Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 08:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

(Linear Programming)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đặt vấn đề

1. Quy hoạch tuyến tính (QHTT, 1930) là các bài tốn tối ưu hóa mà 
ở đó hàm mục tiêu và toàn bộ các ràng buộc đều là hàm bậc 1 của 
các biến số.

2. Các biểu thức ràng buộc có thể ở dạng đẳng thức (phương trình) 
hoặc bất đẳng thức (bất phương trình) tuyến tính.

3. Các lĩnh vực ứng dụng của Quy hoạch tuyến tính:

- Tối ưu hóa chế độ dinh dưỡng

- Tối ưu hóa danh mục đầu tư

- Bài tốn sản xuất và vận chuyển

- Bài tốn viễn thơng

- Bài toán nhân viên bán dịch vụ du lịch

- Trong kỹ thuật ngành cơ khí, thì QHTT giúp giải các bài toán thiết

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vấn đề 1 dẫn đến bài toán QHTT

Trong các kết cấu khung thép, cần tính tốn để tránh xuất hiện các 
“khớp dẻo”, là những điểm mà kết cấu có thể mất đi độ cứng và bị 
bẻ gãy dẻo như một khớp xoay.

Khi mà số lượng các khớp dẻo tăng thì kết cấu sẽ có nguy cơ trở

thành cơ cấu bị sụp gãy (a collapse mechanism). Để khắc phục vấn

đề này, người ta cần phải làm tăng MƠMEN KHÁNG DẺO. 
Mơmen kháng dẻo của một mặt cắt:

d d c

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

cao h, bề rộng b là:

4

d c

bh

M



















Như vậy để tăng mô men kháng dẻo của mặt cắt thì hoặc là thay

đổi vật liệu cứng hơn (làm tăng σc ), hoặc là tăng kích thước mặt cắt

(b hoặc h hoặc cả 2). Nhưng điều này sẽ làm tăng khối lượng của

kết cấu, tăng chi phí cho vật liệu. Chính vì vậy mà bài tốn đặt ra là 
làm sao thiết kế được một kết cấu mà mơmen kháng dẻo của nó đủ 
để giữ vững kết cấu không cho bị biến dạng dẻo, nhưng khối lượng 
của nó lại nhỏ nhất có thể.

Kết cấu được cho là an toàn nếu khả năng hấp thụ năng lượng (thế 
năng đàn hồi U) của khung lớn hơn Công của ngoại lực (E)

Thế năng biến dạng đàn hồi (U) sẽ được tính thơng qua mômen

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vấn đề 1 dẫn đến bài toán QHTT

Cho khung phẳng cấu tạo từ 2 cột 
và 1 dầm ngang chịu tải như hình. 
Tìm giá trị mơmen khớp dẻo của

cột (Mc) và dầm (Mb) để kết cấu đủ

an toàn với khối lượng nhỏ nhất.

P1=3 kN, P2=1 kN, h=8 m, l=10 m.

 Có 4 khả năng khung biến dẻo

1 1

24

4

c

E

P

P h

U

M





     



Do có 4 khớp vị trí khớp 
dẻo của cột (Column)

1 2

2 2

10

4

b

E

P

P l

U

M







 

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>









1 1 2 2 1 2 34

2 c 4 b

E P P Ph P l

U M M

   



       

 





1 1 24

2 c 2 b

E P P h

U M M

  



     

 

Hàm mục tiêu của bài toán: Cực tiểu hóa khối lượng khung gồm 
khối lượng của 2 cột và dầm ngang:



c, b





2 b 2 c



min

f M M   lM  hM  ρchiều dài và mômen kháng dẻo – khối lượng riêng của khung theo

Các ràng buộc xuất phát từ điều kiện U ≥ E ở 4 trường hợp:

6
2.5

2 17

c

b

b c

M
M

M M




 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Gọi Mc=x1, Mb=x2, ta thu được mơ hình tốn:

 

1 2

1 2 1

2 1 2

3 1

4 2

20 16 min

2 17

12
6

2.5

f x x

g x x

g x

  

    

   
   

x

Bài tốn QHTT

Bài tốn có 1 lời giải khi dùng phương pháp điều kiện KKT:

min

6 16

; ; 216

6 4

f

 
 

   

    

 
 

* *

x λ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vấn đề 2 dẫn đến bài tốn QHTT

Một xí nghiệp có thể sản xuất ra một loại sản phẩm theo 3 phương

pháp khác nhau, k{ hiệu là PP1, PP2, PP3. Các loại nguyên liệu để sản

xuất k{ hiệu là N1, N2, N3. Biết rằng số nguyên liệu hiện có, định

mức tiêu hao các loại nguyên liệu và số lượng sản phẩm sản xuất ra 
trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng dưới:

Nguyên

liệu

Số lượng

hiện có (đv)

Định mức tiêu hao trong một giờ

PP

1

PP

2

PP

3

N

1

250

4

5

3 N

350

2

4

1 N

3

450

3

6

4 Sản lượng (đv/giờ)

10

12

9

Hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vấn đề 2 dẫn đến bài toán QHTT

Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số giờ sản xuất theo PP1, PP2, PP3 tương ứng.

Số nguyên liệu được sử dụng để sản xuất của 3 phương pháp là:

- Nguyên liệu 1:

- Nguyên liệu 2:

- Nguyên liệu 3:

1 2 3

4 x



5 x



3 x

1 2 3

2 x



4 x



x

1 2 3

3 x



6 x



4 x

Không vượt quá số lượng hiện có là 250 
Khơng vượt q số lượng hiện có là 350 
Khơng vượt q số lượng hiện có là 450

Tổng sản lượng do 3 phương pháp sản xuất được là:

10 x

1



12 x

2



9 x

3

Mơ hình toán:





1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

10

12

9 max

4

5

3

250

2

4

350

3

6

4

450

0 1, 2, 3

j

f

x

g

x

g

x

g

x

j





























Bài toán QHTT

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vấn đề 3 dẫn đến bài tốn QHTT

Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 chiếc quần và tối thiểu 
1000 cái áo. Về mặt l{ thuyết, mỗi 1 tấm vải có thể cắt ra được 1 số 
lượng quần và áo theo 6 cách khác nhau, như trong bảng dưới đây:

Cách cắt Quần Áo

1 90 35

2 80 55

3 70 70

4 60 90

5 120 0

6 0 100

Hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vấn đề 3 dẫn đến bài toán QHTT

Gọi xj, (j=1..6) lần lượt là số tấm vải cắt theo cách thứ j, khi đó ta có:

Do tổng số quần cần sản xuất là 2000 nên ta có phương trình:

1 2 3 4 5

90 x



80 x



70 x



60 x



120 x



2000

Do tổng số áo cần sản xuất tối thiểu là 1000 nên ta có điều kiện:

1 2 3 4 6

35 x



55 x



70 x



90 x



100 x



1000

Tổng số tấm vải cần sử dụng là:

j
j

x





Mơ hình tốn:

 





1 1 2 3 4 5

2 1 2 3 4 6

min

90

80

70

60

120 2000

35

55

70

90

100 1000

0,

1..6

j
j

j j

f

x

g

x

g

x

j





















x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vấn đề 4 dẫn đến bài toán QHTT

Một nhà đầu tư có 70 tỉ đồng muốn đầu tư vào các loại hình sau:

- Tiết kiệm khơng kz hạn với lãi suất 6.5%

- Tiết kiệm có kz hạn với lãi suất 8.5%

- Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 10%

- Cho tư nhân vay với lãi suất 13%

Thời gian đáo hạn được cho là như nhau. Các loại hình đầu tư này 
đều có rủi ro và do đó người đầu tư muốn làm theo các chỉ dẫn sau 
của nhà tư vấn:

1. Không cho tư nhân vay quá 20% số vốn

2. Số tiền mua trái phiếu không nên vượt quá tổng số tiền đầu tư 
vào 3 lĩnh vực kia

3. Ít nhất 30% số tiền đầu tư phải thuộc tiết kiệm có kz hạn và trái 
phiếu

4. Tỷ lệ tiền tiết kiệm không kz hạn trên tiền tiết kiệm có kz hạn 
khơng vượt q 1/3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1) Xác định các biến số. Gọi:

- x1 là số tiền gửi tiết kiệm không kz hạn

- x2 là số tiền gửi tiết kiệm có kz hạn.

- x3 là số tiền mua trái phiếu

- x4 là số tiền cho tư nhân vay

2) Xác định hàm mục tiêu:

Tổng lợi nhuận người đó thu được:

0.065 x

1



0.085 x

2



0.1 x

3



0.13 x

4

3) Xác định các ràng buộc:

[1]: 
[2]: 
[3]: 
[4]: 
[5]: 
4

14 x



tỷ

3 1 2 4

x

 

x



x

2 3

21 x



x



tỷ

1
2

1

3 x



1 2 3 4

70 x



x

 

x







1 2 3 4

1 1

2 1 2 3 4

3 2 3

4 1 2

5 1 2 3 4

0.065 0.085 0.1 0.13 max
14
0
21
1
0
3
70
0, 1..4
j j

f x x x x

g x

g x x x x

g x x

g x x x x

x x j

    
 
    
  
  
    

 N 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Vấn đề 5 dẫn đến bài toán QHTT

Để ni một loại gia súc trong 24 giờ cần có khối lượng tối thiểu các 
chất tương ứng là:

- 90 gr Protit

- 130 gr Gluxit

- 10 gr chất khoáng

Tỷ lệ % theo khối lượng của các chất trên có trong 3 loại thức ăn A,

B, C như sau:

Thức ăn Chất dinh dưỡng

Protit Gluxit Khoáng

A 10 30 2

B 20 40 1

C 30 20 3

Giá 1 kg thức ăn A, B, C lần lượt là 3000 đ, 4000 đ, 5000 đ

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1) Xác định các biến số. Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số gram thức ăn A,

B, C cần mua  xj ≥ 0 (j=1..3)

2) Xác định các ràng buộc:

Lượng chất dinh dưỡng có trong tồn bộ khẩu phần thức ăn cần mua:

- Proteit: 0.1 x1 + 0.2 x2 + 0.3 x3 tối thiểu là 90 gr

- Gluxit: 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.2 x3 tối thiểu là 130 gr

- Khoáng: 0.02 x1 + 0.01 x2 + 0.03 x3 tối thiểu là 10 gr

3) Xác định hàm mục tiêu: Tổng chi phí cho khẩu phần thức ăn trong 
ngày là: 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 (đồng)

 





1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

3 4 5 min

0.1 0.2 0.3 90
0.3 0.4 0.2 130
0.02 0.01 0.03 10
0 1..3

j

f x x x

g x x x

x j

   

   

 

x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vấn đề 6 dẫn đến bài toán QHTT

Tại sân bay Tân Sân Nhất có nhu cầu vận chuyển

1200 hành khách và 120 tấn hàng bằng máy bay. Giả

sử có 2 loại máy bay có thể sử dụng với khả năng

vận chuyển của mỗi loại như sau:

-

Máy bay loại

A

: Mỗi máy bay có thể chở 150 hành

khách và 20 tấn hàng với chi phí là 240 triệu đồng

-

Máy bay loại

B

: Mỗi máy bay có thể chở 180 hành

khách và 16 tấn hàng với chi phí là 220 triệu đồng

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1) Xác định các biến số. Gọi xj, (j=A, B) lần lượt là số lượng máy bay

loại j cần sử dụng  xj ≥ 0 (j=A, B), xj ϵ N (j=A, B)

2) Xác định hàm mục tiêu:

Tổng chi phí vận chuyển là: 240 xA+ 220 xB(triệu đồng)

3) Xác định các ràng buộc:

- Tổng cộng 1200 hành khách cần phải chở: g1 = 150 xA+ 180 xB= 1200

- Tổng cộng 120 tấn hàng cần phải chở: g2 = 20 xA+ 16 xB= 120

 





1
2

240 220 min
150 180 1200

20 16 120

0, ,

A B

A B
j j

f x x

g x x

x x j A B

  

  

  

x

N

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tìm x 



x x1, 2, , xn



sao cho:

 

min max 1

n

j j
j

f c x







x

Với điều kiện:





 









 

1 1 2 2

1.. 2

0 1.. ; 0 1 .. ; 3

n

ij j i
j

j j

a x b i m

x j n x j n n n n






  



 



        





(1) là hàm mục tiêu

(2) Có m phương trình/bất phương trình ràng buộc

(3) Ràng buộc về dấu (đối với ẩn số)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Các dạng của bài tốn QHTT

Tìm x 



x x1, 2, , xn



sao cho:

 

min max 1

n

j j
j

f c x







x

Với điều kiện:





 





 

1.. 4

0 1.. 5

n

ij j i
j

j

a x b i m

x j n



  




  





</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1
1
1 0
n
n

ij j n i
j

ij j i
j

n

a x x b
a x b

x





 

  
 




• Nếu ràng buộc có dạng ≥ 
thì trừ đi 1 ẩn phụ khơng 
âm

 Khi đó thì hệ số của các ẩn phụ xn+1 trong hàm mục tiêu sẽ = 0

• Nếu biến xj ≤ 0 được thay

bằng: 0 0

j j
j
j
x x
x
x

 

    
• Nếu biến xj khơng có ràng

buộc về dấu thì được thay 
bằng hiệu của 2 biến 
không âm

0
0

j j j

j
j

j

x x x
x
x
x
 
 

  
 
  

1
1
1
1 0
n

ij j n i
j

ij j i
j

n

a x x b
a x b

x




 

  
 




</div>

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính

<b>CHƯƠNG 08: </b>

<b>QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH </b>

<b>(Linear Programming) </b>

<b>Đặt vấn đề</b>

<b>Vấn đề 1 dẫn đến bài toán QHTT</b>

4

<i>bh</i>

<i>M</i>



















<b>Vấn đề 1 dẫn đến bài toán QHTT</b>

24

4

<i>E</i>

<i>P</i>

<i>P h</i>

<i>U</i>

<i>M</i>









     



10

4

<i>E</i>

<i>P</i>

<i>P l</i>

<i>U</i>

<i>M</i>











 

  





















 

<b>Bài tốn QHTT </b>

<b>Vấn đề 2 dẫn đến bài tốn QHTT</b>

Nguyên

liệu

Số lượng

hiện có (đv)

Định mức tiêu hao trong một giờ

PP

PP

PP

N

250

4

5

3

N

350

2

4

1

N

450

3