Bài giảng Vật lý 1: Chương 3a - Lê Quang Nguyên

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Hệ chất ñiểm

Lê Quang Nguyên

www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen

Nội dung

1. Khối tâm

2. Định luật 2 Newton cho hệ chất ñiểm
3. Momen ñộng lượng

1a. Chuyển ñộng của hệ chất ñiểm

• Cho ñến nay chúng ta chỉ mới xét chuyển ñộng của
các hệ có thể coi là chất điểm.

• Chuyển động của các vật thể lớn hay hệ chất ñiểm
thường phức tạp hơn.

• Ví dụ 1: cây thước.

• Ví dụ 2: vận ñộng viên vượt rào.

Chuyển ñộng của mỏ lết

1b. Khối tâm

• Thử xem lại các ví dụ vừa rồi: cây thước, vận
ñộng viên vượt rào.

• Với mỗi hệ ta có thể định một vị trí có chuyển
động tn theo định luật 2 Newton: <i>khối tâm</i> của
hệ.

• Khối tâm (CM) có vị trí:

• <i>M</i> là khối lượng hệ, tổng ñược lấy trên tất cả các
chất ñiểm có khối lượng <i>m_i</i>và vị trí<i><b>r</b>_i</i> của hệ.

∑

=

<i>i</i>
<i>i</i>
<i>i</i>
<i>CM</i> <i>mr</i>

<i>M</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1c. Bài tập 1.1

• Một hệ gồm ba chất

điểm có vị trí như trên
hình vẽ, với <i>m</i>₁ = <i>m</i>₂ =
1,0 kg và<i>m</i>₃ = 2,0 kg.
• Hãy tìm khối tâm của

hệ.

1.c Trả lời bài tập 1.1

• Tọa độ của khối tâm:

• Thay bằng số ta ñược:

3
2
1

3
3
2
2
1
1

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>xCM</i>

+

+

+
+

=

3
2
1

3
3
2
2
1
1

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

<i>y</i>
<i>m</i>
<i>y</i>
<i>m</i>
<i>y</i>
<i>m</i>
<i>yCM</i>

+
+

+
+

=

( )

1 2 2 0 3

0,75

1 1 2 4

<i>CM</i>

<i>x</i> = + + × = = <i>m</i>

+ +

( )

1 0 1 0 2 2 4
1,0

1 1 2 4

<i>CM</i>

<i>y</i> = × + × + × = = <i>m</i>

+ +

<i><b>r</b></i>_CM

1d. Bài tập 1.2

• Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có
khối lượng <i>M</i> và chiều dài <i>L</i> nằm ở trung điểm
của nó. Giả sử khối lượng trên một ñơn vị dài của
thanh là hằng số.

1.d Trả lời bài tập 1.2

• Chọn trục <i>x</i> theo chiều

dài thanh. Đoạn vi phân

<i>dx</i> ở vị trí<i>x</i>có

• khối lượng <i>dm</i>= <i>λdx</i>.
• <i>λ</i> là khối lượng trên một

ñơn vị dài.

• Khối tâm có tọa độ cho
bởi:

∫

= <i>xdm</i>

<i>M</i>

<i>x_CM</i> 1

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1.d Trả lời bài tập 1.2 (tt)

• Suy ra:

• trong đó <i>λ</i>/<i>M</i>= 1/<i>L</i>

• Tích phân trên cho ta:

∫

∫

=

=

<i>L</i>
<i>L</i>

<i>CM</i> <i>xdx</i>

<i>L</i>
<i>xdx</i>
<i>M</i>

<i>x</i>

0
0

1

λ

[ ]

2
2

1

0
2 <i>L</i>

<i>x</i>
<i>L</i>

<i>x_CM</i> = <i>L</i> =

1e. Bài tập 1.3

• Xét một thanh khơng đồng nhất, có khối lượng
trên một đơn vị dài thay đổi theo vị trí <i>x</i>: <i>λ</i> = <i>αx</i>,

<i>α</i> là hằng số. Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài <i>L</i>

của thanh.

1.e Trả lời bài tập 1.3

• Làm tương tự như bài tập 1.2 ta có:

• Tích phân cho ta:

∫

∫

=

=

<i>L</i>
<i>L</i>

<i>CM</i> <i>x</i> <i>dx</i>

<i>M</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>M</i>
<i>x</i>

0
2
0

1 _λ α

[ ]

<i>M</i>
<i>L</i>
<i>x</i>

<i>M</i>

<i>x_CM</i> <i>L</i>

3
3

3
0

3 α

α ₌

=

1.e Trả lời bài tập 1.3 (tt)

• Khối lượng của thanh được xác định bởi:

• Thay thế biểu thức của <i>λ</i> ta có:

• Do ñó:

∫

∫

=

= <i>dm</i> <i>dx</i>

<i>M</i> λ

[ ]

2
2

2
0

2
0

<i>L</i>
<i>x</i>

<i>xdx</i>

<i>M</i> <i>L</i>

<i>L</i>

α
α

α = =

=

_∫

<i>L</i>
<i>M</i>

<i>L</i>
<i>x_CM</i>

3
2
3

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2a. Động lượng của hệ chất điểm

• Lấy đạo hàm vị trí khối tâm theo thời gian, ta
ñược vận tốc khối tâm:

• Hay:

• Động lượng của hệ bằng động lượng của một chất
điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ <i>M</i>,
chuyển ñộng với vận tốc khối tâm <i><b>v</b>_CM</i>.

∑

∑

=

=

<i>i</i>
<i>i</i>
<i>i</i>

<i>i</i>
<i>i</i>

<i>CM</i> <i>p</i>

<i>M</i>
<i>v</i>
<i>m</i>
<i>M</i>

<i>v</i> 1 1

<i>P</i>
<i>p</i>
<i>v</i>

<i>M</i>

<i>i</i>
<i>i</i>
<i>CM</i>

≡
=

∑

2b. Định luật 2 Newton cho hệ chất điểm

• Đạo hàm vận tốc khối tâm theo thời gian:

• trong đó ta đã dùng định luật 2 Newton cho từng
chất điểm.

• Suy ra:

• Khi <i><b>F</b>_tot</i> = 0, ñộng lượng của hệ bảo tồn, do đó
khối tâm chuyển động thẳng ñều.

<i>dt</i>
<i>P</i>
<i>d</i>
<i>dt</i>

<i>p</i>
<i>d</i>
<i>a</i>

<i>M</i>

<i>i</i>

<i>i</i>
<i>CM</i>

=

=

∑

<i>i</i> _,

<i>i tot</i>

<i>dp</i>
<i>F</i>
<i>dt</i> =

<i>tot</i>

<i>dP</i>
<i>F</i>
<i>dt</i> =

<i><b>F</b></i>

<i>tot</i> là tổng ngoại lực

tác động lên hệ.

2c. Chuyển động của khối tâm

• Ta có thể viết:

• Khối tâm của một hệ có khối lượng <i>M</i> chuyển
động như một chất ñiểm thực khối lượng <i>M</i> dưới
tác ñộng của tổng ngoại lực tác ñộng lên hệ.

• Khối tâm của cây thước.
• Khối tâm của vđv vượt rào.

<i>CM</i> <i>tot</i>

<i>Ma</i> = <i>F</i>

2d. Bài tập 2.1

• Mộ tên lửa nổ tung

thành nhiều mảnh trên
không.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2d. Trả lời bài tập 2.1

• Trước khi nổ tên lửa chuyển

ñộng như một chất điểm, có
quỹ đạo là một parabol.

• Gia tốc của khối tâm sau khi
nổ thỏa phương trình:

• Lực tồn phần tác động lên
hệ vẫn là trọng lực <i>M<b>g</b></i>.

• Suy ra: <i><b>a</b>_CM</i>= <i><b>g</b></i>.

• Do đó khối tâm vẫn chuyển
động theo quỹ đạo parabol.

<i>CM</i> <i>tot</i>

<i>Ma</i> =<i>F</i>

2e. Bài tập 2.2

• Hai xe trượt trên đệm khí đến va chạm nhau.
• (a) Tìm vận tốc của chúng sau va chạm.

• (b) Tìm vận tốc khối tâm của hệ hai xe trước và
sau va chạm.

<i>v</i>= 1,0 m/s <i>_v</i>= 0,0 m/s

2e. Trả lời bài tập 2.2(a)

• Lực tồn phần trên phương ngang bằng khơng, do
đó động lượng trên phương ngang được bảo tồn.
• Trên trục <i>x</i> hướng sang phải ta có:

• Cơng tồn phần tác động lên hệ bằng khơng, do
đó động năng hệ cũng bảo tồn:

• Giải hệ ta được: <i>v</i>₁ = 0,18, <i>v</i>₂ = 1,18 m/s.
• Minh họa.

2
2
1
1

1<i>v</i> <i>mv</i> <i>m</i> <i>v</i>

<i>m</i> = + ⇒ 1= +<i>v</i>₁ 0,7<i>v</i>₂

2
2
2
2
1
2
1

1
2
1
2
1
2

1<i>_m_v</i> = <i>_m_v</i> + <i>_m</i> <i>_v</i> 2 2

1 2

1 <i>v</i> 0,7<i>v</i>

⇒ = +

∆<i>K_hệ</i>= tổng công của các lực tác ñộng lên hệ

2e. Trả lời bài tập 2.2(b)

• Vận tốc khối tâm được xác định bởi:

• Vì ñộng lượng của hệ nằm ngang nên chiếu lên
trục <i>x</i> ta được:

• Trước va chạm:

• Vì động lượng ñược bảo toàn nên sau va chạm
vận tốc khối tâm khơng thay đổi.

<i>P</i>
<i>v</i>

<i>M</i> <i>CM</i>

=

<i>P</i>

<i>MvCM</i> =

1 <i>_CM</i> 1 1,7 0,59 /

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2f. Bài tập 2.3

• Hai vật khối lượng <i>M</i> và 3<i>M</i>

được ñặt trên một mặt phẳng
ngang không ma sát như
hình vẽ. Sau khi đốt sợi dây
giữa hai vật, vật 3<i>M</i> chuyển
ñộng sang phải với vận tốc
2,00 m/s.

• (a) Tìm vận tốc của vật <i>M</i> ?
• (b) Tìm thế năng đàn hồi

ban đầu của lị xo, cho biết

<i>M</i>= 0,350 kg.

2f. Trả lời bài tập 2.3(a)

• Vì lực tồn phần trên phương ngang bằng khơng
nên động lượng của hệ trên <i>x</i> được bảo tồn:

• Nếu chọn trục <i>x</i> hướng sang phải thì:

• Cơ năng của hệ cũng được bảo tồn vì khơng có
ma sát:

• Ta có:

2
1

3

0 <i>Mv</i> <i>Mv</i>

<i>P</i>

<i>Pi</i> = <i>f</i> ⇔ = +

(

<i>m</i> <i>s</i>

)

(

<i>m</i> <i>s</i>

)

<i>v</i>

<i>v</i>₂ =−3 ₁ =−3×2 / =−6 /

(

<i>K</i> <i>Ug</i> <i>Us</i>

)

<i>E</i> = =∆ + +

∆ 0

2
1
2

2
2

1 6

2
1
2

3

<i>Mv</i>
<i>Mv</i>

<i>Mv</i>
<i>K</i>

<i>K</i> = <i>_f</i> = + =

∆

2f. Trả lời bài tập 2.3(b)

• Suy ra:

• Theo trên, thế năng đàn hồi ban đầu của lị xo đã
chuyển hồn tồn thành động năng của hệ.

• Nếu có ma sát thì chỉ một phần của năng lượng
này chuyển thành ñộng năng.

0

=
∆<i>U_g</i>

<i>i</i>
<i>s</i> <i>s</i>

<i>U</i> <i>U</i>

∆ = −

2
1

6 <i>_si</i> 0

<i>E</i> <i>Mv</i> <i>U</i>

∆ = − =

( )

2
1

6 6 0,350 4 8, 4
<i>i</i>

<i>s</i>

<i>U</i> = <i>Mv</i> = × × = <i>J</i>

3a. Momen động lượng của chất điểm

• Momen ñộng lượng của một

chất ñiểm đối với gốc O là:

• <i><b>L</b></i> có độ lớn:

• phương vng góc với mặt
phẳng (<i><b>r</b></i>, <i><b>p</b></i>).

• chiều cho bởi quy tắc bàn tay
phải.

• <i><b>L</b></i> đặc trưng cho chuyển động
quay.

<i>p</i>
<i>r</i>

<i>L</i>

×
=

x

y
z

<i><b>r</b></i>

<i><b>p</b></i>
<i><b>L</b></i>

<i>φ</i>

sin

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

3b. Bài tập 3.1

• Một chất điểm chuyển

động trong mặt phẳng <i>xy</i>

trên một đường trịn bán

kính <i>r </i>tâm O.

• Tìm độ lớn và chiều
momen ñộng của chất
ñiểm ñối với tâm O, nếu
vận tốc chất điểm là<i>v</i>.

3b. Trả lời bài tập 3.1

• <i><b>L</b></i> vng góc mặt phẳng <i>xy</i>

và hướng theo chiều dương
trục <i>z</i> (hình vẽ).

• Trong chuyển động trịn
động lượng vng góc với
vectơ vị trí, do đó ta có:

x

y
z

<i><b>r</b></i>

<i><b>p</b></i>
<i><b>L</b></i>

<i>φ</i>

<i>rmv</i>

<i>rp</i>

<i>rp</i>

<i>L</i>= sinϕ = =

3c. Momen lực

• Momen của một lực ñối với

gốc O ñược định nghĩa bởi:

• <i><b>τ</b></i>có độ lớn:

• phương vng góc mặt
phẳng (<i><b>r</b></i>, <i><b>p</b></i>).

• và chiều xác định bởi quy tắc
bàn tay phải.

• <i><b>τ</b></i> đặc trưng cho chuyn ủng
quay.

<i>F</i>

<i>r</i>

ì
=

x

y
z

<i><b>r</b></i>

<i><b>F</b></i>
<i><b></b></i>

<i></i>

=<i>rF</i>sin

3c. Bi tp 3.2

ã Mt con lắc gồm một vật khối

lượng <i>m</i> chuyển ñộng trên một
quỹ đạo trịn nằm ngang. Trong
suốt chuyển ñộng dây treo
chiều dài <i>l</i> hợp một góc khơng
đổi <i>θ</i>với phương thẳng đứng.
• Tìm momen của trọng lực ñối

với ñiểm treo O.

</div>

<!--links-->