Tượng phật a di đà thời lý

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX </b>

(

)

( )

a sin x cos x+ +bsin x cos x c= 1
<b>Cách giải </b>

Đặt t sin x cos x với điều kiện t= + ≤ 2

Thì t 2 sin x 2 cos x

4 4

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _⎜ + _⎟ = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ta coù : t2 = +1 2sin x cos x nên 1 thành

( )

(

2

)

b

at t 1 c

2

+ − =

2

bt 2at b 2c 0

⇔ + − − =

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t ≤ 2
giải phương trình ⎛_⎜ + π⎞_⎟=

⎝ ⎠

2 sin x t

4 ta tìm được x

Bài 106 : Giải phương trình _{sin x sin x cos x 0 *}₊ 2 ₊ 3 ₌

( )

(*) _⇔_{sin x 1 sin x}

(

₊

)

₊_{cos x 1 sin x}

(

₋ 2

)

₌ ₀

(

)

(

)

⇔ 1 sin x+ =0 hay sin x cos x 1 sin x+ − =0

( )

( )

sin x 1 1

sin x cos x sin x cos x 0 2

= −

⎡
⇔ ⎢

+ − =

⎢⎣

( )

(

)

( )

2

1 x k2 k Z

2

Xeùt 2 : đặt t sin x cos x 2 cos x
4
điều kiện t 2 thì t 1 2sin x cos x

π

• ⇔ = − + π ∈

π

⎛ ⎞

• = + = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

≤ = +

Vậy (2) thành t t2 1 0
2

−

− =

(

)

2

t 2t 1 0

t 1 2

t 1 2 loại

⇔ − − =

⎡ = −
⇔ ⎢

= +
⎢⎣

Do đó ( 2 ) ⇔ 2 cos x 1 2
4

π

⎛ ₋ ⎞_{= −}

⎜ ⎟

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

π

⎛ ⎞

⇔ _⎜ − _⎟ = − = ϕ < ϕ <

⎝ ⎠

π

⇔ − = ±ϕ + π ∈ ϕ = −

π

⇔ = ± ϕ + π ∈ ϕ = −

2

cos x 1 cos với 0 2

4 2

2

x h2 , h , với cos

4 2

2

x h2 , h , với cos

4 2

π

1
1

<b>Bài 107 : Giải phương trình </b> _{1 sin x cos x}3 3 3_{sin 2x *}

( )

2

− + + =

( )

* 1

(

sin x cos x 1 sin x cos x

)(

)

3sin 2x
2

⇔ − + + − =

Đặt t sin x cos x 2 sin x
4

π

⎛ ⎞

= + = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = +1 2sin x cosx

Vậy (*) thaønh : _{1 t 1} t2 1 3

(

_t2 ₁

)

2 2

⎛ ₋ ⎞

− + ⎜_⎜ − ⎟_⎟ = −

⎝ ⎠

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2

3 2

2

2 t 3 t 3 t 1

t 3t 3t 1 0

t 1 t 4t 1 0

t 1 t 2 3 t 2 3 loại

⇔ − + − = −

⇔ + − − =

⇔ − + + =

⇔ = ∨ = − + ∨ = − −
với t = 1 thì sin x 1 sin

4 2 4

π π

⎛ ₊ ⎞₌ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π π π π

⇔ + = = π ∨ + = + π ∈

π

⇔ = π ∨ = + π ∈

3

x k2 x k2 , k

4 4 4 4

x k2 x k2 , k

2

với = − ⎛_⎜ + π⎞_⎟ = − =

⎝ ⎠

3 2

t 3 2 thì sin x sin

4 2 ϕ

π π −

⇔ + = ϕ + π ∨ + = π − ϕ + π ∈ =

π π −

⇔ = ϕ − + π ∨ = − ϕ + π ∈ = ϕ

3 2

x m2 x m2 , m , với s

4 4 2

3 3

x m2 x m2 , m , với sin

4 4 2

ϕ
in
2

<b>Bài 108 :Giải phương trình </b> 2 sin x cos x

(

+

)

= tgx cot gx *+

( )

Điều kiện sin x 0 sin 2x 0

cos x 0
≠
⎧

⇔ ≠

⎨ _≠

⎩

Lúc đó (*) 2 sin x cos x

(

)

sin x cos x
cos x sin x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(

)

sin x cos x2 2 1

2 sin x cos x

sin x cos x sin x cos x

+

⇔ + = =

Đặt t sin x cos x 2 sin x
4

π

⎛ ⎞

= + = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

Thì t2 = +1 2 sin x cos x với t ≤ 2 và t2 ≠1
(*) thành 2t ₂2

t 1

=
−
3

2t 2t 2 0

⇔ − − =

(Hiển nhiên t = ±1 không là nghiệm)

(

)(

)

(

)

2

2

t 2 2t 2t 2 0

t 2

t 2t 1 0 vô nghiệm

⇔ − + + =

⎡ =
⇔ ⎢

+ + =

⎢⎣

Vaäy

( )

* ⇔ 2 sin x 2
4

π
⎛ ₊ ⎞ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π

⎛ ⎞

⇔ _⎜ + _⎟ =

⎝ ⎠

π π

⇔ + = + π ∈

π

⇔ = + π ∈

sin x 1

4

x k2 , k

4 2

x k2 , k

4

Bài 109 : Giải phương trình 3 cot gx cos x

(

−

)

−5 tgx sin x

(

−

)

=2 *

( )

Với điều kiện sin2x 0≠ , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx≠0 thì :

( )

* ⇔ 3 cos x 1 sin x2

(

−

)

−5 sin x 1 cos x2

(

−

)

=2 sin x cos x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

( )

( )

⇔ − − − = −

⇔ ⎡_⎣ − + ⎤_⎦− ⎡_⎣ − +

⇔ − + − − +

+ − =

⎡
⇔ ⎢

− =

⎢⎣

2 2

3 cos x 1 sin x 5 sin x 1 cos x 5 sin x cos x 3sin x cos x
3 cos x cos x 1 sin x sin x 5 sin x sin x 1 cos x cos x 0
3 cos x cos x sin x cos x sin x 5 sin x sin x sin x cos x cos x 0

sin x cos x sin x cos x 0 1

3 cos x 5 sin x 0 2

)

=
⎤⎦

=

( Ghi chuù: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D )
Giải (1) Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

⎛ ⎞

= + = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

Thì t2 = +1 2sin x cosx với điều kiện : t ≤ 2 và t ≠ ±1
(1) thành : _t t2 1 ₀ _t2 _2t

2

− _{1 0}

− = ⇔ − − =

(

)

(

)

t 1 2 loại do t 2

t 1 2 nhận so với điều kiện

⎡ = + ≤

⎢
⇔

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vaäy sin x 1 2 sin

(

0 2

)

4 2

π −

⎛ ₊ ⎞ ₌ ₌ _α _{< α < π}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π π

⎡ ₊ _{= α +} _π ⎡ _{= α −} ₊ _π

⎢ ⎢

⇔ ⎢ ⇔ ⎢

π π

⎢ ₊ _{= π − α +} _π _∈ ⎢ ₌ _{− α +} _π _∈

⎢ ⎢

⎣ ⎣

x k2 x k2

4 4

3

x k2 , k x k2 ,

4 4 k

( )

2 ⇔ tgx= 3 = tgβ ⇔ x = β + πh , h∈

(

với 0< β < π

)

5

<b>Bài 110 : Giải phương trình </b>

(

)

_{( )}

3 2

2

3 1 sin x x

3tg x tgx 8cos *

4 2
cos x

+ ⎛π ⎞

− + = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1

Lúc đó : (*) _{tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x}

(

2

)

(

)

(

2

)

_{4 1 cos} _x
2

⎡ ⎛π ⎞⎤

⇔ − + + + = _⎢ + _⎜ − _⎟_⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

(

)

4 1 sin x
= +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

2 2

2

2

2

tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0
3tg x 1 tgx 1 sin x 0

3tg x 1 sin x cosx sin x cosx 0
3tg x 1 1

sin x cosx sin x cosx 0 2

⎡ ⎤

⇔ − + + _⎣ + − _⎦

⇔ − + + =

⇔ − + + =

⎡ =

⇔ ⎢

+ + =

⎢⎣

=

( )

2 1 3

(1) tg x tgx x

3 3 6

Giải 2 đặt t sin x cos x 2 sin x
4
π

• ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + πk

π

⎛ ⎞

• = + = _⎜ _⎟

⎝ + ⎠
Với điều kiện t ≤ 2 và t≠ ±1

Thì _t2 _{= +}_{1 2sin x cos x}

(2) thành : _t t 12 ₀ _t2 _{2t 1}
2

− ₀

+ = ⇔ + − =

(

)

(

)

t 1 2 loại dođiều kiện t 2
t 1 2 nhận so với điều kiện

⎡ = − − ≤

⎢
⇔

⎢ = − +
⎣

Vaäy sin x 2 1 sin

4 2

π −

⎛ ₊ ⎞₌ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ϕ

x k2 ,k x k2 ,k

4 4

3

x k2 ,k x k2 ,

4 4

π π

⎡ _{+ = ϕ +} _{π ∈} ⎡ _{= ϕ − +} _{π ∈}

⎢ ⎢

⇔⎢ ⇔⎢

π π

⎢ _{+ = π − ϕ +} _{π ∈} ⎢ ₌ _{− ϕ +} _{π ∈}

⎢ ⎢

⎣ ⎣

¢ ¢

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 111 : Giải phương trình </b>_{2sin x sin x 2 cos x cosx cos2x *}3 − = 3 − +

( )

( )

_* _⇔_{2 sin x cos x}

(

3 ₋ 3

)

₋

(

_{sin x cos x}₋

)

₊_{sin x cos x 0}2 ₋ 2 ₌

(

)

(

)

( )

( )

sin x cosx 0 hay 2 1 sin x cosx 1 sin x cosx 0
sin x cosx 0 1

sin x cosx sin 2x 1 0 2

⇔ − = + − + + =

− =

⎡
⇔ ⎢

+ + + =

⎢⎣

( )

( )

1 tgx 1

x k ,k
4

xeùt 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x
4

• ⇔ =

π

⇔ = + π ∈

π

⎛ ⎞

• = + = _⎜ _⎟

⎝ ⎠

¢

−
Với điều kiện : t ≤ 2

2

t = +1 sin 2x

( )

(

2

)

Vậy 2 thành t+ t − + =1 1 0

(

)

t t 1 0 t 0 t 1

⇔ + = ⇔ = ∨ = −
Khi t = 0 thì cos x 0

4
π
⎛ ₋ ⎞₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(

)

x 2k 1 ,k

4 2

3

x k ,k
4

π π

⇔ − = + ∈

π

⇔ = + π ∈

¢
¢

Khi t 1 thì cos x 1 cos3

4 2 4

π π

⎛ ⎞

= − _⎜ − _⎟= − =

⎝ ⎠

3

x k2 , k
4 4

x k2 hay x k2 ,k
2

π π

⇔ − = ± + π ∈

π

⇔ = π + π = − + π ∈

¢

¢

Bài 112 : Giải phương trình

( )

2 3 4 2 3 4

sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+ + + = + + +

Ta coù : (*)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

2 2 3 3 4 4

sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cosx 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0

⇔ − + − + − + − =

⇔ − = + + + + + + =

( )

(

)

( )

sin x cosx 0 1

2 sin x cosx sin x cosx 2 0 2

− =

⎡
⇔ ⎢

+ + + =

⎢⎣

Ta coù : (1) ⇔ tgx 1=
x k , k

4
π

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Xeùt (2) : ñaët t sin x cos x 2 cos x
4
π

⎛ ⎞

= + = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện t ≤ 2
Thì _t2 _{= +}_{1 2sin x cos x}
(2) thành 2t t 12 2 0

2
−

+ + =

(

)

2

t 4t 3 0
t 1 t 3 loại
⇔ + + =

⇔ = − ∨ = −

khi t = -1 thì cos x 1 cos3

4 2 4

π π

⎛ ₋ ⎞_{= −} ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

x k2 ,k

4 4
3

x k2 ,

4 4
x k2 ,k
x k2 ,k

2

π π

⎡ − = + π ∈
⎢

⇔ ⎢

π π

⎢ − = − + π ∈
⎢⎣

= π + π ∈

⎡

⎢

⇔ _π

⎢ = − + π ∈
⎣

¢
¢
¢

¢
k

<b>Bài 113 : Giải phương trình </b>_{tg x 1 sin x}2

(

− 3

)

+_{cos x 1 0 *}3 − =

( )

Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1
Lúc đó (*) 2

(

3

)

3

2

sin x 1 sin x cos x 1 0
cos x

⇔ − + − =

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 3 3 2

2 2

1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
1 cosx 1 sin x 0

hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0

⇔ − − − − − =

⇔ − − =

+ + + − + + +

(

)

(

)

2 2 2 2

cos x 1 nhận do điều kiện
sin x 1 loại do điều kiện

sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0

⎡ =

⎢
⇔⎢ =

⎢

+ − − =

⎢⎣

=

(

)

2 2

cos x 1

sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
=

⎡

⇔ ⎢ ₋ ₊ ₋ ₌

⎣

cosx 1

sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cosx 0
=

⎡

⇔ ⎢ ₋ ₌ ₊ ₊ ₌

⎣

cosx 1 tgx 1

sin x cosx sin x cosx 0
= ∨ =

⎡

⇔ ⎢ ₊ ₊ ₌

⎣

x k2 ,k
x k ,k

4

sin x cos x sin x cos x 0

= π ∈

⎡

⎢ _π

⎢

⇔ = + π ∈

⎢

⎢ ₊ ₊ ₌

⎣

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

xeùt pt sin x cosx sin x cosx 0+ + =
đặt

(

)

t sin x cos x 2 cos x x điều kiện t 2 và t 1
4

π

⎛ ⎞

= + = _⎜ − _⎟ ≤ ≠ ±

⎝ ⎠

2

t 1 2sin x cos x

⇒ = +

Ta được phương trình _t t2 1 ₀ _t2 _{2t 1}
2

−

+ = ⇔ + − =0

(

)

(

)

t 1 2 loại

t 1 2 nhận so với đk
⎡ = − −

⎢
⇔

⎢ = − +
⎣

Vaäy cos x 2 1 cos

4 2

π −

⎛ ₋ ⎞₌ ₌ _ϕ

⎜ ⎟

⎝ ⎠

x k2 ,k x k2 ,

4 4

π π

⇔ − = ±ϕ + π ∈ ⇔ = ± ϕ +¢ π ∈k ¢

<b>Bài 114 : Cho phương trình </b>m sin x cosx 1 1 sin 2x *

(

+ + = +

)

( )

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0,
2
π

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Đặt t sin x cos x 2 sin x
4

π
⎛

= + = _⎜ −

⎝ ⎠

⎞

⎟, điều kiện t ≤ 2
Thì _t2 _{= +}_{1 sin 2}_x

Vậy (*) thành : _{m t 1}

(

_{+ =}

)

_t2
Nếu 0 x thì x 3

2 4 4 4

π π π

≤ ≤ ≤ + ≤ π

Do đó 2 sin x 1

2 4

π

⎛ ⎞

≤ _⎜ + _⎟

⎝ ⎠≤
1 t 2

⇔ ≤ ≤

ta coù _{m t 1}

(

_{+ =}

)

_t2
2

t
m

t 1
⇔ =

+ (do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
Xét y t2 trên 1,

t 1 ⎡ ⎤

= _⎣ _⎦

+ 2

Thì

(

)

2
2
t 2t

y' 0 t 1, 2

t 1

+ _⎡ _⎤

= _{> ∀ ∈ ⎣} _⎦
+

Vậy y tăng trên 1, 2⎡ ⎤
⎣ ⎦

Vậy (*) có nghiệm trên 1, y 1

( )

m y 2

( )

2

π

⎡ _{⎤ ⇔} _≤ _≤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 115 : Cho phương trình </b>_{cos x sin x m sin x cosx *}3 ₊ 3 ₌

( )

a/ Giải phương trình khi m= 2

b/ Tìm m để (*) có nghiệm

Ta có : (*) ⇔

(

cosx sin x 1 sin x cosx+

)(

−

)

=msin x cosx

Đặt t sin x cos x 2 cos x x
4
π

⎛ ⎞

= + = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện

(

t ≤ 2

)

Thì _t2 _{= +}_{1 2sin x cos x}

Vậy (*) thaønh t 1 t2 1 m t2 1

2 2

⎛ − ⎞ ⎛ −

− =

⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞
⎟

⎠

(

2

)

(

2

)

t 3 t m t 1

⇔ − = −

a/ Khi m= 2 ta có phương trình

(

2

)

(

(

2

)

)

t 3 t− = 2 t 1−

(

)(

)

3 2

2

t 2t 3t 2 0
t 2 t 2 2t 1 0

t 2 hay t 2 1 hay t 2 1( loại)

⇔ + − − =

⇔ − + + =

⇔ = = − + = − −

Vaäy cos x x 1 x k2 , k x k2 , k

4 4 4

π π π

⎛ ⎞

• _⎜ − _⎟= ⇔ − = π ∈ ⇔ = + π

⎝ ⎠ ¢ ∈¢

1 2

cos x cos

4 2

x k2 ,k x k2 ,

4 4

π −

⎛ ⎞

• _⎜ − _⎟= = α

⎝ ⎠

π π

⇔ − = ±α + π ∈ ⇔ = ± α +¢ π ∈k ¢

b/ Xét phương trình _{t 3 t}

(

₋ 2

) (

₌_{k t}2₋_{1 **}

)

( )

Do t= ±1 không là nghiệm của (**) nên

( )

2 3

3t t
** m

t 1
−

⇔ =

−

Xét y 3t t₂ 3

( )

C treân 2, 2 \

{ }

t 1

− _⎡ _⎤

= _⎣− _⎦

− ±1

Ta coù

(

)

4
2
2

t 3

y' 0 t 1

t 1
− −

= < ∀ =

− ±

)

suy ra y giảm trên 1,1

(

− và

lim , lim

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>y</i>

+ −

→ −1 = + ∞ →1 = − ∞

Do đó trên 1,1

(

−

)

⊂ −⎡_⎣ 2, 2 \ 1⎤_⎦

{ }

± ta có
(d) y = m cắt (C) y 3t t₂ 3 với m

t 1
−

= ∀

− ∈R

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 116 : Cho phương trình </b>

(

)

1 1 1

( )

m sin x cos x 1 tgx cot gx 0
2 sin x cos x

⎛ ⎞

+ + + _⎜ + + + _⎟=

⎝ ⎠ *

a/ Giải phương trình khi m 1
2

=

b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 0,
2
π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện sin 2x 0≠ ta có

(*) m sin x cos x 1

(

)

1 sin x cos x 1 1 0
2 cos x sin x sin x cos x

⎛ ⎞

⇔ + + + _⎜ + + + _⎟

⎝ ⎠=

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

( )

( )

2

m sin 2x sin x cos x sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cos x sin 2x 1 cos x sin x 0
m sin 2x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0

sin x cos x 0 1

m sin 2x sin x cos x 1 0 2

⇔ + + + + +

⇔ + + + + + =

⇔ + + + + +

⎡ + =

⇔ ⎢

+ + + =

⎢⎣

=
=

Xét (2) đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π

⎛ ⎞

= + = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Thì _t2 _{= +}_{1 sin 2}_x

Do sin 2x 0 neân t≠ ≤ 2 và t= ±1
Vậy (*) thành : t 0

₍

₂

₎

m t 1 t 1 0
=

⎡
⎢

− + + =
⎢⎣

(

)

(

)

t 0 nhận so điều kiện
m t 1 1 0 ( do t 1)

⎡ =

⇔ ⎢

− + = ≠ −

⎢⎣

a/ Khi m 1 thì ta được :

2
=

(

)

t 0

t 1 loại do điều kiện
=

⎡
⎢ =−
⎢⎣

Vaäy sinx + cosx = 0
tgx 1

x k ,k

4

⇔ = −
π

⇔ = − + π ∈¢

b/ Ta có : 0 x x

2 4 4

π π π

< < ⇔ − < − <
4
π
Lúc đó

2 cos x 1 1 t 2

2 4

π

⎛ ⎞

< _⎜ − _⎟≤ ⇒ < ≤

⎝ ⎠

(

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Nên ta xét phươn trình : g m t 1 1 0 **

(

− + =

)

( )

( )

** ⇔mt m 1= −
1

t 1
m

⇔ = − (do m 0 thì (**) vơ nghiệm)
Do đó : u

=

cầu bài toán ⇔ < −1 1 1 ≤ 2
m

1 ₀ _{m 0}

⎧₋ _> _⎧ _<

m ₁

m 2 1

1

1 2 ₁ ₂

m

m 2 1

⎪⎪ ⎪

⇔_⎨ ⇔_{⎨ ≤}

= − −

⎪ ₋ _≤ ⎪_⎩ ₋

⎪⎩

⇔ ≤ − −

<b>Baøi 117 : Cho </b>_{f x}

( )

=_{cos 2x 2 sin x cosx}2 +

(

+

)

3−_{3sin2x m}+

a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3

b/ Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
Tìm m cho ⎡_⎣f x

( )

⎤_⎦2 ≤36 x R∀ ∈

(

)

t=sin x cos x 2 cos⎛x ⎞ điều kiện t 2
4

π

+ = _⎜ − _⎟ ≤

⎝ ⎠

x
Đặt

Thì _t2 _{= +}_{1 sin 2}

Vaø _{cos 2x 1 si}2 _{= −} _n2_{2x 1 t}_{= −}

(

2₋₁

)

2 _{= − +}_t4 _2t2
Vaäy _{f x thaønh g t}

( )

( )

_{= − +}_t4 _2t2 ₊_2t3 ₋_{3 t}

(

2 _{− +}₁

)

_m
a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0

t 0 t 1
⇔ = ∨ =

vậy khi m = -3 thì f( ) = 0

(

)

t t 2t 1 0
⇔ − 2 2− + =

x

(

)

1
cos x 0 hay cos x

4 4

π

⎛ ⎞ ⎛

⇔ _⎜ − _⎟= _⎜

⎝ ⎠ 2

x 2k 1 hay x k2 , k

4 2 4 4

π ⎞
− _⎟=

⎝ ⎠

π π π π

⇔ − = + − = ± + π ∈¢

x 3 k
4

π

⇔ = + π hay x k2 x k2 , k
2

π

= + π ∨ = π ∈¢

b/ Ta coù g_{' t}

( )

_{= −}_4t3₊_6t2₋_2t_{= −}_{2t 2t}

(

2_{− +}_{3t 1}

)

Vaäy ⎧⎪g'

( )

t 0 t 0 t 1 t 1

2
t 2, 2

=

⇔ = ∨ = ∨ =

⎨ _⎡ _⎤

∈ −

⎪ _⎣ _⎦

Ta coù :
⎩

( )

( )

1 47

g 0 3 m g 1 , g m
2 16
⎛ ⎞

= + = _{⎜ ⎟}= +

⎝ ⎠

( )

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Vaäy :

( )

( )

t 2 , 2
x

Maxf x

Max g t

m

⎡ ⎤

∈ −

∈ ⎣ ⎦

=

=

¡

3

+

( )

_t _{2 , 2}

( )

x R

Minf x

Min g t

m 3 4 2

⎡ ⎤

∈ −

∈ ⎣ ⎦

=

=

− −

Do đó : ⎡_⎣f x

( )

⎤_⎦2 ≤36, x R∀ ∈ ⇔ − ≤6 f x

( )

≤6, x R∀ ∈

( )

( )

R

R

Max f x 6
Min f x 6
m 3 6

m 3 4 2 6
≤
⎧⎪

⇔ ⎨

≥ −
⎪⎩

+ ≤

⎧⎪

⇔ ⎨

− − ≥

⎪⎩ −

⇔4 2 3 m 3− ≤ ≤

<b>Caùch khaùc : Ta coù </b>_{g t}

( )

_{= −}_{t t}2

(

2_{− + + + = −}_{2t 1 3 m}

)

_⎡_{t t 1}

(

₋

)

_⎤2 _{+ +}_{3 m}

⎣ ⎦

Đặt _{u t}_{= −}2 _t

Khi t 2, 2 thì u 1,2 2
4

⎡ ⎤

⎡ ⎤

∈ −_⎣ _⎦ ∈ −_⎢ + _⎥=

⎣ ⎦ D

Vaäy _{g t}

( ) ( )

₌_{h u} _{= − + +}_{u 3 m}2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

R t 2 , 2 u D

R t 2 , 2 _{u D}

Max f x Max g t Max h u m 3
Min f x Min g t Min h u m 3 4 2

∈

⎡ ⎤

∈ −_⎣ _⎦

⎡ ⎤

∈ −_⎣ _⎦ ∈

= = = +

= = = − −

<b>Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng </b>

(

) (

)

a sin x cosx− +b sin x cosx =0
đặt t = sinx – cosx

thì t 2 sin x 2 cos x

4 4

π π

⎛ ⎞ ⎛

= _⎜ − _⎟= − _⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞
+ ⎟_⎠

với điều kiện _t _≤ _{2 thì t}2 _{= −}_{1 2sin x cos}_x

<b>Bài 118 : Giải phương trình </b>2sin x cot gx 2sin 2x 1 *+ = +

( )

Điều kiện : sin x 0≠ ⇔ cos x= ±1

Lúc đó (*) 2sin x cos x 4 sin x cos x 1
sin x

⇔ + = +

=

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

( )

( )

⇔ + = +

⇔ − − − =

⇔ − − − +

⇔ − = − + =

− =
⎡

⇔ ⎢

− − =

⎢⎣

2 2

2 2

2 sin x cos x 4 sin x cos x sin x

2 sin x sin x cos x 4 sin x 1 0

sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 0

2 sin x 1 0 hay sin x cos x 2 sin x 1 0

2 sin x 1 0 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

( )

(

)

• Ta có 1 ⇔sin x = 1 nhận do sin x 0

2 ≠

π π

⇔ x = +k2π ∨ =x 5 +k2 , kπ ∈

6 6

( )

⎛ π⎞

• = − = _⎜ _⎟

⎝ ⎠

Xét 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x
4

−
Với điều kiện t ≤ 2 và t ≠ ± 1

x
0
Thì t2 = −1 sin 2

Vậy (2) thành : t−

(

1 t− 2

)

=0
2

t t 1

⇔ + − =

(

)

1 5 1 5

t t

2 2

− + − −

⇔ = ∨ = loại

Do đó : 2 sin x 1 5

(

nhận do t 2 và t 1

)

4 2

π − +

⎛ ₋ ⎞ ₌ _≤ _{≠ ±}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π −

⎛ ⎞

⇔ _⎜ − _⎟ = =

⎝ ⎠

5 1

sin x sin

4 2 2 ϕ

π

⎡ − = ϕ + π ∈
⎢

⇔ ⎢
π

⎢ − = π − ϕ + π ∈
⎢⎣

x k2 , k

4

x k2 ,

4 k

π

⎡ = ϕ + + π ∈
⎢

⇔ ⎢

π

⎢ = − ϕ + π ∈
⎢⎣

x k2 , k

4

5

x k2 ,

4 k

<b>Bài 119 : Giải phương trình </b>

(

)(

)( )

cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x *+ = − −

Ta coù :

( )

_* _⇔

(

_{cos x sin x}2 ₋ 2

)

_{+ =}_{5 2 2 cos x sin x cos x}

(

₋

)(

₋

₎

(

sin x cos x 2 2 cos x

) (

) (

sin x cos x

)

5 0

⇔ − ⎡_⎣ − + + ⎤_⎦− =

(

sin x cos x sin x cos x 4

)

[

]

5 0

⇔ − − + − =

Đặt t sin x cos x 2 sin x
4

π

⎛ ⎞

= − = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện t ≤ 2
(*) thành : t t 4

(

+

)

− =5 0

(

)

2

t 4t 5 0

t 1 t 5 loại

⇔ + − =

⇔ = ∨ = −

Vaäy

( )

* ⇔sin x 1 sin

4 2 4

π π

⎛ ₋ ⎞ ₌ ₌

⎜ ⎟

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

π π π π

⇔ − = + π ∨ − = + π ∈

π

⇔ = + π ∨ = π + π ∈

3

x k2 x k2 , k

4 4 4 4

x k2 x k2 , k

2

<b>Bài 120 : Giải phương trình </b>_{cos x sin x cos 2x *}3 ₊ 3 ₌

( )

Ta coù (*) ⇔

(

cos x sin x 1 sin x cos x+

)(

−

)

=cos x sin x2 − 2

( )

( )

⇔ + = − = −

+ =

⎡

⇔ ⎢

− − + =

⎢⎣

cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x cosx sin x

sin x cos x 0 1

sin x cos x sin x cos x 1 0 2

Ta coù :

( )

1 ⇔ tgx= −1
π

⇔ x = − + πk , k∈

4

Xeùt (2) ñaët t sin x cos x 2 sin x
4

π

⎛ ⎞

= − = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện t ≤ 2
Thì t2 = −1 2sin x cosx

(2) thành _t 1 t2 _{1 0} _t2 _{2t 1}

2

−

− + = ⇔ + + =0

t 1

⇔ = −

vaäy (2)⇔ sin x 1 sin

4 2 4

π π

⎛ ₋ ⎞_{= −} ₌ ⎛₋

⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞
⎟
⎠

π π

⎡ ₋ _{= − +} _π _∈ _⎡ ₌ _π _∈

⎢ _⎢

⇔ ⎢ _π _π ⇔ _⎢ ₌ π₊ _π _∈

⎢ − = + π ∈ _⎣

⎢⎣

x k2 , k

x k2 , k

4 4 ₃

5 x k2 , k

x k2 , k ₂

4 4

<b>Baøi 121 : Cho phương trình </b>_{cos x sin x m}3 ₋ 3 ₌

( )

₁

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ t c= os x sin x−
b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x ,

4 4

π π

⎡ ⎤

∈ −_⎢ _⎥

⎣ ⎦

Ta coù (1) ⇔

(

cos x sin x 1 sin x cos x−

)(

+

)

= m
Đặt t cos x sin x 2 cos x

4

π

⎛ ⎞

= − = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

Với điều kiện t ≤ 2

Thì _t2 _{= −}_{1 2sin x cos}_x

Vậy (1) thành : t 1 1 t2 m
2

⎛ ₊ − ⎞₌

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(

2

)

( )

t 3 t 2m 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a/ Khi m = 1 thì (2) thành t3 −3t 2 0+ =

(

)

(

)

(

)

2

t 1 t t 2 0

t 1 t 2 loại

⇔ − + − =

⇔ = ∨ = −

Vaäy ⎛_⎜ + π⎞_⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈

⎝ ⎠

2

cos x x k2 , k

4 2 4 4

π

⇔ x k2= π ∨ = − +x k2 , kπ ∈

2

b/ Neáu x ,
4 4

π π

⎡ ⎤

∈ −_⎢ _⎥

⎣ ⎦ thì 0 x 4 2

π π

≤ + ≤

nên 0 cos x 1
4

π

⎛ ⎞

≤ _⎜ + _⎟

⎝ ⎠ ≤

0 t 2 cos x 2

4

π

⎛ ⎞

⇔ ≤ = _⎜ + _⎟≤

⎝ ⎠

nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên ⎡_⎣0, 2⎤_⎦
ta tìm duy nhất một x ,

4 4

π π

⎡ ⎤

∈ −_⎢ _⎥

⎣ ⎦

xeùt _{f t}

( )

_{= − +}_t3 _{3t treân 0, 2}_⎡ _⎤

⎣ ⎦

( )

2

f ' t 3t 3

⇒ = − +

vậy (1) có đúng hai nghiệm x ,
4 4

π π

⎡ ⎤

∈ −_⎢ _⎥

⎣ ⎦

( )

_{d y 2m cắt C y}

( )

_t3 _{3t trên 0, 2}_⎡ _⎤

⇔ = = − + _⎣ _⎦ tại 2 điểm phân biệt
⇔ 2 2m 2≤ <

2 _{m 1}

2

⇔ ≤ <

<b>Bài 122 : Cho phương trình </b>

(

)( )

2 2

2cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *+ + = +
a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên 0,
2

π

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ta coù :

( )

_* _⇔ _{2 cos x sin x}

(

2 ₋ 2

)

₊_{sin x cos x sin x cos x}

(

₊

)

₌_{m sin x cos x}

(

₊

)

(

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Đặt t cos x sin x 2 cos x
4

π
⎛

= − = _⎜ +

⎝ ⎠

⎞

⎟ (điều kiện t ≤ 2)
Thì _t2 _{= −}_{1 2sin x cos}_x

x
Ta coù :

( )

1 ⇔sin x = −cos

π

⇔ tgx= − ⇔1 x = − + πk , k∈

4

Ta có : (2) thành 2t 1 t2 m

2

−

+ =

( )

2

t 4t 1 2m * *

⇔ − + + =

a/ Khi m = 2 thì (**) thành _t2 ₋_{4t 3 0}_{+ =}

(

)

⇔ = ∨ =t 1 t 3 loại

vaäy ⎛_⎜ + π⎞_⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈

⎝ ⎠

2

cos x x k2 , k

4 2 4 4

π

⇔ x k2= π ∨ = − + πx k , k∈

2

Do đó :

( )

* ⇔ x= − + π ∨ =₄π k x k2π ∨ = − +x ₂π k2 , kπ ∈

b/ Ta coù ∈⎡_⎢ π⎤_⎥ ⇔ + ∈π ⎡_⎢π π⎤_⎥

⎣ ⎦ ⎣

3

x 0, x ,

2 4 4 4 ⎦

vaäy 2 cos x 2

2 4

π

⎛ ⎞

− ≤ _⎜ + _⎟≤

⎝ ⎠ 2

1 t 1
⇒ − ≤ ≤

Do nghieäm = − + π ∉π ⎡_⎢ π⎤_⎥ ∀ ∈

⎣ ⎦

x k 0, , k

4 2

Nên yêu cầu bài toán ⇔

( )

* * có nghiệm trên

[

−1,1

]

Xét _y _{= − +}_t2 _{4t 1 thì y '}₊ _{= − + > ∀ ∈ −}_{2t 4 0 t}

[

_1,1

]

[

]

y tăng trên 1,1

⇒ −

Do đó : u cầu bài tốn

( )

( )

4 y 1 2m y 1 4

2 m 2

⇔ − = − ≤ ≤ =

⇔ − ≤ ≤

* Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng

(

)

(

2 2

)

a tgx cot gx± +b tg x cot g x+ = 0

ta đặt _{t tgx cot gx thì t}₌ _± 2 ₌ _{tg x cot g x 2}2 ₊ 2 _±
khi t tgx cot gx 2 thì t 2 do sin 2x

(

1

)

sin 2x

= + = ≥ ≤

<b>Bài 123 : Giải phương trình </b>

( )

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Đặt t tgx cot gx 2
sin 2x

= + =

Với điều kiện t ≥ 2
Thì _t2 ₌ _{tg x cot g x}2 ₊ 2 ₊₂
(*) thành : _{3 t}

(

2 ₋₂

)

₊_{4t 2 0}_{+ =}

2

3t 4t 4 0

⇔ + − =

(

)

2

t loại do điều kiện
3

t 2

⎡ =
⎢
⇔

⎢
= −
⎣

Ta coù : t 2 2 2 sin 2x
2sin x

= − ⇔ = − ⇔ = −1

π

⇔ = − + π ∈

π

⇔ = − + π ∈

2x k2 , k

2

x k , k

4

<b>Bài 124 : Giải phương trình </b>

( )

2 3 2 3

tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x 6 *+ + + + + =

Ta coù (*) ⇔

(

_{tgx cot gx}+

)

+

(

_{tg x cot g x}2 + 2

) (

+ _{tg x cot g x}3 + 3

)

=₆

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

2 2 2

2 2

tgx cot gx tgx cot gx 2 tgx cot gx tg x cot g x 1 6

tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx 3 8

⇔ + + + − + + + − =

⎡ ⎤

⇔ + + + + + _⎣ + − _⎦ =

Đặt t tgx cot gx 2

(

điều kiện t 2

)

sin 2x

= + = ≥

Vậy (*) thaønh : _{t t}₊ 2 ₊_{t t}

(

2 ₋₃

)

₌₈

(

)

(

)

₍

₎

3 2

2

2

t t 2t 8 0

t 2

t 2 t 3t 4 0

t 3t 4 0 vô nghiệm

t 2

⇔ + − − =

=
⎡

⇔ − + + _{= ⇔ ⎢}

+ + =
⎣

⇔ =

Vaäy 2 2 sin 2x

sin 2x = ⇔ =1

π

⇔ = + π ∈

π

⇔ = + π ∈

2x k2 , k

2

x k , k

4

<b>Bài 125 : Giải phương trình </b>

( )

+ 2 + + + =

2

2 _{2tg x 5tgx 5 cot gx 4 0 *}

sin x

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ + + + + =

⎡ ⎤

⇔ _⎣ + − _⎦+ + +

2 2

2

2 tg x cot g x 5 tgx cot gx 6 0

2 tgx cot gx 2 5 tgx cot gx 6 0=

Đặt t tgx cot gx= + = 2 , với t ≥2
sin 2x

Ta được phương trình : _2t2 ₊_{5t 2 0}_{+ =}

(

)

⇔ = − ∨ = −t 2 t 1 loại
2

Vaäy

( )

* ⇔ 2 2 sin 2x

sin 2x = − ⇔ = −1

π

⇔ = − + π ∈

π

⇔ = − + π ∈

2x k2 , k

2

x k , k

4

<b>Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện </b>u 0≠ )
Vậy (*) thành : 2

2

2 5

2 2u 5u 4

u u

+ + + + + = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ + + + + =

⇔ + + + + =

⇔ + + + =

⎡ = −
⇔ ⎢

+ + =
⎢⎣

4 3 2

3 2

2 2

2

2 2u 5u 5u 6u 0

u 1 2u 3u 3u 2 0

u 1 2u u 2 0

u 1 nhaän

2u u 2 0 vô nghiệm

Vậy (*) ⇔tgx = -1
π

⇔ x = − + πk , k∈

4

<b>Bài 126 : Cho phương trình </b>

(

)

2
2

1 _{cot g x m tgx cot gx} _{2 0} ₁

cos x + + + + =

( )

a/ Giải phương trình khi m 5
2

=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

Ta có : (1) _⇔ _{tg x cot g x m tgx cot gx}2 ₊ 2 ₊

(

₊

)

_{+ =}_{3 0}
Đặt t tgx cot gx 2

(

điều kiện t 2

)

sin 2x

= + = ≥

2 2 2

t tg x cot g x

⇒ = + +2

Vaäy (1) thaønh : _t2 ₊_{mt 1 0}_{+ =}

( )

₂
a/ Khi m 5

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

(

)

1

t 2 t loại

2

⇔ = − ∨ = −

Do đó 2 2 sin 2x

sin 2x = − ⇔ = −1

π

⇔ = − + π ∈

π

⇔ = − + π ∈

2x k2 , k

2

x k , k

4

b/ Cách 1 :

Ta có : (2) _⇔ _mt _{= − −}_{1 t}2

1
m

t

⇔ = − −t(do t = 0 không là nghiệm của (2))
Xét y 1 t với t

t

= − − ≥ 2

Thì y ' 1₂ 1 1 ₂ 2

t t

−

= − = t

Ta coù : y ' 0= ⇔ = ±t 1

Do đó (1) có nghiệm ⇔ (d) cắt C trên

( )

(

−∞ −, 2 U 2,

] [

+∞

)

5 5

m m

2 2

5
m

2

⇔ ≤ − ∨ ≥

⇔ ≥

<b>Cách 2 : Yêu cầu bài toán </b>

( )

2

f t t mt 1

⇔ = + + = 0 có nghiệm t thỏa t ≥2

Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm t , t với t₁ ₂

(

₁ ≤t₂

)

và có
nghiệm thì ta có ⎧⎪_⎨ ≤ ∨⎧⎪_⎨ ≥

≥ ≤

⎪ ⎪

⎩ ⎩

1 1

2 2

t 1 t 1

t 1 t 1

Do đó :

Yêu cầu bài toán ⇔ t₁ ≤ − <2 t₁ < ∨ − <2 2 t₁ < ≤2 t₂

( )

( )

( )

( )

− ≤ ≤

⎧ ⎧ ⎧− + ≤ ⎧− + >

⎪ ⎪

⇔ _⎨ ∨_⎨ ⇔ _⎨ ∨_⎨

+ > + ≤

> − > _⎩ _⎩

⎪ ⎪

⎩ ⎩

⇔ ≥ ∨ ≤ −

1f 2 0 1f 2 0 2m 5 0 2m 5 0

2m 5 0 2m 5 0

1f 2 0 1f 2 0

5 5

m m

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>BÀI TẬP </b>

1. Giải các phương trình :

a/ _{1 cos x sin x sin x}₊ 3 ₋ 3 ₌
b/ _{cos x cos x 2sin x 2 0}3 ₊ 2 ₊ _{− =}

c/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ =

(

−

)(

−

)

d/ cot gx tgx sin x cos x− = +

e/ _{sin x cos x sin x cos x}3 ₋ 3 ₌ ₋
f/ 1 t+ gx sin x cos x= +

g/ sin 2x 2 sin x 1

4

π

⎛ ⎞

+ _⎜ − _⎟

⎝ ⎠=

k/ sin 2x 12 sin x cos x−

(

−

)

+12 0=
l/ sin x cos x 1

sin 2x 1

+ ₌

+

m/ 1 cos 2x 1 cos x3₃

1 cos 2x 1 sin x

− ₌ −

+ −

n/ 5 sin x cos x

(

+

)

+sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x− =

(

+

)

o/ 1+sin x cos x sin 2x 2cos2x 0+ + + =

p/ _{sin x cos x cos 2x sin x cos x sin x cos x}2 ₋ ₊ ₌ 2 ₊
r/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ =

(

−

)(

−

)

=
s/ _{cos x sin x cos x 0}2 ₊ 3 ₊
t/ _{4 sin x 1 3sin x}3 _{− =} ₋ _{3 cos 3x}

2. Cho phương trình sin 2x sin x cos x

(

+

)

= m 1

( )

a/ Chứng minh nếu m > 2 thì (1) vơ nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = 2

3. Cho phương trình sin 2x 4 cos x sin x+

(

−

)

=m
a/ Giải phương trình khi m = 4

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

4. Cho phương trình : sin x cos x m sin x cos x−

(

+

)

+ =1 0
a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

(

ĐS : m ≥1

)

5. Cho phương trình 2

(

)

2

3 _{3tg x m tgx cot gx} ₁

sin x + = + =

</div>

<!--links-->