SKKN bất ĐẲNG THỨC cô SI và các kĩ THUẬT sử DỤNG

B. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Bất đẳng thức AM – GM là viết tắt của “arithmetic and geometric
means”, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân. Cách chứng minh
hay nhất của nó là sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy)
nên nhiều người lầm tưởng rằng Cô si phát hiện ra bất đẳng thức này, và
hay gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
1. Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho
,

a1 a2

,...,

n

số thực khơng âm

a
n

và
* Thơng thường trong chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức
Cô si cho hai hoặc ba số (tức là n = 2 hoặc n = 3). Cách chứng minh hai
trường hợp cụ thể này rất đơn giản.
Một vài hệ quả quan trọng:

(

a1

1

Cho

2

n

Bất đẳng thức BCS
Cho 2 n số dương ( n
( a 1 b 1a 2 b 2

Dấu “=‟ xảy ra


Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số a 1 , a 2 , . . . , a n

v a ø b 1 , b 2 , ... , b n

1

v ơ ùi b i

0

i

1, n

ta ln có:


2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Max f
D

Min f

D

3.

Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với

các số thực a, b, c, x, y, z dương ta có:
1

a.
a

b.
c.

1

1

a

b

x2

y2

d.
x

e.

a

y

b

f.

2(a

b)

4 a3

b3

g.
a

h.

b

x2 y2

4. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của

ca b

y2z2


A

xy

x2

y2

2

zy

z2

y2

2

x2

xz

z2

2

* Phân tích:
+ Dự đốn dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

2


+ Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là căn bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng
thức AM – GM cho hai số.
+ Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy ra tại đó, ta có được :
x2

y2

2

4

4xy,x

1

yz

* Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

xy

x2

zy

z2

xz

x2

Cộng các vế của ba bất đẳng thức trên, ta được
2(x2
2A

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta ln có:

Giải: Ta có:
1

a 1b

b 1c

)
1

Ta có:

a 1b

Tương tự với 2 số hạng còn lại, suy ra BĐT đã cho tương đương với:
1

a

b 1c


a 1
1

a 1

b
a

b

Hồn tồn chứng minh được BĐT cuối ln đúng do áp dụng BĐT Cô-si cho

2 số dương. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
3

b

c

1

.


Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+ b + c = 3. Tìm giá trị

nhỏ nhất của
* Phân tích:
+ Ln lưu ý rằng khi dùng bất đẳng thức AM – GM thì bậc sẽ có xu hướng
giảm đi.
+ Do đó, để sử dụng được giả thiết, một suy nghĩ tự nhiên là bình phương
hai
vế của M lên trước khi dùng bất đẳng thức AM – GM
* Giải:

a

M

2

b

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
a

b

bc
c

b

c

ac
a

c

a

ab
b
a2
M

2

b

a2

b


3 a3 b

Suy ra M
Vậy maxM = 3 khi và chỉ khi a = b =c =1
Ví dụ 4. Cho các số thực dương a , b , c
b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015)
4


Giải : Từ:
ta có:

a2

b2

2ab

Lại có
bc
a ( 2 bc )

và a b c ( a

b

bc
a(2b

Đặt t
ab
3t2

Có
t)2

2 (1
(t
6 t (1

mà
(t

2)( 7t2

6 t (1 t ) 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thục không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá

trị lớn nhất của
* Phân tích:
- Dự đốn dầu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
- Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM trên tử được vì bậc của chúng
“chênh” nhau.
5

- Do đó, ta nghĩ đến
mẫu. * Giải
ab2c3
A
2 bc

1

2
3
2

Vậy maxA =

3

khi và chỉ khi a = b = c = 1

2

5.
Trong khn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức
Cô – si

hay những bất đẳng thức khác chúng ta phải chứng minh bất đẳng thức
tổng quát rồi mới áp dụng. Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài viết này, tôi xin
phép không chứng minh lại mà áp dụng luôn bất đẳng thức này và một số
bất đẳng thức được nói trong bài viết này.
II. CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

- Kỹ thuật tách ghép bộ số
- Kỹ thuật đổi biến số
- Phương pháp chọn điểm rơi
- Kỹ thuật nhân thêm hệ số


- Kỹ thuật hạ bậc
- Kỹ thuật cộng thêm
- Kỹ thuật Cosi ngược dấu
1. Kỹ thuật tách ghép bộ số
Đây là một kỹ thuật cơ bản nhất trong số các kỹ thuật sử dụng bất đẳng
thức cô si. Kỹ thuật này được giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên.

1.1

. Kỹ thuật tách ghép cơ bản:

Ví dụ 1. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a

b b

c

c

a

8 abc

6


Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Ví dụ 2. Cho 4 số thực dương a, b, c, d.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
ac

bd

ab c

d

ac

bd

Ví dụ 3. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
c a

c

c b

c

ab

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
c a

c

c

Ví dụ 4. Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16 ab a
Giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

16 ab ab 24 . 4 ab ab 24 .

Ví dụ 5. Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:

ac
b

2

a

b

4


Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a

b

b

a

ab

7


1.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi x > 1, ta có 4 x

1

5

x

3

.Dấu đẳng

1

thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Gợi ý: Trong bài tốn này có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo. Vì đã có số
1

hạng
x1

phải viết lại vế trái như sau: 4 x
Vì x > 1nên x – 1 > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1) và
4(x

4 x5

1)

x
1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2

2

Ví dụ 2. Cho a, b, c dương và a + b

x1

+ c2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
b2

Gợi ý

Ta có:

b3

2

2

c

3

c3
2

a

2

3

nên phần c

Lấy (1) + (2) + (3) ta được: P
Vì a2 + b2 + c2 =3
Từ (4)

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:
a2

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
8


a2

2

a2

1

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
Giải:

A

a

1

a
a

1
a

a1

1

1

2

2 a1

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
Vậy GTNN của A

a

2

Ví dụ 5. Chứng minh rằng: a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a
a

a 21


1.1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

Phép cộng:

a

b c
2

Phép nhân:

a

b

c

a

b

b

c

c

a

abc
a2b2c2

Ví dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc
9

1

. Chứng minh rằng


Giải:
bc

c

a

a

b

bc
a

a

b

c

Vậy
a

Ví dụ 2. Cho

p

a p

b

a p

b p

Giải:
p
p

2p

Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
a2

b

c

Gợi ý : Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
a2

b

c

Tương tự , cho các số hạng còn lại, cộng ba BĐT này lại với nhau ta được
điều phải chứng minh.
Nhận xét :* Phương pháp mà chúng ta làm ở trong bài toán trên người ta
thường gọi là phương pháp tách gép cặp trong BĐT Côsi. Vì sao chúng ta lại

10


a2

ghép
bc

vế phải của BĐT là một biểu thức khơng có biến ở mẫu. Vì sao ta lại ghép

b

c

mà khơng phải là b+c hay b

c

… điều này xuất phát từ điều

kiện để
4

2

đẳng thức xảy ra. Vì BĐT đã cho là một BĐT đối xứng (Tức là khi đổi vị trí
hai biến bất kì cho nhau thì BĐT khơng thay đổi) nên đẳng thức thường xảy

ra khi các biến bằng nhau và khi đó

* Nếu abc = 1 thì ta có : a

b c

3

* Phương pháp trên được sử dụng nhiều trong chứng minh BĐT
1.1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau

Với n

và x

N

1

, x

2

,...,

Chứng minh bất đẳng thức trên : Ta có với

x x

...

1 2

Với n

3

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c =
4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

và x

1

, x

2

, x

3


(x

Áp dụng (*) ta có P

b

Ví dụ 2.
Giải:

c

a

11


b

c

c

a

a

b

a

Ví dụ 3.
c2

Giải:
a

b

c
c

1

a

a

b

b

c

c
a

b

b

c

c
a
ab

Ta có
a

b

b

c

c

a

3
2

9
2

3

a


c2

Do đó
a

2. Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài tốn về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận
biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài tốn về
dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn.
Ví dụ 1. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :
x

x 28 yz

12

z

.Khi

đó a + b + c =1 và

BĐT đã

Giải: Đặt

x

y

z

c
c2

1

8 ab

cho trở thành :

a
a

2

a(a2

8 bc )

3a

8 bc

a

Áp dụng BĐT Côsi ta có :

a2

8 bc

2a

a 28 bc

Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được : 2 P

a3

b3

c3

24 abc

3

Mặt khác ta lại có :

1

(a

b

Suy ra 2 P

c)3
3

a3

(a3

b3
b3

c3
c3

3(a

b )( b

24 abc )

3

c )( c

1

2

a3

a)
P

b3

c3

1 (điều

24 abc

phải chứng minh)

Nhận xét : BĐT trên có nhiều cách chứng minh, ngồi cách chứng minh
trên cịn có những cách chứng minh khác cũng dùng BĐT Cơsi.
Cách khác : Đặt

a

Ví dụ 2. Chứng minh

b

a,b,c

0

Nhận xét: Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức
a,b,c

0:

giải được nhanh gọn bài toán trên ta phải thực hiện phép đổi biến để đưa về
bất đẳng thức nguồn ban đầu.Đặt
Bài toán trở thành chứng minh:

P

Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là x

13


Từ đó ta giải được như sau:

Cộng vế theo vế ta được: P
Tuy nhiên chúng ta có thể giải bài tốn trên bằng cách sau:

Ta có :

Tương tự: =>

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có:

1
2

a
1
b

Ví dụ 3.

Nhận xét : Nhìn vào biểu thức P
có liên quan đến x

b
1

1
c

c

Cho x