Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 5: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc bất đẳng thức - Phương pháp cổ điển

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.87 MB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 05:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC:

PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

đẳng thức

 

f

x

Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau:
Với các điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

Với:

x





x

1

x

2

x

n



T

 

0 1, 2,

,

j

g

j

m





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 

0 1, 2,

,

1, 2,

,

j j j

g

y

j

m

j

m















 



























x

 

,

0 1, 2,

,

j j j

G

g

y

j

m







x y

x





 













1 2 1 2

1 2

, ,

,

;

m

j j

j

T T

n m

T
m

L

f

G

x

y



 











x y λ

x

x y

x

y

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>





 





 





 

, ,

;

1..

1 , ,

2 0;

1..

2 , ,

,

0;

1..

3

m

j
j

j

i i i

j j

j

j j j

j

g

L

f

i

n

x

L

y

j

m

y

L

G

g

y

j

m





















 









 















x y λ

x

x y λ

x y

x

1 1 1

2 2 2

;

n m m

x

y

x

y

x

y



  

 

 



 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tính định thức sau. Tìm nghiệm của phương trình định thức = 0. Nếu tất cả các 
nghiệm đều mang dấu – hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực đại, nếu tất cả nghiệm 
mang dấu + hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực tiểu. Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một 
số còn lại mang dấu + thì đó khơng phải là cực trị.

 
 

              
 

 

11 12 13 1 11 21 1

21 22 23 2 12 22 2

1 2 3 1 2

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

0 0 0

m
n m

n m n m n m n m n m n m n m m n m

n m

m m m m n m

L z L L L G G G

L L z L L G G G

L L L L z G G G

G G G G




       









 

m 
n+m

m 
m

n+m 
n+m

n+m m

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

11 12 13 1 11 21 1

21 22 23 2 12 22 2

1 2 3 1 2

1 1

2 2

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

0 0 0

0 0 0 0 2 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 2 0 0 2 0

0 0 0 0 0 0 2 0 0 2

2 0 0 0 0 0

0 2

n m

n n n nn n n mn

m m

n
n

L z L L L g g g

L L z L L g g g

L L L L z g g g

z y

g g g g y




 
 
 







 


1 2 3

0 0 0 0

0 0 2 0 0 0

m m m mn m

g g g g y

m m

m 
m

n n

n m m

 
 
 
2
, ,
, ,

1.. ; 1..
, 1..

k

ij kl

i j l

L g

x x x

k m l n

i j n

   
 
 
  
 


x y λ x

x y λ x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cực tiểu hàm số sau: f x x x



1, 2, 3



 x12  x22  x32  40x1  20x2  min
Với các ràng buộc: x1  50; x1  x2 100; x1  x2  x3 150 3

n
m




 


Biến đổi lại các 
ràng buộc:

























1 1 2 3 1

2 1 2 3 1 2

3 1 2 3 1 2 3

2
1 1 2 3 1 1 1

2
2 1 2 3 2 1 2 2

2
3 1 2 3 3 1 2 3 3

, , 50 0

, , 100 0

, , 150 0

, , , 50 0

, , , 100 0

, , , 150 0

g x x x x

g x x x x x

g x x x x x x

G x x x y x y

G x x x y x x y

G x x x y x x x y

   




    


      


     



       

       



Hàm Lagrange:







1 2 3





1 2 3



, ,

,

j j

,

j

j

L

f x x x



G

x x x y







</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>



 



x

100 y

2 3

x

150 y





  



   



Hệ PT (1)÷(3) tương đương 9 phương trình:

 

1 1 2 3

2 2 3

3 3

1 1
2 2
3 3

1 1

1 2 2

1 2 3 3

2 40 0

1 2 20 0 4

2 0

2 2 0 5

2 0

50 0

3 100 0 6

150 0

x
x
x

y
y
y

x y

x x y

x x x y

  

 



    





     

  








  

 



   



     

     


Giải hệ 
PT tìm

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

kết hợp với hệ phương trình (4) và (6). Ta sẽ được 8 hệ 
phương trình như sau:

1) Hệ PT 1:

1
2
3

1 1 2 3

2 2 3

3 3

1 1

1 2 2

1 2 3 3

0
0

2 40 0

2 20 0

2 0

50 0

100 0

150 0

x
x
x

x y

x x y

x x x y



  

 



 





 


     



   



  



   



    



     


</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1
2
3

1 1 2 3

2 2 3

3 3

1 1

1 2 2

1 2 3 3

0
0
0

2 40 0

2 20 0

2 0

50 0

100 0

150 0

y
x
x
x

x y

x x y

x x x y



  

 



 





 


     



   



  



   



    



     



</div>

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 5: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc bất đẳng thức - Phương pháp cổ điển

<b>CHƯƠNG 05: </b>

<b>TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ </b>

<b> VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC: </b>

<b>PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN </b>

<b>đẳng thức</b>

 

<i>f</i>

<b>x</b>

<b>x</b>





<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 

0

1, 2,

,

<i>g</i>

<i>j</i>

<i>m</i>





 

 

0

0

1, 2,

,

1, 2,

,

<i>g</i>

<i>g</i>

<i>y</i>

<i>j</i>

<i>m</i>

<i>j</i>

<i>m</i>















 









<sub></sub>





<sub></sub>











<b>x</b>

<b>x</b>

 

 

,

0

1, 2,

,

<i>G</i>

<i>g</i>

<i>y</i>

<i>j</i>

<i>m</i>









<b>x y</b>

<b>x</b>