SKKN nhận dạng và phương pháp giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chƣơng trình Hình học 12, bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian là bài tốn hay và khơng q khó. Để làm tốt bài tốn này địi
hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa
đƣờng thẳng, mặt phẳng. Là dạng tốn ln có mặt trong các đề thi tốt nghiệp
THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc
dạng toán này là hết sức cần thiết.
Do đó trong q trình dạy học địi hỏi đội ngũ các thầy cơ giáo phải tích cực
học tập, khơng ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phƣơng pháp dạy
học theo hƣớng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh,
bồi dƣỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự
say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong
việc giải quyết một bài tốn hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều
ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhƣng theo tơi, ngun nhân chủ yếu
là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số” mà khơng để
ý đến các tính chất hình học.
Các phƣơng pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài tốn
nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài tốn đó mà khơng có một cách
nhìn tổng qt. Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trƣớc các
câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phƣơng trình
đƣờng thẳng trong khơng gian.
Với vai trị là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao
đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hƣớng giải quyết đơn
giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ đƣợc kiến thức cơ bản trên cơ
sở đó để sáng tạo.
Tơi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài tốn
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian đó là:
"GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI
TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN".

Với ý tƣởng trên, tơi đã phân ra các dạng bài tập viết phƣơng trình đƣờng
thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng
bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra,
giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng nhƣ thi vào các trƣờng Cao
đẳng và Đại học.

1


1. 2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài với mong muốn giúp học sinh:
+
Khắc phục đƣợc những yếu điểm đã nêu ở trên, từ đó đạt đƣợc kết quả
cao khi giải bài tốn nói riêng và đạt kết quả cao trong q trình học tập nói
chung.
+
Tìm đƣợc một phƣơng pháp tối ƣu nhất để giải toán, cũng nhƣ nâng cao
thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc nhận dạng và phƣơng pháp
giải các bài tốn thích hợp. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức
vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng tốn viết phƣơng trình của đƣờng thẳng và phƣơng pháp giảng
dạy toán
- Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trƣờng THPT Tô Hiến Thành - TP Thanh Hóa
năm học: 2015 - 2016.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài
tập, sách tài liệu tham khảo và các đề thi
- Phƣơng pháp điều tra thực tiễn : Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần
bài tập này

- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ
phạm - Phƣơng pháp thống kê

2


PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Kiến thức cơ bản: Trong chƣơng trình Sách giáo khoa Hình Học Lớp 12
Chun thỡ phơng trình ca ng thng trong khụng gian có hai dạng đó là:
Phương trình tham số và phương trỡnh chớnh tc.
ể viết phơng trình ca ng thng trong khụng gian cần
phải xác định hai yếu tố:
+ Một điểm mà ng thng đi qua.
+ Một véc tơ ch phng của đường thẳng.
Khi đó, nếu đƣờng thẳng
ua ; b ; c làm véc tơ ch phng thỡ:
Phng trỡnh tham s của đƣờng thẳng có dạng:
Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng

có dạng :

Kiến thức có liên quan:
1. Phƣơng trình tổng qt của ( ) có dạng:
Ax

2.

Nếu (

) có

phƣơng trình: Ax

By

Cz

D

0 thì véc

tơ pháp tuyến của (

)

là n A ; B ; C
3. Nếu ( ) đi qua điểm M

x0;y0;z0

và nhận n A ; B ; C là véc tơ pháp tuyến

thì phƣơng trình của ( ) là : A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
4.
Nếu ( ) chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phƣơng
aa 1 ; a 2 ; a 3

5. Cho A

xA;yA;zA

- Vectơ
- Toạ độ trung điểm I của AB là: I
Chú ý: Trên cơ sở kiến thức hình học không gian lớp 11, có các cách
xác định ng thng nh sau:
- Có một và chỉ một ng thng đi qua hai ®iĨm phân biệt cho
trƣớc.
- Cã mét vµ chØ mét đƣờng thng l giao tuyn ca hai mt
phng.
... Ngoài ra còn rất nhiều cách xác định ng thng khác nữa.


3


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhƣ vậy để viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong khơng gian (cụ thể
là phƣơng trình tham số hoặc phƣơng trình chính tắc) ta cần phải xác định hai
đại lƣợng:
+) Điểm mà đƣờng thẳng đi qua.
+) Véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng.
Nhƣng không phải trong mọi trƣờng hợp, ta đều có thể tìm đƣợc một cách
dễ dàng hai đại lƣợng nói trên, và cũng nhƣ nhiều vấn đề khác của tốn học.
Bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường
minh và khơng tường minh
Dạng tường minh:
Các đại lƣợng để giải quyết bài tốn thì đề bài cho sẵn, dạng tốn này chủ
yếu để học sinh củng cố công thức.
Dạng tường minh theo tơi đó là: Viết phƣơng trình tham số (hoặc chính

tắc) của đƣờng thẳng biết:
1) Đƣờng thẳng đi qua hai điểm.
2) Đƣờng thẳng đi qua một điểm và có véctơ chỉ phƣơng.
Dạng không tường minh:
Các đại lƣợng để giải quyết bài tốn thì đề bài khơng cho sẵn mà đƣợc ẩn
dƣới một số điều kiện nhất định nào đó.
Dạng tốn này đòi hỏi ngƣời học phải biết kết hợp kiến thức, có tƣ duy
logíc tốn học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tơi xin được bàn về các dạng tốn khơng tường minh,
đây cũng là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đại
học. Tùy thuộc vào yêu cầu của các bài tốn viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian, thì tơi chia thành hai bài tốn để học sinh dễ nhận dạng:
Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm
mà đường thẳng đi qua.
+
Ở bài toán này: đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua, không cho trực tiếp
phƣơng của đƣờng thẳng.
+
Yêu cầu phải xác định phƣơng của đƣờng thẳng dựa vào các điều kiện
của bài toán.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho
trước
+
Ở bài tốn này: đề bài khơng cho trực tiếp điểm đi qua và phƣơng
của đƣờng thẳng,
+ Yêu cầu phải xác định các đại lƣợng đó dựa vào các điều kiện của bài
toán.

4

Chú ý: Trong bài tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong không gian
tôi đặc biệt chú ý đến các điều kiện xác định của đƣờng thẳng trong khơng gian
đó là:
- Có một và chỉ một ng thng đi qua hai ®iĨm phân biệt cho
trƣớc.
- Cã mét vµ chØ mét đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt
phẳng.
Từ đó, tơi hướng cho học sinh giải quyết bài tốn viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian theo hai cách sau:
Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: Phƣơng trình dạng tổng qt của đƣờng thẳng
khơng đƣợc trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dƣới dạng
tổng quát thì có đƣợc chấp nhận hay khơng? nếu khơng đƣợc chấp nhận thì làm
thế nào?
Cách khắc phục khơng có gì khó khăn, ta có thể hƣớng dẫn học sinh
chuyển về dạng tham số thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đƣờng thẳng
( ):x

y

2z

Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
Đặt: z
Vậy ta có phƣơng trình dạng tham số của
Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đƣờng thẳng
( ):x

y

2z

+) Với z
+) Đƣờng thẳng
phƣơng là tích có hƣớng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó:

Vậy
Ngồi ra trong từng trƣờng hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài
toán cũng cần hƣớng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải mới.

có phƣơn


5


2.

3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã đƣợc trình bày trong

sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đƣờng thẳng trong khơng gian
lớp 11. Tơi xin đƣợc trình bày nội dung đề tài dƣới hai dạng bài toán cơ bản mà
phƣơng pháp giải đƣợc rút ra từ hai phƣơng pháp cơ bản nêu trên.

a. Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một
điểm mà đường thẳng đi qua

+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phƣơng của đƣờng thẳng xác định thông qua các đại lƣợng, các mối
quan hệ trong bài tốn.
Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua

điểm A

2 ; 1; 3

cắt cả hai đƣờng thẳng

1

Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm : A

2 ; 1; 3

.

+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt cả hai đƣờng thẳng

1

và

2

.

2) Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
Vậy đƣờng thẳng

chính là đƣờng thẳng PQ.

Giải
Gọi Q là giao điểm của
Ta có:
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đƣờng thẳng

Q A t '; 22 t '; 4


6
2

1

P

QA

A

Q

2

Với

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
Vậy đƣờng thẳng
Giải

: Gọi

Khi đó
suy ra véc tơ pháp tuyến của
Gọi

là mặt phẳng xác định bởi hai đƣờng thẳn
có hai véc tơ chỉ phƣơng là A N
véc tơ pháp tuyến của (


x

phƣơng trình

:

y

z

Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
A 1; 2 ; 3

đồng thời vng góc với d

Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại
lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm : A 1; 2 ; 3 .
+) Đƣờng thẳng d

1

+) Đƣờng thẳng d

2

.
.

+) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt d , đƣờng thẳng vng góc với d (có thể cắt hoặc
khơng cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hƣớng giải quyết sau (không thể dựa vào điều
kiện cắt d vì mối quan hệ này khơng chắc chắn xảy ra).
2

1

1

Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
Suy ra đƣờng thẳng

7


Giải

: Gọi giao của đƣờng thẳng

AP

2t;t

Mặt khác

d

Ta có:

AP 32;12;

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm

+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
vng góc với d

1

Giải

: Gọi (

phƣơng trình
Gọi
pháp tuyến

là mặt phẳng qua A và vng góc vớ

Vì là giao của

8


Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

đi

x

qua A

3; 2; 1

vng góc và cắt đƣờng thẳng d

:

y
z

Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đƣờng thẳng cần tìm : A 3 ; 2 ; 1 .

+) Đƣờng thẳng d đi qua điểm M

3;4; 1

và có véctơ chỉ phƣơng

+) Quan hệ: Đƣờng thẳng cắt d . Đƣờng thẳng vuông góc với 2)
Cần xác định véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:

u 1;

5;2

d

.

.

Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
Suy ra đƣờng thẳng chính là đƣờng thẳng PA .
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
và vng góc với d . Vậy đƣờng thẳng
Giải: Ta có: A M

0;6;0

có véc tơ pháp tuyến là :
Gọi

là mặt phẳng qua A và vng góc vớ
có véc tơ pháp tuyến là :

Vậy đƣờng thẳng cần tìm có chỉ phƣơng:
Phƣơng trình của đƣờng thẳng
Nhận xét: Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài tốn khơng phải chỉ có một
cách giải mà trong từng trường hợp cụ thể, học sinh có thể định hướng cho
mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của bài toán đó.


9

b. Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện
cho trước.
+ Điểm mà đƣờng thẳng đi qua
+ Phƣơng của đƣờng thẳng
Đều đƣợc xác định thông qua các đại lƣợng cho trƣớc và các mối quan hệ hình
học.
Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình của đƣờng thẳng
biết nó vng góc với mặt phẳng (P) : x
y
z
4
0 và cắt cả hai đƣờng thẳng
x

chéo nhau

:

2

t

x

2

3t'

y

1

z

Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 1; 1 .
P

+) Đƣờng thẳng
+) Đƣờng thẳng
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi M, N lần lƣợt là giao điểm của đƣờng thẳng
và 2 . Ta có:

+) M
+) N

+) M N
Theo giả thiết

knP

MN

Do đó: M
Đƣờng thẳng

3 t '

t ; 2

với hai đƣờng thẳng

1


10


Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải:

Gọi

Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của
có phƣơng trình 4 x
Gọi

là mặt phẳng chứa

Theo bài ra ta có véc tơ pháp tuyến của
nP ,u2

n

có phƣơng trình y

Đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
và

. Đặt z
3

x

2

Đƣờng thẳng có phƣơng trình:

y

1

t

z

t
t

R

t

Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x
đƣờng thẳng d

3y

5z

6

0

và

:

nằm trong (P), cắt và vng góc với d.
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n 1; 3 ; 5 .
+) Đƣờng thẳng d đi qua M 2 ; 1; 7 và có chỉ phƣơng u 1; 2 ; 1 .
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
P . Đƣờng thẳng
cắt cả d và d
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
P

d

Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải: Gọi

là điểm thuộc đƣờng thẳng

. Vì đƣờng thẳng

cắt d và

nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qua giao điểm của d và (P). Tọa độ giao điểm là
nghiệm của hệ:
x

3y

5z

x

2

y

1

tx


1

2

11

Gọi N

x;
MN

Do

P
M Nd

x

3y

x

2y

Đặt z

t

5z

phƣơng tr

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Gợi ý: Trong cách 2 đƣờng thẳng

mặt phẳng (P) trong đó (
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng
mặt phẳng

P

cách d một khoảng là
Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n

P

1; 1; 2

.

+) Đƣờng thẳng d đi qua M ( 2 ; 3 ;
+) Quan hệ: Đƣờng thẳng
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định điểm mà đường thẳng đi qua.
Giải
hình chiếu của M trên đƣờng thẳng
AM

14

AM

d

AP
x0
4x0
x0

2


12


2

x0

y0

2

4x0
x0

2y0
y0

2t

2

x0

y

0

x0

9

1 83 t
t

14t2

196t

y0

1 83 t

x0

+V
ới

y0

2

9

t

t

t

có phƣơng trình:

có phƣơng trình:

+V
ới

Vậy
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Đƣờng thẳng
với (P) và cách d một khoảng bằng
Mặt phẳng (
dạng:

Mà d

x

3y

d ,

+ Với d
Đƣờng thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) với mặt phẳng (
x

3y
x

2z
y

2z


+ Với d

27

Đƣờng thẳng
13


x
x

3y

2z

y

2z

Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phƣơng trình hình chiếu vng
x

góc của đƣờng thẳng d :

1

t

y

z

Phân tích bài tốn: Đề bài đã cho các đại lƣợng nào, cần xác định đại lƣợng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng ( ) có véctơ pháp tuyến n 2 ; 3 ; 1 .

+) Đƣờng thẳng d đi qua A 1; 1; 1 có véc tơ chỉ phƣơng u 1; 0 ; 1 .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .
1

Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Nếu d cắt (
trên d không thuộc (
qua của .
+) Nếu d không

chiếu M’, N’ của M và N trên (
Giải:

Để xét sự tƣơng giao của d và (
x
y
I

:
z
2x

Vậy d giao với (
Gọi d’ là đƣờng thẳng qua A và vuông góc với (
( ) là chỉ phƣơng
Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng ( ) là giao điểm của đƣờng thẳng d’
với mặt phẳng ( ). Có tọa độ là nghiệm của hệ:

3y


14


x

1

2t
1

y

1

z

1

3 t1

t

1

2x

3y

z

3

1

M '

;

7

;

7

và có chỉ phƣơng
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Giải: Gọi
Theo bài ra mp
phƣơng trình (
(

) và

x
2x

thỏa mãn hệ:

y

t
3y

0
1 t

x t
55

Vậy đƣờng thẳng cần tìm có phƣơng trình:


1
5