Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp để xây dựng các ma trận trực giao mới

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Trường Đại Học Bách Khoa

PHAN HỮU TRỌNG HIỀN

TÌM HIỂU VÀ HIỆN THỰC CÁC
PHƯƠNG PHÁP ĐỂ XÂY DỰNG CÁC
MA TRẬN TRỰC GIAO MỚI

Chuyên ngành: Khoa học Máy tính

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2007


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
------------------oOo---

Tp. HCM, ngày . .05. . tháng . .11. . năm .2007.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên : Phan Hữu Trọng Hiền ............... Giới tính : Nam ;/ Nữ …
Ngày, tháng, năm sinh : 17/08/1981........................... Nơi sinh : Bình Thuận ..........
Chuyên ngành : Khoa học Máy tính..........................................................................
Khố : 2005 .............................................................................................................
1- TÊN ĐỀ TÀI : .....................................................................................................
TÌM HIỂU VÀ HIỆN THỰC CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CÁC

MA TRẬN TRỰC GIAO MỚI. ..........................................................................
................................................................................................................................
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN :...................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : ................................................................................
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : ...............................................................
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn
TS. Nguyễn Tuấn Anh
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành
thông qua.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

(Họ tên và chữ ký)

QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)

TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn

TS. Đinh Đức Anh Vũ


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn
TS. Nguyễn Tuấn Anh

Cán bộ chấm nhận xét 1 : ..................................................................................

Cán bộ chấm nhận xét 2 : ..................................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày . . . . tháng . . . . năm . 2007 .


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi
rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này là do chính tơi thực hiện
và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy một bằng cấp ở
trường này hoặc trường khác.

Ngày 05 tháng 11 năm 2007
Phan Hữu Trọng Hiền

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang i


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn, người thầy đã
tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tơi một cách sâu sát trong suốt quá trình thực hiện luận văn
cao học này. Ngồi ra tơi cũng xin gửi lời cảm ơn thầy đồng hướng dẫn luận văn, TS.
Nguyễn Tuấn Anh, chính thầy đã hướng dẫn cho tơi trong phần hiện thực chương trình
song song hóa và cho tơi những góp ý, những lời khun rất hữu ích về đề tài này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn ba mẹ, các anh chị trong gia đình và bạn bè đã luôn bên
cạnh, hỗ trợ, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn cao học. Tơi sẽ phải
cố gắng hơn nhiều để không phụ niềm tin của tất cả các người thân yêu mình.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang ii


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Ma trận trực giao là một khái niệm trong lĩnh vực thiết kế thí nghiệm, có vai trị
quan trọng trong sản xuất cơng nghiệp. Chính nhờ ma trận trực giao, người ta đã có thể
thiết kế các thí nghiệm trong cơng nghiệp với số thí nghiệm thiết kế nhỏ nhưng vẫn có
thể khảo sát được các nhân tố ảnh hưởng đến chất lượng sản phẩm.
Có nhiều cơng trình trên thế giới đã xây dựng các ma trận trực giao, tuy nhiên chỉ
với các trọng 2, 3. Do đó đề tài luận văn này đã nghiên cứu các phương pháp để xây
dựng các ma trận trực giao tổng quát, đồng thời đề xuất, hiện thực các phương pháp
tìm kiếm mới để tính tốn ra các ma trận trực giao trọng 3 và 4 mới.
Trong q trình thực hiện luận văn, chúng tơi đã tìm hiểu các phương pháp toán
học để xây dựng các ma trận trực giao mới, các khái niệm lý thuyết nhóm về đếm các
ma trận trực giao (chương 2, 3). Ngoài ra luận văn cũng đã tìm hiểu, đề xuất các giải

thuật song song hóa để tính tốn các ma trận trực giao mới dựa trên một giải thuật
quan trọng: Giải thuật đếm sắp thứ tự ma trận (chương 4, 5, 6). Trong số các giải
thuật đề xuất này, chúng tôi đã hiện thực được một giải thuật song song hóa, đó là Giải
thuật song song hóa sử dụng lại các kết quả ma trận cũ, để tính tốn nên các ma
trận trực giao mới. Giải thuật này sẽ được hiện thực bằng mơ hình lập trình MPI và
được thực thi trên hệ thống cluster SuperNode II, đại học Bách Khoa, thành phố Hồ
Chí Minh. Các kết quả thu được về speedup, effiency đã chứng minh tính hiệu quả của
giải thuật song song này (chương 7). Tính đúng đắn của việc sử dụng các kết quả của
ma trận cũ để tính toán nên các ma trận trực giao mới đã được chúng tôi chứng minh
bằng cả lý thuyết lẫn thực nghiệm (phần 6.1, 6.2).
Trong q trình thực hiện tính tốn, chúng tơi đã gặp phải nhiều khó khăn về sự
bùng nổ tổ hợp khi đếm các ma trận trực giao mới, do bản chất NP-Complete của giải
thuật đếm vét cạn các ma trận trực giao mới. Luận văn đã tính tốn, phát hiện ra được
một vài ma trận trực giao trọng 4 mới (phần 7.4 và phụ lục B).
Luận văn vẫn cịn một vài vấn đề cần hồn thiện và phát triển, những vấn đề này sẽ
được đề cập trong chương 8 của luận văn.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang iii


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN............................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN................................................................................................................. ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN................................................................................................ iii
1.
1.1

1.2
1.3
1.4
1.5

TỔNG QUAN VỀ MA TRẬN TRỰC GIAO..............................................1
Giới thiệu......................................................................................................1
Định nghĩa ma trận trực giao trọng t ............................................................3
Ý nghĩa thống kê của ma trận trực giao .......................................................6
Một vài ứng dụng và kết quả nghiên cứu mới nhất về ma trận trực giao ....7
Sơ lượt các kết quả mới mà luận văn thực hiện được ..................................8

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MA TRẬN TRỰC GIAO..............10
Phương pháp chia cột (splitting method) ...................................................10
Phương pháp chồng ma trận (concatenating method)................................11
Phương pháp nhân (multiplying method) ..................................................12
Phương pháp đặt kề (juxtaposing method).................................................12
Phương pháp số học (arithmetic method) ..................................................13
Phương pháp hình vng Latin (Latin square method) .............................14
Một vài đánh giá.........................................................................................16

3.1

3.2
3.3

ĐẾM CÁC MA TRẬN TRỰC GIAO .......................................................17
Đếm các lớp đẳng cấu ................................................................................17
Đếm các nhóm tự đẳng cấu ........................................................................19
Một số kết luận...........................................................................................20

2.

3.

4.

GIẢI THUẬT ĐẾM SẮP THỨ TỰ MA TRẬN .......................................22
4.1
Định nghĩa phép so sánh hai ma trận trực giao ..........................................22
4.2
Ý tưởng giải thuật.......................................................................................23
4.2.1.
Giải thuật mở rộng cột..........................................................................24
4.2.2.
Đặc tả giải thuật đếm sắp thứ tự ...........................................................26
4.3
Các kết quả đã sinh ra bằng phương pháp sắp thứ tự ma trận ...................27
4.4
Đánh giá về phương pháp sắp thứ tự ma trận ............................................28

5.

SONG SONG HÓA GIẢI THUẬT ĐẾM SẮP THỨ TỰ MA TRẬN TỪ
GÓC ĐỘ BACKTRACK SEARCH ..........................................................30
5.1
Phân loại backtrack search .........................................................................30
5.2
Các phương pháp song song hóa tổng quát backtrack enumeration ..........33
5.2.1.
Giải thuật phân phối xoay vòng............................................................34
5.2.2.
Giải thuật phân phối ngẫu nhiên...........................................................34
5.3
Kết luận về việc song song hóa backtrack enumeration ............................35

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang iv


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

6.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

SONG SONG HÓA SỬ DỤNG LẠI KẾT QUẢ TRUNG GIAN ............37
Ý tưởng sử dụng lại kết quả tính tốn trung gian.......................................37
Bổ đề về việc sử dụng lại kết quả ma trận cũ.............................................38

Phân tích về tính chính xác của giải thuật..................................................41
Các ưu điểm của song song hóa từ các kết quả ma trận cũ........................41
Kết luận ......................................................................................................42

7.1
7.2
7.3

HIỆN THỰC VÀ ĐÁNH GIÁ GIẢI THUẬT SONG SONG HĨA ĐỂ
TÍNH CÁC MA TRẬN TRỰC GIAO MỚI ..............................................44
Hiện thực giải thuật Song song hóa sử dụng lại ma trận nhỏ nhất.............44
Các chỉ số speedup và effiency ..................................................................47
Một vài nhận xét và đánh giá .....................................................................50

7.

8.

HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ...............................................................53

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................55
PHỤ LỤC 1:

Một vài ma trận nhỏ nhất ứng với các thông số khác nhau................57

PHỤ LỤC 2:

Bảng đối chiếu thuật ngữ Anh – Việt.................................................61

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang v


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

1. TỔNG QUAN VỀ MA TRẬN TRỰC GIAO
1.1

Giới thiệu

Vào năm 1982, trong tạp chí "Design News" với bài viết "Design for
productivity", Malcolm Balrige, cựu bộ trưởng bộ thương mại Mỹ, đã nói rằng:
• Đối với các nhà quản lý, thách thức chủ yếu là phải tạo ra một mơi trường
làm việc có tổ chức và mơi trường này sẽ là động lực để tạo ra sự sáng
tạo, năng suất cao cũng như bảo đảm chất lượng.
• 40 phần trăm chi phí để đưa một sản phẩm ra thị trường là trong giai đoạn
thiết kế sản phẩm.
• Hầu hết các nhà quản lý đều mong muốn phòng ngừa hơn là khắc phục
những sai sót.
Từ những lý do nêu trên, chúng ta thấy rằng việc tổ chức ra được một quy
trình thiết kế sản phẩm thích hợp là vô cùng quan trọng đối với một công ty.
Trong ngành công nghiệp sản xuất hiện nay, trước khi bắt tay vào sản xuất
bất kỳ sản phẩm mới nào đó, hầu hết các doanh nghiệp đều phải trải qua một quá
trình xem xét, đánh giá đầy đủ các nhân tố ảnh hưởng đến chất lượng của sản
phẩm đó. Cách làm thơng thường nhất, đó là họ sẽ thiết kế các thí nghiệm trước
để xem xét, đánh giá các tác nhân hay là cặp tác nhân nào đó sẽ có nhiều tác
động đến sản phẩm.
Ta xét một ví dụ sau:
Ban giám đốc của một công ty phần mềm XYZ cần xác định rằng các yếu tố

nào là quan trọng để tạo ra một dự án thành công. Các yếu tố cần được xem xét
là: Nhân tố A (số năm kinh nghiệm của nhân viên), nhân tố B (ngơn ngữ lập trình
sử dụng trọng dự án), nhân tố C (loại ứng dụng của dự án, ví dụ loại phần mềm
về khoa học hay phần mềm về thương mại), nhân tố D (hệ thống sẽ chạy trên
platform, hệ điều hành nào), nhân tố E (có sự hợp tác tốt với khách hàng hay
khơng), nhân tố F (khoản thưởng hàng tuần có hay khơng), nhân tố G (có tổ chức
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 1


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

training cho nhân viên tốt án hay khơng), nhân tố H (có chính sách tốt cho việc
làm thêm giờ hay không). Ở mỗi nhân tố, ta chỉ xem xét các giá trị cụ thể, ví dụ
nhân tố A, số năm kinh nghiệm, chúng ta chỉ xem xét các giá trị là 1, 3, 5, 7, 9
năm, như vậy là chúng ta có tổng cộng 5 giá trị (level); ở nhân tố B, các ngơn
ngữ lập trình có thể sử dụng trong dự án, ta chọn là C++, Java, Perl, C#, nhân tố
C, loại ứng dụng, ta chọn là Scientific, hoặc Business; ở nhân tố D, platform, ta
chọn là Windows hoặc Linux, các nhân tố sau đó chúng ta xét chúng ở dạng nhị
nguyên, yes hay no.
Cụ thể ta có bảng sau:

Như vậy nếu để đánh giá đầy đủ các nhân tố này, số tổ hợp đầy đủ mà chúng
ta cần xem xét phải là 5.4.26=1280 trường hợp. Rõ ràng phải thực hiện 1280 thí
nghiệm như vậy là không khả thi về mặt kinh tế. Mong muốn của ban giám đốc
chính là giảm thiểu tối đa số thí nghiệm cần thực hiện xuống khoảng 100 trường
hợp nhưng vẫn cho phép chúng ta đánh giá được đầy đủ các tác động của các
nhân tố này đến các dự án. Liệu điều này có khả thi hay khơng?
Câu trả lời rằng có. Trong lĩnh vực thiết kế thí nghiệm, các nhà nghiên cứu

toán học ứng dụng đã đưa ra khái niệm ma trận trực giao đều trọng t nhằm chọn
ra một bộ các thí nghiệm phù hợp sao cho mặc dù ta chỉ thực hiện một số giới
hạn số thí nghiệm này, chúng ta vẫn hồn tồn có thể đánh giá tác động của các
nhân tố đến chất lượng sản phẩm. Vậy ma trận trực giao đều trọng t là gì? Phần
kế tiếp chúng ta sẽ đi vào định nghĩa của ma trận trực giao đều trọng t.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 2


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

1.2

Định nghĩa ma trận trực giao trọng t

Ma trận trực giao trọng t (t-balanced Orthogonal Array) là một ma trận đặc
biệt và có nhiều ý nghĩa trong lĩnh vực "Thiết kế thí nghiệm". Trong định nghĩa
này, chúng ta sẽ xem xét ma trận này trong ngữ cảnh của thiết kế thí nghiệm.
Ta cho r1, r2,..., rd là các số tự nhiên và với mỗi i thuộc 1, 2, …, d chúng ta gọi
Qi là tập hợp nào đó mà có số phần tử của nó là ri.. Ở đây, chúng ta gọi Qi là
nhân tố (factor). Một nhân tố có ri phân từ và ri được gọi là mức (level) của nó.
Một thiết kế nhân tố đầy đủ (full factorial design) tương ứng vói các nhân tố Qi
này sẽ là một tích Đề-các (ta gọi tích này là D) của tập hợp Qi: D = Q1 × . . . ×
Q d.
Ta có thể tưởng tượng các Qi như là các nhân tố mà chúng ta sẽ lưu ý trong
việc thiết kế thí nghiệm cho một sản phẩm P nào đó. Các giá trị của mỗi tập Qi có
thể xem như là các giá trị mà chúng ta xem xét cho từng nhân tố đó.
Một thiết kế riêng phần (fractional design) hay còn gọi là fraction F của D là một

tập con của tập tích Đề-các D.
Nếu như chúng ta có r1 = r2 = … = rd thì chúng ta gọi F là đối xứng
(symmetric) còn trong trường hợp ngược lại ta gọi F là khơng đối xứng (mixed).
Gọi dãy có thứ tự s1, s2,…, sm (s1 > s2 > · · · > sm) là tập hợp các kích cỡ khác
nhau của các nhân tố và giả sử là có chính xác ai nhân tố có cùng level là si. Lúc
này chúng ta sẽ phân chia d nhân tố Qi mà có các mức r1, r2,…, rd này thành m
nhóm, bằng cách gom các nhân tố có cùng level vào một nhóm, và mỗi nhóm sẽ
có ai phần tử. Chúng ta gọi
r1 , r2 ,..., rd = s1a1 , s 2a2 ,..., s mam

là một kiểu thiết kế (design type) của F.
Nếu chú giải rõ ràng hơn thì ta có:

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 3


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới
s1 = r1 = ... = ra1 , s 2 = ra1 +1 = ... = ra1 + a2

,…

s m = ra1 + a2 +...+ am −1 +1 = ... = ra1 + a2 +...+ am = rd

Ví dụ, ta có tập hợp
F = {(0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1),
(1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (2, 1, 1, 1), (2, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (2, 0, 0, 1),
(3, 1, 0, 0), (3, 1, 0, 1), (3, 1, 1, 0), (3, 1, 1, 1)}
là một thiết kế riêng phần khơng đối xứng có kiểu thiết kế là (4, 23).

Thật ra chúng ta thường biểu diễn thiết kế F ở dạng ma trận, trong đó các
hàng của ma trận tương ứng với các phần tử của F, và các cột tương ứng với các
nhân tố của thiết kế. Do đó thiết kế F trên nếu biểu diễn ở dạng ma trận sẽ có
dạng như sau.

(lưu ý ở đây chúng ta vẽ ma trận trên theo hàng ngang và ký hiệu T biểu thị cho
ma trận chuyển vị của nó).
Với cách biểu diễn này, chúng ta xem các hàng của ma trận sẽ là các run, và
số hàng của ma trận sẽ là run size. Nếu nhìn theo hướng thiết kế thí nghiệm thì
mỗi run sẽ đại diện cho một thí nghiệm, và run size sẽ đại diện cho tổng số thí
nghiệm mà ta sẽ thực hiện. Rõ ràng, số hàng càng lớn chứng tỏ rằng việc thực
hiện các thí nghiệm này càng nhiều và dĩ nhiên … càng tốn kém.
Thông thường do mỗi tập Qi có ri phần tử nên ta thường biểu diễn ri phần tử
của tập Qi này là các số nguyên từ 0, 1,… cho đến ri - 1. Nói cách khác để tiện
lợi, chúng ta thường xem xét: Qi = Z r = {1,2,..., ri − 1} .
i

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 4


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

Nếu ta chỉ lấy ra t cột của ma trận F, ta sẽ được một mảng con (subfraction)
của F. Nếu như mảng con này có một đặc điểm đặc biệt, đó là nó chứa đựng tất
cả các bộ (tuple) của thiết kế đều tương ứng và các bộ này có số lần xuất hiện
như nhau, thì lúc đó ta gọi mảng đó là trivial (tầm thường).
Một ma trận được gọi là trực giao đều trọng t, nếu như mọi mảng con gồm t
cột cùa nó đều là trivial. Đây chính là định nghĩa của ma trận trực giao trọng t.

Định nghĩa ma trận trực giao trọng t một cách hình thức bằng tổ hợp như sau:
Ta đã biết D = Q1 × Q2 × ... × Qd và F là một tập con của D. Gọi tập chỉ số I là
tập hợp con bất kỳ gồm t phần tử của tập {1,2,…,d}. Số tập hợp I như vậy là C dt .
Đối với mỗi tập chỉ số I như vậy, ta gọi mảng con FI là tập hợp t cột của F với
các chỉ số cột tương ứng với các phần tử nằm trong tập I. Lúc này F được gọi là
ma trận trực giao trọng t khi và chỉ khi:
∀I , FI = λ I (∏ Qi ) , với λ I là một số ngun dương nào đó.
i∈I

Hình vẽ sau là ví dụ của một ma trận trực giao đều trọng 3: OA(16; 4.23;3).

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 5


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới
A

B

C

D

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

2

1

1

1

2

0

1

0

2

1

0

0

2

0

0

1

3

1

1

1

3

0

1

0

3

1

0

0

3

0

0

1

Trong ma trận trên, bấy kỳ một bô ba các cột nào cũng đều chứa đựng tất cả
các bộ của thiết kế nhân tố đầy đủ với số lần xuất hiện là như nhau. Ví dụ nếu
chúng ta lấy ba cột B, C, D thì chúng ta thấy rằng tất cả các bộ (0,0,0), (0,0,1),
(0,1,0), (0,1,1), (1,0,0, (1,0,1), (1,1,0) và (1,1,1) đều xuất hiện hai lần.

1.3

Ý nghĩa thống kê của ma trận trực giao

Chúng ta thấy rằng số run size của một ma trận trực giao luôn nhỏ hơn số tổ
hợp tối đa của kiểu thiết kế ma trận. Ví dụ ta xét một thiết kế thí nghiệm gồm
bốn nhân tố, với kiểu thiết kế là (4.23). Để thực hiện hết tất cả các thí nghiệm, ta
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 6


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

sẽ cần ít nhất 32 run. Tuy nhiên nếu như chúng ta dùng một ma trận trực giao với
cùng kiểu thiết kế trên, chúng ta chỉ cần thực hiện 16 thí nghiệm là đủ. Ma trận
tơi vừa nói đến là ma trận OA(16;4.23;3) ở trên.
Về mặt hình học ta xem xét tập hợp đầy đủ 32 thí nghiệm sẽ là tập cha, tập
hợp 16 thí nghiệm tương ứng với 16 run từ ma trận trực giao là tập con. Lý
thuyết thống kê đã chứng minh được rằng các kết quả thu được từ 16 thí nghiệm
này đã cho phép chúng ta đánh giá được tác động của từng tác nhân đến sản
phẩm và một vài tác động kép của cặp tác nhân [5]. Đây là một điều hết sức ý

nghĩa vì lưu ý một điều rằng chúng ta không cần thực hiện hết đầy đủ tất cả các
thí nghiệm mà chỉ thực hiện một vài thí nghiệm mà thơi.
Ngồi ra, các lý thuyết thống kê cũng đã chứng minh được rằng ma trận trực
giao đều có trọng số t càng lớn thì càng có ý nghĩa. Ví dụ các ma trận trực giao
trọng 2 chỉ cho phép chúng ta xác định các tác động của nhân tố chính, ma trận
trực giao trọng 3 tốt hơn vì chúng cho phép chúng ta xác định sự tác động của
tương tác cặp hai nhân tố (nhưng không đầy đủ hết tất cả), ma trận trực giao
trọng 4 lại cho phép chúng ta xác định đầy đủ tất cả các tác động tương tác giữa
các cặp nhân tố này ([5]).
1.4

Một vài ứng dụng và kết quả nghiên cứu mới nhất về ma trận
trực giao

Cho đến thời điểm hiện nay, các cơng trình nghiên cứu mới nhất trên thế giới
đang thực hiện ở mức xây dựng các ma trận trực giao trọng 2, 3. Vào năm 2005,
N. Sloane ([15]) tại AT&T đã công bố nhiều ma trận trực giao trọng 2 với run
size N ≤ 100. Nguyễn Văn Minh Mẫn cũng đã công bố nhiều ma trận trực giao
trọng 3 với run size N ≤ 100 ([1], [2], [3], [4], [5]). Ngồi ra có nhiều nghiên cứu
khác đi sâu vào việc tìm hiểu, sử dụng các kết quả ma trận trực giao sẵn có vào
các lĩnh vực như khác như ứng dụng ma trận trực giao trọng 2 vào việc thiết kế
các thí nghiệm giải mã nhiễm sắc thể DNA ([13]), ứng dụng ma trận trực giao
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 7


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

vào kiểm định phần mềm ([6], [11]), ứng dụng ma trận trực giao vào thiết kế

mạng Battlefield trong quân đội ([12]). Trong công nghiệp, năm 2005, một kết
quả ma trận trực giao trọng 3 (OA(96;42.26;3) do Nguyễn Văn Minh Mẫn tìm ra
đã được ứng dụng vào ngành công nghiệp chế biến sữa để sản xuất một loại
yahourt mới ([14]).
Trong các ứng dụng trên, các nhà nghiên cứu khoa học cũng như các chuyên
gia công nghiệp đều chỉ sử dụng các các ma trận trọng 2 hoặc 3 mà thôi. Các ma
trận trực giao trọng 4 với ưu điểm vượt trội hơn các ma trận trực giao trọng 2 và
3 sẽ có thể đóng góp nhiều giá trị hữu ích hơn nữa cho việc nghiên cứu khoa học
cũng như trong cơng nghiệp. Do đó mục tiêu xây dựng nên các ma trận trực giao
mới trọng 4 là điều mà luận văn này sẽ hướng đến.
Tuy nhiên, các ma trận trực giao trọng 4 là một thánh thức thú vị nhưng
không đơn giản. Nguyên nhân là do ma trận trực giao trọng số càng cao thì càng
địi hỏi nhiều sự tính tốn hơn, thời gian xử lý lâu hơn, tốn nhiều bộ nhớ hơn.
Hơn thế nữa, về mặt toán học, điều mà ta mong muốn là "đếm" hết tất cả các ma
trận trực giao ứng với một kiểu thiết kế cụ thể, chứ không đơn giản chỉ là tạo ra
một ma trận nào đó cho kiểu thiết kế đó (khái niệm "đếm" các ma trận trực giao
sẽ được trình bày cụ thể ở phần 3: Đếm các ma trận trực giao). Từ những khó
khăn trên, một trong những hướng đi của đề tài luận văn tốt nghiệp này là tìm các
biện pháp song song hóa để có thể kết hợp sức mạnh tính tốn nhiều máy tính lại
cho việc đếm các ma trận trực giao mới có trọng 3 hoặc trọng 4.
1.5

Sơ lượt các kết quả mới mà luận văn thực hiện được

Luận văn này đã tìm hiểu các phương thức xây dựng ma trận trực giao mới,
trong đó đã đề xuất ba phương pháp song song hóa mới để đếm các ma trận trực
giao. Trong ba phương thức này, chúng tôi đã hiện thực một giải thuật quan trọng
nhất, giải thuật song song hóa sử dụng lại kết quả ma trận cũ trên mơ hình lập
trình song song MPI và sẽ tính tốn trên hệ thống cluster SuperNode-II của
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 8


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

trường đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh. Ngồi ra để bảo đảm cho
tính đúng đắn của phương pháp này, chúng tôi đã phát hiện và chứng minh một
bổ đề toán học để chứng minh cho tính chính xác của việc sử dụng kết quả ma
trận cũ để tính tốn nên các ma trận trực giao mới (phần 6.2).
Trong quá trình thực hiện luận văn, đầu tiên chúng tôi đã sử dụng Giải thuật
sử dụng lại ma trận nhỏ nhất cũ để đếm các kết quả ma trận trọng 3, so sánh với
các kết quả đã tìm ra trong [1]. Các so sánh cho thấy kết quả mới tìm ra và kết
quả cũ là giống nhau. Điều này đã chứng minh được tính đúng đắn của giải thuật
song song. Một điều quan trọng nữa là kết quả của việc đo đạc các chỉ số
speedup, chỉ số effiency đã cho ta thấy sự hiệu quả của chương trình song song
này. Chúng tơi cũng đã có một số đánh giá, ước lượng về thời gian cần tính tốn
để đếm các ma trận trực giao mới (phần 7.4). Kết quả cho thấy bài toán chúng ta
là một bài toán NP-Complete với sự bùng nổ tổ hợp rất lớn. Điều này sẽ làm cho
thời gian tính tốn các ma trận mới là rất lớn.
Cho đến thời điểm này, chúng tơi đã tìm hiểu và xây dựng được các ma trận
trực giao trọng 4 mới, đó là các ma trận OA(32;26;4), OA(96;3.25;4),
OA(96;3.26;4). Hy vọng trong thời gian tới, chúng tơi sẽ có thể cập nhật thêm
nhiều kết quả nữa để bài báo cáo thêm hoàn thiện.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 9

Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MA TRẬN TRỰC GIAO
Sau khi đã biết được định nghĩa của ma trận trực giao trọng t, chúng ta sẽ
xem xét về các phương pháp toán học để xây dựng (construction) nên các ma
trận trực giao trọng t này. Có khá nhiều phương pháp như vậy, nhưng trong bài
viết này, tơi chỉ trình bày bốn phương pháp thuộc nhóm cơ bản [1], đó là phương
pháp chia cột (splitting method), phương pháp chồng ma trận (concatenating
method), phương pháp nhân (multiplying method) và phương pháp xếp kề
(juxtaposing method). Cuối cùng sẽ là hai phương pháp mới và khá phức tạp, đó
là phương pháp số học (arithmetic method) và phương pháp hình vng Latin
(Latin square method).

2.1

Phương pháp chia cột (splitting method)

Giả sử chúng ta có một ma trận OA(N; uv.r1.r2…rd; t), ta thấy cột đầu tiên của
nó là tích của hai số ngun u, v nào đó. Với ma trận như vậy, chúng ta có thể tạo
ra một ma trận trực giao trọng t mới mà cùng số hàng với nó bằng cách tách cột
đầu tiên có mức (u*v) đó ra để tạo thành hai cột mới có các mức là u và v. Nói
cách khác, ta có thể dựa vào ma trận (N; uv.r1.r2…rd; t) để tạo ra một ma trận
trực giao mới là OA(N; u.v. r1.r2…rd; t).
Chẳng hạn, nếu chúng ta có một cột có mức là 6, chúng ta có thể tạo ra hai
cột mới có các mức là 2 và 3. Ta lấy ví dụ là từ một ma trận OA(16;4.23;3),
chúng ta có thể tạo ra một ma trận mới là (16;25;3) như hình vẽ phía dưới.
Trong ví dụ này, chúng ta đã chia cột A của ma trận đầu tiên và tạo ra hai cột
A1, A2 có mức là 2 cho ma trận thứ hai bằng cách sau:
• Với ký hiệu 3, chúng ta thay thế nó bằng hai ký hiệu 1 và 1 tương ứng.
• Với ký hiệu 2, ta thay bằng 1 và 0.

• Với ký hiệu 1, ta thay bằng 0 và 1.
• Với ký hiệu 0, ta thay bằng 0 và 0
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 10


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

Tổng quát hóa, đối với mỗi giá trị của cột đầu tiên (thuộc Zuv), ta thay bằng
duy nhất một cặp giá trị thuộc tập Zu x Zv.
A

B

C

D

A1

A2

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

2

1

1

1

2

0

1

0

1

0

1

1

1

2

1

0

0

1

0

0

1

0

2

0

0

1

1

0

1

0

0

3

1

1

1

1

0

0

0

1

3

0

1

0

1

1

1

1

1

3

1

0

0

1

1

0

1

0

3

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

Tạo ra một ma trận trực giao mới bằng phương pháp chia cột

2.2

Phương pháp chồng ma trận (concatenating method)

Phương pháp này dành riêng cho hai ma trận có cùng kiểu thiết kế (thuật ngữ
cùng kiểu thiết kế có nghĩa là hai ma trận này có cùng trọng số t, có cùng số
factor và số mức của mỗi factor là giống nhau đơi một). Nếu chúng ta có hai ma
trận có cùng kiểu thiết kế như vậy thì chúng ta có thể sinh ra một ma trận trực
giao mới bằng cách đặt chồng ma trận này lên ma trận kia. Lưu ý phép đặt chồng
này giữ nguyên các ma trận thành phần, không hề làm thay đổi các giá trị của nó.
Chúng ta có thể biễu diễn điều này bằng ký hiệu

⎡ F1 ⎤
⎢ ⎥
⎣ F2 ⎦

. Ma trận được tạo ra có

cùng kiểu thiết kế với hai ma trận ban đầu, nhưng run size của nó thì bằng tổng
của hai run size của hai ma trận đó. Một cách cụ thể hơn, nếu chúng ta có ma trận
trực giao trọng t F1(N′; r1.r2…rd; t) và F2 OA(N′′; r1.r2…rd; t), chúng ta có thể
xây dựng ma trận trực giao mới F(N′ + N′′; r1.r2…rd; t).
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 11


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

2.3

Phương pháp nhân (multiplying method)

Cho một ma trận trực giao F = OA(N; r1.r2…rd; t), chúng ta có thể tạo nên
một ma trận trực giao mới OA(sN; sr1. r2…rd; t) với s là một số nguyên dương
bất kỳ bằng cách chồng s bản copy của F, thay đổi các ký hiệu ở cột đầu tiên sao
cho chúng khác nhau đôi một.
Lưu ý là phương pháp nhân này chính yếu giống như phương pháp chồng, tuy
nhiên khác biệt ở chỗ là chúng ta chỉ sử dụng một ma trận khởi tạo ban đầu duy
nhất để xây dựng nên một ma trận mới và ngoài ra, chúng ta cịn thay đổi các ký
hiệu của cột đầu tiên. Ví dụ, các ma trận có dạng OA(sN;2a;3) có thể thu được từ

s bảng copy của ma trận OA(N;2a; 3) = OA(N;1.2a; 3), đối với a ≤ N/2 (ma trận
OA(24; 3.24; 3) đã được tạo ra bằng cách này). Các ma trận OA(8s; 2s.23; 3)
được thiết lập từ OA(8; 24; 3) = OA(8; 2.23; 3); ngoài ra chúng ta tạo ra ma trận
OA(16; 4.23; 3) từ hai ma trận OA(8; 2.23; 3); và cuối cùng chúng ta khởi tạo ma
trận OA(24; 6.23; 3) từ ba ma trận OA(8; 2.23; 3).

2.4

Phương pháp đặt kề (juxtaposing method)

Phương pháp đặt kề là phương pháp đặt hai ma trận ở kề nhau và nó là sự kết
hợp của hai phương pháp chồng và nhân ma trận. Ta cho hai ma trận trực giao
F1, F2 với cùng trọng số t, và có cùng số cột. Nếu như hai ma trận này có cùng
số mức ở tất cả các cột ngoại trừ cột đầu thì chúng ta có thể tạo ra một ma trận
trực giao mới bằng cách chồng môt ma trận này lên ma trận kia, với ký hiệu khác
nhau ở cột đầu tiên và vẫn giữ nguyên các ký hiệu ở các cột còn lại. Một cách rõ
ràng hơn, với hai ma trận OA(N′; s′. r2…rd; t) và OA(N′′; s′′. r2… rd; t) chúng ta
có thể khởi tạo một ma trận OA(N′ + N′′; s′ + s′′. r2… rd;t) bởi phương pháp xếp
kề này. Rõ ràng hơn chúng ta có thể thực hiện như sau:
• Trong N' hàng đầu tiên, ta giữ nguyên N' hàng của ma trận F1.
• Trong N'' hàng kế tiếp, ta tạo ra chúng bằng cách giữ nguyên N'' hàng của
ma trận trực giao thứ hai, chỉ cộng N' thêm vào giá trị của cột đầu tiên.
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 12


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

Ví dụ dùng phương pháp xếp kề này, chúng ta có thể tạo ra ma trận OA(56; 7,

2a; 3) từ hai ma trận OA(40; 5. 2a; 3) và OA(16; 2a+1; 3) với a ≤ 6.
Phương pháp này hồn tồn có thể mở rộng ra để xếp kề nhiều các ma trận
trực giao với nhau, chứ không chỉ đơn giản là xếp kề hai ma trận.
Bốn phương pháp nêu trên thuộc về nhóm các phương pháp cơ bản và chỉ là
các phép biến đổi thông thường ở các ma trận trực giao. Để tìm ra các ma trận
trực giao khác, chúng ta cần các phương pháp phức tạp hơn sẽ được trình bày ở
phần sau đây.

2.5

Phương pháp số học (arithmetic method)

Phương pháp số học là một phương pháp được đề xuất đầu tiên trong [3].
Phương pháp này khởi tạo nên các ma trận trực giao mới bằng cách mở rộng từ
các thiết kế nhân tố đầy đủ. Gọi D = [S1|...|Sd] là một thiết kế nhân tố đầy đủ
không lặp lại với kiểu thiết kế là r1, r2,…, rd, d >= 3, r1, r2,…, rd >= 2 và cột Si
tương ứng với nhân tố Qi. Chọn s>= 2 sao cho s là thừa số của N/ rirj cho bất kỳ
cặp i, j nào vói i, j = 1,..., d. Phương pháp này sẽ tạo thêm một cột vector X cho
D, nghĩa là tạo ra [S1|...|Sd|X] sao cho ma trận này là ma trận trực giao có trọng
số là 3: OA(N; r1,r2,…,rd, s; 3). Chúng ta có thể mở rộng hơn để tìm ra các ma
trận OA(N; r1,r2,…,rd, sm; 3) vói m>1.
Ta gọi u là một vector u bất kỳ thuộc D, ta có u:=(u1, u2, …, ud). Bởi vì D là
một thiết kế đầy đủ nên cột X sẽ được xác định
f X : D → Ζ s , u a f X (u ).

Chúng ta gọi f X là hàm định nghĩa (defining function) của cột X. Chúng ta
cần phải xác định f X để [D|X] có trọng số là 3.
Để đạt được mục tiêu này, chúng ta nghĩ ngay đến f X sẽ có dạng như một
hàm tuyến tính, chẳng hạn như là:
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 13


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới
f X (u) = h(u) = c1u1 + c2u2+ …+ cdud (mod n)

Ở đây, c1, c2, …, cd là các hệ số mà chúng ta sẽ xác định và n là bội số chung
nhỏ nhất của r1, r2, …, rd.
Theo định nghĩa của ma trận trực giao trọng 3, với hai cột Si, Sj bất kỳ trọng
D thì bộ ba Si, Sj và X phải là trivial (bình thường). Nhìn kỹ hơn nữa, với hai ký
hiệu a, b bất kỳ thuộc Si, Sj, chúng ta phải cấu hình f X (u) trong đó u là một
vector chứa đựng a, b sao cho bộ ba (a,b, f X (u)) xuất hiện với cùng tần số.
Chúng ta gọi điều này là điều kiện phân bổ đồng nhất (uniform scattering
condition). Điều kiện này là rất quan trọng để cho phép chúng ta xác định các hệ
số c1, c2, …, cd và f X .
Bằng phương pháp số học, Nguyễn Văn Minh Mẫn đã tạo ra một vài ma trận
trực giao mới chẳng hạn như OA(96; 6.42.23; 3), OA(96; 3.42.25; 3) từ thiết kế
đầy đủ D= OA(96;6.42;3) ban đầu.
Phương pháp số học này là một phương pháp phức tạp, bài viết này chỉ trình
bày những ý tưởng cơ bản của nó, nội dung chi tiết của nó xin xem thêm ở tài
liệu tham khảo [3].

2.6

Phương pháp hình vng Latin (Latin square method)

Hình vng Latin là một hình vng có kích thước n x n, các phần tử của
hình vng lấy giá trị trong khoảng 0, 1,..., n-1 và mỗi giá trị này chỉ xuất hiện
một lần duy nhất trong từng hàng và từng cột.

Ví dụ chúng ta có hình vng Latin 3 x 3 sau:
⎡1 2 0 ⎤
⎢0 1 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣2 0 1 ⎥⎦

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 14


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

Chúng ta sẽ sử dụng các hình vng Latin này để khởi tạo một vài ma trận
trực giao trọng 3. Phương pháp này cũng áp dụng để mở rộng thêm vài cột vào
trong các thiết kế đều như phương pháp số học đã sử dụng. Ví dụ, gọi k =
OA(16;42;2) là thiết kế đầy đủ với kiểu thiết kế là 42. Chúng ta sẽ gắn thêm hai
cột g1, g2 vào k để hình thành một ma trận mới:
[k|g1|g2] = OA(16;42. 22;2).
Ví dụ sau đây là một ví dụ của một ma trận trực giao có dạng mở rộng như vậy:

Bởi vì g1 và g2 có mức là 2 nên chúng sẽ lấy các giá trị nhị phân tập {0, 1}.
Nếu chúng ta để ý đến các giá trị thập phân của từng bộ nhị phân gij, hij, chúng ta
sẽ tính tốn ra một ma trận tương đương rất lý thú sau đây: 1, 3, 2, 1, 3, 1, 0, 2, 2,
0, 1, 3, 0, 2, 3, 1. Điều lý thú ở đây là nếu chúng ta đặt dãy số kể trên vào một ma
trận 4 x 4, chúng ta sẽ có một hình vng Latin:

Chúng ta định nghĩa khái niệm superimposed grid g*h là một ma trận 4 × 4
với các ơ của nó lấy giá trị trong {0, 1, 2, 3} và cụ thể giá trị (g*h) tại hàng i, cột

j là giá trị dạng thập phân của số nhị phân (gijhij). Có một bổ đề đã chứng minh
rằng [k|g1|g2] là một ma trận trực giao khi (g1*g2) là một hình vng Latin.
Thực tế phương pháp hình vng Latin là một phương pháp phức tạp hơn
phương pháp số học ở phần 4.5, tuy nhiên bài viết chỉ đưa ra một ví dụ cơ bản
của phương pháp này. Phương pháp này cũng được đề xướng đầu tiên trong [3].
Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 15


Tìm hiểu và hiện thực các phương pháp xây dựng ma trận trực giao mới

Bằng việc sử dụng khái niệm hình vng Latin, kết hợp với các phương pháp cơ
bản khác như juxtaposing, tác giả đã xây dựng một vài ma trận trực giao mới như
OA(96; 6. 42.2a; 3) cho a ≤ 5 và ma trận OA(80; 5. 4. 2a; 3) cho a ≤ 6.

2.7

Một vài đánh giá

Các phương pháp xây dựng ma trận vừa nêu trên là các phương pháp tốn
học và cách thức hoạt động của chúng chính yếu là dựa vào định nghĩa của ma
trận trực giao và cộng một vài giả định đặc biệt nào đó. Ví dụ như chúng ta sử
dụng giả định về hàm định nghĩa trong phương pháp số học là tuyến tính.
Với việc sử dụng thêm các giả định đặc biệt như vậy, chúng ta đã làm hạn chế
việc tìm kiếm tổng quan tất cả các ma trận trực giao. Một nhược điểm khác của
các phương pháp trên đó là chúng dựa trên lý thuyết tổ hợp và chủ yếu là việc
đếm các ký hiệu. Điều này đồng nghĩa với việc chúng luôn phụ thuộc vào một
tập thông số cụ thể nào đó. Điều này làm mất đi khả năng tổng quát hóa để có thể
áp dụng chúng trong các trường hợp khác. Khi sử dụng các phương pháp này,

chúng ta thu được một vài ma trận được mở rộng thêm từ các ma trận đã biết, tuy
nhiên chúng ta vẫn không thể biết được là có bao nhiêu sự mở rộng có thể thu
được.
Thật ra cách tiếp cận xây dựng ma trận trực giao bằng các phương pháp tổ
hợp đại số là một trong những phương pháp đầu tiên được sử dụng trên thế giới
khi chúng ta làm việc với chúng. Tuy nhiên phương pháp này như đã nói ở trên
đã tỏ ra là khơng thích hợp. Do đó, chúng ta cần một phương pháp mới và tốt
hơn để có thể tìm ra tất cả các ma trận được mở rộng. Phương pháp này được gọi
là phương pháp đếm ma trận và sẽ được thảo luận ở phần sau.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 16


3. ĐẾM CÁC MA TRẬN TRỰC GIAO
Sau khi chúng ta đã xem xét qua về các phương pháp cấu trúc nên các ma
trận trực giao mới, chúng ta sẽ xem xét thêm một vấn đề khá thú vị, đó là đếm
các ma trận trực giao. Một câu hỏi được đặt ra, đó là có bao nhiêu ma trận trực
giao với cùng một kiểu thiết kế và cùng một run size?

3.1

Đếm các lớp đẳng cấu

Một điều rất dễ nhận thấy, đó là số ma trận trực giao tồn tại ứng với cùng một
kiểu thiết kế và một run size thông thường là rất lớn. Nếu chúng ta muốn đếm hết
tất cả các ma trận này, chúng ta phải dùng một phương pháp đặc biệt. Và để giải
quyết cho vấn đề này, chúng ta cần phải sử dụng lý thuyết nhóm (group theory)
của toán học đại số. Cụ thể ở đây ta sẽ phân loại các ma trận trực giao này vào

các lớp đẳng cấu (isomorphic class), và thay vì phải đếm hết tất cả các ma trận
như thế này, chúng ta chỉ cần đếm các lớp đẳng cấu này mà thơi.
Ví dụ chúng ta xem xét một ma trận trực giao cụ thể OA(16;4.23;3) như hình
vẽ bên dưới. Nếu chúng ta tráo đổi hai cột bất kỳ, hoặc trao đổi hai hàng bất kỳ
hay hai ký hiệu bất kỳ nào đó, ta sẽ tạo ra một vài ma trận trực giao mới. Ta thấy
rằng các ma trận trực giao này là tương đương và chúng ta có thể nói là các ma
trận trực giao này đều thuộc vào một lớp đẳng cấu. Đối với mỗi lớp đẳng cấu như
vậy, chúng ta chỉ cần một phần tử bất kỳ để đại diện cho lớp đó. Lúc này vấn đề
"Đếm ma trận trực giao" sẽ trở nên dễ dàng hơn: chúng ta chỉ cần đếm có bao
nhiêu lớp đẳng cấu như vậy ứng với một bộ thơng số cụ thể nào đó. Ví dụ như
hình vẽ bên dưới, chúng ta có rất nhiều ma trận trực giao ứng với một bộ thông
số cụ thể nào đó, tuy nhiên do có nhiều ma trận trực giao tương đương nhau nên
thực sự chỉ có hai lớp ma trận trực giao đẳng cấu.

Phan Hữu Trọng Hiền

Trang 17