<b>b</b>
<b>2đ</b>

Ta biết: Với 0 < α < 900

Ta có sinα = cos(900_{-α), sin}2_{α + cos}2_{α = 1}
C = sin2₂0 _{+ sin}2₃0 _{+ … + sin}2₈₈0

C = (sin2₂0 _{+ sin}2₈₈0_{) + ... + (sin}2₄₄0 _{+ sin}2₄₆0_{) + sin}2₄₅0
C = (cos2₈₈0 _{+ sin}2₈₈0_{) + ... + (cos}2₄₆0 _{+ sin}2₄₆0_{) + sin}2₄₅0
C = 1+1+....+1+

1
2₌
1 87
43
2 2
 
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>2</b>
<b>(6đ)</b>
<b>a</b>
<b>3đ</b>
ĐKXĐ:
2 2

x ; x

2 2



 

3x2_{+ 4x + 10 = 2} 14x2 _ 7

 x24x 4 2x  2 1 2 2x21. 7 7 <i>₌</i>₀

2 2

(x 2) ( 2x 1 7) 0

     

2

x 2

x 2 0

x 2

x 2

2x 1 7 0 _x ₂



 

 
      
  
 
 _


 _{(thỏa mãn)}

<b>0,75</b>
<b>0,75</b>
<b>0,75</b>
<b>0,75</b>
<b>b</b>
<b>3đ</b>

Ta có: x.y - x - y = 2  x.( y -1) - y = 2
 x.(y - 1) - (y - 1) = 3
 _{(x -1).(y - 1) = 3}

Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 cũng là các số
nguyên và là ước của 3. Suy ra các trường hợp sau:

x 1 3
y 1 1

 



 

 _;

x 1 1
y 1 3

 



 

 _;

x 1 1

y 1 3

 




 

 _;

x 1 3

y 1 1

Giải các hệ này ta có nghiệm của phơng trình :
(4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)

<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>0,5</b>
<b>1,0</b>
<b>0,5</b>
<b>3</b>
<b>(4đ)</b>
<b>a</b>
<b>2đ</b>

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có:

2

a (b c) 2 a(b c)

(a b c) 4a(b c)

   

   

2

1 4a(b c)

(b c) 4a(b c) 16abc

 
   
<b>1,0</b>
<b>1,0</b>
<b>b</b>
<b>2đ</b>
Ta có

1 1 1

P= 1- 1-

1-x 1 y 1 z 1

 

   

 

     

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1 1 1

P 3

x 1 y 1 z 1

 

  _   _

  

 

Mặt khác, với x, y, z > 0
Ta có

1 1 1 9

x 1 y 1 z 1 (x 1) (y 1) (z 1)          

1 1 1 9

x 1 y 1 z 1 4

   

  

Vậy

9 3

P 3

4 4

  

x 1 y 1 z 1

3 1

P x y z

x y z 1

4 3

    


  _    

  


Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
3
P

4



tại

1
x y z

3

  

<b>0,25</b>

<b>0,5</b>
<b>0,25</b>
<b>0,25</b>

<b>0,25</b>

<b>4</b>
<b>(5đ)</b>

Vẽ hình

<b>a</b>
<b>2đ</b>

Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF
Suy ra: OQ BE

Vì BA  EQ nên O là trực tâm của tam giác BEQ.

<b>1,0</b>
<b>1,0</b>
<b>b</b>

<b>2đ</b>

Đường thẳng qua P và  BQ cắt AB tại H, dễ thấy
PH//EO

Vì P là trung điểm của EA nên H là trung điểm của AO.

<b>1,0</b>
<b>1,0</b>

<b>c</b>

<b>1đ</b>

Ta có:

BPQ

1 1 AE AF AE AF

S AB.PQ 2R. R. R. AE.AF

2 2 2 2



 

   

Vì AE.AF = AB2_{= 4R}2_nênS_BPQ R. 4R2 2R2

Dấu “=” xảy ra khi AE = AF hay tam giác BEF vng cân
tai B.

Khi đó AB  CD

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>5</b>
<b>(1đ)</b>

<b>D</b> <b>B</b>

<b>C</b>

<b>A</b>

Tõ BC2 _{+ AB.AC - AB}2 _{= 0}

2 BC AB AC

BC AB(AC AB)

AB BC



    

Nªn AB > AC. Trên AB lấy D sao cho AC = AD

 _{BD = AB – AC}



BC BD

AB BC  ABC_~CBD(c.g.c)_ _{ACB CDB} _ ₍₁₎
Mặt khác: CDB A ACD   ₍₂₎

Ta có

 1800 A

ACD

2




(3)

Từ (1), (2), (3) có :

  1800 A A 180 0

ACB A

2 2

 

  

 0  0   0 

2C 180 A 2 180 (A B) 180 A

       

 

   

0 2 0

180 3A 2B A B 60

3

     

<b>0,25</b>

<b>0,25</b>

<b>0,25</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8></div>

<!--links-->