SKKN giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 40 trang )

Phần I: Lý DO CHọN Đề TàI
Toỏn hc l mt bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao,
nó giúp cho học sinh khả năng tính tốn, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo.
Việc dạy học sinh học tốn khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến
thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo
viên phải biết rèn luyện kỹ năng và thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài
tốn và vận dụng bài tốn đó trờn c s cỏc kin thc ó hc.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán nói chung và toán 7 nói riêng, tôi thấy
phần kiến thức về tỷ lệ thức và dÃy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong ch-ơng
trình Đại số lớp 7. Các dạng toán vỊ tØ lƯ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau rất phong phú và
đa dạng nh-ng trong sách giáo khoa, sách giám khảo lại trỡnh by ni dung khụng
nhiu mà các kỳ thi học sinh giỏi toán 7 thì hấu nh- đề nào cũng có. Trong ch-ơng II,
khi học về đại l-ợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một ph-ơng tiện
quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học đ-ợc định lý Talet,
tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tû lƯ
thøc vµ tÝnh chÊt cđa d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t- duy cho häc sinh rÊt tèt giúp các
em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Vi mong mun c gúp mt phn cơng sức nhỏ của mình trong việc bồi dưỡng
năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo
trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo
của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn,
tơi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghip ti kinh nghim:
" Giúp học sinh chuyên sâu vỊ tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè bằng nhau"
Do điều kiện có nhiều hạn chế nên sau đây tôi xin đ-a ra một số dạng toán th-ờng
gặp với nội dung bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để đ-ợc
bài toán mới, tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tËp vµ båi d-ìng häc sinh giái cho
häc sinh khèi 7 phÇn tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ số bằng nhau là rất phù hợp.

1

Thông qua các bài tập tôi sẽ đ-a đến cho học sinh các cách tiếp cận khác nhau đối
với các bài toán có cùng một dạng nhằm phát triển t- duy cho häc sinh.
PhÇn II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. LÝ THUYT:
1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ sè

a

c

b

d

b) TÝnh chÊt:
+ TÝnh chÊt 1 ( tÝnh chÊt c¬ bản ) : Nếu

a

c

b

d

thì ad = bc

+ Tính chất 2 : NÕu ad = bc vµ a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a

c

b

d

;

a

b

c

d

;

d

c

b

a

;

d

b

c

a

2) Tính chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau:
+ Tõ tØ lƯ thøc

a

c

b

d

ta suy ra

a

c

a

c

a

c

b

d

b

d

b

d

b

+ Më réng: tõ d·y tØ sè b»ng nhau
ta suy ra:

a

c

e

b

d

f

a
b

a

c

e

b

d

f

c

e

d

f

a
b

c

e

d

f

d

....

( giả thiết các tỉ số đều có nghÜa)
Chó ý:
+ Khi cã d·y tØ sè

a

b

c

x

y

z

ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè x, y, z;

Ta cßn viÕt a : b : c = x : y : z.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức,
2

từ

a

c

b

d

suy ra:

2

a

c

a

b

d

b

3

tõ

a

c

b

e

d

suy ra

f

.

c

;

k.

d

a

c

k.

b

k

0 ;

d

3

3

k1a

k 2c

k 1b

k2d

( k1 , k 2

0)

2

a

c

e

a

c

e

b

d

f

b

d

f

;

a

c

e

b

d

f

3) KiÕn thøc bỉ sung:
a) L thõa cđa mét th-¬ng:
n

x

x

y

y

n

Víi n

n

N, y

0 và x, y

Q.

b) Một số tính chất cơ bản:

*
*

a

a .m

b

b .m

a

c

a

c

b

d

b .n

d .n

Víi m

0.

Víi n

0.
2

n

*

n

a

c

a

c

b

d

b

d

Víi n

N.

B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM Sè H¹NG TRONG TỈ LỆ THỨC.
A. Phƣơng pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.
Bài, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện, nhưng thường cho 2 dữ kiện. Từ những mối
quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi
mới sử dụng được.
+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích
của 2 số, để tránh tìm ra số khơng thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các
trường hợp có thể xảy ra để khơng bỏ xót những giá trị cần tìm.
B. Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
0,52 : x = - 9,36 : 16,38
HD : Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia , nhưng để áp dụng tính chất
tỷ lệ thức thì từ 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
x. 9, 3 6

0 .5 2 .1 6 , 3 8

0 , 5 2 .1 6 , 3 8

x

0, 91

9, 36

Ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :

Bài tập 1. 2 Tìm x :
a)

1

2
x

:

3

b)

3
1

3

0, 2 :1

4

1

2

5

3

2
:
5

: 6x

7

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)

Giải : từ

x

60

15

x

x

60

15

x

x.x

15 .

60

x

2

900

x

2

30

2

Suy ra x = 30 hoặc x = -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta
đưa về luỹ thừa bậc hai . có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

x

1
15

60

x

1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x

3

5

5

x

7

Giải:
3

Cách 1: từ
x

3

5

x
x

7
7 x 21
25
12 x
46
5
x
3
6

5

x

3

5

5

x

7

Cách 2: từ

3 .7

5

x .5

5x

x

3

5

5

x
7

áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x

3

5

5

x

x

7
x

3

1

5
x

6

6
5

3

x

3

5

5

7

x

3

3

6

x

2

1

12

6

5

5
6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x

2

x

4

x

1

x

7

x

2

x

2

x
5x
5x

7x
14
3x

7
2x
3x
4

x
14
4
14

4
x

2

x
x

2x

1
4x

10

4
x

5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng của dãy tỉ số
bằng nhau
Bài tập 3 : :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
Tìm x trong tỉ lệ thức
x

2

x

4

x

1

x

7

x

2

x

2

x
5x
5x

7x
14
3x

7
2x

3x
4

x
14
4
14

4
x

2

2x

x
x

1
4x

10

4
x

5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của

dãy tỉ số bằng nhau
Chúng ta bt u vi bi toỏn n gin sau :
Bài toán 1: (Bài 54 SGK Toán 7- tập 1- tr 30- nhà xuất bản giáo dục năm
2007)
4

Tìm hai số x và y biết

x

y

3

5

v x + y = 16

* Đây là bài tốn đơn giản có thể áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải hoặc giải theo một số cách khác.
Gi¶i:
Cách 1 : Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x

y

3

5

x + y

=

=

3 + 5

16

= 2

8

x = 3. 2 = 6
y = 5. 2= 10

Cách 2: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

x

y

3

5

, suy ra :

k

Theo giả thiết:

x

y

x

16

3k

,

3k

5k

y

5k
8k

16

16

k

2

x = 3. 2 = 6

Do đó:

y = 5. 2= 10

Cách 3: ( phƣơng pháp thế )
x

Từ giả thiết

y

3

mà

x

y

3y

x
5
3y

16

5
y

16

8y

80

y

10

5

Do đó:

x

3 .1 0

6

5

Nhận xét : Với cách 2 và cách 3 ta có thể áp dụng để giải hầu hết các bài tốn về
¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tuy nhiªn trong quá trình giải bài tập cụ thể

các em có thể chọn lựa ph-ơng pháp giải phù hợp nhất với bài.
Bài to¸n 1.1: Tìm hai số x và y biết

x

3
=

y

và x+ y = 16

5

Với bài tốn này Học sinh cũng có thể giải theo phương pháp thế. Nhưng để giải
theo cách 1 hoặc cách 2 thì phải đổi y lên trên t :

x
y

=

3

x

y

5

3

5

Bài toán 1.2: Tỡm hai s x và y biết 5x = 3y và x+ y = 16
Bài này có thể áp dụng phương pháp thế, hoặc đặt ẩn phụ để giải . Tuy nhiện học
sinh chỉ cần áp dụng tính chất 2 của tỉ lệ thức để chuyển 5x = 3y thành dãy tỉ số
bằng nhau.

x

y

3

5

là bài toán trở thành bài toán 1

5

Bài toán 1.3: Tỡm hai s x v y bit
Bài to¸n 1.4: Tìm hai số x và y biết

x

y

3

5

x

y

3

5

và x - y = 4

v à x .y = 6 0

Hƣớng dn: làm thế nào để xuất hiện xy để sử dụng giả thiết, từ đó có thể h-ớng
dẫn học sinh giải theo các cách sau:
x

y

3

5

Cỏch 1: T
2

Suy ra

2

x

y

3

5

x y
.
3 5

x .y

60

3 .5

15

4

2

x

x

4

3

2

x

6

3

+ Với x = 6 y = 10
+ Với x = - 6 y = -10
Cách 2 (Đặt ẩn phụ) : làm tương tự cách 2 bài toán 1
Cách 3 ( Dùng phƣơng pháp thế ): làm tương tự cách 3 bài tốn 1
Cách 4 Cịng cã thĨ lµm theo cách sau:
Có

x

y

x

3

3

5

y

5

mà xy = 60
Nên :

x

+

3

.x y

y

.6 0

2

x

( vỡ y

36

0)

5

x2 = 36
xy :

x

60 :

y

3

x=
y

2

100

6
y

10

5

Mà x, y cïng dÊu nªn ta cã :
+ Với x = 6 y = 10
+ Với x = - 6 y = -10

Cịng t-¬ng tù Bài toán 1 nh-ng mở rộng cho dÃy tỉ số bằng nhau ta có bài sau:
x

y

z

2

3

4

Bài toán 1.5 : Cho

(1) vµ x + y + z = 36 ( 2 ) . Tìm x, y, z.

Giải:
Cỏch 1: áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ
ta cã
Suy ra:

x

y

z

x

y

z

36

2

3

4

2

3

4

9

x

4

x= 8 ;

2

4
y

3

x

y

z

2

3

4

,
4

y= 12 ;

z

4

z= 16

4

VËy: x= 8, y= 12, z= 16.

6

Cách 2 :( Đặt ẩn phụ ) Đặt

x

y

z

2

3

4

k

, ta có

Vì x + y + z = 36 nên 2k + 3k + 4k = 36
Suy ra x 2 .4 8 ; y 3 .4 1 2 ; z 4 . 4 1 6
VËy: x= 8, y= 12, z= 16.
Cách 3: ( Dùng phƣơng pháp thế ):
Tõ

x

y

z

2

3

4

2

suy ra: x

;

y

4

z

3

Tõ ®ã ta cã ta cã :

2

y

y

3

x

2 k ; y= 3 k ; z= 4 k

9k

.

k= 4

36

y

3

4

y

2y

36

3

3y

4y

y

36

12

3

Suy ra x 8 ; z 1 6
H-ớng phát triển của bài toán 1.5 cũng t-ơng tự nh- bài toán 1 nh-ng với ba đại
l-ợng x, y, z đòi hỏi học sinh phải có h-ớng suy luận cao hơn.
Giữ nguyên dữ kiện thứ hai của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ nhất , ta có
các bài toán sau:
( cỏc bai toỏn t 1.6 n 1.24 hầu hết đều áp dụng được cách giải theo phương đặt
ẩn phụ hoặc phương pháp thế, nhưng để áp dụng tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau nên đề tài không đưa hai cách này vo)
Bài toán 1.6 : Tỡm ba s x, y, z, biết rằng:

x

y

2

3

z

;x

và vµ x + y + z = 36

2

Hƣớng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện
một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy

x
2

và

x

x

có hai số hạng trên

1

giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới ( ta tìm một tỉ số
trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau
x

Ta có

y

2

mà

x

vậy

3
z

x

z

2

2

4

x

y

z

2

3

4

( nhân cả hai vế vi

1

)

2

.

V b i toỏn tr v bi toỏn 1.5
Bài toán 1.7 : T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 2x = z và x + y+ z = 36
Gợi ý :
Bài toán này khác gì so với bài toán tr-ớc ?
HÃy biến đổi 2 đẳng thức 3x = 2y; 2x = z thµnh d·y tØ sè b»ng nhau ?
Hƣớng dn: Từ

3x

Từ 2x = z
Suy ra

2y

4x

x

y

z

2

3

4

x

y

2

3

2z

x

z

2

4

sau đó giải nh- bài tËp 1.5

7

Từ

x

y

z

2

3

4

ta có

12.

x

y

12.

2

12.

3

z

hay 6x = 4y = 3z do đó bài toán 1.5 cho

4

ta bài toán khó hơn sau:
Bài toán 1.8: Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, tìm x, y, z.
Gợi ý:
ĐÃ có dÃy tỉ số bằng nhau ch-a? Làm thế nào để cã d·y tØ sè b»ng nhau?
BCNN( 6;4;3 ) = ?
H·y chia các vế của đẳng thức cho BCNN( 6;4;3 )
Hng dn: : T 6x = 4y= 3z

6x

4y

3z

x

y

z

12

12

12

2

3

4

Đến đây ta ó a bài toán 1.8 v bài toán 1.5
x

Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết :

4

y

6

2

z

8

3

và x +y +z = 36

4

Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn x còn v-íng - 4, y v-íng - 6 vµ
z v-íng - 8. Cứ bình tĩnh và làm nh- bình th-ờng xem sao?
Gi¶i:
Áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã :
x

4

y

6

2

z

3

8

x

4

4

x

y
2

6
3

z

8

x

y

4

z

18

36

9

18

2

9

4
2

x

8

2
y

6
2

y

2

z

12

3
z

8

16

4

VËy x = 8 ; y= 12; z = 16
Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết :

2x

3y

z

5

10

12

v

x

y

z

109

( thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng mơn tốn 7 năm học 2010 – 2011 )
HD: Ta có :

2x

3y

5

z

10

x

y

5

12

10

2

HS tính được:

x

1 5 .1 0 9

z
12

3

; y

107

7 2 .1 0 9

;z

107

Bài toán 1.10: Tìm x, y, z biÕt

1 0 9 .6

6

2 0 .1 0 9

107

109
107

107

6x

3z

4y

2

6x

3z

3

4y

và x +y +z = 36

4

Hng dn: áp dụng tính chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
6x

3z
2
6x

4y

6x

3z

3
3 z; 4 y

4y
4

6 x; 3 z

6x

3z

4y
2

6x
3

3z

4y

0

4

4y

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh- bài tập 1.8

8

5x

Bài toán 1.11: Tìm x, y, z biết

3z

3y

x

6x

2z

y

4y

và x +y +z = 36

z

Hƣớng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
5x

3z

3y

x

6x

2z

y
6x

4y

5x

3z

3y

z
3z

x

;4 y

6x

;3z

6x
y

2z

x

4y

y

z
1

z

x

y

z

4y

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh- bài tập 1.8
Có thể ra bài tập 1.11 d-ới dạng gộp hai điều kiện lại một nh- sau :
5x

Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biÕt

3z

3y

x

6x

2z

y

4y

36

z

x

y

z

Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác nhnhững bài tr-ớc, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế nào? Liệu có làm xuất hiện
mối quan hệ khác từ dÃy tỉ số bằng nhau không?
Hng dn:
áp dụng tính chất cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
5x

3z

3y

x

6x

2z

y

6x

3z

4y

5x

3z

3y

z

;4 y

6x

x
;3z

6x
y

2z

x

4y

y

z
1

z

x

y

z

và x +y +z = 36

4y

B i toán trở về Bài toán 1.11

Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biết :

2x

1

3y

5

2

2x

7

3y

1

6x

( thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng mơn tốn 7 năm học 2008 – 2009 )
HD : Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau từ 2 tỷ số đầu ta có:
2x

1

3y

5

2

2x

7

3y

1

. Kết hợp với giả thiết

12

2x

3y

1

2x

12

+ Nếu:

2x

3y

1

0

6x

12

+ Nếu:

2x

3y

1

0

2x

1

x

3y

2

Thay vào tính c

3y

1

6x

y

3

Thay vo 2 t s u tớnh c

y

2

1

, x

3

2

Giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai , ta có các
bài toán sau:
Bài toán 1.13: Tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và 2x + 3y 5z = -28

Gợi ý:
Để áp dụng đ-ợc 2x+3y-5z = - 28 thì trên tử của các tỉ số

x
2

,

y
3

,

z

phải xuất

4

hiện thêm các thừa số nào ?( Trên tử phải xuất hiện các tích 2x , 3y v 5z )

9

x

Mn xt hiƯn 2x , 3y và 5z trªn tư các tỉ số

,

2

y

z

,

3

ta làm thế nào?

4

( Nhân cả tử và mẫu của các tỉ số trên lần l-ợt với 2 , 3, và 5 ta đ-ợc dÃy tỉ số bằng
nhau mới

2x

3y

5z

4

9

20

.)

Giải tóm tắt:
Từ

x

y

z

2

3

4

suy ra

2x

3y

5z

4

9

20

áp dụng tính chất của dÃy tỉ số bằng nhau ta có:
2x

3y

5z

2x

4

9

20

4

x

8; y

12; z

3y
9

5z

28

20

4

7

16

Tổng quát lên ta có Bài toán:
x

y

z

a

b

c

nb

pc

Bài toán 1.14 : Tìm x, y, z biết
là các số khác 0 cho tr-ớc và

ma

Ph-ơng pháp giải nh- sau: ta có

và

mx

ny

ny

pz

mx

ny

pz

ma

nb

pc

ma

nb

pc

d

. (Với

a,b, c, d

,m,n,p,q

0) .
x

y

z

mx

ny

pz

a

b

c

ma

nb

pc

mx

ny

pz

ma

nb

pc

áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè

mx

pz

ta đ-ợc

d
ma

nb

pc

Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z .
Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai,
ta có bài toán thứ hai khó hơn nh- sau:
Bài toán 1.15 :Tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và

x

2

y

2

z

2

464

Hng dn : Muốn áp dụng đ-ợc dữ kiện x2+y2+z2= 464 thì Hc sinh phải bình
ph-ơng các tỉ số

x

y

,

2

3

,

z

để đ-ợc dÃy tỉ số bằng nhau mới

4

x

2

4

y
9

2

z

2

16

Giải:
Ta cã:

2

x

y

z

x

2

3

4

4

y
9

2

z

2

.

16

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cïng với dữ kiện x2+y2+z2=464 ta đ-ợc

10

x

2

16

4
x

2

y

4

2

z

9

2

x

16

2

2

y

4

9

2

z

464

16

2

y

16

29

16

x

8

y

12

z

16

.

9
z

2

16

16

Vậy tồn tại 2 cặp giá trị (x, y, z) tha mÃn đề bài là:
( x= 8; y=12; z= 16) vµ (x= - 8; y= -11; z = - 16)
Bµi toán 1.16: Tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và

2x

2

3y

2

5z

Qua bi tp trờn hc sinh ó bit bình ph-ơng các tỉ số

2

720
x

,

2

x

bằng nhau mới

2

y

4

2

9

x

y

z

2

3

4

x

suy ra

,

5

z

để đ-ợc dÃy tỉ số

3

. n õy các em làm xuất hiện các hệ số 2, 3 ,5 mt

16

cỏch phự hp ỏp dng
Giải:
Từ

2

z

y

2

2x

y

4

2

3y

2

z

9

2

5z

2

2x

16

2

2

720

3y

8

.

2

5z

27

2

80
2x

áp dụng tính chất d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

2

2

3y

8

5z

27

2

2x

80

2

3y

8

2

27

5z

2

720

80

16

45

Suy ra
x

2

4
2
y

2

16

x

16

y

16

z

64

2

x

8

144

y

12

256

z

16

9
z

2
2

16

VËy x= 8; y = 12; z = 16 hc x = - 8; y = -12; z = -16. ( v× x, y, z cùng dấu )
Tổng quát lên ta có bài tập :
x

Bài tập 1.17 : Tìm x, y, z biết

y

a

b

z

và

mx

k

x

y

z

mx

a

b

c

ma

k

ny

k

nb

k

pz

k

pc

k

pz

k

N

sao cho

ma

k

ny
nb

k

k

pz
pc

k

k

mx
ma

k

k

ny
nb

k

k

ma

k

nb

k

pc

k

0

k

mx
ma

k

d

k

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè
mx

k

c

Víi a , b , c , d , m , n , p , d , k 0 là các số cho tr-ớc và
Ph-ơng pháp giải nh- sau:
Từ

ny

pz
pc

k

k

k

k

ny
nb

k

k

pz
pc

k

k

ta đ-ợc:

d
ma

k

nb

k

pc

k

11

Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z
Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai,
ta có bài toán nh- sau:
Bài toán 1.18: Tìm 3 số x, y, z biết

x

y

z

2

3

4

và x.y.z = 1536

Giải:
3

x

Từ

y

2

z

3

4

x

x

y

z

xyz

1536

2

2

3

4

24

24

64

x

3

64

x

3

152

x

8

8

Từ đó tìm đ-ợc y = 12; z = 16 .
Thay đổi cả hai dữ kiện của bài toán 1.5 tôi đ-a ra cho học sinh các bài toán sau:
Bài toán 1.19: Cho 3x=2y ;4y=3z và 2x + 3y 5z = - 28, tìm x,y,z.
Nhận xét: Rõ ràng học sinh đÃ biết đ-ợc cách biến đổi 3x=2y ;4y=3z thµnh d·y tØ
sè b»ng nhau

x

y

z

2

3

4

. Đến đây lại quay về gii nh bi tp 1.13

Bài toán 1.20: Tỡm x, y, z biết rằng 21x = 9y ; 15x = 12z và 2x – y + z = 33
( Đề thi HSG Thành phố Vinh mơn tốn 7 năm học 2010 – 2011 )
Với bài này ngoài cách giải bằng phương pháp thế, Thông qua các bài trên học
sinh dẽ dàng biến đổi 21x = 9y ; 15x = 12z thành dóy t s bng nhau :
x

y

z

2x

12

28

15

24

V suy ra

2x
24

y
28

z

33

15

11

x

y

z

12

28

15

3

Từ đó tìm ®-ỵc x = 36; y = 84; z = 45 .
Bài toán 1.20: thi HSG huyn Thanh Ch-ơng nm học 2012 – 2013
Tìm x, y, z biết rằng : 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7
HD: Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z
x

y

z

4x

3y

5z

1

1

1

1

1

1

8

12

15

2

4

3

1

3

8

2

x = 12. =

; y = 12.

1
12

=

4x

3y

5z

7

1

1

1

7

2

4

3

12

= 1; z = 12.

1

4

15

5

12

Bài toán 1.21: Cho 6x = 4y = 3z vµ 2x + 3y –5z = - 28, tìm x,y,z.
Học sinh đÃ biết đ-ợc cách biến đổi 6x = 4y = 3z thµnh d·y tØ sè b»ng nhau
x

y

z

2

3

4

. Đến đây lại quay về giải như bài tập 1.13

Cũng tương tự bài tốn này học sinh có thể dễ dàng giải bài toán sau :

12

Bài toán 1.22: Cho : 2000x = 5000y = 10000z và x – 2y + 5z = 12. Tìm x, y ,z ?
(GVDG huyện Thanh Ch-ơng năm học 20082009;Tân Kỳ năm học 20092010
)
Bi ny ỏp dng tớnh cht ca dãy tỉ số bằng nhau , học sinh sẽ có suy nghĩ
việc đổi 2000x = 5000y = 10000z về dãy t s bng nhau, v bi lm tng t Bài
toán 1.21
Giải tóm tắt :
Ta có 2000x = 5000y = 10000z

x

y

5

2

z

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
x

y

z

5

2

2y

5z

4

5

x

2y
5

5z

4

12

5

2

6

Tõ đó tìm đ-ợc x = 10; y = 4; z = 2 .
Bài toán 1.23: Tìm x, y,z biết:

2x

3y

4z

3

4

5

và 2x + 3y –5z = 18;

( §Ị thi Häc Sinh giái Toán 7 Thành Phố Vinh năm 2013 )
ở đây vì dÃy tỉ số đÃ cho có dạng không thuận tiện cho viƯc ¸p dơng tÝnh chÊt d·y
tØ sè b»ng nhau. Vậy làm thế nào để sử dụng dÃy tỉ số bằng nhau đÃ cho cho phù
hợp.
Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số
Giải:
Từ

2x

3y

4z

x

y

z

3

4

5

18

16

15

áp dụng tính chất dÃy tỉ số bằng nhau ta đ-ợc:
x

y

z

2x

3y

5z

18

18

16

15

36

48

75

9

2

x

2 .1 8

36

y

2 .1 6

32

z

2 .1 5

30

Tiếp tục khai thác Bài toán 1.19 , thay dữ kiện 2x + 3y 5z = -28 thành dữ kiện
2x
3y
5z
7 2 0 ta có bài toán mới khó hơn nh- sau:
2

2

2

Bài toán 1.24: Cho 3x=2y ;4y=3z và 2 x 3 y 5 z
7 2 0 , tìm x,y,z.
ở bài toán này học sinh đÃ biết cách biến đổi 3x = 2y ;4y = 3z thành dÃy tỉ số
2

bằng nhau

x

y

z

2

3

4

2

2

.

Đn õy gii như bài toán 1.16
13

Dạng bài tập này t-ơng đối phức tạp, nếu không trình bày cẩn thận thì rất dễ bị
nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nh-ng rất cần đến khả năng quan
sát các hệ số của 2 dự kiện và kĩ năng biến đổi các dự kiện một cách phù hợp để áp
dụng giả thiết. Cũng cần đến sự khéo léo đ-a bài toán về dạng quen thuộc. Tóm lại
từ bài toán cơ bản th-ờng gặp sau:
Bài toán: Tìm các số x, y, z thoả mÃn :
và x +y + z =d (2–)
tr-íc)

x

y

z

a

b

c

(1–)

( trong ®ã a, b, c, a+b+c

0

và a, b, c, d là các số cho

Có nhiều cách giải nh-ng xin đ-a ra 2 cách giải th-ờng ¸p dơng :
C¸ch 1: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tỉ số bằng nhau ta có
x

y

z

x

y

z

a

b

c

a

b

c

Cách 2: đặt

d
a

b

x

y

z

a

b

c

a .d

x
c

a

k

x

b

c

k .a ; y

Ta cã k.a + k.b + k.c = d

k

a

b .d

; y
a

k .b ; z

b

c

b

c

a .d

x
a

C¸ch 3: Tõ
a
x

y

y

z

a

b

c

c

;

z

c

a

b

c

a

a .d
a

b

a

c

c

c

y

y

b
x

b

suy ra:

b

Tõ đó tìm đ-ợc

c

cd

;z

Thay vào (2) ta có :

y

b

b

x

bd

; y

b

d

k
a

Từ đó tìm đ-ợc

a

thay vào (2)

k .c

d

c .d

;z

bd

; y

b

c

a

b

b

by

d

cy
d

b

cd

;z
c

ay
y

a

b

c

H-ớng khai thác từ bài trên nh- sau :
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay ®æi ®k (1–) theo 5 hƣớng nh- sau:
* a x a y; a y a z
*bx b y bz
1

2

1

y

*

3

y

z

a3

a4

y

b2

;
a1

a2

x

b1
a1

*

4

2

x

*

3

z

a2

b1 x

b3 z

b3
a3

b2 y

a

b1 x
b

b3 z

b2 y
c

+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay ®ỉi ®k (2–) theo 3 hƣớng nh- sau:
* kx k y k z e
1

2

3

14

* kx k y k z
f
* x.y.z = g

+ Thay đổi cả hai điều kiện
2

2

1

2

2

3

Bi tp t gii
Bài 1: Tìm x,y,z.
x

y

2

3

a)

b)

x

;

y

z

5

4

1

y

2

,x

2

y
z

z
3

3

78

,x

2y

3z

14

4

Bài 2: Tìm x1, x2, x3, , x9 biết rằng:
x11 x2–2 x3–3
x –9
=
=
= …= 9
vµ x1 + x2 + x3 + + x9 = 90
9
8
7
1
Bài 3: Tìm x, y,z biết:
a)

x

y

z

3

4

5

và

x

2

2 y

2

4z

2

x

y

z

3

4

5

1

y

b)

141

vµ

2x

2

y

2

3z

2

77

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

3x

2y , 7y

5z

và

x

y

z

x

b)

32

2

c)
e)

2x
y

3y
z
x

1

5z
z

và
x
y

x

y
2

z
x

d)

95
y

3

z

1
x

y

2

3

3

x

y

z

2

3

5

f) 10 x

z

6y

và

2x

3y

z

50

4

và

và

2x

xyz
2

810

y

2

28

z

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
A . Phƣơng Pháp :
Để chứng minh tỉ lệ thức:

A

C

B

D

ta thường dùng một số phương pháp cơ bản sau:

Phƣơng pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phƣơng pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

A
B

và

C

có cùng giá trị.

D

Phƣơng pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức: Dïng c¸c tính chất của tỷ lệ thức ri
hoán vị các số h¹ng và dùng tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau, tính chất của đẳng thức để
biến đổi tỷ lệ thức ®· cho ®Õn tû lƯ thøc ph¶i chøng minh
Một số kiến thức cần chú ý:

15

+)
+)

a

na

b

nb

a

c

a

b

d

b

(n

0)
n

n

c
d

B. Bài tập áp dụng :
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số u cú ngha)
Bài toán 2 . (Bài tập 73 sách bài tập toán 7- tập 1- trang 14).
a

Cho a, b, c, d khác 0. Từ tỉ lệ thức

c

=

b

Giải:
Cách 1: Ta có

a

b c

a

c

b

d

Mà

ac

ad

bc

a c

d

ac

ad

a

b

c

a

Ta có :

c

b

d

b

bk

a

k

a

bk ,c

b

b k

bk

c

d
c

1

d

d

b

a

Ta có:

c

b

d

b

d

a

c

a

a

b

a

a

Cách 4: Từ

Do ®ã:

a

k

( 2 ), ( d

0)

d

c

d

c

;

c

Do ®ã:

a

a

b

a

a

b

b

d

c

d

c

d

c

c

d

a

c

b

d

b

d

a

c

a

c

b

d

a

1

c

d

b

d

1

a

c

d
c

a

b

c

a
a

c

ad

b

b
a

b

da
a

1

a

d

b

0)

c

b

a

(1) , ( b

k

d

1

a

a

VËy:

1

a

C¸ch 5: Từ
Cách 6: Có:

b

1

c

c

a

b

1

c

a

Cách 3: từ

k

dk
a

(2)

k

k

dk

Từ (1) và (2) suy ra:

c

dk

bk

dk

d

d

a

a

c

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
C¸ch 2: Đặt

b
a

d

(1) ;

bc

a

hÃy suy ra tỉ lệ thức:

b
a

d

c

c

d
c

bc

ad

bd
ad

bc

bd
bc

b c
bc

d

c

d
c

(Đpcm).

c

16

Cách 7: Có:

a

c

b

d

a .d

a c

b .c

d

ac

c a

a

b

c

a

ad

ac

bc

b

d

(Đpcm).

c

Nhận xét : các bài toán về chứng minh tỉ lệ thức có rất nhiều cách giải và đều có
h-ớng đi chung nh- các cách giải bài toán 2 .
Tng t bi toỏn 2 ta cú bi toỏn sau:
Bài toán 2 .1: Cho a, b, c, d

0; a

b; c d . Tõ tØ lÖ thøc

a

=

b

thøc:

a

a)

b

c

a

d

a

b)
a

c

c

h·y suy ra tØ lÖ

d

c
b

c

d

( Bà i 35 trang 22 –400 bà i tập toán 7 – Nhà xuất bản giỏo dc )
*Bài toán 2 và bài toán 2.1 đ-ợc xem nh- c¸c tÝnh chÊt quan träng cđa tØ lƯ thức.
Bài toán 2.2 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thøc

a

c

=

b

ta cã thĨ suy ra tØ lƯ thøc

a

b

c

d

a

b

c

d

(a - b

0 và c - d

0)

d

( Bài tập 63 SGK Toán 7-tập 1- trang 31 )
Hứng dẫn :
Tr-ớc hết cần quan sát tỉ lệ thức cần chứng minh

a

b

c

d

a

b

c

d

có phép toán cộng

ở trên và phép toán trừ ở d-ới nên phải biết chuyển tỉ lệ thức cần chứng minh về tỉ
lệ thức nào mà áp dụng đ-ợc tính chất của dÃy tỉ số bằng nhau?
(

a

b

c

d

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

a

Giả thiết cho

=

b

c

)

mà cần chứng minh

d

thành dạng nào ? (

a

c

a

b

b

d

c

d

a

b

a

b

c

d

c

d

,Vậy phải biến đổi giả thiết

)

Giải :
T gi thit:

a

c

a

b

b

d

c

d

p dng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

c

d

a

b

c

d

(đpcm)

Hồn tốn tương tự bài tốn trên ta có bài tốn sau :
17

Bài toán 2.3 :Cho t l thc
Chng minh rng

Mt khỏc, ta có

a

c

b

d

a

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

b

0, c

d

0

(a + b )(c - d ) = (a - b )(c + d )

Cho ta bài toán khú hn:
Bài toán 2.4: cho tỉ lệ thức

a

c

b

d

a

b

0, c

d

0

Chng t rằng : (a + b)(c - d) = (a - b) (c + d)
Phát triển thêm bài toán 2.2 ta có bài tốn sau :
Bài to¸n 2.5: Chứng minh rằng: Nếu
a)

5a

3b

5a

5c

3b

a

c

b

d

3d

5c

b)

3d

thì:
a
c

2

b

2

d

2

2

ab
cd

Gợi ý:
a) Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Từ

a

c

a

b

5a

3b

5a

5c

5a

3b

5c

3d

b

d

c

d

5c

3d

3b

3d

5a

3b

5c

3d

( áp dụng kết quả của bài

toán 2.2 )
b) Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện
đ-ợc a2 và b2;. Chỉ cần gợi ý một chút xíu nữa là các em làm đ-ợc ngay thôi! hÃy so
a

sánh:

.

c

T

a

;

c

b
d

.

b
d

c

a

b

a

b

d

c

d

c

a

c

a

b

a

d

c

d

?

cd

a

b

ab

và

c

t (1) v (2) suy ra

2

b

2

.

d
a

c

a

2

b

c
a

2

c
.

d
2

b

2

d

2

2

a

c
ab

2

2

(1)

2

d
a

c
2

b

2

2

ab

(2)

cd

(đpcm)

cd

Tương tự câu b cđa Bài to¸n 2.5 ta có bài tốn sau :
Bài to¸n 2.6: Cho tỉ lệ thức

a

c

b

d

. Chứng minh rằng :

ab

a

cd

c

2

2

b
d

2

2

18

( Thi HSG huyện Đơ Lƣơng Mơn Tốn 7 năm học 2003 – 2004 )
Tõ Bài to¸n 2.5 ta cã thể đ-a ra bài toán tổng quát sau:
a

Bài toán 2.7: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lƯ thøc

c

=

b

ta cã thĨ suy ra c¸c tØ lƯ thøc:

d

( Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa )
a)

pa

pb

pc

pd

a

c)

;

b)

c

pa

qb

pc

qd

ma

nb

mc

nd

;

pa

pb

pc

pd

pa

pb

pc

pd

k

pa

d)

ma

qb

k

nb

Ở Bài tốn 2.2 nếu ta cho d =a suy ra
Bài toán 2.8: Chứng minh rằng: Nếu

a

a

2

k

k

pc

k

mc

2

bc

k

qd

k

k

nd

bc

ta có bài tốn sau :

thì

a

b

c

a

a

b

c

a

Giải tóm tắt:
Ta có:

a

2

bc

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

a

c

a

c

a

c

a

c

a

a

b

c

a

Bài tốn 2.9: Cho 4 số khác 0 là
a a ;a
a a
thoả m·n a
2

2

chøng tá

a1
a2

a1 , a 2 , a 3 , a 4

;a

3

1

3

3

a2
a3

3

3

3

2

a3

3

a4

3

4

3

a

1

3

3

a

2

0

3

a1

3

a4

( Bài 58 trang 46-sách 500 bài toán cơ bản và nâng cao toán 7)
Giải:
Từ

a2

2

a1a 3

a1

a2

a2

a3

Từ (1) và (2) suy ra

(1)

a1

a3

a3

a2

a2

a3

3

a2a4

a1

a4

a2

3

3

a2
a3

3

3

a2

a3

a3

a4

a3
a

3

3

4

¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta có:

a1

a2

a3

a1

a2

a3

a4

a4

a
a

a

Từ (3) và (4) suy ra:

a

3

a

1
3

a

2

3

a

2
3

a

3

3
3

a1

4

a4

3

(2)

3

3

1

a

2

a

3

a

2
3

a

3

3

(3)

3

a

4

a

3

3
1

a

2

a

3

3
2

a

3

a

3

3
3
3

(4)

4

T-ơng tự bài tập 2.9 Học sinh dễ dàng giải bài tập sau:
3

Bi toỏn 2.10: Cho

a

b

c

b

c

d

chứng minh rằng

a

b

c

a

b

c

d

d

(B i 64 Nâng cao và ph¸t triĨn to¸n 7)
Từ bài tốn này ta có thể dễ dàng cho học sinh làm bài toán sau :

19

Bài toán 2.11 Cho :

a

b

b

c

chứng minh

a

(a

b)

c

b

c

2

2

( Thi HSG toán 7 Đơ Lƣơng năm học 2011 - 2012 )
Bài tốn 2.12: Cho

a

c

b

d

và c

1

0.

Chứng minh rằng:
2

a

b

c

d

a)

3

ab
2

b)

cd

a

b

a

c

d

c

3

3

b
d

3

3

Lời giải:
a) Có:

a

c

a

b

a

b

b

d

c

d

c

d

a

Suy ra:

.

c

b

a

d

c

b

.

d

a

b

c

d

2

Hay:

ab

a

b

cd

c

d

b)

(Đpcm).

2

a

Có:

b
3

Suy ra:

a

d

c

3

b

a

b

c

c

c

d

c

3

b

3

d

3

a
c

3

a

3

c

3

Vậy:

b

3

a

d

b

a

b

d

c

d

3

a

a

Do đó:

c

c

3

3

b
d

Bi toỏn 2.12: Cho

b
d

3

3

3

3

a

b

c

d

(§pcm).

3

2bz

3cy
a

3cx

az

ay

2b

2bx

Chứng minh:

3c

x

y

z

a

2b

3c

.

( Thi HSG tốn 7 Thanh Chƣơng năm học 2012 - 2013 )
2bz

3cy

3cx

a

az

ay

2bx

2b

2abz

3acy
a

3c
6bcx

2

2abz

4b

2

3acy
9c

6bcx

2abz

2bz - 3cy = 0
3cx - az = 0

x

z

a

3c

3acy

2

6bcx
a

2

z

y

3c

2b

(2); Từ (1) và (2) suy ra:

2abz

4b

2

9c

3a cy
2

6b cx

0

(1)

x

y

z

a

2b

3c

20

x

Bà i tậ p 5:Cho
a

a
x

y

2b

c

b

2y

z

2x

2a

b

c

y

z

4x

z
c

(với

4y

4a

.Chứng minh rằ ng

4b

abc

c

và các mẫ u đ ề u khác 0)

0

z

Lời giả i:
áp dụ ng củ a dãy tỉ số bằ ng nhau ta có :
x
a

2b

y
c

2a

b

x
a

2b

2b

4a

c

2a

4a

2y

4b

c

b

2a

c

4a

4a

c

2c

a

2b

c

4b

c

2a

4b

4x

4y

z

(8 a

4b

4c)

c

2a

4b

c

c

4a

suy

4b

8b

4c
4y

c

x

2y

b
z

2x

y

b

2a

b

c

4a

2b

2c

2y

4b

c)

(1 )

9a

2x
(4 a

z

y

z

(2)

9b

4b
z

4c

(3)

9c
x

ra

8a

2y

z

2x

9a

a

c

x

4y

4x
4a

z

4b

2x

4x

4b

2y

4a

2x

4a

(1),(2),(3)

x

2b

z

b

4c

c

z

y

8b

Từ

c

y

x
a

z

y

z

4x

9b

4y

b

suy

ra

9c

c

y

z

4x

4y

z

Bài toán 4:
a

b

c

2012

2013

2014

Cho a, b, c thỏa mãn

Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*)
GV: Có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như thế nào để xuất hiện dãy

tỉ số bằng nhau trong đó có các thành phần là a – b; b – c; c – a?
Cách 1:
Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a

b

c

a

2012

2013

2014

b

2012

b

2013

2013

c

c

2014

2014

a
2012

2

=>

a

b

b

1

c

c

1

a

(a

2

=> 4 (a-b) (b-c) = (c-a)
Cách 2: Đặt

b ) (b
.
1

c)
1

c

a
2

2

a

b

c

2012

2013

2014

k

=> a = 2012k ; b = 2013k ; c = 2014k
Ta có: 4(a – b) ( b- c) = 4 (2012k – 2013k) (2013k – 2014k) = 4.(-k). (-k)
=> 4 ( a – b) (b – c) = 4k2 (1)
(c – a)2 = (2014k – 2012k)2 = (2k)2 = 4k2 (2)
21

Từ (1) và (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2.
GV: Ta thấy 4 (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c)
Để chứng minh (*) ta có thể biểu diễn 2b qua a + c như thế nào?
Cách 3: Từ giả thiết
a

b

c

a

2012

2013

2014

2012

c

a

c

2b

2014

4027

2b

a

c

4027

=> 4 (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) = (2a – a – c) (a + c – 2c)
= (a-c) (a –c) = (a – c)2
VËn dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau chóng ta đ-a ra hệ thống bài toán so
sánh giữa các sè víi nhau:
Bài tốn 2.13: So s¸nh c¸c sè a, b vµ c biÕt r»ng:

a

b

c

b

c

a

vµ a + b + c

0

(Bµi tập 78 sách bài tập toán 7 tập 1 trang 14)
Giải:
Cách 1: Ta có:
và

b

=1

a

b

c

a

b

c

b

c

a

b

c

a

=

a

b

c

a

b

c

a

=1

=1

a=b

b

b=c

c

Do đó a = b = c
Cách 2: Đặt

a

b

c

b

c

a

= n. Ta có: a = nb; b = nc; c = na
a = n(nc) = n[n(na)] = n3a (a

Do đó: a = nb (mà b = nc)
Ta có:

a

b

c

b

c

a

=1

a

b

c

a

b

c

a

b

a

b

c

b

c

a

=1

1 = n3

n=1

a=b=c
3

C¸ch 3:

0)

3

=

a

a

. .

a

b

b

b

=

a

b

. .

c

b

c

a

a

=1

=1

a

=1

b

b

a=b=c

Áp dụng kết quả Bài tốn 2.13: Từ

a
b

=

b

=

c

c
a

= 1

và a + b + c ≠ 0

a=b=c

Ta có bài tốn tổng qt sau:
Bài tốn 2.14: Cho
Chứng tỏ rằng

a1

a2

a2

a3

=

=

a n -1

an

an

a1

và a1 + a

2

+ ... + a

n

0

a 1 = a 2 = ... = a n

22

Tõ Bài toán 2.14 cho ta các bài toán hay và khó sau nhưng cách giải thì tương
tự và dễ dàng:
a

Bài toán 2.15: Cho

b

=

b

c

=

c

; a + b + c ≠ 0 và a = 2012 .

a

Tính b, c ?
a

Bài tốn 2.16: Cho

b

=

b

c

=

c

; a+b+c≠0

a
3

Tính giá trị của biểu thức:

2

2012

a . b .c

M

b

2017

a1

a2

a3

a n -1

an

a2

a3

a4

an

a1

Bài tốn 2.17: Cho:

; a1

a2

a3

...

an

0

T ín h :
2

a1

a)

2

a

2

...

2

a

n
2

a1

a

7

a1

b)

2
7

a2

...

a

...

a

n
7
n
7

a1

a

...

2

( a1

c)
a1

2

2a2

2

a

a2
3a3

n

....
2

an

....

(n

1) a

a

b

c

b

c

a

Bài toán 2.18: Cho

2

an )

1

2
n

1

nan

2

và a + b + c

0.

Chøng tá r»ng: (19a + 103b + 1890c)2012 = 20122012.a2010.b2
* Ng-ợc lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải
chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài.
Điểm thú vị là ta có bài toán đảo của bài toán 2.1 nh- sau:
Bài toán 2. 19: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
thức

a

=

b

Giải: Đặt

c

( b

0; d 0 )

a

b

c

d

a

b

c

d

1 ta cã thĨ suy ra tØ lƯ

( Bà i toán ng-ợc của bài toán 2.2 )

d
a

b

c

d

a

b

c

d

=k

1

a + b = k(a - b) vµ c + d = k(c - d)

(1 + k)b = (k - 1) a vµ (1 + k)d = (k - 1)c. Víi k

1 th× b

0 vµ d

0
23

ta có:

a

=

b

k

1

k

1

c

=

d

Bài toán 2.20: Chng minh rng: Nu

a

b

c

a

a

b

c

a

a

b

c

thỡ

a

2

bc

( bi toỏn ngc ca bi toỏn 2.8)
Ta cú:

a

b

c

a

a

b

c

a

a

hay ac

Bài toán 2.21: Cho

a

2

bc

ab

b

c

ac

a

a
2

bc

ab

2b c

a

2a

2

a

2

bc

a+5
b+6
a 5
=
. Chøng minh r»ng:
= .
a-5
b-6
b 6

Lêi gi¶i:
a+5
b+6
=
suy ra:
a-5
b-6
a 5
Hay:
= (Đpcm).
b 6

Có:

a+5
a-5
(a+5)-(a-5) (a+5)+(a-5)
=

=
=
b+6
b-6
(b+6)-(b-6) (b+6)+(b-6)

x-y
y-z
=
.
4
5
Gợi ý : Từ 2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z) ®-a vỊ d·y tØ sè b»ng nhau nh- thế nào?

Bài toán 2.22: Cho 2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chøng minh r»ng:

Gi¶i:

Cã: 2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z)
2 x
y
5(y+z)
3(x+z)
Suy ra:
=
=
30
30
30
y+z

x+z
(x+z)-(y+z)
x-y
+)
=
=
=
6
10
10-6
4
x+y x+z
(x+y)-(x+z)
y-z
+)
=
=
=
15
10
15-10
5
x-y
y-z
Từ (1) và (2) ta có
=
(Đpcm).
4
5
Bài toán 2.23: Cho

a
c

Chứng minh rằng:

2

2

b
d

2

2

=

ab
cd

x+y
y+z
x+z
=
=
15
6
10

(1)
(2)

với a, b, c, d 0 và c

d.

a
c
a
d
=
hoặc
= .
b
d
b
c

Lời giải tóm tắt:
ab
2ab
a2+b2-2ab
a2+b2+2ab
a
b
=
=
= 2 2
= 2 2

cd
2cd
c +d -2cd
c +d +2cd
c
d
a-b 2 a+b 2
(
) =(
)
c-d
c+d
a+b
a-b
a+b
a-b
Suy ra :
=
hoặc
= c+d
c-d
c+d
c-d
a+b
a-b
a+b
a-b
(a+b)+(a-b)
(a+b)-(a-b)
+) Nếu

=
thì
=
=
=
c+d
c-d
c+d
c-d
(c+d)+(c-d)
(c+d)-(c-d)
2

2

2

2

24

a
b
=
c
d

a
c

=
(1)
b
d
a+b
a-b
a+b
a-b
(a+b)+(b-a)
(a+b)-(b-a)
+) Nếu
= thì
= =
=
c+d
c-d
c+d
c-d
(c+d)+(c-d)
(c+d)-(c-d)
b
a
a
d
=
=
(2)
c
d
b

c
a
c
a
d
Từ (1) và (2) ta có:
=
hoặc
= .
b
d
b
c

Bi tập tự giải
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:

a

c

b

d

.Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết

các tỉ số đều có nghĩa).
2