(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ6 t ính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 113 sgk): Cho hình 79, trong đó AB, AC theo thứ tự là
các tiếp tuyến tại B, tại C của đờng tròn (O). HÃy kể tên một vài
đoạn thẳng bằng nhau, một vài góc bằng nhau trong hình.



B
Giải
Từ hình vẽ ta nhận thấy:
OA = OB = R.
A
O
AB = AB bëi ∆OAB = ∆OAC
(c¹nh huyền và cạnh góc vuông)
C
Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
ABO = ACO = 900.
BOA = COA.
BAO = CAO.

Ta có kết quả:
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ giao điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp
tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
đi qua các tiếp điểm.
Nh vËy:
AB vµ AB' lµ hai tiÕp tun cđa (O)
 AB = AB'
·
·
⇒ OAB = OAB'
·
·
 AOB = AOB'

B
A

O
B'

ThÝ dô 2: (HĐ 2/tr 114 sgk): HÃy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình
tròn bằng "Thớc phân giác" Hình vẽ trong khung ở đầu bài học
6/tr 113 Sgk.


4

Giải Sử dụng hình vẽ tr 113 Sgk


Giả sử đờng phân giác cắt đờng tròn tại hai ®iĨm A vµ B. Khi ®ã, trung ®iĨm O
cđa AB là tâm của đờng tròn.
2. Đờng tròn nội tiếp tam giác

Thí dụ 3: (HĐ 3/tr 114 sgk): Cho ABC. Gọi I là giao điểm của các đờng
phân giác các gãc trong cđa tam gi¸c; D, E, F theo thø tự là chân
các đờng vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, CA, AB (h.80).
Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn
tâm I.



Giải − Sư dơng h×nh vÏ 80/tr 114 − Sgk
Sư dơng tính chất đờng phân giác, ta có ngay:
ID = IE Vì I thuộc phân giác góc C,
IE = IF Vì I thuộc phân giác góc A.
suy ra ID = IE = IF, tøc ba ®iĨm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm I.
Định nghĩa: Đờng tròn nội tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam
giác.
Khi đó:
A
1. Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đờng tròn.
2. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba
đờng phân giác của tam giác (trong thực tế ta chỉ cần lấy
giao điểm của hai đờng phân giác bởi trong một tam
O
giác ba đờng phân giác đồng qui).

C
B
Thí dụ 4: (Bài 32/tr 116 Sgk): Cho ABC đều, ngoại tiếp đờng tròn bán
kính 1cm. Tính diện tích của ABC.
A
Giải
Gọi a là độ dài cạnh của ABC, khi đó:
1
1 a 3 a 3
r = OM ⇔ 1 = AM = .
⇔ a = 2 3cm.
=
O
3
3 2
6



S∆ABC



(

)

a2 3
2 3
=

=
4
4

2

3

= 3 3cm 2 .

B

C

M

Nhận xét: Thông qua thí dụ trên các em học sinh cần ghi nhận công thức
tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác đều khi biết độ
dài cạnh của tam giác và ngợc lại.

3. đờng tròn bàng tiếp tam giác

Thí dụ 5: (HĐ 4/tr 115 sgk): Cho ABC. Gọi K là giao điểm các đờng phân
giác của hai gãc ngoµi B vµ C; D, E, F theo thứ tự là chân các đờng
5


vuông góc kẻ từ K đến các đờng thẳng BC, CA, AB (h.81). Chøng
minh r»ng ba ®iĨm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm I.

Giải Sử dơng h×nh vÏ 81/tr 115 − Sgk
Sư dơng tÝnh chÊt đờng phân giác, ta có ngay:
KD = KE Vì I thuộc phân giác góc ngoài C,
KE = KF Vì I thuộc phân giác góc ngoài B.
suy ra KD = KE = KF, tøc ba ®iĨm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm K.
Định nghĩa: Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của
hai cạnh kia gọi là đờng tròn bàng tiếp của tam giác.
Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác trong góc A
là giao điểm của hai đờng phân giác các góc ngoài
tại B và C hoặc là giao điểm của một đờng phân
giác góc A với đờng phân giác ngoài tại B (hoặc
C).
Với một tam giác tồn tại ba đờng tròn bàng tiếp.

A
O2

O3

B

C
O1

bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đờng tròn tiếp xúc với hai

cạnh của góc xAy thuộc đờng nào ?

Bài tập 2: Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuôc tia Ax. Dựng đờng tròn (O)
Bài tËp 3:

Bµi tËp 4:

Bµi tËp 5:

Bµi tËp 6:

6

tiÕp xóc víi Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di
động trên (O). Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm
tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp ABC.
Trên hinhg 82, ABC ngoại tiếp đờng tròn (O).
a. Chứng minh rằng 2AD = AB + AC BC.
b. Tìm các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a).
Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua M thuộc cung nhỏ BC kẻ
tiếp tuyến với đờng tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo
thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đờng tròn (O). Kẻ các
tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).
a. Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b. Vẽ đờng kính CD. Chøng minh r»ng BD song song víi AO.
c. TÝnh ®é dài các cạnh ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Bài tập 7: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB (đờng kính của một đờng

tròn chia đờng tròn đó thành hai nửa đờng tròn). Gọi Ax, By là các
tia vuông góc với AB (Ax, Ay và nửa đờng tròn thuộc cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác
A và B), kẻ tiếp tuyến với đờng tròn, nó cắt Ax và By lần lợt ở C và
D. Chứng minh rằng:
Ã
b. CD = AC + BD
a. COD = 900.
c. TÝch AC.BD kh«ng đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn.
Bài tập 8: Cho ∆ABC, biÕt BC = 6. LÊy E, F theo thø tù thuéc AB, AC sao cho
EF song song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ∆ABC. TÝnh
chu ∆ABC, biÕt EF = 2cm.
Bµi tËp 9: Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. §êng trßn (I) néi
tiÕp ∆ABC  xóc víi AB, AC theo thø tù ë D, E.
tiÕp
a. TÝnh B I C .
b. Tính diện tích tứ giác ADIE.
Bài tập 10: Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và diện tích bằng S. Đờng tròn
nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A1,
B1, C1. Giả sử A1B1C1 có độ dài ba cạnh tơng ứng là a1, b1, c1.
a
b
A
B
C
Chứng minh rằng 1 + 1 = 2(sin
+ sin ).sin
.

2
2
2
a
b

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
Với hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm, ta có kết quả "Nếu hai tiếp tuyến của một đờng
tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao
điểm đó qua tâm của đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến "
Nh vậy:
B
AB và AB' lµ hai tiÕp tun cđa (O)
 AB = AB '

⇒
OAB = OAB '

A

O

B'
4. Đờng tròn nội tiếp tam giác
Định nghĩa: Đờng tròn nội tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam
giác.
A
Khi đó:
1. Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đờng tròn.

2. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba
đờng phân giác của tam giác (trong thực tế ta chØ cÇn lÊy
O
B

C

7


giao điểm của hai đờng phân giác bởi trong một tam giác
ba đờng phân giác đồng qui).
5. đờng tròn bàng tiếp tam giác
Định nghĩa: Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của
hai cạnh kia gọi là đờng tròn bàng tiếp của tam giác.
A
Nh vậy, với ABC tồn tại ba đờng tròn bàng
O2
O3
tiếp và tâm của một đờng tròn bàng tiếp là giao
điểm của một đờng phân giác trong với hai phân
B
C
giác ngoài.
O1

B. phơng pháp giải toán

Ví dụ 2: (Bài 28/tr 116 Sgk): Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đờng

tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy thuộc đờng nào ?




Hớng dẫn: Sử dụng kết quả về tia phân giác của " Định lí về hai tiếp tuyến cắt
nhau".

Giải
Tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy thuộc tia phân giác
At của góc xAy.
VÝ dơ 3: (Bµi 29/tr 116 − Sgk): Cho gãc xAy khác góc bẹt, điểm B thuôc tia



Ax. Dựng đờng tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
x
B
Hớng dẫn
O

Tâm O là giao điểm của đờng thẳng d (d qua B và vuông
góc với Ax) với tia phân giác At của góc xAy.

y
A
Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di

động trên (O). Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm
tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp ABC.

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả "Với I là giao điểm của OC và (O) thì AI là tia phân


giác của góc A".

Giải
Gọi I là giao điểm của OC với (O), ta có ngay AI là
phân giác góc A, từ đó suy ra I là tâm đờng tròn nội tiếp
ABC.
Vậy tập hợp tâm I thuộc đờng tròn (O), ngoại trừ ba
điểm A, A1, A2, trong đó A1A2 là đờng kính vuông góc
với OA.

A
I

O

C

B

Ví dụ 5: (Bài 31/tr 116 Sgk): Trên hinhg 82, ABC ngoại tiếp đờng tròn (O).

a. Chứng minh rằng 2AD = AB + AC − BC.

8

b. Tìm các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a).

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".
Giải
a. Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến c¾t
nhau", ta cã:
AD = AF; BD = BE; CE = CF.
Khi ®ã:
 AB = AD + BD

 AC = AF + CF
⇒ AB + AC = AD + AF + BD + CF
= AD + AD + BE + CE = 2AD + BC
⇔ 2AD = AB + AC − BC, đpcm.

A
D

F
O

B

E

C

b. Các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a) là:
2AF = AB + AC BC,
2BD = BA + BC − AC,

2BE = BA + BC − AC,
2CF = CA + CB − AB,
2CE = CA + CB − AB.
VÝ dơ 6: (Bµi 27/tr 115 − Sgk): Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ các

tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua M
thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), nó cắt các tiếp
tuyến AB vµ AC theo thø tù ë D vµ E. Chøng minh r»ng chu vi tam
gi¸c ADE b»ng 2AB.

 Híng dÉn: Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".
Giải
a. Sử dụng kết quả của "Định lÝ vỊ hai tiÕp tun c¾t nhau", ta cã:
AB = AC, DB = DM, EC = EM.
B
Khi ®ã:
D
CV∆ADE = AD + AE + DE
A
O
M
= AD + AE + (DM + ME)
= AD + AE + (DB + EC)
E
C
= (AD + DB) + (AE + EC)= AB + AC = 2AB.



NhËn xét: Cũng với giả thiết nh ví dụ trên ngời ta phát triển thành

Từ một điểm A ở bên ngoài ®êng trßn (O, R), vÏ hai tiÕp tuyÕn AB, AC với
đờng tròn. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm D. Tiếp tuyến tại D của đờng
tròn cắt AB tại M, cắt AC tại N. Cho biết dạng của ABC và tính chu vi
của AMN trong các trờng hợp sau:
a. OA = 2R.
b. OA = R 2 .
9




Giải

Ta đà biết kết quả CVAMN = 2AB.
Để xác định dạng của ABC (cân tại A), ta xét:
OB
sinOÂB =
.
OA
a. Với OA = 2R, ta đợc:
R
1
sinOÂB =
= OÂB = 300
2R
2
0
CÂB = 60 ABC đều.
Khi đó:

M
A

B
O

I

N

C

CVAMN = 2AB = 2 OA 2 − OB2 = 2 4R 2 − R 2 = 2R 3 .
b. Víi OA = R 2 , ta đợc:
R
1
sinOÂB =
=
OÂB = 450 CÂB = 900
2R
2
ABC vuông cân tại A.
Khi đó:
CVAMN = 2AB = 2 OA 2 − OB2 = 2 2R 2 − R 2 = 2R.
VÝ dơ 7: (Bµi 26/tr 115 Sgk): Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đ-

ờng tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các
tiếp điểm).
a. Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b. Vẽ đờng kính CD. Chøng minh r»ng BD song song víi AO.

c. TÝnh ®é dài các cạnh ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:




Với câu a), sử dụng kết quả về tia phân giác của "Định lí về hai
tiếp tuyến cắt nhau".
Với câu b), sử dụng kết quả của câu a) kết
hợp với việc chứng minh đợc BD BC.
Với câu c), sử dụng hệ thức lợng trong tam
giác vuông.



Giải
a. Gọi I là giao điểm của OA và BC.
Trong ∆ABC, ta cã:
AB = AC − TÝnh chÊt hai tiếp tuyến cắt nhau
ABC cân tại A.
10

B
A

I
C

D

O


Do đó phân giác AI của góc A (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) cũng là đờng
cao, tức là:
AI ⊥ BC ⇔ OA ⊥ BC, ®pcm.
(1)
b. Trong ∆BCD, ta cã:
1
2

OB = OC = OD ⇒ OB = CD ⇔ BCD vuông tại B (tính chất trung tuyến)
BD BC.
Tõ (1) vµ (2) suy ra OA song song víi BD.
c. Trong OAB vuông tại B, ta có:

(2)

AC = AB = OA 2 − OB2 = 42 − 22 = 2 3cm.
1
1
1
1 1 1
=
+
= + = ⇔ BI = 3cm ⇒ BC = 2BI = 2 3cm.
2
2
2
BI

BA
BO 12 4 3
VÝ dụ 8: (Bài 30/tr 116 Sgk): Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB (đ-

ờng kính của một đờng tròn chia đờng tròn đó thành hai nửa đờng
tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, Ay và nửa đờng
tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M
thuộc nửa đờng tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với đờng tròn,
nó cắt Ax và By lần lợt ở C và D. Chøng minh r»ng:
·
b. CD = AC + BD
a. COD = 900.
c. Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:






Với câu a), sử dụng kết quả về tia phân giác của "Định lí về hai
tiếp tuyến cắt nhau".
Với câu b), sử dụng kết quả về độ dài của " Định lí về hai tiếp
tuyến cắt nhau".
Với câu c), thay tíc AC.BD bằng CM.DM. Rồi bằng việc sử dụng
công thức hình chiếu và công thức tính đờng cao ứng với cạnh
huyền trong một tam giác vuông ta sẽ nhận đợc giá trị không đổi
AB2
là

.
4

Giải

a. Trong COD, ta có:
Ã
Ã
Ã
Ã
Ã
COD = COM + DOM = COA + DOB
·
·
·
·
·
⇔ 2COD = COA + DOB + COD = 1800 COD = 900.

y
x
C
A

M
O

D
B

b. Ta lần lợt:
CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đờng tròn nên CA = CM.

11


DB và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đờng tròn nên DB = DM.
Cộng theo vế hai đẳng thức trên, ta đợc:
AC + BD = CM + DM = CD, ®pcm.
c. Ta cã ngay:

( CM.CD ) ( DM.CD )

OC 2 .OD 2
AB2
= OM2 =
.
OC 2 + OD 2
4
CD 2
Vậy, tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn.

AC.BD = CM.DM =

=

Ví dụ 9: Cho ∆ABC, biÕt BC = 6. LÊy E, F theo thø tù thuéc AB, AC sao cho

EF song song víi BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC. Tính
chu ∆ABC, biÕt EF = 2cm.

 Híng dÉn: Sư dơng sù đồng dạng của hai tam giác AEF và ABC kết hợp với kết


quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

Giải
Ta có hai AEF và ABC đồng dạng, do ®ã:
EF
AE
=
.
BC
AB

A

(1)

Ta cã:
E
M

⇒ b + c = 2AM + BC = 2AM + 6
1
⇔ AM = AP =
(b + c − a) = p − a.
2

Q

B

 c = AB = AM + MB = AM + NB

 b = AC = AP + PC = AM + NC

N

F
P

C

(2)

 AM = AE + EM = AE + EQ
⇒ 2AM = AE + AF + EF

 AM = AP = AF + FP = AF + FQ

⇔ AM = AP = p∆AEF.

(3)

p −6
2
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc
=
p = 9cm.

p
6

Vậy chu vi của ABC bằng 18cm.
Ví dụ 10:
Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Đờng tròn (I)
nội tiÕp ∆ABC tiÕp xóc víi AB, AC theo thø tù ë D, E.

a. TÝnh B I C .
b. TÝnh diÖn tích tứ giác ADIE.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:
12







Với câu a), sử dụng số đo tổng ba góc trong một tam giác kết hợp
với kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".
Với câu b), cần ®i chøng minh SADIE = ID2.

Gi¶i
a. Trong ∆IBC, ta cã:
1
1

ˆ

ˆ
ˆ ˆ
( B + C ) = 1800 –
.900
B I C = 1800 – ( IBC +ICB ) = 1800 –
2
2

= 1350.
b. Gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC.
Xét tứ giác ADIE, ta có:

 = D = Ê = 900 vµ ID = IE = r ⇒ ADIE là hình vuông
do đó SADIE = ID2 = r2.
Trong ABC, ta cã:
B
1
1
1
S∆ABC =
AB.AC =
p.r =
(AB + AC + BC).r
2
2
2
⇔r=

AB.AC
AB + AC + AB 2 + AC 2

=

6 .8
6 + 8 + 6 2 + 82

D

A
E
I

C

= 2cm.

Vậy, ta đợc SADIE = 22 = 4cm2.
Ví dụ 11:

Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và diện tích bằng S. Đờng
tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại
A1, B1, C1. Giả sử A1B1C1 có độ dài ba cạnh tơng ứng là a1, b1, c1.
a
b
A
B
C
Chøng minh r»ng 1 + 1 = 2(sin
+ sin ).sin
.

2
2
2
a
b



Gi¶i
Trong ∆A1B1C1 ta cã:


π−A
A
B1 I C1
a1 = B1C1 = 2r.sinA1 = 2r.sin
= 2r.sin
= 2r.cos
,
2
2
2

tơng tự, ta đợc b1 = 2r.cos

B
.
2

A

Trong BIC ta cã:
a = BC = BA1 + CA1 = r.cot

C
B
+ r.cot
2
2

B +C
A
r. cos
2
2
= r.
=
,
B
C
B
C
sin . sin
sin . sin
2
2
2
2

C1

sin

B1
I

B

A1

C

13


cos

tơng tự, ta đợc b =

B
2

A
C
sin . sin
2
2

.

Từ đó:
a1
b
B
C
A
C
A
B
+ 1 = 2sin .sin
+ 2sin
+ sin
= 2(sin
+ sin ).sin
2
2
2
2
2
2
a
b
C
.
2



Yêu cầu: Các em học sinh hÃy thực hiện thêm bài tập:
Bài tập: Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cố định trên đờng tròn

đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB
với đờng tròn (O). Hai đờng cao AD và BE của tam giác MAB cắt
nhau tại H.
a. Khẳng định ba điểm M, H, O thẳng hàng là đúng hay sai ?
b. Xác định dạng của tứ giác AOBH.
c. Tìm quỹ tích của điểm H khi M chạy trên xy.

bài tập lần 2
Bài 1: Cho ABC đều.
a. HÃy nêu cách dựng tiếp tuyến a của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết tiếp
tuyến đi qua điểm A.
b. Khẳng định d // BC là đúng hay sai ?
c. HÃy nêu cách dựng các tiếp tuyến b, c của đờng tròn ngoại tiếp ABC, biết
rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B, C. Giả sử b cắt c tại D.
d. Khẳng định BCD đều là đúng hay sai ?
Bài 2: Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Đờng tròn (I) néi tiÕp ∆ABC
tiÕp xóc víi AB, AC theo thø tù ë D, E.

a. TÝnh B I C .
b. TÝnh diện tích tứ giác ADIE.
Bài 3: Cho ABC cân tại A, I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp
trong góc A, O là trung điểm của IK.
a. Khẳng định bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đờng tròn tâm O là đúng hay
sai ?
b. Khẳng định AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O) là đúng hay sai ?
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau tới (O; R).
Bài 5: Cho đờng thẳng (d) và một điểm A ở trên đờng thẳng đó. Tìm tập hợp tâm các đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng (d) tại điểm A.

14

Bài 6: Cho đờng thẳng (d). Tìm tập hợp tâm các đờng tròn có bán kính bằng R và
tiếp xúc với đờng thẳng (d).
Bài 7: Cho hai đờng thẳng cắt nhau a và b. Tìm tập hợp tâm các đờng tròn tiếp xúc
với hai đờng thẳng đó.
Bài 8: Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cố định trên đờng tròn đó. Qua A vẽ tiếp
tuyến xy. Từ điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đờng tròn (O). Hai đờng cao
AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H.
a. Khẳng định ba điểm M, H, O thẳng hàng là đúng hay sai ?
b. Xác định dạng của tứ giác AOBH.
c. Tìm quỹ tích của điểm H khi M chạy trên xy.

Giỏo ỏn in t ca bi giảng này giá: 700.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

15