Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ với tích vô hướng - Lê Xuân Thanh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.92 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tích vơ hướng Euclid trên mặt phẳng

R

Chou= (u1,u2)vàv= (v1,v2)trênR2.

Tích vơ hướng (haytích trong) củau vớivđược định nghĩa bởi
u·v:=u1v1+u2v2.

Độ dài của vec-tơu được xác định bởi
∥u∥:=

√
u2

1+u22 (=

√
u·u).

Góc θ∈[0, π]giữa vec-tơu và vec-tơvđược xác định bởi
cosθ:=√ u1v1+u2v2

u2
1+u22

√

v2

1+v22

(

= u·v
∥u∥∥v∥

)

.

Vec-tơuđược gọi làvng góc với vec-tơvnếuu·v=0.

Khoảng cáchgiữa vec-tơ uvà vec-tơvđược xác định bởi

d(u,v) :=

√

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm

Tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Chou,v∈Rn, vớiu= (u

1, . . . ,un)vàv= (v1, . . . ,vn).

Tích vơ hướng (haytích trong) củau vớivđược định nghĩa bởi

u·v:=

n
∑

i=1

uivi=u1v1+. . .+unvn.
Độ dài của vec-tơu được xác định bởi

∥u∥:=√u·u

(

√
u2

1+. . .+u2n
)

.
Góc θ∈[0, π]giữa vec-tơu và vec-tơvđược xác định bởi

cosθ:= u·v
∥u∥∥v∥

(

= √ u1v1+. . .+unvn

u2

1+. . .+u2n
√

v2

1+. . .+v2n
)

.

Vec-tơuđược gọi làvng góc với vec-tơvnếuu·v=0.

Khoảng cáchgiữa vec-tơ uvà vec-tơvđược xác định bởi

d(u,v) :=∥u−v∥

(

√

(u1−v1)2+. . .+ (un−vn)2
)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Tính chất của tích vơ hướng Euclid trên

R

n

Choc∈Rvàu,v,w∈Rn. Ta ln có:

u·v=v·u.

u·(v+w) =u·v+u·w.

c(u·v) = (cu)·v=u·(cv).
u·u=∥u∥2.

u·u≥0, vàu·u=0⇔u=0.

∥cu∥=|c|∥u∥.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với

u

,

v

∈

R

n

ta ln có

|

u

·

v

| ≤ ∥

u

∥∥

v

∥

.

Chứng minh:

Trường hợpu=0ta có|0·v|=0=0∥v∥=∥u∥∥v∥.
Xét trường hợpu̸=0. Với mọit∈Rta có:

0≤(tu+v)·(tu+v) = (u·u)t2+2(u·v)t+v·v.

Đặta=u·u,b=2(u·v),c=v·v. Dou̸=0, nêna>0.

Chú ý rằng, vớia>0, tam thức bậc haiat2+bt+c≥0∀ t∈Rkhi và

chỉ khi

b2−4ac≤0

⇔ b2≤4ac

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất

Bất đẳng thức tam giác

Với

u

,

v

∈

R

n

ta ln có

∥

u

+

v

∥ ≤ ∥

u

∥

+

∥

v

∥

.

Chứng minh:

Ta có

∥u+v∥2= (u+v)·(u+v)

=u·u+2(u·v) +v·v
=∥u∥2+2(u·v) +∥v∥2
≤ ∥u∥2+2|u·v|+∥v∥2

≤ ∥u∥2+2∥u∥∥v∥+∥v∥2 (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Định lý Pythagor

Các vec-tơ

u

,

v

∈

R

n

vng góc với nhau

khi và chỉ khi

∥

u

+

v

∥

=

∥

u

∥

+

∥

v

∥

.

Chứng minh:

Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có
∥u+v∥2=∥u∥2+2(u·v) +∥v∥2.

Từ đó ta suy ra

uvng góc với v
⇔ u·v=0

</div>

Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ với tích vô hướng - Lê Xuân Thanh

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Tích vơ hướng Euclid trên mặt phẳng

R

Tích vơ hướng Euclid trên

R

Nội dung

Tích vơ hướng Euclid trên

R

Một số khái niệm

Các tính chất

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

Tính chất của tích vơ hướng Euclid trên

R

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với

<b>u</b>

<i>,</i>

<b>v</b>

<i><sub>∈</sub></i>

<sub>R</sub>

<sub>ta ln có</sub>

<i><sub>|</sub></i>

<b><sub>u</sub></b>

<i><sub>·</sub></i>

<b><sub>v</sub></b>

<i><sub>| ≤ ∥</sub></i>

<b><sub>u</sub></b>

<i><sub>∥∥</sub></i>

<b><sub>v</sub></b>

<i><sub>∥</sub></i>

<sub>.</sub>

<i>Chứng minh:</i>

Bất đẳng thức tam giác

Với

<b>u</b>

<i>,</i>

<b>v</b>

<i>∈</i>

R

ta ln có

<i>∥</i>

<b>u</b>

+

<b>v</b>

<i>∥ ≤ ∥</i>

<b>u</b>

<i>∥</i>

+

<i>∥</i>

<b>v</b>

<i>∥</i>

.

<i>Chứng minh:</i>

Định lý Pythagor

Các vec-tơ

<b>u</b>

<i>,</i>

<b>v</b>