13 DẠNG TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a
2. Nhận xét: Nếu a là một VTCP của (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆)

vn
.co
m

tức là (∆) có vô số VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x 0, y 0, z0)
 x = x 0 + a1t

và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )

 z = z 0 + a 3 t

2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)
x − x0 y − y 0 z − z 0
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :
=
=
a1
a2
a3
3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2
tuyến của hai mặt phẳng 
 A2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0

4. Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2):

ma
th

x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc:
( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 )
Cho (∆): 
( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
n1 = ( A1 , B1 , C1 )

⇒VTPT của hai mặt phẳng là 
⇒ VTCP a =  n1 , n 2 
n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 )

Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒

x − x0 y − y 0 z − z 0

.
=
=
a1
a2
a3

Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số.

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )

vn
.co
m

Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau.
Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) cắt nhau.
( ∆ 1 )
[u , v ] ⋅ M M = 0
1
2



Nếu 
và hệ phương trình của 
vô nghiệm
( ∆ 2 )
 a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3

thì (∆1), (∆2) song song nhau.

( ∆ 1 )
[u , v ] ⋅ M M = 0
1
2


Nếu 
và hệ phương trình của 
có nghiệm
 a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3
( ∆ 2 )

thì (∆1), (∆2) trùng nhau.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

ma
th

Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C )

Nếu n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) cắt (α).
Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α).
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) // (α).
 M 0 ∉ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) ⊂ (α).
 M 0 ∈ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho

(∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )

(( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi:

cos ϕ =

u ⋅v
=
u ⋅v

a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

vn
.co
m

Góc giữa

a 12 + a 22 + a 32

b12 + b 22 + b 32

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 với VTPT n = ( A, B, C )

Góc giữa ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi:
sin ϕ =

u ⋅n
=

u ⋅ n

aA + bB + cC

2

2

a + b + c2

A2 + B 2 + C 2

3. Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2):
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:
cos ϕ =

n1 .n2
n1 n2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

ma
th

V. KHOẢNG CÁCH

với n1 , n 2 là 2 VTPT của (α1), (α2).

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Cho (∆) đi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) . Khoảng cách từ điểm
M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) =

u ⋅ M 0 M 1 
u

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,

(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )
Giả sử ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi đó d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) =

[ u , v ] ⋅ M 1M 2
[u , v ]

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d ( M , α) =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng
( ∆ )
hoặc sử dụng dấu hiệu nhận

( α )

vn
.co
m

( ∆ 1 )

Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi 
;
( ∆ 2 )

biết qua hệ thức của các véctơ

Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:
 x = 9t

( ∆ 1 ) :  y = 5t

 z = −3 + t
x − 2 y + 3 = 0

( ∆ 1 ) : 

 2 x + 3 y = 0

2 x − 3 y − 3z − 9 = 0

( ∆ 2 ) : 

 x − 2 y + z + 3 = 0

;

 y + 2z − 8 = 0

( ∆ 2 ) : 

 x + z − 8 = 0

 x = 1 + 2t

Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈ » ) với mặt

 z = 1 + t

ma
th

phẳng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0

 x + y + z − 2 = 0
Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) : 
với mặt
 x + 2 y − z − 1 = 0

phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0

Bài 4. Cho 3 đường thẳng:

 x = 3t
y+2

( ∆ 1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1− 1 = 4 = z −3 2 ,
z = 5 + t


 x − y + 3z − 3 = 0

( ∆ 3 ) : 

 2 x − y + z + 1 = 0

a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆ 3)

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
α)

2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (α
Phương pháp:
Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α)
Giao điểm H của (∆ ) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α)
Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0
3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α
α)

vn
.co
m

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α ).

Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )

Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α):
x + y – 3z + 5 = 0

4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆
∆)
Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ).

Giao điểm H của (∆) và (α ) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)
Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t.

MH ⊥ u là véctơ chỉ phương của (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H

Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆):

{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t}

ma
th

5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆
∆)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆ )

Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )

Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆):

{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t}

6. Dạng 6:

∆ ) lên mặt phẳng (α
α)
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆

Phương pháp:

TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là điểm H≡ (∆) ∩ (α )

Facebook.com/mathvcom

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là đường thẳng (∆)
TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ):
C1:

Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) và (β ) ⊥ (α ).
Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ).

C2:

Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ).
Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α ) là H1, H2.

C3:

vn
.co
m

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2
Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ). Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A.
Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α).

Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH

5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0
Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của (∆): 
 x + 2 z − 2 = 0

lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0

7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆
∆ 1) lên (α
α)
∆ 2) cắt (α
α)
theo phương (∆
Phương pháp:

TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là
điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α )

TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song:

ma
th

Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) và // (∆2 )

Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α)

7 x + y − z − 1 = 0
Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt (∆1): 
lên (α):
+
2
+
+
1

=
0
x
y
z

y +1 z + 2
x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 =
=
2
1
3

∆ ) qua M và cắt (∆
∆ 1), (∆
∆2) với (∆
∆ 1), (∆
∆ 2) chéo
8. Dạng 8: VPT đường thẳng (∆
nhau và không đi qua M

Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1)

Nếu cho (∆1) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm
Nếu (∆1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ (∆1 )

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

⇒ Phương trình (α ) qua 3 điểm A, B, M.
Nếu (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α )
Nếu MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng
cần tìm là (∆) ≡ MN.
Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1),
mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 )
Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường

vn
.co
m

thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆1 ) hoặc (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.

 y − 2 = 0
Bài 1. VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1): 
,
 2 x − z − 5 = 0
(∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}

∆ ) cắt (∆
∆ 1), (∆
∆ 2) và song song với (∆
∆ 3)
9. Dạng 9: VPT đường thẳng (∆
Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆3 ),
mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) và // (∆3 )

Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm.

Nếu (∆ ) // (∆ 1) hoặc (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm.

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1 ) theo t1, của (∆ 2) theo t2.
Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2.

ma
th

Xác định t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) và song
song với (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN

Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) là giao điểm của (∆) và (∆ 1).

(∆) nhận VTCP của (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x0, y0, z0.

( ∆ )
(∆ ) cắt (∆ 2) suy ra hệ 
có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ )
( ∆ 2 )
 y − 2 = 0
Bài 1. VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1): 
, (∆2):
 2 x − z − 5 = 0

{ x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}

và // với trục Oz.

Facebook.com/mathvcom

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
y + 2 z −1
y −3 z −9
=
=
Bài 2. VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − 2 =
, (∆2): x − 7 =
3
4
1
1
2
1
y+3 z−2
và // (∆3): x + 1 =
=
3
1
−2

∆ ) qua M và vuông góc (∆
∆ 1), cắt (∆
∆ 2) trong
10. Dạng 10: VPT đường thẳng (∆
∆ 1), (∆
∆ 2)
đó M ∉ (∆
Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), mặt phẳng

vn
.co
m

(β ) qua M chứa (∆ 2)
Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường thẳng cần tìm.
Nếu (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.

y +1 z + 2
=
Bài 1. VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 =
,
2
2
1

7 x + y − z − 1 = 0
cắt (∆ 2): 
 x + 2 y + z + 1 = 0

∆ 1), (∆
∆ 2)
11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (∆
chéo nhau

a. TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2):

Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 )

Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆1 )

ma
th

⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2)

b. Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dưới dạng tham số

Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 .

MN là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆ 2)

⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN.
c. Phương pháp 2: Gọi a1 , a 2 là VTCP của (∆1 ) và (∆ 2)

⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2 

Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 )

và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA.
Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của
x + y + z − 3 = 0

( ∆1 ) :  y + z − 1 = 0


x − 2 y − 2z + 9 = 0
và ( ∆ 2 ) : 
y − z +1= 0

Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của

vn
.co
m

x = 2 + t2
 x = 1 + 2t1

( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2
 z = 1 + 3t
 z = −3 + 3t
1
2



Bài 4. VPT đường vuông góc chung của
3 x − 2 y − 8 = 0
( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}

x = 2 + t

x + 2z − 2 = 0

Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) : 
.
y − 3 = 0
 z = 2t


Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆ 1) và (∆2).
12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách
12.1. Tính khoảng cách:

y +1 z −1
Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − 1 =
=
2
1
3

Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC.

ma
th

Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
x + y = 0

( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}


Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

( ∆ 1 ) : x 1− 1 =

y −2 z −3
=
,
2
3

x + 2 y − z = 0

( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0


Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
 x + 8 z + 23 = 0

 x − 2z − 3 = 0





( ∆ 1 ) :  y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) :  y + 2 z + 2 = 0

Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α): 2x + y + z – 1 = 0

và (β):2x + y + z + 10 = 0.

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4).
Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC)
12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:
Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0.
Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4.
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến
(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA.

vn
.co
m

Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0.

2 x + y + z − 1 = 0
Tìm M∈(∆): 
sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 .
x + y + 2z + 3 = 0

Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0.
Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β)

12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:
a. Dạng 1: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để (MA + MB) min.

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng
cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d

Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó
MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B.

ma
th

Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng A qua (P).

Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B.
b. Dạng 2: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để |MA – MB| max.

Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng

cách tính các đại lượng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
Nếu t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó
|MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|.

Nếu t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P).

Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B|

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

b. Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của
các điểm A, B lên (∆ ). Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số
k=

M 0 A'
M 0B'

=−

AA '

. Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B

BB '

vn
.co
m

Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn
 A1 A ' = AA '
A A′ M A′
⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng

B1 B ′ M 0 B ′
 A1 A ' ⊥ ( ∆ )

⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B

Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3).

Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).

Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3).

Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4).

Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 để (MA + MB) min; |MA – MB| max.

ma
th

Bài 5. Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) .

x + y + z − 3 = 0
Tìm M∈ ( ∆ ) : 
sao cho (MA + MB) min.
y + z − 5 = 0

Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4).

y −1 z + 2
sao cho (MA + MB) min.
Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 =
=
1

2
−1

y−2 z −2
A(1;2; −1)
Bài 7. Cho 
Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 =
sao cho (MA + MB) min.
=
3
2
−2
B ( 7; −2;3)

Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) .
x + y + z − 2 = 0
sao cho (MA + MB) min.
Tìm M∈ ( ∆ ) : 
x − y + z − 2 = 0

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
13. Dạng 13: Các bài toán về góc
Bài 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0
Bài 2. Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1).
Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 ,

( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi (∆) là giao tuyến của (P1) và (P2).

vn
.co
m

Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3).
x = 2 + t
3 x − y − 1 = 0

Bài 4. Cho ( ∆ 1 ) : 
và ( ∆ 2 ) :  y = −1 . Tìm m để:
−
−
=
3
5
0
z
y

 z = 1 + mt


a. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 45°

b. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 60°.

Khi đó tính góc giữa (P) với (∆2) biết rằng (P) ⊥ (∆1).

(

)

Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 .
2

a. Tính góc giữa ((ABC); (ABD))
b. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC).
14. Bài mẫu. Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 =
−1

y+2 z
=
1
2

1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất;

d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

ma
th

c) MA + MB nhỏ nhất

b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất;

2. VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

3. VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
4. VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

5. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương
trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?
Giải

1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t )
2

a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44

Do đó MA + MB nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M ( −1; 0; 4 )

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
2

b. Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28
Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M ( −1; 0; 4 )
c. Ta sẽ xác định hình chiếu A1 , B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d)

)
(
− 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d )
3
3 3 3

MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 với AA1 ⊥ ( d )
3
3
3 3
MB 2 = 2 ( 3t 2

1

1

số k = −

vn
.co
m

AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ
3
3
 −2 (1 + 2 7 )
10 − 14 7 
; − 1;
= − 7 nên tọa độ của M là 


3 3 (1 + 7 ) 
BB1
 3 (1 + 7 )

AA1

d. AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)
2
2
2
S AMB = 1  AM ; AB  = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416
2
2
2
304
19
5
38
12
Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t =
.
= , khi đó M − ; ;
112 7
7 7 7
 x + y + 1 = 0
2. PT tổng quát của (d) là 
. Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
 2 y − z + 4 = 0

)

(

(d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0
2.4 − 2 + 4

= 10 = 2 5
5
2 + ( −1)
• Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 . Khi đó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .

ma
th

• Nếu a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi đó d ( A; ( P ) ) =

Suy ra d ( A; ( P ) ) =

2 5b + 3

. Xét hàm số f ( b ) =

2

2

( 5b + 3) 2
.
5b 2 + 4b + 2

5b 2 + 4b + 2
2
Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24
= 0 ⇔ b = 4 ∨b = − 3
2

5
5
2
( 5b + 4b + 2 )
Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) lớn nhất bằng 2 35 .
b →∞
6
5
6
5

()

( )

Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc đó
5
6

phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0
5
5
5
3. Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 .

Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0

Facebook.com/mathvcom

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
• Nếu a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi đó cos α = 1 .
5
• Nếu a ≠ 0 ta có thể giả sử a = 1 . Khi đó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .
b

Từ đó cos α =

. Xét hàm số g ( b ) =

b2
= cos 2 α .
5b + 4b + 2
2

1 khi b = −1
3

vn
.co
m

5b 2 + 4b + 2
4b 2 + 4b
= 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1
Ta có g ′ ( b ) =
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2
Do g ( 0 ) = 0; g ( −1) = 1 ; lim g ( b ) = 1 nên cos α lớn nhất bằng
3 b→∞
5

Kết luận: So sánh hai trường hợp trên ta thấy cos α lớn nhất hay (Q) tạo với
mặt phẳng (xOy) góc nhỏ nhất khi b = −1 . Lúc đó (Q) x − y + z − 3 = 0
4. PT (R): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 . Trục Oz có VTCP là v ( 0; 1; 0 )
Nếu a = 0 thì (R): 2 y − z + 4 = 0 thì β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = 2 .
5
Nếu a ≠ 0 ta có thể giả sử a = 1 . Khi đó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0
2
. Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + 1 = sin 2 β .
5b + 4b + 2
5b 2 + 4b + 2
2
Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = 0 ⇔ b = 2 ∨ b = − 1 .
2
( 5b 2 + 4b + 2 )

Khi đó sin β =

1 + 2b

( )

Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β lớn nhất bằng 5 , khi b = 2 .
b →±∞
6
6
2
5
Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi b = 2 . Khi đó mặt

ma
th

phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 .

5. Giả sử d 2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) .

Khi đó d ( B; d 2 ) =

 AM ; AB 

AM

=

56t 2 − 304t + 416
6t 2 − 20t + 40

2
= 28t 2 − 152t + 208
3t − 10t + 20

2
16 (11t 2 − 8t − 60 )
= 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 .
Xét u ( t ) = 28t 2 − 152t + 208 . Ta có u ′ ( t ) =
2
11
2
3t − 10t + 20

( 3t − 10t + 20 )

( )

Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d 2 lớn
11 35 b→∞
3
nhất bằng 48 khi t = −2 và nhỏ nhất bằng 4 khi t = 30 . Khi đó d 2 tương ứng
35
11
−
y
y−4 z−2
4
= z − 2 và d 2 : x − 1 =
=
có phương trình là d 2 : x − 1 =
−4
−3
−19
1
15
18

Facebook.com/mathvcom