skkn rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian

I. THÔNG TIN CHUNG
1. Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường
thẳng trong không gian.
2. Đồng tác giả:
Họ và tên
Năm sinh
Nơi thường trú

Trần Thị Thơm
27/05/1984
Tổ 26 –P. Đông Phong –

Tp. Lai Châu
Trình độ chuyên môn Thạc sỹ
Chức vụ công tác
Tổ trưởng tổ Toán - Lí
Nơi làm việc
Trường THPT Thành Phố
Điện thoại
01274282543
Tỷ lệ đóng góp tạo ra 50%

Hoàng Xuân Thức
08/10/1984
Tổ 26 –P. Đông Phong –
Tp. Lai Châu
Thạc sỹ
Thư ký hội đồng
Trường THPT Thành Phố
0972112255
50%

sáng kiến
3. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học Môn Toán.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 17 tháng 02 năm 2014 đến
ngày 28 tháng 03 năm 2015
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Thành Phố
Địa chỉ: Tổ 26 – Phường Đông Phong – TP Lai Châu
Điện thoại: 02313.791.496
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
1.1 Sự cần thiết của việc thực hiện sáng kiến: Xã hội không ngừng phát
triển, đất nước ta không chỉ cần những người giỏi về tri thức mà còn phải có kĩ
năng sống tốt, kĩ năng giải quyết công việc nhanh nhẹn và hiệu quả…Luật Giáo
dục số 38/2005/QH11, Điều 28 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn

1


luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo cũng đã khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương
pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt
một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực…”

Những quan điểm, định hướng nêu trên đã phản ánh nhu cầu đổi mới giáo
dục, đồng thời tạo tiền đề, cơ sở và môi trường pháp lí thuận lợi cho việc đổi
mới giáo dục phổ thông nói chung, đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học nói
riêng. Do vậy môn Toán nói chung và môn Toán ở trường THPT nói riêng cũng
đứng trước một yêu cầu cấp bách, đó là đổi mới về nội dung, mục tiêu và
phương pháp dạy học.
Trong môn Toán bài tập toán học có một vai trò quan trọng. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động
toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải
toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, là một trong những
mục tiêu dạy học môn Toán, cần phải được tiến hành có kế hoạch, thường
xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục. Thông qua rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận
dụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu,
nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ
năng cần thiết cho cuộc sống.
Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ trong không gian
nói chung, phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng là một trong
những nội dung quan trọng. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm
vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng
2


và mặt cầu. Là dạng toán có tỷ lệ xuất hiện phổ biến trong các đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm
tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.
Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy kĩ năng giải toán về
phương trình đường thẳng trong không gian của học sinh còn đang yếu. Học
sinh còn gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Các em dễ nhầm

lẫn khi giải bài toán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm
lẫn với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa bài học Phương
trình đường thẳng trong không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ
đưa ra một cách chung chung chưa phân dạng cụ thể tường minh. Vì vậy việc hệ
thống hóa và phân dạng các dạng bài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thể
tiếp thu tốt phương trình đường thẳng là việc làm cần thiết.
Xuất phát từ những lí do trên mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “ Rèn
luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian”.
1.2 Mục đích của việc thực hiện sáng kiến: Xây dựng hệ thống bài toán
và đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 12
khi dạy học nội dung phương trình đường thẳng trong không gian đạt kết quả
cao.
2. Phạm vi triển khai thực hiện: Học sinh lớp 12 trường THPT Thành
Phố
3. Mô tả sáng kiến:
a. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
Trường THPT thành phố được thành lập năm 2007. Từ khi thành lập đến
nay đội ngũ cán bộ, giáo viên nhà trường, quy mô trường lớp và chất lượng hai
mặt giáo dục không ngừng lớn mạnh và phát triển. Tỷ lệ đỗ tốt nghiệp lớp 12
hàng năm của nhà trường được duy trì ổn định, số lượng học sinh thi đỗ đại học,
cao đẳng tăng. Tuy nhiên chất lượng thi đỗ vào các trường đại học khối A, B
còn thấp. Điểm thi môn Toán chưa cao. Năm học 2014- 2015 nhà trường có
nhóm giáo viên dạy bộ môn toán là 6 đồng chí sinh hoạt tại tổ chuyên môn Toán
– Lí với 5 lớp 12 với tổng số 168 học sinh, trong đó có 4 giáo viên trực tiếp
3


giảng dạy 12. Tuy nhiên năng lực đội ngũ giáo viên chưa đồng đều, kinh nghiệm
giảng dạy và xử lý tình huống sư phạm còn có mặt hạn chế. Việc đổi mới
phương pháp dạy học chưa thật đồng bộ và hiệu quả.

Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của HS và sự trao đổi trực
tiếp với các thầy cô đã và đang giảng dạy môn toán lớp 12, chúng tôi nhận thấy
trong việc giảng dạy nội dung phương trình đường thẳng trong không gian –
Hình học 12 có một số vấn đề cần quan tâm sau:
- Các đối tượng hình học trong phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng vẫn
có chỗ dựa trực quan, khi phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp
tọa độ thì các đối tượng hình học đã được tọa độ hóa nên mức độ trừu tượng cao
hơn, vì vậy HS khó thấy được ý nghĩa, bản chất của các đối tượng hình học.
- Sự mở rộng từ phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (lớp 10) sang
phương trình đường thẳng trong không gian (lớp 12) gây ra một khó khăn nhất
định cho HS. Ví dụ cho phương trình 2x + y – 4 = 0 nếu xét trong hệ trục Oxy là
phương trình đường thẳng nhưng nếu xét trong hệ trục Oxyz là phương trình mặt
phẳng, đường thẳng trong không gian không có vectơ pháp tuyến như trong mặt
phẳng…
- Việc nhận thức khái niệm và tính chất cũng gây khó khăn cho HS trong giải
toán. Nếu HS hiểu trong PTTS của đường thẳng tất cả các tham số đều ký hiệu
là t thì sẽ gây nhầm lẫn khi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
- Học sinh thường có biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thẳng vuông góc thì HS cũng thừa nhận luôn là vuông góc tức là
cắt nhau.
+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
+ Hai đường thẳng thuộc hai mp vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau.
+ Nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng luôn bằng góc giữa hai VTCP.
- Quan hệ giữa các đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trí
tương đối) được mô tả bằng các công thức, trong đó có những công thức phức
tạp như công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Chương trình nâng
cao), ban cơ bản lại đưa về tính độ dài đoạn vuông góc chung. Điều này gây cho
4

học sinh khó nhớ và dễ nhầm khi tính toán.
- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài toán không
gian: Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu (Để tháo gỡ vấn
đề này, giáo viên có thể tiến hành bằng cách xây dựng các quy trình và phương
pháp thực hiện giải toán).
- Vấn đề các dạng khác nhau của đáp số: Học sinh thường lúng túng khi viết
phương trình của đường thẳng, mặt phẳng bằng những cách khác nhau và có các
kết quả có vẻ như khác nhau. Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm về sự
tương đương của hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình). Bằng cách dùng
phép biến đổi tương đương ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ có vẻ
rất khác, nhưng vẫn là tương đương, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ là như nhau.
(Cần lưu ý thêm cho HS là ta có thể chọn nhiều điểm khác nhau trên đường
thẳng ∆ làm điểm M 0 cho trước và nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên cùng một
đường thẳng ∆ có nhiều PTTS khác nhau).
- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài toán trong chương này đều liên
quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số, nhưng HS còn lúng túng trong
cách giải và sau khi giải hệ xong đã vội kết luận về quan hệ hình học mà quên
mất rằng phải xét thêm cả các yếu tố khác nữa. Ví dụ để tìm vị trí tương đối của
hai đường thẳng d và d’ được cho bởi phương trình tham số, ta có thể giải hệ sáu
phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó. Nếu hệ vô nghiệm thì ta chỉ có thể kết
luận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi. Cần phải xét
thêm các vectơ chỉ phương của d và d’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng.
- Nói chung nội dung cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian,
được cho là phù hợp với khả năng nhận thức của đa số HS, hầu hết HS có thể
làm được các bài tập ở dạng vận dụng trực tiếp. Tuy nhiên đối với các bài tập ở
dạng mở rộng, cần sử dụng kết hợp các kiến thức và kĩ năng đã học từ trước thì
chỉ những HS có lực học khá, giỏi mới làm được theo sự hướng dẫn của GV.
- Do đặc thù vùng miền nên khả năng nhận thức đối với bộ môn hình học của
đa số HS còn chậm và yếu, nên HS lười học và dành ít thời gian tự học cho việc

ôn tập nắm vững các nội dung cơ bản và rèn luyện các kĩ năng của bộ môn, dẫn
5


tới HS không nắm vững các kiến thức cơ bản, yếu về kĩ năng thực hành, vận
dụng.
* Về phía GV:
- GV đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững chuẩn, kiến thức, kĩ
năng về phương trình đường thẳng trong không gian. Tuy nhiên trong quá trình
giảng dạy, do phải đảm bảo về thời lượng chương trình nên nhiều kĩ năng GV
chưa thể rèn luyện và khắc sâu được cho HS, đặc biệt là đối với các kĩ năng có
liên quan đã được học từ trước.
- Sau khi dạy xong lý thuyết bài phương trình đường thẳng trong không gian
giáo viên thường hướng dẫn, giao bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập,...
nhưng chưa phân dạng toán tường minh một cách có hệ thống, bài bản, chưa sắp
xếp hệ thống bài tập từ dễ đến khó với những điểm nhấn về kiến thức và phương
pháp cần chú ý. Mặt khác, một số dạng toán viết phương trình đường thẳng
trong không gian không được đề cập tường minh trong sách giáo khoa nên GV
thường dạy lướt qua chưa chú ý cung cấp đầy đủ kiến thức, chưa hướng dẫn và
đưa ra những bài tập phong phú nhằm rèn luyện cho HS các kĩ năng giải các
phương trình dạng này.
Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa có phương pháp học tích
cực, hạn chế trong phương pháp tự học, kĩ năng giải bài tập còn yếu, thường chỉ
làm được một số dạng bài tập tức thời theo sự hướng dẫn của giáo viên, mà chưa
có cái nhìn tổng quan về một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng
trong không gian, chưa nắm chắc được bản chất, dấu hiệu, cách làm một cách kĩ
càng dạng toán nên khi gặp một dạng toán mới thường hay lúng túng, khó định
hướng được cách giải. Do đó kết quả các bài kiểm tra còn thấp.
b. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Nhằm khắc phục những thiếu sót đã nêu trên, chúng tôi đã thực hiện 2 giải pháp

chính sau đây:
Giải pháp 1:
+ Hệ thống hóa các dạng toán theo chủ đề (7 dạng toán chính – Phụ lục 1). Sắp
xếp một cách có hệ thống, cơ bản theo hướng từ dễ đến khó, trong đó lồng ghép
6


những điểm nhấn về kiến thức và phương pháp cần chú ý. Ngoài ra các tác giả
cũng quan tâm đến việc đưa ra một số giải pháp để học sinh có thể nắm được
bản chất, tính chất hình học bằng cách kết hợp giữa đại số và hình học trong giải
toán.
+ Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức cơ bản,
những lưu ý khi giảng dạy, ví dụ minh họa, phương pháp giải, bài tập tương tự
rèn luyện cho từng dạng bài cụ thể.
Giải pháp 2: Xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho HS những kĩ năng cơ
bản để giải quyết lớp bài toán về PTĐT trong không gian.
Về phương pháp dạy học: Phân tích các bài toán mẫu để hình thành thuật
giải, luyện tập giải các bài tập cùng dạng, lồng ghép củng cố các kiến thức cơ
bản là cách thức rèn kỹ năng giải toán cho học sinh được đề xuất và minh họa,
xây dựng trong sáng kiến nhằm giúp HS nhận dạng bài tập và xác định phương
pháp giải dễ dàng. Đồng thời sáng kiến cũng đề xuất một số hình thức tổ chức
hoạt động học tập cho HS và cách ghi nhớ một số nội dung kiến thức theo“sơ
đồ tư duy” để HS chủ động lĩnh hội kiến thức.
Ưu điểm: Giúp GV có được một tài liệu giảng dạy phù hợp với nhiều đối
tượng HS, phù hợp với mục đích ôn thi tốt nghiệp hay ôn thi cao đẳng - đại học.
Rút ngắn thời gian ôn luyện. Dễ dàng trong thực hiện việc giảng dạy theo đối
tượng vùng miền và rèn kĩ năng giải toán cho HS.
+ HS thuộc nhóm đối tượng nào thì có hệ thống bài tập phù hợp với đối
tượng đó. Giúp HS không thấy sợ bộ môn Toán, đặc biệt là toán hình. Từ đó
chất lượng học tập được nâng cao.

+ Giúp HS bổ sung được những kiến thức, kĩ năng còn yếu và thiếu. Cách
ghi nhớ một số nội dung kiến thức theo“sơ đồ tư duy” giúp HS ghi nhớ một
cách khoa học, logic, dễ hiểu. Đồng thời khắc phục được những sai lầm của HS
trong quá trình giải toán.
+ HS tiếp thu kiến thức một cách chủ động, không mất công ghi nhớ quá
máy móc các bài toán mà GV đã giảng dạy. Do đó sẽ không lúng túng trước
những dạng toán mới đã có sự thay đổi về dự kiện, giúp HS có khả năng tự học.
7


Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho HS ta cần xác định từng kĩ
năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Một kĩ năng
có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Việc hình thành từng kĩ năng riêng lẻ có thể
chia thành các bước như sau:
+ Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể GV
trình bày hoặc gợi ý để HS làm).
+ Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, nhằm
giúp HS thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể tiến hành
ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà.
+ Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụng
phối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán. Các bài tập dạng này thường được sắp
xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển
các kĩ năng ngày một tốt hơn.
Ví dụ: Để hình thành kĩ năng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian, ta có thể cho HS lần lượt giải các bài toán sau, dựa theo 3 bước ở
trên:
Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình
x = 2 + t'
 x = −1 + t


' 
'
sau đây d:  y = 3 − t với d :  y = 8 − 2t
 z = 1 + 4t '
 z = 3t



(Với bài này HS chỉ cần giải bài toán theo mẫu)
Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :

thẳng d ' :

x −1 y − 7 z − 3
=
=
với đường
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
=
=
3
−2
1

(Bài này HS chỉ cần giải tương tự bài mẫu)
 x = 2t

x y z

Bài 3: Cho hai đường thẳng: d : = = ; d ' :  y = m − t . Tìm m để d cắt d’
1 2 3
 z = 1 + mt


8


(Bài này đòi hỏi HS phải biết vận dụng linh hoạt về kiến thức và phương pháp
giải)
Thực hiện quy trình rèn luyện các kĩ năng giải toán theo bốn bước như sau:
Bước 1: Trước mỗi dạng toán cần tóm tắt các kiến thức cơ bản cần nhớ
(khái niệm, tính chất, định lý…)
Bước 2: Hình thành và rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (tri thức
phương pháp) bằng cách: GV minh họa qua các ví dụ, chỉ rõ từng bước thực
hiện, từ đó rút ra phương pháp làm với dạng toán đó, cùng với những điểm nhấn
về kiến thức và những lưu ý cần thiết để tránh những sai lầm.
Bước 3: Cho HS luyện tập qua một hệ thống các bài toán tương tự, nâng
dần về kiến thức, từ dễ đến khó, đủ các dạng, chú ý sửa các sai lầm HS có thể
mắc phải.
Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận
dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán.
Quy trình rèn luyện, hình thành các kĩ năng giải toán vận dụng vào từng nội
dung, đơn vị kiến thức được thể hiện qua hệ thống các ví dụ như sau:
- Nhóm ví dụ thứ nhất: GV vừa giảng dạy, vừa phân tích giúp HS tái hiện
kiến thức, kĩ năng cũ, đồng thời tiếp cận kiến thức, kĩ năng mới.
- Nhóm ví dụ thứ hai: Là những ví dụ tương tự, học viên trình bày bài giải
của mình, GV cùng HS phát hiện, bổ sung và sửa chữa những thiếu sót (nếu có)

trong bài làm của HS.
- Nhóm ví dụ thứ 3: HS làm việc độc lập hoặc theo nhóm, GV theo dõi nắm
bắt tình hình nhận thức của HS từ đó có những điều chỉnh kịp thời.
- Nhóm ví dụ thứ 4: Là những bài tập tương đối khó, đòi hỏi mức độ tư duy
cao được dành cho các đối tượng HS khá, giỏi.
Lưu ý: Tùy theo đối tượng HS mà GV lựa chọn các nhóm ví dụ cho phù hợp.
Trong đề tài này để rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình đường thẳng
trong không gian chúng tôi quan tâm đến việc phân chia một số dạng toán về
phương trình đường thẳng trong không gian ở một số dạng sau đây:
(Phụ lục 1)
9


1. Rèn luyện kĩ năng giải toán về xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
trong không gian
1.1. Kiến thức cơ bản:
Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
r

r

Cho a = ( x1 ; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 )
r r y z
z x
x y
 a, b  =  1 1 ; 1 1 ; 1 1
 
Khi đó:
 y2 z2 z2 x2 x2 y2
r r

• Hai vectơ a , b cùng phương

.

r r


÷


r r
r
⇔  a, b  = 0
r r

r

• Hai vectơ a , b không cùng phương ⇔  a, b  ≠ 0
r r r
r rr


⇔
a
• Ba vectơ a, b,c đồng phẳng
 , b  .c = 0
r r r
r rr
• Ba vectơ a, b,c không đồng phẳng ⇔  a, b  .c ≠ 0

Chứng minh hai vectơ cùng phương
•
•

Cách 1: •
Cách 2: •
•

•

Các

•

h 3:

r
r
r
r r r
a và b cùng phương ⇔ a = k .b b ≠ 0

(

)

x1 y1 z1
r
r
=

=
(với x2 , y2 , z2 ≠ 0 )
a và b cùng phương ⇔
x2 y2 z2
x2 y2 z2
r
r
=
=
(với x1 , y1 , z1 ≠ 0 )
a và b cùng phương ⇔
x1 y1 z1
r r
r
r
r


⇔
a
,
b
=
0
a và b cùng phương
 

Các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian (Phụ lục 2)
1.2. Những lưu ý khi giảng dạy:
Giáo viên cần xác định một số kĩ năng học sinh cần rèn luyện:

- Kĩ năng xác định VTCP của đường thẳng, kĩ năng lấy 1 điểm thuộc đường
thẳng.
- Kĩ năng tính toán (tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ).
- Kĩ năng xét sự cùng phương của hai vectơ. Kĩ năng xét sự đồng phẳng của ba
vectơ.
- Kĩ năng giải hệ PT.
Giáo viên thiết kế bài soạn nội dung cách xét vị trí tương đối của hai
10


đường thẳng d và d’ có thể lựa chọn, thông qua các câu hỏi sau:
Câu 1: Nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian? (GV nên
kết hợp sử dụng hình vẽ và cho HS lấy VD trong thực tế minh họa các vị trí
tương đối - Phụ lục 2)
Câu 2: Cho hai đường thẳng d và d ’ lần lượt đi qua hai điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ,
r
r ur
r
ur
M ' ( x ' 0 ; y '0 ; z '0 ) và có VTCP lần lượt là a = ( a; b; c ) , a ' = ( a ' ; b' ; c ' ) . Đặt n =  a, a '  .



Hãy điền kết quả vào bảng sau:
Các trường hợp
d // d

r r
n = 0


 M ∉ d '

’

d ≡ d’
d cắt d’
d và d’ chéo nhau
d ⊥ d’

Điều kiện

Từ đó nêu thuật toán (các bước) “Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
trong không gian”
Câu 3: Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình như sau:
 x = x0 + at

d:  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


 x = x '0 + a ' t '

và d’:  y = y '0 + b ' t ' . Xét hệ PT
 z = z ' + c 't '
0


 x0 + at = x '0 + a ' t ' (1)


 y0 + bt = y '0 + b ' t ' (2) (*) gồm
 z + ct = z ' + c ' t ' (3)
0
 0

PT của hai đường thẳng nói trên.
Hãy hoàn thiện thông tin trong bảng sau:
Hệ (*)
Vô số nghiệm

r ur

Quan hệ giữa a , a '

Vị trí giữa d , d’

Cùng phương

d ≡ d'
d / /d '

d cắt d’
Không cùng phương d, d’ chéo nhau
Từ đó rút ra thêm phương pháp khác xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
trong không gian?
Đáp án:
Câu 1: Trùng nhau, chéo nhau, cắt nhau, song song
11

Câu 2:
Các trường hợp
d // d’
d ≡ d’

Điều kiện

r r
r ur
n = 0
(Tức là a,a ' cùng phương và M ∉ d ' )

 M ∉ d '
r r
r
r
n = 0
a = k a '
⇔

 M ∈ d '
 M ∈ d '

r ur
(Tức là a,a ' cùng phương và M ∈ d ' )
d cắt d’
d và d’ chéo nhau
d ⊥ d’

r r

n ≠ 0
r
 r uuuuu
'
n
.
MM
=0

r
r uuuuu
n.MM ' ≠ 0
ur ur'
a.a = 0

*) Thuật toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:
Bước 1: Thực hiện:

r

Từ phương trình đường thẳng d xác định một VTCP a và một điểm M ∈ d .
ur

Từ phương trình đường thẳng d’ xác định một VTCP a ' và một điểm M ' ∈ d ' .
Bước 2: Kiểm tra:
r ur

Nếu a , a ' cùng phương và M ∉ d ' thì d // d’
r ur

Nếu a , a ' cùng phương và M ∈ d ' thì d ≡ d’
r ur

Nếu a , a ' không cùng phương thì chuyển sang bước 3
ur uuuuur
 ar , a '  MM '
Bước 3: Tính 


ur uuuuur
 ar , a '  MM '
Nếu 
= 0 thì kết luận d, d’ cắt nhau



ur uuuuur
 ar , a '  MM ' ≠
Nếu 
0 thì kết luận d, d’ chéo nhau




Câu 3:
Hệ (*)
Vô số nghiệm
Vô nghiệm
Có 1 nghiệm
Vô nghiệm

r ur

Quan hệ giữa a , a '

Vị trí giữa d, d’

Cùng phương

d ≡ d'
d / /d '

Không cùng
phương
12

d cắt d’
d , d’ chéo nhau


Cách 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
 x0 + at = x0 ' + a ' t ' (1)

'
Giải hệ phương trình d và d’:  y0 + bt = y0 + b ' t ' (2) (*)

'
 z0 + ct = z0 + c ' t ' (3)

- Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì d cắt d’

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì d trùng với d’.
r ur

- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' cùng phương thì d song song với d’
r ur

- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' không cùng phương thì d, d’ chéo nhau
Chú ý:
- Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm PT (1) và (2) (Hoặc (1) và (3), hoặc (2) và (3)),
rồi thế t và t’ vào PT còn lại.
- Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (hoặc trùng nhau) thì ta chỉ cần
giải hệ PT (*) với 1 nghiệm duy nhất tìm được (Hoặc hệ có vô số nghiệm) mà
không nhất thiết phải xét mối quan hệ giữa hai VTCP.
- Nếu bài toán yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, đồng thời tìm giao
điểm của hai đường thẳng đó thì ta lựa chọn cách 2 để lời giải được ngắn gọn:
vừa xét được vị trí tương đối, vừa tìm được giao điểm của hai đường thẳng trong
trường hợp cắt nhau.
- GV chú ý cho HS cách lấy một điểm thuộc đường thẳng d:
* Ý nghĩa của tham số t:
+ Ứng với mỗi một giá trị cụ thể của tham số t cho ta tọa độ một điểm thuộc
đường thẳng.
+ Ứng với mỗi điểm thuộc đường thẳng ta tìm được một giá trị tham số t tương
ứng.
 x = x0 + at

* Như vậy, từ PTTS của đường thẳng d:  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


cho t = 0 ⇒ M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d (hoặc cho t một giá trị tùy ý khác)
+

Nếu

đường

thẳng

d

là

giao
13

tuyến

của

hai

mặt

phẳng


( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( Q ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 thì cho

x = 0 , giải hệ

phương trình gồm phương trình hai mp (P), (Q) với x = 0 tìm được y, z ⇒ tọa độ
M ∈ d (Cũng có thể cho y = 0 hoặc z = 0 hay một giá trị tùy ý khác).

* GV hướng dẫn HS lập sơ đồ tư duy “Cách xét vị trí tương đối của hai đường
thẳng trong không gian” để học sinh dễ dàng ghi nhớ cách làm (Phụ lục 3)
Sau đó GV cho HS thực hiện các hoạt động sau:
1.3. Ví dụ
* Bài toán về hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
Tổ chức cho học sinh luyện tập
PHIÊU HỌC TẬP
 x = −1 + t

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:  y = 3 − t với các đường thẳng:
 z = 3t

x = 2 + t '

'
a) ∆1 :  y = 8 − 2t
 z = 1 + 4t '


 x = 1 + 2t '

'
b) ∆ 2 :  y = −2t
 z = 3 + 6t '


 x = −1 − 2 s

c) ∆ 3 :  y = 4 + s
 z = −1 + 3s


Giải

r
ur
a) Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP a của d và VTCP a ' của ∆1
r
ur
Đường thẳng d có VTCP a = ( 1; −1;3) . Đường thẳng ∆1 có VTCP a ' = ( 1; −2;4 )

Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương
r ur

Ta thấy a , a ' không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau hoặc chéo nhau
Bước 3: Lấy M ( −1;3;0 ) ∈ d , N ( 2;8;1) ∈ ∆1 .
r ur'
uuuu
r
uuuu
r  r ur' 


a
,
a

a, a = 0 nên d và ∆1 cắt nhau
Ta có: MN = (3; 5; 1), 
 = (2; -1; -1); MN 

−1 + t = 2 + t ' ( 1)

Cách 2: Xét hệ phương trình: 3 − t = 8 − 2t ' ( 2 ) (I)

3t = 1 + 4t ' ( 3)
t − t ' = 3
t = 11
⇔
Từ ( 1) và ( 2 ) ta có: 
. Thay t và t ' tìm được vào PT ( 3) ta
'
'
−t + 2t = 5
t = 8

14


được: 3.11 = 1 + 4.8 (luôn đúng). Chứng tỏ hệ PT ( I ) có một nghiệm duy nhất
Vậy d và ∆1 cắt nhau.
Cần nhớ:
−1 + t = 2 + t ' (1)

• Hệ phương trình: 3 − t = 8 − 2t ' (2) có hai ẩn là t và t’. Nghiệm của hệ PT
3t = 1 + 4t ' (3)


là cặp giá trị t, t’ thỏa cả ba PT (1), (2), (3).
• Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm PT (1) và (2) hoặc (1) và (3) hoặc (2) và
(3). Rồi thế t và t’ vào PT còn lại.
b) Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP của hai đường thẳng d và ∆ 2
r

r

d có VTCP a = (1; −1;3) , ∆ 2 có VTCP u2 = (2; −2;6) .
Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương

r
r uu
r
r
u2 = 2a nên a, u2 cùng phương. Do vậy d và ∆ 2 song song hoặc trùng nhau

Bước 3: Lấy M ( −1;3;0 ) ∈ d , thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng

t ' = −1
−1 = 1 + 2t


3

'
∆ 2 ta được: 3 = −2t
⇔ t ' = − . Chứng tỏ M∉ ∆ 2 . Suy ra: d // ∆ 2
2

0 = 3 + 6t '


1
'
t = − 2
−1 + t = 1 + 2t '
t − 2t ' = −2 (1)


'
⇔ t − 2t ' = 3
(2)
Cách 2: Xét hệ phương trình: 3 − t = −2t
3t = 3 + 6t '
3t − 6t ' = 3
(3)


'

Từ (1) và (2) ta thấy ngay hệ vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và ∆ 2 song
song hoặc chéo nhau.
r

r

d có VTCP a = (1; −1;3) , ∆ 2 có VTCP u2 = (2; −2;6) .
r
r uu

r
r
u2 = 2a nên a, u2 cùng phương. Do đó d và ∆ 2 song song với nhau.

c) Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP của hai đường thẳng d và ∆ 3
r

r

Đường thẳng d có VTCP a = ( 1; −1;3) . Đường thẳng ∆ 3 có VTCP u3 = (−2;1;3)
Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương
r
r uu

Ta thấy a , u3 không cùng phương nên d và ∆ 3 cắt nhau hoặc chéo nhau
15


Bước 3: §êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (−1;3;0)
§êng th¼ng ∆ 3 ®i qua ®iÓm M '(−1;4; −1)
r uu
r

uuuuur

r uu
r uuuuur

Ta cã MM ' = (0;1; −1) ,  a,u3  = (−6; − 9; − 1) , do ®ã  a, u3  MM ' = −8 ≠ 0
VËy d vµ ∆ 3 chÐo nhau.

−1 + t = −1 − 2 s
t + 2 s = 0 (1)


⇔ t + s = −1 (2)
Cách 2: Xét hệ phương trình: 3 − t = 4 + s
3t = −1 + 3s
3t − 3s = −1 (3)



Giải (1) và (2) được t = -2, s = 1, thay vào (3) được -9 = -1 (Vô lí).
Chứng tỏ hệ vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và ∆ 3 song song hoặc chéo
nhau

r
r
a
d có VTCP (1; −1;3) , ∆ 3 có VTCP u3 = (−2;1;3) .
r uu
r
Ta thấy a, u3 không cùng phương nên d và ∆ 3 chéo nhau
 x = −3 + 2t

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:  y = −2 + 3t và d’:
 z = 6 + 4t


x = 5 + t '


 y = −1 − 4t ' cắt nhau.
 z = 20 + t '


Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng
x = t

d:  y = 2 + t và d’:
z = 1+ t


 x = 2t '

'
 y = -2 + 2t song song với nhau.
 z = -5 + 2t '


Bài 4: (Bài toán về phương trình đường thẳng chứa tham số):
x y z
Cho hai đường thẳng: d : = =
1 2 3

Tìm m để: a) d // d’

 x = 2t

d ': y = m −t , m∈¡
 z = 1 + mt



b) d cắt d’

c) d chéo d’

Giải

r
ur
Ta có u (1;2;3), u '(2; −1; m) lần lượt là các véc tơ chỉ phương của d và d’

a) Ta thấy

r
ur
1 2
≠
nên u và u ' không cùng phương, do vậy không có giá trị nào
2 −1

của m để d / /d’

16


x = t '

b) Phương trình đường thẳng d viết dưới dạng tham số:  y = 2t '
 z = 3t '



(1)
t ' = 2t

Cách 1: d cắt d’ khi và chỉ khi hệ 2t ' = m − t (2) có nghiệm duy nhất.
3t ' = 1 + mt (3)

4t = m − t
m = 1
⇔ m 2 − 6m + 5 = 0 ⇔ 
6t = 1 + mt
m = 5

Thay (1) vào (2), (3) ta được 

Cách 2: Đường thẳng d đi qua M(0;0;0), đường thẳng d’ đi qua M’(0;m;1)
uuuuur
r ur
MM ' = (0; m;1), u , u ' = (2m + 3;6 − m; −5)
r ur uuuuu
r
 u, u '  .MM ' = 0


Ta có d cắt d’ ⇔  r ur r
 u, u '  ≠ 0 (HiÓn nhiªn)
m = 1
⇔ m(6 − m) − 5 = 0 ⇔ − m 2 + 6m − 5 = 0 ⇔ 
m = 5

r ur uuuuur
m ≠ 1
2
c) d, d’ chéo nhau ⇔ u, u ' .MM ' ≠ 0 ⇔ −m + 6m − 5 ≠ 0 ⇔ 
m ≠ 5

Nhận xét: Cũng giống như các bài toán có tham số khác trong đại số, giải tích,
lượng giác,…các bài toán có tham số trong hình học nói chung và phương trình
đường thẳng nói riêng đều tuân thủ theo quy tắc giải một bài toán hình học
thuần túy, rồi sau đó tìm các giá trị thích hợp của tham số để thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương
trình sau đây: a) d :

x −1 y − 7 z − 3
=
=
,
2
1
4

x = t

b) d :  y = 2 − 4t
 z = −3 − 3t


x = t '


d ' :  y = 1 − 4t '
 z = −3 − 3t '


d ':

x − 6 y +1 z + 2
=
=
3
−2
1

x = 1 + t
x+2 y+3 z

=
=
d ' :  y = −2 + t
c) d :
1
2
3
 z = 2 + 3t


 x = −7 + 3t
x − 1 y + 9 z + 12


=
=
Bài 2: Cho 2 đường thẳng d :  y = 4 − 2t d ' :
1
2
−1
 z = 4 + 3t


17


Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau
Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:
x −1 y z
d:
= =
1
2 4

 x = 2 + mt

d ' :  y = −1 − 3t
 z = 2 + (m − 4)t


Xác định m để d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau
Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:
x − 2 y +1 z +1
d:

=
=
3
2
4

 x = 1 + 6t

d ' :  y = 3 + 4t . Xác định m để d song song với d’
 z = mt


Bài 5: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:
d:

x + 1 y −1 z + 2
=
=
2
1
1

d ':

x+3 y−n
=
= z−m
3
2

Xác định m, n để d, d’ cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc mặt cầu:
( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 9

Đáp số: Bài 1: a) cắt nhau, b) song song, c) chéo nhau
r ur uuuuur
−6
Bài 2: Tính u, u ' .MM ' = −238 ≠ 0 ; Bài 3: m ≠ ; Bài 4: m = 8
5

Bài 5: m = -2, n = -1 hoặc m = −

23
4
,n = −
9
9

* Bài toán về hai đường thẳng vuông góc

uu
r uur

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ⇔ ad .ad = 0
'

 x = 2t '
x = t


'

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:  y = 2 - 3t và d’:  y = 2 + 2t vuông góc
 z = 1 + 2t '
 z = 1 + 2t



với nhau
Giải

r

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1; −3;2 ) .
ur

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a ' = ( 2;2;2 ) .
r ur

Ta có: a.a ' = 1.2 − 3.2 + 2.2 = 0
Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau.
18


x = 2 + a t'
x = 2 + t


'
Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y = -2 + t , d ' :  y = -1 + 2t . Tìm a để d và d’
z = t
 z = 3 - 3t '




vuông góc với nhau.
Giải

r

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1;1;1) .
ur

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a ' = ( a;2; −3)
r ur

d và d’ vuông góc với nhau ⇔ a.a ' = 0 ⇔ 1.a + 2.1 − 3.1 = 0 ⇔ a = 1
Từ hai bài tập trên GV yêu cầu HS tự rút ra phương pháp chứng minh hai
đường thẳng vuông góc.
Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta đi
chứng minh tích vô hướng của hai VTCP của hai đường thẳng đó bằng 0.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:
x −1 y z
d:
= =
1
2 4

 x = 2 + mt

d ' :  y = −1 − 3t

. Xác định m để d ⊥ d '
 z = 2 + (m − 4)t


Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:
x − 2 y +1 z +1
d:
=
=
3
2
4

Đáp số: Bài 1: m =

 x = 1 + 6t

d ' :  y = 3 + 4t . Xác định m để d ⊥ d '
 z = mt


22
26
; Bài 2: m = −
5
4

2. Rèn luyện kĩ năng giải toán về viết phương trình đường thẳng trong
không gian liên quan đến yếu tố định tính
Trong phần này chúng tôi chủ yếu đề cập đến bài toán “Viết phương trình của

một đường thẳng trong không gian” mà phương pháp chung nhất là đi xác định
đủ hai yếu tố: một vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc
đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa (trang 83 sách giáo khoa
Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng. Hoặc nếu lập được phương
trình hai mp chứa đường thẳng đó thì bằng cách tham số hóa một thành phần tọa
19


độ để tìm hai thành phần tọa độ còn lại theo tham số ta sẽ có được phương trình
đường thẳng cần tìm. Dưới đây là một số vấn đề thường gặp của bài toán trên:
2.1. Viết phương trình đường thẳng biết yếu tố song song
Trong phần này sáng kiến đề cập đến việc rèn luyện kĩ năng viết PTĐT mà việc
xác định một VTCP của đường thẳng được tiến hành bằng một số cách làm sau:
Cách 1: Tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần viết
phương trình.
Cách 2: Sử dụng tích vô hướng để tìm VTCP của đường thẳng.
Cách 3: Tìm VTCP, tìm điểm thuộc đường thẳng liên quan đến xét sự cùng
phương của hai vectơ (Tức là từ việc phân tích giả thiết ta sẽ thấy xuất hiện hai
vectơ cùng là VTCP của đường thẳng cần viết phương trình).
2.1.1. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến việc tìm VTCP theo định
nghĩa (Tức là tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần
viết PT).
a) Kiến thức cơ bản:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
r

r

r

* u ≠ 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d.
r

r

* u là VTCP của d thì k u cũng là VTCP của d ( k ≠ 0)
Phương trình của đường thẳng :

r

Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0 )∈ d và VTCP của d là u (a; b; c) thì :
 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


( t là tham số)

* Phương trình chính tắc của d là :

(a.b.c ≠ 0 )

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b

c

Các kiến thức khác:
* Cho điểm A = ( x A ; y A ;z A ) và điểm B = ( xB ; yB ;z B )
uuu
r

- Vectơ AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A )
 x A + xB y A + y B z A + z B 
;
;
÷
2
2 
 2

- Toạ độ trung điểm I của AB là I = 
20


b) Những lưu ý khi giảng dạy:
- Đây là lớp bài toán cơ bản, đầu tiên về viết PT đường thẳng mà bất cứ HS nào
cũng đều phải làm được để có thể đạt điểm trong kì thi tốt nghiệp, trong đó điều
quan trọng nhất là HS phải xác định được đủ 2 yếu tố để viết được PTĐT, đó là
một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP. Vì vậy, GV cần hướng dẫn kỹ cho
HS một số trường hợp cơ bản sau đây để xác định toạ độ VTCP của một đường
thẳng:
 x = x0 + at

TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số d :  y = y0 + bt thì d có một

 z = z + ct
0

r
VTCP là u ( a; b; c ) .

TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng chính tắc
r

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

(a.b.c ≠ 0 ) thì d có một VTCP là u ( a; b; c ) .
uuu
r

TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có một VTCP là AB
r

uu
r uu
r

TH4: Nếu d / / ∆ thì d có một VTCP là u = u∆ (u∆ là VTCP của đường thẳng ∆ )
r

uur uur

TH5: Nếu d ⊥ ( P ) thì d có một VTCP là u = nP (nP là VTPT của mặt phẳng (P))
c) Ví dụ:
PHIẾU HỌC TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS và phương trình chính
r

tắc của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là u =(-3;2;-1)
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
biết d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của
x = 2 + t

đường thẳng d biết d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’  y = 3 + 2t
 z = 5 − 3t


Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d
biết d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với ( α ): 2x - 3y – 6z + 19 = 0
Giải bốn bài tập trên. Từ đó rút ra phương pháp giải dạng toán này?
21


+ GV hướng dẫn HS (khi cần thiết) phân tích các yếu tố đã cho của đường
thẳng và cách tìm các yếu tố còn lại rồi cho HS kết luận vấn đề:
Dạng toán
Dạng 1 : Viết phương trình đường

Lời giải bài tập

 x = −2 − 3t

thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) Bài 1: PTTS của d là :  y = 1 + 2t
 z = −4 − t
r

và có VTCP u = (a; b; c)

Phương trình chính tắc của d là:

Phân tích: + Yếu tố điểm: M
r

x + 2 y −1 z + 4
=
=
−3
2
−1

+ VTCP: u

Dạng 2: Viết PTTS của đường thẳng Bài 2: Do d đi qua A và B nên một
uuu
r

d biết d đi qua hai điểm A, B cho VTCP của d là AB =(-3; 0; 3)
trước.
Phân tích: + Yếu tố điểm: A hoặc B

r

uuu
r

 x = 1 − 3t

⇒ PTTS của d là  y = 2
 z = −3 + 3t


+ VTCP: u = AB
Dạng 3: Viết PTĐT d đi qua điểm M Bài 3: Do d // d’ ⇒ d có 1 VTCP là
và song song với đường thẳng d’
Phân tích: + Yếu tố điểm: M

r
uur
+ VTCP: Do d / / d ' ⇒ u d = ud '

(Ta chọn VTCP của đường thẳng cần

r
u = (1; 2; -3)

x = 2 + t

⇒ PTTS của d là:  y = −5 + 2t
 z = 3 − 3t


tìm là VTCP của đường thẳng d’)
r
Dạng 4 : Viết PTĐT d đi qua điểm M Bài 4: VTPT của ( α ) là n (2;-3;-6).
r

và vuông góc với mp ( α ).

Do d ⊥ ( α ) nên d nhận n là VTCP

Phân tích: + Yếu tố điểm: M

 x = −2 + 2t

⇒ PTTS của d là  y = 4 − 3t
 z = 3 − 6t


r uur
+VTCP: Do d ⊥ ( α ) ⇒ u = nα (VTPT

của ( α ) là VTCP của đường thẳng d)
Nhận xét: Qua ba bài tập 2, 3, 4 cho ta thấy bài toán viết PTĐT ở dạng trên
r

không cho sẵn tọa độ VTCP u ngay mà phải dựa vào các giả thiết khác nhau để
suy ra tọa độ VTCP. Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh tầm quan trọng của
việc nắm một số trường hợp cơ bản để xác định VTCP của đường thẳng đã nêu
trên.Gv nên kết hợp cả hình vẽ để làm rõ các trường hợp trên (Phụ lục 4)
d) Bài tập tương tự:

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai điểm A(0;2;1) và B(1;-1; 3)
22


Viết PTTS của đường thẳng AB (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 1 năm 2007)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng (α ) có
phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆ ) đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng (α ) . (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường
thẳng ∆ biết ∆ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với đường
x = 3+ t

thẳng d :  y = 4 − 5t , với A ( 3; − 2; −1) , B ( 7;0; −1)
 z = −1 + 2t


2.1.2 Viết PT đường thẳng liên quan đến việc tính tích vô hướng (Sử dụng tích
vô hướng để tìm VTCP của đường thẳng).
a) Kiến thức cơ bản:
uu
r

*Mối quan hệ giữa VTCP ud của đường thẳng d với:
ur

uu
r

ur

- VTCP u1 của d1 khi d ⊥ d1 : ud ⊥ u1

uu
r

r

r

- VTPT n của mặt phẳng ( P ) khi d / / ( P ) hoặc d ⊂ ( P ) : ud ⊥ n
r

r

rr

- a ⊥ b ⇔ a.b = 0
* Cách tìm một điểm trên một đường thẳng thỏa mãn một điều kiện cho trước
- PTTS của đường thẳng cho ta dạng tọa độ của mọi điểm thuộc đường thẳng đó.
Do vậy, tìm một điểm thuộc đường thẳng quy về tìm một giá trị của tham số.
Như vậy để tìm một điểm thuộc đường thẳng d thỏa mãn một điều kiện cho
trước ta cần:
 x = x0 + at

+ Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng tham số:  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


+ Điểm M thuộc đường thẳng d thì M có tọa độ dạng ( x0 + at; y0 + at; z0 + at )
b) Những lưu ý khi giảng dạy :
- Với dạng toán này, GV có thể thiết kế phiếu học tập dưới dạng như sau để học
23


sinh phát hiện vấn đề, từ đó rút ra phương pháp giải cho dạng toán mà trong đó
để tìm được tọa độ VTCP của đường thẳng ta sử dụng tích vô hướng. Tức là từ
giả thiết đã cho lập được một PT ẩn t, giải PT này ta tìm được một giá trị của t
ứng với một điểm thuộc đường thẳng cần viết PT.
PHIẾU HỌC TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi
qua A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho bởi:
x = 1− t

d1:  y = t
và d2 :
 z = −1


 x = 2u

 y = 1+ u
z = u


(t, u là tham số)

Câu hỏi 1: Phân tích các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm để viết PTĐT d ?
Câu hỏi 2: Giả sử d cắt d 2 tại B. Hãy xác định dạng tọa độ của điểm B phụ

uuu
r

thuộc một giá trị tham số? Có nhận xét gì về giá của vectơ AB so với đường
thẳng d 1 ?
Câu hỏi 3: Nêu mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng d với VTCP của
đường thẳng d 1 ?
Câu hỏi 4: Rút ra phương pháp giải?
Câu hỏi 5: Tìm cách giải khác?
- Phần này đề tài đề cập đến 2 dạng toán cơ bản và một bài toán khác mà GV
cần chú ý, nhấn mạnh cho HS thấy được mỗi dạng sau là sự thay đổi một giả
thiết của dạng toán trước. Trước mỗi dạng toán, GV cần hướng dẫn HS phân
tích, sau đó tìm phương pháp giải.
c) Ví dụ:
Dạng 1 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với
đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 (Bài tập 1 trong phiếu học tập)
Phân tích: + Yếu tố điểm: A
r

uuu
r

+ VTCP: u d = AB với B là giao điểm của d với d2. Để tìm tọa độ điểm
uu
r ur

B ta giải phương trình một ẩn được thiết lập từ giả thiết d ⊥ d1 ⇔ ud .u1 = 0
Phương pháp :
Cách 1: Chuyển phương trình của d2 về dạng tham số
Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số

24


Gọi B = d ∩ d 2 , khi đó B ∈ d 2 nên suy ra tọa độ của điểm B theo tham số t ⇒
uuu
r

toạ độ AB theo tham số t.
Bước 2: Tìm giá trị tham số

uuu
r ur
⊥
AB
.u1 = 0 . Giải PT nếu tìm ra giá trị tham số t ⇒ toạ độ VTCP
Vì d d1 nên
uuu
r
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn đi qua A và nhận AB là

VTCP
Cách 2:
Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d1
Bước 2: Tìm giao điểm B (nếu có) của mp (P) và d2
- Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm
- Nếu có vô số giao điểm ( d 2 ⊂ ( P ) ) thì kết luận có vô số đường thẳng
trong mp (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1
- Nếu có duy nhất một giao điểm thì thực hiện bước 3
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d chính là đường thẳng AB
Cách 3: (Đề cập sâu ở dạng 1 mục 2.2.3 của luận văn)

Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d1
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và chứa d2
Bước 3: Kết luận:
Nếu (Q) ≡ (P) thì bài toán có vô số nghiệm.
Nếu (Q) cắt (P) thì xét d = (Q) ∩ (P). Nếu d cắt d2 thì đường thẳng d là đường
thẳng cần tìm. Nếu d // d2 thì bài toán vô nghiệm.
Lời giải bài tập 1 (GV hướng dẫn HS làm theo các bước):
Cách 1: Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số
Giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d2 tại B, khi đó B ( 2u; 1 + u; u ) ⇒
uuu
r
AB = ( 2u; u; u − 1) là một VTCP của đường thẳng d.

Bước 2: Tìm giá trị tham số
ur

d1 có một VTCP là: u1 (-1;1;0).
uuu
r ur

uuu
r

Vì d ⊥ d1 nên ta có: AB.u1 = 0 ⇔ u = 0 ⇒ AB (0;0;-1)
25