SKKN đổi mới phƣơng pháp dạy học về tỉ lệ thức và dạy tỉ số bằng nhau

ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1. Tên đề tài:

ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ
LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU
2. Phần Mở đầu
2.1. Lý do chọn đề tài:
Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn tơi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ
một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ
thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương
II, khi học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một
phương tiện quan trọng giúp ta giải tốn. Trong phân mơn Hình học, để học
được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì khơng thể thiếu kiến thức về
tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn
rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài tốn, lập
ra bài tốn mới.
Tơi là một giáo viên được phân cơng giảng dạy mơn tốn nhiều năm liền và
khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học
trị vẫn chưa hứng thú và chưa có phương pháp đầy đủ, cịn sai lầm trong lời
giải. Tơi muốn đưa ra một số phương pháp giúp học trị khơng cịn sai sót đó
nữa nên tơi đã nghiên cứu đề tài: “ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU”.
2.2. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số
bằng nhau như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng
nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan
đến dãy tỷ số bằng nhau.
b) Kỹ năng:

HS có kỹ năng tìm số hạng chưa biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán
chia tỷ lệ.
c) Thái độ:
HS có khả năng tư duy, thành lập các bài tốn mới, tính cẩn thận trong
tính tốn.
2.3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Học sinh lớp 7 THCS.
2.4. Đối tƣợng khảo sát, thực nghiệm:
Học sinh lớp 7 Trường THCS Triệu Trạch.
1
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

2.5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu :
Phạm vi nghiên cứu: Chương I, môn đại số lớp 7
Kế hoạch nghiên cứu :
Thời gian nghiên cứu 2 năm
Thời gian bắt đầu nghiên cứu : năm học 2016 - 2017
Thời gian kết thúc nghiên cứu : năm học 2017 - 2018
3. Nội dung
3.1.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài.
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a

c

b

d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu

a

c

b

d

thì ad = bc

tính chất 2( tính chất hốn vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a

c

b

d

;

a

b

c

d

;

d

c

b

a

;

d

b

c

a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức

a

c

b

d

ta suy ra

a

c

a

c

a

c

b

d

b

d

b

d

+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
ta suy ra

a

c

e

b

d

f

a
b

c

e

d

f

a

c

e

b

d

f

a
b

c

e

d

f

b

d

....

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a

b

c

2

3

5

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta

cũng viết a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ
thức

a

c

b

d

2

suy ra
2

a

c

a

b

d

b

.

c

;k.

d

a

k.

b

c

k

d
3

từ

a
b

c
d

e
f

suy ra

0 ;

k1a

k2c

k 1b

k2d

( k1 , k 2

0)

3

3

2

a

c

e

a

c

e

b

d

f

b

d

f

;

a

c

e

b

d

f

2
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

3.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập
sau:
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a

c

b

d

a .d

b .c

b .c

a

;b

a .d

d

a .d

;c

c

b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã
biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho
trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
x. 9, 3 6

0 .5 2 .1 6 , 3 8

0 , 5 2 .1 6 , 3 8

x

0, 91

9, 36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức
độ khó hơn như sau :
a)

1

2
x

3

:

2

1

3

3

b)

:
4

0, 2 :1

5

1

2

5

3

: 6x

7

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
x

60

15

x

Giải : từ

x

60

15
x.x

x

x
x

15 .

2

60

900

2

30

2

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau
nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
x

1

60

15

x

1

;

x

1

9

7

x

1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x

3

5

5

x

7

Giải:

Cách 1: từ
x

3

5

5

x

7

12 x

x
46

3 .7
x

3

5

x .5

7x

21

25

5x

5
6

3
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

x

3

5

5

x

7

Cách 2: từ

x

3

5

x

5

7

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x

3

5

x

5

x

3

5

5

7

6 x

3

7
x

3

1

5
x

6
5

3

x

x

2

1

12

6

5

5

3

6

6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x

2

x

4

x

1

x

7

x

2

x

2

x
5x
5x

7x
14
3x

7

x

2x
3x
4

4

14
4
14

x

x

2

1

x

2x

4x
10

4
x

5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do
đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài tốn cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x

y

z

a

b

c

(1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c
Cách giải:
- Cách 1: đặt

x

y

z

a

b

c
k .a ; y

x

0

và a, b, c, d là các số cho trước)

k

thay vào (2)
k .b ; z

k .c

Ta có k.a + k.b + k.c = d
k

a

b

c

d

d

k
a

Từ đó tìm được

b

a .d

x
a

c

bd

; y

b

c

a

b

cd

;z
c

a

b

c

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x

y

z

x

y

z

a

b

c
a
a .d

b

c

x
a

b

d

; y
c

a

a
b .d

b

b

c

c
c .d

;z
a

b

c

b).Hướng khai thác từ bài trên như sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*kx k y k z e

1

2

3

*k x k y
*x.y.z = g
2

1

2

2

k3z

2

f

4
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
x

-

y

y

z

a3

a4

;
a1

a2

a2 x

a1 y ; a 4 y

a3 z

b1 x

b2 y

b3 z

b1 x

b3 z

b2 y

a

-

x

b1

b3 z

b1 x
b

y2

a1

b2 y
c

z3

b2
a2

b3
a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và x +y + z = 27

Giải: Cách 1.
Đặt

x

y

z

2

3

4

k

x

2k, y

3k , z

4k

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 k 3 k 4 k 2 7 9 k 2 7 k 3
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
x

y

z

2

3

4
2 .3

x

x

y

z

27

2 3 4
6; y
3 .3

9
9; z

3
4 .3

12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài tốn sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết

x

y

z

2

3

4

và 2x + 3y – 5z = -21

Giải:
x

y

z

2

3

4

- Cách 1: Đặt
- Cách 2: Từ

x

y

z

2

3

4

=k
suy ra

2x

3y

5z

4

9

20

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x

3y

4
x

5z

2x

9
20
6; y
9; z

3y

5z

4 9
12

21

20

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

3

7

x

y

z

2

3

4

và

2x

2

3y

2

5z

2

405

Giải:
- Cách 1: Đặt
- Cách 2: từ

x

y

z

2

3

4

x

y

z

2

3

4

=k

suy ra
5
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

x

2

y

4

2

z

9

16
2
3y

2

2x

2

8

5z

27

2

90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x

2

2

3y

8

5z

27

2

2x

90

2

3y

8

2

5z

27

2

405

90

9

45

Suy ra
2

x

9

x

9

y

9

z

4
2
y

2

2

36

x

6

81

y

9

9
z

2
2

144

z

12

16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và x.y.z = 648

Giải:
x

y

z

2

3

4

- Cách 1: Đặt
x

y

z

2

3

4

- Cách 2: Từ

=k

3

x

x

y

z

xyz

648

2

2

3

4

24

24

27
x

3

27

x

3

216

x

6

8

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Bài tập 5. Tìm x,y, z biết
Giải: từ
Từ
Suy ra

x

x

y

z

2

3

4

x

y

6

9

x

y

x

y

6

9

2

3

z

x

z

2

2

4

;x

z

và x +y +z = 27

2

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ
Từ
Suy ra

3x

2y

4x

2z

x

y

z

2

3

4

x

y

2

3

x

z

2

4

sau đó giải như bài tập 1
6

GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

6x

4y

3z

x

y

z

12

12

12

2

3

4

Sau đó giải tiếp như bài tập 2
6x

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

3z

4y

6x

5

3z

7

4y

và 2x +3y -5z = -21

9

Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
6x

3z

4y

5
6x

3z

3z

6x

7

6x

3z

4y

9

3 z; 4 y

3 z;3 z

3z

5

7

3z

6x

0

9

6x

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
x

4
2

y

6

z

8

3

và x +y +z =27

4

Giải:
- Cách 1: Đặt

x

4

y

2

6

z

3

8

=k

4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x

4

y

2

6

z

3

x

4

x

4

y
2

4

8

6
3

z

8

x

y

4

1

z

18

9

x

27

18

1

9

6

2
y

6

1

y

9

1

z

12

3
z

8
4

Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :

a

c

b

d

Ta có các phương pháp sau :

Phƣơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phƣơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a
b

;

c

có cùng một giá trị nếu trong đề bài

d

đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là
k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phƣơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng
thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phƣơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
7
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
thức:

a

b

c

d

a

a

c

b

d

hãy suy ra tỷ lệ

.

c

Giải:
Cách 1: Xét tích
Từ

a

c

b

d

a

b c

ac

b c (1)

a c

d

ac

ad (2)

ad

b c (3)

a

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra

b
a

- Cách 2: Đặt

a

c

b

d

k

a

bk ,c

c

d
c

dk

Ta có:
a

b

bk

d

bk
dk
d

a
c

c

b k

b

1

bk
d k

dk

a

a

b

Do đó:

c

b

d

b

d

a

c

a
a

a

b

a

a

c

d

b
a

1

( 2 ), ( d

0)
0)

k
c

b

1

(1) , ( b

d
c

a

b

k
k

1

a

Ta có:

1

dk

Từ (1) và (2) suy ra:

- Cách 3: từ

k

d

1

a

c

c

d
c

c

- Cách 4:
Từ
a

c

a

b

a

b

b

d

c

d

c

d

a

a

b

c

c

d

a

b

c

a

d
c

- Cách 5: từ
a

c

b

b

d
a

d

a
b

a

c
d

c

1

b
a

1

d
c

c

8
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức

a

c

b

d

ta có thể suy ra các tỉ lệ

thức sau:
a

b

c

b

d

a

;

b

d

c

d

a

(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

c

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
a)

a

b

a

c

b

c

a

2

a

;b)

a

b

c

2

a

2

c

2

, (b

a

2

thì

bc

0)

b

(với a b , a c )
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ

Đặt

a

c

b

a

k

2

a

a

bc

bk ,c

a

c

b

a

ak

Ta có:
a

b

bk

b

b k

1

k

1

a

b

bk

b

b k

1

k

1

c

a

ak

a

a k

1

k

1

c

a

ak

a

a k

1

k

1

Từ (1) và (2) suy ra:

a

b

c

a

a

b

c

a

, b

0 (1)

a

0 , (2)

- Cách 3: Ta có
a
a

Do đó:

a a

b
b

b

a a

a

b

a

b c

a

c

a

b c

a

c

a

a

b

c

a

a

b

c

b

Ngược lại từ

a

b

c

a

a

b

c

b

2

2

a,b

ab

bc

ab

ab

bc

ab

do, a

2

bc

0

ta cũng suy ra được a2 = bc

Từ đó ta có bài tốn cho

a

b

c

a

a

b

c

b

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác

0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
a

c

a

b

a

b

a

b

b

a

c

a

c

a

c

a

a

b

c

a

a

b

c

a

b)
9
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
2

2

2

Do đó (a + c )b = ( b + a )c
- Cách 2: Từ a2 = bc
Đặt

a

c

b

a

a

c

b

a

2

a

2

b

c

2

2

a

c

2

b

suy ra a = bk, c = ak = bk2

k

Ta có
a
b

Do đó:

a
b

2

2

c

2

2

b k

2

a

k b

b

b

c

2

2

b

2

b k

a

2

c

b

b

a

c

c

b

a

b

2

a

- Cách 4: Ta có
Do đó:

b

2

c

2

b

a

a

c

a

b

a

b

( 2 ), ( a

2

a

Từ (1) và (2) suy ra:

a

2

3

a2

3

a2
a3

3

3

a3
a4

1

2

k

1

k

2

k , b

2

0

b

2

b

c

2

a

2

2

2

2

c

2

a

b

2

2

a

2

2

a

2

b

2

c
a

2

(1)

2

b
2

c b

c

c

bc

b b

c

b

c

, b

c

0

c

2

3

c

c

2

bc

2

0)

b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là
a1

2

2

b

2

a

a

b k

c

2

- Cách 3: từ a = bc
a

2

4

2

k

2

Từ

2

b k

2

c

2

2

a1 , a 2 , a 3 , a 4

thoả mãn

a2

2

a1a 3 ; a 3

3

a2a4

chứng tỏ

a1

3

a4

Giải: Từ
a2
a3

2

3

a1a 3
a2a4

a1

a2

a2
a2

a3
a3

a3

a4

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

a1
a2

a2
a3

a3
a4

a1
a2

3

3

a2
a3

3

3

a3
a

3

3
4

a1

a2

a3

a1

a2

a3

a4

a4

(3)

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

a
a

3

3

1

a

2

a

3

a

2
3

a

3

3
3

a

4

a

3

3
1

a

2

a

3

3
2

a

3

a

3

a

Từ (3) và (4) suy ra:

a

3

3
3

4

3

a

1

(4)

3

3

a

2

3

a

2
3

a

3

3

a1

4

a4

3

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

Cho

a1

a2

a4

a2

a3

a4

chứng minh rằng
bz

Bài tập 4: Biết

cy

cx

az

a

Chứng minh rằng

y

a

bz

Giải: Ta có
abz

az

bcx
a

abz

acy
a

0

2

2

abz

bcx

2

c

a

a
z

2x

z

a

b

c

acy
a

2a

z

b

c

c

c
z

4x

cx

az

4a

(với

4y

cay

2

cbx
c

2

(1)

z

b

baz
b

y

y
c

bcx

2

0

baz

y

2b

y

abz

cy

bcx

b

2y

bx

cbx

bz

x

Bài tập 5:Cho

a4

bx

cay

x

Từ (1) và (2) suy ra:

a4

2

0

2

a3

c

acy

baz
b

x

ay

bay
b

a2

c

b

acy

a1

c

cx

a

a3

z

b

cy

a2

ay

b

x

a1

x

c

a

(2)

.Chứng minh rằng

4b

abc

z

c

và các mẫu đều khác 0)

0

z

Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
a

2b

y
c

2a

x
a

2b

2b

4a

b

c

4a

c

2a

8b

2a

4c

c

4a

b

c

4a

b

c

4b

4a

c

2a

c

2y

z

4b

4a

z

(8 a

4b

4c)

4a

4b

c

2y

z

2x

y

2x

y

c

2b

2a

c

4a

4b

c

2a

z

4b

c

y

b

b

c

x
4a

2b

2c

2x
(4 a

4b

4c
4x

8a
4y

4b
z

c)

4c

(3)

9c
z

9b

4x

4y

b

suy ra

9c

c
z

4x

4y

z

11
GV: Lê Gia Lợi

2y

z

(1 )

9a

4y

8b

4y

9a

x

a

4x

4b

b

2c

2y

2x

4x

x

x

2x

z

Từ (1),(2),(3) suy ra
a

2b

z

y

c

2y

4b

y

x
a

z

Trường THCS Triệu Trạch

y
9b

z

(2)


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phương pháp giải
Bƣớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bƣớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bƣớc 3:Tìm các số hạng chưa biết

Bƣớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu
vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a

b

c

2

4

5

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
a

b

c

a

b

c

22

2

4

5

2

4

5

11

2

Suy ra
a

2

a

4

2

b

4

2

c

10

2
b
4
c
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh
nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp
trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số
cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng
được .

Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên
dương)
Theo bài ra ta có

a

b

c

2a

4b

c

2a

2

4

5

6

16

5

6

4b
16

c
5

119

7

17

Suy ra

12
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

a
7

a

21

7

b

28

7

c

35

3
b
4
c
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất
2

và số thứ hai là

,giữa số thứ hai và số thứ 3 là

3

4

.Tìm ba số đó.

9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a

2

b

3

;

a

4

c

9

và

a

3

b

3

c

3

1009

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi

1

số thóc ở

5

kho I,

1

1

số thóc ở kho II và

6

số thóc ở kho III thì số thóc cịn lại của 3 kho

11

bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là

1

a

4

a

5

Số thóc của kho II sau khi chuyển là

1

b

5

b

6

Số thóc của kho III sau khi chuyển là

c

4

5

a

5

từ

4

a

5

b

10

5

6

11

a

b

c

25

24

22

10

b

6

4

c

1

c

25

b
24

10

c

11

và a+b+c=710

11

5

a

5 .2 0
a

c

b

6

11

theo bài ra ta có

a

5

b

6 .2 0
c
22

710

10
1 1 .2 0 c
10

71

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 1, 2 m ; 1, 4 m ; 1, 6 m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ
với 4 và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên
dương)

Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
13
3

3

GV: Lê Gia Lợi

3

3

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có

a

b

1

3

;

b

c

4

5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng
nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng

x

y

x.y

a

b

a .b

hay

x

y

z

x . y .z

a

b

c

a .b . c

Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm như sau :

x

y

x.y

10

2

5

2 .5

10

x

y

2

5

và x.y=10

suy ra x=2,y=5

1

Bài làm đúng như sau:
Từ

2

x

y

x.x

x. y

x

2

5

2

5

2

10

x

2

4

x

2

từ đó suy ra

y

5

5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
hoặc

2

x

y

x

2

5

4

x

.

2

đặt

2

y

x

5

4

x

y

2

5

10

1

x

2

4

x

2

2

10
x

x

2 x, y

5x

vì

xy=10

nên

2x.5x=10 x 1 x 1
Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
2

x

y

z

2

3

4

và x.y.z= 648

H/s sai lầm như sau
x

y

z

x . y .z

648

2

3

4

2 .3 .4

24

27

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá
trị cần tìm
a

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
b

b
c

c

c
a

a

.
b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
14
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch

ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

a

Cách 1:Ta có
b

b
c

c

c

a

a

b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b

b
c

c

c

a

a

a

b

b

b

c

c

c

a

a

a

b

b

2 a

c

b

c
1

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng

ta phải làm như sau

2

+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
a

nên mỗi tỉ số
b

+ Nếu a+b+c

b

;
c

c

c

;
a

đều bằng -1

a

b

a

0 khi đó

b

b

c

c

c
a

a

a
b

b

c

1

2 a

b

c

2

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 4: Cho biểu thức

x

y

y

z

z

t

t

x

z

t

t

x

x

y

z

y

P
x

Tính giá trị của P biết rằng
y

y

z

t

z

z

t

x

t

t

x

y

x

(1)

y

z

z

t

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

x
y

z

y
t

z

z

t

x

t

x

Cách 2:Từ (1) suy ra

x

y

z

t

x

y

z
z

x

y

1

x

y

t

z

t
t

z

t

z
t

y

3( x

y

z

x

y
z

y
1

t

x

x

t
x

t)
t

1

x

x

z

y

y
x

x

z
y

t

1

y

x

t

z

y

x

z
y

t
z

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra
P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách
1,bài tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tƣơng tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

a

b

c

c

.Hãy tính giá trị của biểu thức

b

B

1

a
1

a

b

c
a

a

c

a

b

b

c
1

c

b

15
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2a

b

c

d

a

2b

a

c

d

a

b

2c

b

d

a

b

c

c

Tìm giá trị của biểu thức M biết :

2d

d
M

a

b

b

c

c

d

d

a

c

d

d

a

a

b

b

c

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau
(nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng
dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ
giải bài tốn “ Tìm x.ybiết:

2x

1

3y

5

2

2x

7

Ta có:

2x

3y

1

” Như sau:

6x
1

3y

5

2

2x

3y

7

1

(1)

6x

Từ hai tỷ số đầu ta có:

2x

1

3y

5

2

2x

7

Từ (1) và (2) ta suy ra

3y

1

(2)

12

2x

3y

1

2x

3y

6x

1

(3)

12

6x = 12

x=2
Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1

3y

1

1

3y

5

1
5

3y

2

0

7

Suy ra 2-3y =3y-2 =0

2

y

.Từ đó tìm tiếp

1

x

3

1

Bài tập 6: Tìm x,y biết :

2

2y

1

18

4y

1

24

6y

(1)

6x

Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
x

Bài tập 7:Tìm x biết

1

60

15

Giải:

x

1
15

60

x

x

1

2

x

2

1

15 .

60

x

1

900

1

h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng
x

y

z

2

3

4

biết rằng

2x

2

3y

2

5z

2

405

16
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Lời giải:
Đặt
Từ

x

y

z

2

3

4

2x

2

3y

2

=k suy ra x=2k, y=3k, z=4k

5z

2

405

suy ra

2

2. 2k

8k

2

45k
k

2

2

2

3 3k

27k

2

2

80k

5 4k
2

405

405

405

9

Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k 3
3.3 Giải pháp :
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu
sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho
3 đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho
phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề
dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài tốn.
Qua đề tài này tơi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận
dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc
vì vậy người thầy phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ từng bài tốn,
khơng ngừng nâng cao trình độ cho bản thân.
Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phương
trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3.4. Kết quả thực hiện :

Trên đây là kinh nghiệm mà tôi đã thực hiện và đã rút ra được trong thực
tế giảng dạy.
Cụ thể: trong năm học 2016-2017 , phương pháp này đã thực hiện trên 30 em
của lớp 7A lớp 7B,tôi thống kê được kết quả như sau:
Số học
Số em thực hiện được bài toán
Lớp
sinh
được
SL
%
khảo sát
7A
15
12
80
7B

15

11

73

Năm học 2017-2018 chúng tôi vẫn tiếp tục áp dụng vấn đề trên vào
giảng dạy cho học sinh hai lớp 7A lớp 7B .
Kết quả :
Số học
Số em thực hiện được bi tốn
Lớp

sinh
được
SL
%
khảo sát
7A2
15
13
87
7A4

15

12

80
17

GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

4. Kết luận và kiến nghị.
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số
bằng nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có
hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các
em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được

những sai lầm mà mình hay mắc phải.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi
chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cơ giáo đóng
góp ý kiến xây dựng để đề tài này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
5. Tài liệu tham khảo.
Đề tài có tham khảo qua các chuyên đề của các bạn đồng nghiệp và tìm
hiểu qua mạng internet

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƢỞNG ĐƠN VỊ

Triệu Trạch, ngày 22 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Lê Gia Lợi

18
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch


ĐỔI MỚI PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DẠY TỈ SỐ BẰNG NHAU

19
GV: Lê Gia Lợi

Trường THCS Triệu Trạch