20 Đề thi HSG Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>§Ị thi hsg líp 8</b>

<b>Năm 2007 – 2008</b>

(120 phút)
<b>Bài 1 (4đ):</b>

1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3_{+ 3x}2_{+ 6x + 4.}
2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng:
4a2_b2_{> (a}2_{+ b}2 _{− c}2₎2

<b>Bài 2 (3đ):</b>

Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì :

<i>y</i>

<i>x</i>

3

<i>₋</i>

₁

−

<i>x</i>

<i>y</i>

3

<i>₋</i>

₁

=

2

(

<i>x − y</i>

)

<i>x</i>

2

<i>y</i>

2

+

3

<b>Bài 3 (5đ): </b>

Giải phương trình:
1,

<i>x</i>

2

<i>₋</i>

₂₄

2001

+

<i>x</i>

2

<i>₋</i>

₂₂

2003

=

<i>x</i>

2

<i>₋</i>

₂₀

2005

+

<i>x</i>

2

<i>₋</i>

₁₈

2007

2, (2x − 1)3_{+ (x + 2)}3_{= (3x + 1)}3

<b>Bài 4 (6đ):</b>

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngồi ∆ đó ∆ABD vng cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C.
Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:

1, AH = AK
2, AH2_{= BH.CK}
<b>Bài 5 (2đ): </b>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).

<b>đề thi học sinh giỏi </b>
<b>Năm học: 2004 </b>–<b> 2005</b>

Thêi gian 150 phót

<b>Bµi 1:</b>

1) Rót gän biÓu thøc:
A =

2

1

6

5

5

<i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











_{víi /x/ = 1}
2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:

B =

2

₇

₅₂

(

)

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x y</i>









<b>Bµi 2: </b>

1) Giải phơng trình:

(x 2).(x + 2).(x2_{10) = 72}
2) Tìm x để biểu thức:

A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
<b>Bi 3: </b>

1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x2_{+ 21 là số chính phơng ?}

2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:
(m 1).(n 1)

192

<b>Bài 4:</b>

Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.

1) Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.

2) Chứng minh: AM là tia phân giác của

<i>AHN</i>

.

3) Vẽ AI

HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
<b>Bài 5:</b>

1) Gải phơng trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Chứng minh rằng:

1

1 1

9

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<b>Đề số 1</b>
<b>Bài 1</b>: (3 điểm)

Cho biểu thøc

<i>A</i>

=

(

1

3

+

3

<i>x</i>

2

<i>₋</i>

₃

<i>_x</i>

)

:

(

<i>x</i>

2

27

<i>−</i>

3

<i>x</i>

2

+

1

<i>x</i>

+

3

)

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < -1.

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
<b>Bài 2</b>: (2 điểm)

Giải phơng trình:
a)

1

3

<i>y</i>

2+

3

<i>x</i>2

<i></i>3<i>x</i>

_:

(

27

<i></i>

<i>x</i>

2

3

<i>x</i>

)

b)

<i>x </i>

<i>x</i>

2

<i></i>

3

+

<i>x</i>

4

2

=

3

<i></i>

(

1

<i></i>

6

<i> x</i>

3

)

.

1

2

2

<b>Bài 3</b>: (2 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và
vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
<b>Bài 4</b>: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và
N AD). Chứng minh:

a) BD // MN.

b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
<b>Bài 5</b>: (1 ®iĨm)

Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).
Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chính phơng.
<b>Đề số 2</b>

<b>Câu I</b>: (2điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a)

<i>_x</i>

2

₊

₄

<i>_x</i>

₅

b)

_ab

₍

<i>_{a b}</i>

₎

<i></i>

_ac

₍

<i>_a</i>

₊

<i>_c</i>

₎₊

_bc

₍

₂

<i>_{a b}</i>

₊

<i>_c</i>

₎

2) Giải phơng trình

1

<i>x</i>

2

+

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

2

+

3

<i>x</i>

+

2

<b>Câu II</b>: (2 điểm)

1) Xỏc nh a, b để da thức

<i>_f</i>

₍

<i>_x</i>

₎₌

<i>_x</i>

3

₊

₂

<i>_x</i>

2

₊

_ax

₊

<i>_b</i>

chia hết cho a thc

<i>g</i>

(

<i>x</i>

)=

<i>x</i>

2

+

<i>x</i>

+

1

.

2) Tìm d trong phép chia đa thức

<i>_P</i>

₍

<i>_x</i>

₎₌

<i>_x</i>

161

₊

<i>_x</i>

37

₊

<i>_x</i>

13

₊

<i>_x</i>

5

₊

<i>_x</i>

₊

₂₀₀₆

cho đa thức

<i>Q</i>

(

<i>x</i>

)=

<i>x</i>

2

+

1 .

<b>Câu III</b>: (2 điểm)

1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị cđa biĨu thøc:

<i>P</i>

=

<i>a</i>

2

<i>a</i>

2

<i>_−b</i>

2

<i>_{− c}</i>

2

+

<i>b</i>

2

<i>b</i>

2

<i>_{− c}</i>

2

<i>_{− a}</i>

2

+

<i>c</i>

2

<i>c</i>

2

<i>_−a</i>

2

<i>_−b</i>

2

2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n

<i>a ≠ −b , b ≠ −c , c ≠ − a</i>

.
CMR:

<i>a</i>

2

<i></i>

bc

(

<i>a</i>

+

<i>b</i>

)(

<i>a</i>

+

<i>c</i>

)

+

<i>b</i>

2

<i></i>

ac

(

<i>b</i>

+

<i>a</i>

)(

<i>b</i>

+

<i>c</i>

)

+

<i>c</i>

2

<i></i>

ab

(

<i>c</i>

+

<i>a</i>

)(

<i>c</i>

+

<i>b</i>

)

=

0

<b>Câu IV</b>: (3điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình
vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K thẳng hàng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H.
CMR:

HA

<i>'</i>

AA

<i>'</i>

+

HB

<i>'</i>

BB

<i>'</i>

+

HC

<i>'</i>

CC

<i>'</i>

b»ng mét h»ng sè.
<b>C©u V</b>: (1 ®iĨm):

Cho hai số a, b khơng đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

<i>Q</i>

=

<i>a</i>

2

<i></i>

_ab

+

<i>b</i>

2

<i>a</i>

2

+

ab

+

<i>b</i>

2
<b>Đề số 3</b>

<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

<i>a</i>

+

<i>b</i>

¿

2

(

<i>a −b</i>

)

<i>c</i>

+

<i>a</i>

¿

2

(

<i>c − a</i>

)+

<i>c</i>

¿

<i>b</i>

+

<i>c</i>

¿

2

(

<i>b − c</i>

)+

<i>b</i>

<i>a</i>

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và

1

<i>a</i>

+

1

<i>b</i>

+

1

<i>c</i>

=

0

Rót gän biĨu thøc:

<i>N</i>

=

1

<i>a</i>

2

+

2 bc

+

1

<i>b</i>

2

+

2ca

+

1

<i>c</i>

2

+

2 ab

<b>Bµi 2</b>: (2điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
<i>_M</i>₌<i>_x</i>2₊<i>_y</i>2<i></i>_xy<i>_x</i>₊<i>_y</i>₊₁

b) Giải phơng trình:

<i>y </i>

5,5

4

<i></i>

1

=

0

<i>y </i>

4,5

4

+

<b>Bài 3</b>: (2điểm)

Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó gặp một ơ tơ, từ
B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp ngời đi xe máy tại một một địa điểm
cách B 20 km.

Tính quãng đờng AB.
<b>Bài 4:</b> (3điểm)

Cho hình vng ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vng góc với nhau.

b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
<b>Bài 5</b>: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
3<i>x</i>2+5<i>y</i>2=345

<b>Đề số 4</b>

<b>Bài 1:</b> (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5_{+ x +1}

b) x4_{+ 4}

c) x

_√

<i>_x</i>

- 3x + 4

_√

<i>_x</i>

-2 víi x 0
<b>Bài 2 :</b> (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rót gän biĨu thøc:

<i>A</i>

=

<i>a</i>

ab

+

<i>a</i>

+

2

+

<i>b</i>

bc

+

<i>b</i>

+

1

+

2

<i>c</i>

ac

+

2

<i>c</i>

+

2

<b>Bµi 3:</b> (2điểm)

Cho 4a2_{+ b}2_{= 5ab và 2a}__b_₀
TÝnh:

<i>P</i>

=

ab

4

<i>a</i>

2

<i>− b</i>

2
<b>Bµi 4 :</b> (3®iĨm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đờng thẳng song song
với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

c) TÝnh : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC
để cho AEMF là hỡnh vuụng.

<b>Bài 5:</b> (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
₅2n+1_{+ 2}n+4_{+ 2}n+1 _{chia hết cho 23.}

<b>Đề số 5</b>
<b>Bài 1</b>: (2®iĨm)

Cho biĨu thøc:

<i>M</i>

=

1

<i>x</i>

2

<i>−</i>

5

<i>x</i>

+

6

+

1

<i>x</i>

2

<i>−</i>

7

<i>x</i>

+

12

+

1

<i>x</i>

2

<i>−</i>

9

<i>x</i>

+

20

+

1

<i>x</i>

2

<i>−</i>

11

<i>x</i>

+

30

1) Rót gän M.

2) Tìm giá trị x để M > 0.
<b>Bài 2</b>: (2điểm)

Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả
hai vịi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc. Cịn nếu đóng vịi chảy ra mở vịi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể.
Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vịi chảy ra.

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.

2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy b l bao nhiờu.
<b>Bi 3</b>: (1im)

Tìm x, y nguyên sao cho:

<i>_x</i>

2

₊

_{2 xy}

₊

<i>_x</i>

₊

<i>_y</i>

2

₊

₄

<i>_y</i>

₌

₀

<b>Bài 4</b>: (3điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D).
Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.

1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK.

2) Gäi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chøng minh r»ng:
JA = JB = JF = JI.

3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho di EK ngn nht.

<b>Bài 5</b>: (1điểm)

Cho x, y, z khác 0 thoả mÃn:

1

xy

+

1

yz

+

1

zx

=

0

TÝnh

<i>_N</i>

₌

<i>x</i>

2

yz

+

<i>y</i>

2

zx

+

<i>z</i>

2

xy

<b>§Ị sè 6</b>

<b>Câu I:</b> (5 điểm)

Rút gọn các phân thức sau:
1)

|

<i>x </i>

1

|

+

|

<i>x</i>

|

+

<i>x</i>

3

<i>x</i>

2

<i></i>

₄

<i>_x</i>

+

1

2)

<i>a </i>

1

2

+

30

<i>a </i>

1

4

<i></i>

18

(

<i>a</i>

2

<i></i>

2

<i>a</i>

)

<i></i>

3

3

<i>a </i>

1

4

<i></i>

11

<b>Câu II</b>: (4 điểm)

1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th×

<i>a</i>

2

+

<i>b</i>

2 chia hÕt cho 13.

2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mÃn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:

<i>A</i>

=

<i>a</i>

1

+

<i>a</i>

+

ac

+

<i>b</i>

1

+

<i>b</i>

+

bc

+

<i>c</i>

1

+

<i>c</i>

+

ac

3) Giải phơng trình:

<i>x</i>

2

+

2

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

2

+

2

<i>x</i>

+

2

+

<i>x</i>

2

+

2

<i>x</i>

+

2

<i>x</i>

2

+

2

<i>x</i>

+

3

=

7

6

<b>Câu III</b>: (4 điểm)

thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ cơng
nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hồn thành trong 15 giờ.
Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% cơng việc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt
là hình chiếu của C trên AB và AD.

1) Tứ giác DFBE là h×nh g× ? v× sao ?

2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh

_AC

2

₌

_{AB . AH}

₊

_{AD . AK}

<b>Câu V</b>: (2 điểm)

Giải phơng trình:

_|

<i>_x</i>

₂₀₀₂

_|

2002

₊

_|

<i>_x</i>

₂₀₀₃

_|

2003

₌

₁

<b>Đề số 7</b>

<b>Câu I</b>: (2điểm)

1. Thc hin phép chia

<i>_A</i>

₌

₂

<i>_x</i>

4

<i>_{− x}</i>

3

<i>_{− x}</i>

2

<i>_{− x}</i>

₊

₂

cho

<i>_B</i>

₌

<i>_x</i>

2

₊

₁

. Tìm x Z để A chia ht

cho B.

2. Phân tích đa thức thơng trong câu 1 thành nhân tử.
<b>Câu II</b>: (2điểm)

1. So sánh A và B biÕt:

<i>A</i>

=

5

32

<i>−</i>

1

vµ

<i>B</i>

=

6

(

5

2

+

1

)(

5

4

+

1

)(

5

8

+

1

)(

5

16

+

1

)

2. Chøng minh r»ng: 1919_{+ 69} 69_{chia hết cho 44.}

<b>Câu III</b>: (2điểm)

1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mÃn:

<i>a</i>

+

<i>b</i>

+

<i>c</i>

2

=

3

(

ab

+

bc

+

ca

)

. Hỏi tam giác

ó cho là tam giác gì ?

2. Cho ®a thøc f(x) = <i>_x</i>100₊<i>_x</i>99₊_{.. .}₊<i>_x</i>2₊<i>_x</i>₊₁ . Tìm d của phép chia đa thức f(x) cho đa thức

<i>x</i>

2

<i></i>

1

.

<b>Câu IV</b>: (3điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H lên AB và AC.
Gọi M là giao điểm của BF v CE.

1. Tứ giác AEHF là hình gì ? T¹i sao ?
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE

3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.

<b>Câu V</b> : (1 điểm)

Chứng minh nghiệm của phơng trình sau là một số nguyên:

<i>x −</i>

2

2005

+

<i>x −</i>

3

2004

+

<i>x −</i>

4

2003

=

<i>x −</i>

2005

2

+

<i>x </i>

2004

3

+

<i>x </i>

2003

4

<b>Đề số 8</b>

<b>Câu 1</b>: (2điểm)

a) Cho

<i>_x</i>

2

<i></i>

_{2 xy}

₊

₂

<i>_y</i>

2

<i>₋</i>

₂

<i>_x</i>

₊

₆

<i>_y</i>

₊

₁₃

₌

₀

TÝnh

<i>_N</i>

₌

3

<i>x</i>

2

<i>_{y −}</i>

₁

4 xy

b) Nếu a, b, c là các số dơng đơi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dơng.
<i>_A</i>₌<i>_a</i>3₊<i>_b</i>3₊<i>_c</i>3<i></i>_{3 abc}

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

Chứng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×:

<i>A</i>

=

(

<i>a −b</i>

<i>c</i>

+

<i>b − c</i>

<i>a</i>

+

<i>c − a</i>

<i>b</i>

)(

<i>c</i>

<i>a − b</i>

+

<i>a</i>

<i>b − c</i>

+

<i>b</i>

<i>c − a</i>

)

=

9

<b>C©u 3</b>: (2 ®iĨm)

Một ô tô phải đi quãng đờng AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đờng đầu đi với vận
tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đờng sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6

km/h.

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đờng AB biết ngời đó đến B đúng giờ.
<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Cho hình vng ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng
thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt
AI ti N.

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
<b>Câu 5</b>: (1 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Đề số 9</b>
<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

Cho

<i>M</i>

=

(

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

)

6

<i>−</i>

(

<i>x</i>

6

+

1

<i>x</i>

6

)

<i>−</i>

2

(

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

)

3

+

<i>x</i>

3

+

1

<i>x</i>

3
a) Rót gän M.

b) Cho x > 0, t×m giá trị nhỏ nhất của M.
<b>Bài 2</b>: (2 điểm)

a) Tìm x biÕt :

<i>x −</i>

3

¿

3

<i>x −</i>

2

¿

3

=

¿

2

<i>x −</i>

5

¿

3

<i>−</i>

¿

¿

b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phơng.
<b>Bài 3</b>: (2 điểm)

a) Cho x và y thoả mÃn:

₄

<i>_x</i>

2

₊

_{17 xy}

₊

₉

<i>_y</i>

2

₌

_{5 xy}

<i></i>

₄

_|

<i>_y</i>

₂

_|

Tính <i>_H</i>₌<i>_x</i>3₊<i>_y</i>3₊_xy

b) Cho a, b, c tho¶ m·n:

<i>a</i>

+

<i>b</i>

+

<i>c</i>

=

abc

Chøng minh:

<i>_a</i>

₍

<i>_b</i>

2

<i></i>

₁

₎₍

<i>_c</i>

2

<i></i>

₁

₎₊

<i>_b</i>

₍

<i>_a</i>

2

<i></i>

₁

₎₍

<i>_c</i>

2

<i></i>

₁

₎₊

<i>_c</i>

₍

<i>_a</i>

2

<i></i>

₁

₎₍

<i>_b</i>

2

<i></i>

₁

₎₌

_{4 abc}

<b>Bài 4:</b> (4 điểm)

Cho hỡnh thang ABCD ỏy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đờng thẳng song
song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N.

a) Chøng minh IM = IN.
b) Chøng minh:

1

AB

+

1

CD

=

2

MN

c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt tại H và
E. Chứng minh HM + HE = 2AK.

d) Cho S(AIB) = a2_(cm2_{) , S(DIC) = b}2_(cm2_{). Tính S(ABCD) theo a và b.}

<b>Đề số 10</b>
<b>C</b>

<b> âu 1 : (2 điểm) </b>

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) <i>_x</i>2<i>_{− x −}</i>₁₂

b)

<i>_x</i>

8

₊

<i>_x</i>

₊

₁

c)

₍

<i>_x</i>

2

₊

₃

<i>_x</i>

₊

₂

₎₍

<i>_x</i>

2

₊

₁₁

<i>_x</i>

₊

₃₀

₎

<i>₋</i>

₅

<b>C©u 2</b>: (2 điểm)

1) So sánh A vµ B biÕt: <i>_A</i>₌₅32 vµ

<i>_B</i>

₌

₂₄

₍

₅

2

₊

₁

₎₍

₅

4

₊

₁

₎₍

₅

8

₊

₁

₎₍

₅

16

₊

₁

₎

2) Cho ₃<i>_a</i>2₊₂<i>_b</i>2₌_{7 ab} vµ

3

<i>a</i>

>

<i>b</i>

>

0

.

Tính giá trị của biểu thức:

<i>P</i>

=

2005

<i>a </i>

2006

<i>b</i>

2006

<i>a</i>

+

2007

<i>b</i>

<b>Câu 3: (</b>2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc:

2

9

6

6

12

1974

2

2













<i>x</i>

<i>y</i>

<i>xy</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>A</i>

2) Gi¶i phơng trình: <i>_y</i>2₊₄<i>x</i>₊₂<i>_y</i>₂<i>x</i>+1

+2=0

3) Chøng minh r»ng:

2
2
2
2
8
8
8

8

<i>_b</i>

<i>_c</i>

<i>_d</i>

₄

<i>_a</i>

<i>_b</i>

<i>_c</i>

<i>_d</i>

<i>a</i>

<b>Câu 4: (</b>3 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc
với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi
AB c¾t AI ë G.

a) Chứng minh tứ giác EGFK là h×nh thoi.
b) Chøng minh AF2_{= FK. FC.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức
f(x) không có nghiệm nguyên.

<b>Đề số 11</b>
<b>Câu 1</b>: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biÓu thøc:

<i>A</i>

=

(

1

4

+

1

4

)(

3

4

+

1

4

)

.. .

(

19

4

+

1

4

)

(

2

4

+

1

4

)(

4

4

+

1

4

)

. ..

(

20

4

+

1

4

)

b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 là một số chính phơng.

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

a) Cho xyz = 2006

Chøng minh r»ng:

2006

<i>x</i>

xy

+

2006

<i>x</i>

+

2006

+

<i>y</i>

yz

+

<i>y</i>

+

2006

+

<i>z</i>

xz

+

<i>z</i>

+

1

=

1

b) Tìm n nguyên dơng để A = n3_{+ 31 chia hết cho n + 3.}

c) Cho

<i>a</i>

+

2

<i>b</i>

+

3

<i>c ≥</i>

14

. Chøng minh rằng: <i>_a</i>2₊<i>_b</i>2₊<i>_c</i>2<i></i>₁₄ .
<b>Câu 3</b>: (2 điểm)

Cho phân thức:

<i>B</i>

=

(

3

<i>x</i>

2

+

3

<i>x</i>

3

<i></i>

1

<i></i>

<i>x </i>

1

<i>x</i>

2

+

<i>x</i>

+

1

<i></i>

1

<i>x </i>

1

)

.

<i>x </i>

1

2

<i>x</i>

2

<i></i>

5

<i>x</i>

+

5

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ các hình
vuông AMCD và BMEF.

a) Chứng minh: AE BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng
AB.

<b>Câu 5</b>: (1 điểm)

a) Chứng minh rằng với n N và n > 3 thì:

<i>C</i>

=

1

+

1

2

3

+

1

3

3

+

1

4

3

+

1

5

3

. ..

+

1

<i>n</i>

3

<

2

b) Giải phơng trình:

(

<i>x </i>

1

)(

<i>x </i>

2

)(

<i>x </i>

3

)(

<i>x </i>

4

)=(

<i>x</i>

+

1

)(

<i>x</i>

+

2

)(

<i>x</i>

+

3

)(

<i>x</i>

+

4

)

<b>Đề số 12</b>

<b>Câu 1:</b> (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) <i>_x</i>2<i></i>₇<i>_x</i>₆

b)

₍

<i>_x</i>

₊

₂

₎₍

<i>_x</i>

₊

₃

₎₍

<i>_x</i>

₊

₄

₎₍

<i>_x</i>

₊

₅

₎

<i></i>

₂₄

c)

<i>_x</i>

4

₊

₄

2) Rút gọn:

<i>A</i>

=

1

<i>x</i>

2

+

5

<i>x</i>

+

6

+

1

<i>x</i>

2

+

7

<i>x</i>

+

12

+

1

<i>x</i>

2

+

9

<i>x</i>

+

20

+

1

<i>x</i>

2

+

11

<i>x</i>

+

30

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

1) Tỡm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì d 2, f(x) chia cho x-3 thì d 7,
f(x) chia cho x2_{- 5x + 6 thì đợc thơng là 1-x}2_{và cịn d.}

2) Tìm giá trị ngun của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyờn.

<i>A</i>

=

2

<i>x</i>

3

+

<i>x</i>

2

+

2

<i>x</i>

+

5

2

<i>x</i>

+

1

<b>Câu 3</b>: (2 điểm)

Giải phơng trình:
a)

<i>x </i>

1

99

+

<i>x −</i>

3

97

+

<i>x −</i>

5

95

=

<i>x −</i>

2

98

+

<i>x −</i>

4

96

+

<i>x −</i>

6

94

b)

<i>x</i>

2

+

<i>x</i>

+

1

2

+(

<i>x</i>

2

+

<i>x</i>

+

1

)

<i></i>

12

=

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Mt ng thng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt tại E, K, G.
Chứng minh rằng:

1)

_AE

2

₌

_{EK . EG}

2)

1

AE

=

1

AK

+

1

AG

3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A. Chứng minh: BK. DG = const.
<b>Cõu 5</b>: (1 im)

Tìm giá trị nhỏ nhÊt nÕu cã cđa biĨu thøc sau:

<i>B</i>

=

16

<i>x</i>

2

+

4

<i>x</i>

+

1

2

<i>x</i>

(với x > 0)
<b>Đề số 14</b>

<b>Câu 1</b>: (2 điểm)

a) Phân tÝch thµnh thõa sè:

<i>a</i>

+

<i>b</i>

+

<i>c</i>

¿

3

<i>− a</i>

3

<i>−b</i>

3

<i>− c</i>

3

¿

b) Rót gän:

2

<i>x</i>

3

<i></i>

₇

<i>_x</i>

2

<i></i>

₁₂

<i>_x</i>

+

45

3

<i>x</i>

3

<i></i>

19

<i>x</i>

2

+

33

<i>x </i>

9

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

Chứng minh rằng:

<i>n</i>

2

<i></i>

7

2

<i></i>

36

<i>n</i>

<i>A</i>

=

<i>n</i>

3

chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiên n.

<b>Câu 3</b>: (2 điểm)

a) Cho ba mỏy bm A, B, C hút nớc trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nớc trong

12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nớc trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai
máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B.

TÝnh xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nớc.

b) Giải phơng tr×nh: ₂

_|

<i>_x</i>+<i>a</i>

|

<i>−</i>

|

<i>x −</i>2<i>a</i>

|

=3<i>a</i> (a là hằng số).
<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có
chứa điểm C ngời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By
lần lợt tại các điểm M, N.

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.

c) Chøng minh: gãc MIN = 900_.

d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC.
<b>Câu 5</b>: (1 điểm)

Chøng minh r»ng sè:

224 99 . .. .. . .. .. 9

_⏟

n-2 sè 9

1 00 .. .. . .. .. . .. . 09



n số 0 là số chính phơng. (

<i>n </i>

2

).

<b>Đề số 15</b>
<b>Câu 1</b>: (2 điểm)

Cho

<i>P</i>

=

<i>a</i>

3

<i>₋</i>

₄

<i>_a</i>

2

<i>_{− a}</i>

+

4

<i>a</i>

3

<i>−</i>

7

<i>a</i>

2

+

14

<i>a −</i>

8

a) Rót gän P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.
<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng cđa chóng
chia hÕt cho 3.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

<i>P</i>

=(

<i>x −</i>

1

)(

<i>x</i>

+

2

)(

<i>x</i>

+

3

)(

<i>x</i>

+

6

)

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
<b>Câu 3</b>: (2 im)

a) Giải phơng trình:

1

<i>x</i>

2

+

9

<i>x</i>

+

20

+

1

<i>x</i>

2

+

11

<i>x</i>

+

30

+

1

<i>x</i>

2

+

13

<i>x</i>

+

42

=

1

18

b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh r»ng;

<i>A</i>

=

<i>a</i>

<i>b</i>

+

<i>c − a</i>

+

<i>b</i>

<i>a</i>

+

<i>c − b</i>

+

<i>c</i>

<i>a</i>

+

<i>b − c</i>

<i>≥</i>

3

<b>C©u 4</b>: (3 ®iĨm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

a)

_{BD . CE}

₌

BC

2

4

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
<b>Câu 5</b>: (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo

chu vi.

<b>Đề số 16</b>
<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

a, Giải phơng trình

6

<i>x </i>

10

3

=

0

1

<i> x</i>

2

3

+

<i>x</i>

2

<i></i>

6

<i>x</i>

+

9

3

+

b) Cho x, y thoả mÃn: <i>_x</i>2₊₂<i>_y</i>2₊_{2 xy}<i></i>₆<i>_x</i>₂<i>_y</i>₊₁₃₌₀ .
Tính giá trị của biểu thức:

<i>_H</i>

₌

<i>x</i>

2

<i></i>

7 xy

+

52

<i>x y</i>

<b>Bài 2</b>: (2 ®iĨm)

Cho

<i>x</i>

2

<i>−</i>

3

<i>y</i>

<i>x</i>

(

1

<i>−</i>

3

<i>y</i>

)

=

<i>y</i>

2

<i>−</i>

3

<i>x</i>

<i>y</i>

(

1

<i>−</i>

3

<i>x</i>

)

víi <i>x , y ≠</i>0 ;

<i>x , y ≠</i>

1

3

; <i>x ≠ y</i> .
Chøng minh r»ng:

1

<i>x</i>

+

1

<i>y</i>

=

<i>x</i>

+

<i>y</i>

+

8

3

.
<b>Bµi 3</b>:

Tìm x ngun để biểu thức y cú giỏ tr nguyờn.
Vi

<i>y</i>

=

4

<i>x</i>

+

3

<i>x</i>

2

+

1

<b>Bài 4</b>: (3 điểm)

Cho ∆ABC cân tại A (AB = AC > BC). Trên cạnh BC lấy M sao cho MB < MC. Từ M kẻ đờng thẳng
song song với AC cắt AB ở E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M
qua đờng thẳng EF.

a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF.

b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân.
c) AN cắt BC tại H. Chứng minh HB. HC = HN. HA
<b>Bài 5</b>: (1 điểm)

Cho đa thức

<i>_f</i>

₍

<i>_x</i>

₎₌

<i>_x</i>

3

₊

_ax

2

₊

_bx

₊

<i>_c</i>

Tìm a, b, c biÕt

<i>_f</i>

(

1

)=

5

;

<i>_f</i>

(

2

)=

7

;

<i>_f</i>

(

3

)=

9

<b>§Ị sè 17</b>

<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tö:
a)

<i>_x</i>

8

₊

<i>_x</i>

7

₊

₁

b)

(

4

<i>x</i>

+

1

)(

12

<i>x −</i>

1

)(

3

<i>x</i>

+

2

)(

<i>x</i>

+

1

)

<i>−</i>

4

2) Cho

<i>a</i>

+

<i>b</i>

+

<i>c</i>

=

0

và <i>_a</i>2₊<i>_b</i>2₊<i>_c</i>2₌₁ . Tính giá trị của biểu thức:

<i>M</i>

=

<i>a</i>

4

+

<i>b</i>

4

+

<i>c</i>

4

<b>Bài 2</b>: (2 điểm)

Cho biểu thức:

<i>M</i>

=

<i>x</i>

2

(

<i>x</i>

+

<i>y</i>

)(

1

<i> y</i>

)

<i>−</i>

<i>y</i>

2

(

<i>x</i>

+

<i>y</i>

)(

1

+

<i>x</i>

)

<i>−</i>

<i>x</i>

2

<i>y</i>

2

(

1

+

<i>x</i>

)(

1

<i>− y</i>

)

a) Rót gän M.

b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
<b>Bài 3</b>: (2điểm)

Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả
hai vịi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc. Cịn nếu đóng vịi chảy ra mở vịi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể.
Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vịi chảy ra.

1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vũi chy ra.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 4</b>: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với
AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng thẳng kẻ qua E, song song với
AB c¾t AI ë G.

a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.

b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2_{= FK. FC}

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
<b>Bài 5</b>: (1 điểm)

Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là
số tự nhiên,

<i>_n</i>

₁

).

Chứng minh rằng: <i>_a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>+8 là số chính phơng.
<b>Đề số 18</b>

<b>Câu 1</b>: (2 điểm)

Giải các phơng trình sau:
a)

<i>_x</i>

4

₊

₄

<i>_x</i>

2

₌

₅

b)

|

<i>x </i>1

|

<i></i>

|

2<i>x </i>3

|

=5

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

Cho biểu thức:

<i>A</i>

=

<i>x</i>

4

<i> x</i>

<i>x</i>

2

<i>− x</i>

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 1.
<b>Câu 3</b>: (2 điểm)

Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét mảnh vờn, và sẽ hoàn thành trong 5 giờ 50 phót. Nhng
sau 5 giê lµm chung Trung bËn viƯc khác nên không làm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ
nữa mới cuốc xong mảnh vờn.

Hỏi nếu làm một mình thì mỗi anh phải làm trong bao lâu?.
<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Cho hỡnh thang ABCD cú đáy lớn CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đờng

thẳng BI song song với AD cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng:

a) EF song song víi AB.
b) AB2_{= CD. EF}

<b>Câu 5</b>: (1 điểm)

Chứng minh rằng biểu thøc:

10

<i>n</i>

+

18

<i>n −</i>

1

chia hÕt cho 27 víi n là số tự nhiên.
<b>Đề số 19</b>

<b>Câu 1</b>: (2 điểm)

a) Phân tích thành nhân tử:

<i>x</i>

4

3

<i>x</i>

2

4

<i>x</i>

12

b) Tính: 2003.2005

1
...

7
.
5

1
5
.
3

1

3
.
1

1

<i>A</i>

<b>Câu 2</b>: (2 điểm)

a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mÃn:

3

<i>a</i>

2

<i>b</i>

2

4

<i>ab</i>

.
Tính giá trị của biểu thức:

<i>A</i>

=

<i>a b</i>

<i>a</i>

+

<i>b</i>

b) Giải phơng trình: <i>x</i>2 1 3

<b>Câu 3</b>: (2 ®iĨm)

Cho

<i>A</i>



<i>n</i>

3



3

<i>n</i>

2



2

<i>n</i>

(n  N)

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15.
<b>Câu 4</b>: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua

AB, AC.

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Cho



















13

3

14

3

2
3

2
3

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>ab</i>

<i>a</i>

.

Tính giá trị của :

<i>_P</i>

₌

<i>_a</i>

2

<i>_b</i>

2
<b>Đề số 20</b>

<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: <i>_x</i>2<i></i>_{2 xy}₌₃<i>_y</i>2
Tính giá trị của biểu thức:

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

b) Víi

|

<i>x</i>

|

=1 . Rót gän biĨu thøc:

<i>B</i>

=

<i>− x</i>

2

+

6

<i>x </i>

5

5

<i>x</i>

<i>n</i>

<i>_x</i>

<i>n</i>+1

<b>Bài 2</b>: (2 điểm)

Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức

<i>P</i>

(

<i>x</i>

)=

1985.

<i>x</i>

3

3

+

1978 .

<i>x</i>

2

2

+

5 .

<i>x</i>

6

có giá trị nguyên.
<b>Bài 3</b>: (2 điểm)

Mt ngi i xe p, mt ngời đi xe máy, một ngời đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lợt lúc 6
giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h,

40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều ngời đi xe đạp và xe máy.
<b>Bài 4</b>: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O là giao điểm của ba đờng trung trực, vẽ ra phía ngồi
tam giác hai hình vng ABDE, ACGH. Biết OE = OH.

Tính số đo góc BAC ?
<b>Bài 5</b>: (1 điểm)

</div>

<!--links-->