SKKN giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Phần I: Lý DO CHọN Đề TàI
Toỏn hc l mt bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao,
nó giúp cho học sinh khả năng tính tốn, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo.
Việc dạy học sinh học tốn khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến
thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo
viên phải biết rèn luyện kỹ năng và thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài tốn
và vận dụng bài tốn đó trờn c s cỏc kin thc ó hc.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán nói chung và toán 7 nói riêng, tôi thấy
phần kiến thức về tỷ lệ thức và dÃy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Các dạng toán về tỉ lệ thức và dÃy tỉ số bằng nhau rất phong
phú và đa dạng nh-ng trong sách giáo khoa, sách giám khảo lại trỡnh by ni dung
khụng nhiu mà các kỳ thi học sinh giỏi toán 7 thì hấu nh- đề nào cũng có. Trong
ch-ơng II, khi học về đại l-ợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một
ph-ơng tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học đ-ợc
định lý Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức.
Mặt khác khi học tû lƯ thøc vµ tÝnh chÊt cđa d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t- duy
cho häc sinh rÊt tèt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.

Vi mong mun c gúp mt phần cơng sức nhỏ của mình trong việc bồi dưỡng
năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo
trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo
của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi tốn,
tơi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm:
" Gióp häc sinh chuyªn s©u vỊ tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ số bằng nhau"

Do điều kiện có nhiều hạn chế nên sau đây tôi xin đ-a ra một số dạng toán th-ờng
gặp với nội dung bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để đợc bài toán mới, tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tập và bồi d-ỡng học sinh giỏi cho
học sinh khèi 7 phÇn tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa dÃy tỉ số bằng nhau là rất phù hợp.

1

Thông qua các bài tập tôi sẽ đ-a đến cho học sinh các cách tiếp cận khác
nhau đối với các bài toán có cùng một dạng nhằm phát triển t- duy cho học sinh.
Phần II: NI DUNG TI
Lí THUYT:
Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
A.

1)

a

c

b) Tính chất:
+ Tính chất 1 ( tính chất cơ bản ) : NÕu
+

TÝnh chÊt 2 : NÕu ad = bc vµ a, b, c, d khác 0 thì ta có các tØ lƯ thøc

a

b

+ Tõ tØ lƯ thøc
b

ta suy ra:
b

Chó ý:
+ Khi có dÃy tỉ số
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thøc,
a

tõ
b

tõ
b

3)

KiÕn thøc bỉ sung:
a) L thõa cđa mét th-¬ng:
n

x

a

c


y

b) Một số tính chất cơ bản:
*

a

*

b
a

b

2

*

a
b

B.

CC DNG TON V PHƢƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM Sè H¹NG TRONG TỈ LỆ THỨC.
A. Phƣơng pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.
Bài, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện, nhưng thường cho 2 dữ kiện. Từ những mối
quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi
mới sử dụng được.
+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích
của 2 số, để tránh tìm ra số khơng thoả mãn u cầu của bài. Cũng lưu ý các
trường hợp có thể xảy ra để khơng bỏ xót những giá trị cần tìm.
B. Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

0,52 : x = - 9,36 : 16,38
HD : Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia , nhưng để áp dụng tính chất
tỷ lệ thức thì từ 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
x. 9,36
0,52.16,38
x

Ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :
Bài tập 1. 2 Tìm x :
a)

1

b)

3

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.


Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
x

60

Giải : từ
Suy ra x = 30 hoặc x = -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta
đưa về luỹ thừa bậc hai . có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

x
5

Giải:
3


Cách 1: từ
x
5x

3

5
x

3 .7

5

x .5

7x
12x
5

x

3

6

Cách 2: từ
5

áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x3
5
x

x

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x

2

x

1
x
x2
5x
5x

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng của dãy tỉ số
bằng nhau
Bài tập 3 : :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
Tìm x trong tỉ lệ thức

x

2

x

1
x
x2
5x
5x

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
Chúng ta bắt đầu với bài toán đơn giản sau :


Bài toán 1: (Bài 54 SGK Toán 7- tập 1- tr 30- nhà xuất bản giáo dục năm
2007)
4


x

Tìm hai số x và y biết
*

y
v x +

3

y =

16

5

õy là bài tốn đơn giản có thể áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau để giải hoặc giải theo một số cách khác.
Gi¶i:
Cách 1 : Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x

3

y

5
x = 3.2 = 6
y =

Cách 2: (Đặt ẩn phụ)
x

Đặt

3

Theo giả thiết: x

Cách 3: ( phƣơng pháp thế )
Từ giả thiết

mà x

Do đó: x
Nhận xét : Với cách 2 và cách 3 ta có thể áp dụng để giải hầu hết các bài tốn về
¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ số bằng nhau, tuy nhiên trong quá trình giải bài
tập cụ thể các em có thể chọn lựa ph-ơng pháp giải phù hợp nhất với bài.
Bài toán 1.1: Tỡm hai số x và y biết x = 3 và x+ y = 16
y

5

Với bài tốn này Học sinh cũng có thể giải theo phương pháp thế. Nhưng để giải
x

theo cách 1 hoặc cách 2 thì phải đổi y lên trên t :
y

Bài toán 1.2: Tỡm hai s x và y biết 5x = 3y và x+ y = 16


Bài này có thể áp dụng phương pháp thế, hoặc đặt ẩn phụ để giải . Tuy nhiện học
sinh chỉ cần áp dụng tính chất 2 của tỉ lệ thức để chuyển 5x = 3y thành dãy tỉ số
bằng nhau. x y là bài toán trở thành bài toán 1
3

5

5


Bài toán 1.3: Tỡm hai s x v y bit

x

Bài to¸n 1.4: Tìm hai số x và y biết

3
x

3

Hƣớng dẫn: làm thế nào để xuất hiện
xy để sử dụng giả thiết, từ đó có thể
h-ớng dẫn học sinh giải theo c¸c c¸ch
sau:
Cách 1: Từ
2

Suy ra
2

3

+ Với x = 6

+ Với x = - 6
Cách 2 (Đặt ẩn phụ) :
Cách 3 ( Dùng phƣơng pháp thế ): làm
tương tự cách 3 bi toỏn 1
Cỏch 4 Cũng có thể làm theo cách sau:
Có
mà
xy =
60

Nê
n:
+


y

5

x
xy :

y

5

Mà x, y cïng dÊu nªn ta cã :

+V
+V

Cịng t-ơng tự Bài toán 1 nh-ng mở rộng
cho dÃy tỉ số bằng nhau ta có bài sau:

Bài toán 1.5 :
Giải:
Cỏch 1: ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tõ

ta cã
Suy ra:
VËy: x= 8, y= 12, z= 16.

6
Cách 2 :( Đặt ẩn phụ ) Đặt
Vì x + y + z = 36
Suy ra x 2 . 4 8 ; y
VËy: x= 8, y= 12, z= 16.
Cách 3: ( Dùng phƣơng pháp thế ):
Tõ

x
2

Tõ ®ã ta cã ta cã :
Suy ra x
H-ớng phát triển của bài toán 1.5 cũng
t-ơng tự nh- bài toán 1 nh-ng với ba đại lợng x, y, z đòi hỏi học sinh phải có h-ớng
suy luận cao h¬n.


Giữ nguyên dữ kiện thứ hai

của bài toán 1.5 và thay đổi
dữ kiện thứ nhất , ta có các
bài toán sau:
( các bai toán từ 1.6 đến 1.24 hầu
hết đều áp dụng được cách giải
theo phương đặt ẩn phụ hoặc
phương pháp thế, nhưng để áp
dụng tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau nên đề tài
không đưa hai cỏch ny vo)

Từ 2x = z
x

z

Suy ra

Bài toán 1.6 : Tìm ba số x, y, z, biết rằng:

2
3
4

Hƣớng dẫn: ở bài toán này chưa
cho ta một dãy tỉ số bằng nhau.
Vậy để xuất hiện
một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy
giống nhau, vậy làm thế nào để
hai tỉ số này có cùng số hạng

dưới ( ta tìm một tỉ số trung gian
để được xuất hiện một dãy tỉ số
bằng nhau

Và bà i toán trở về bi toỏn 1.5
Bài toán 1.7 : Tìm x, y, z biÕt
3x = 2y; 2x = z vµ x + y+ z =
36
Gợi ý :
Bài toán này khác gì so với
bài toán tr-ớc ?
HÃy biến đổi 2 đẳng thức
3x = 2y; 2x = z thµnh d·y tØ
sè b»ng nhau ?
Hƣớng dẫn: Từ 3 x

sau đó giải nh- bài tập 1.5

y

7


Từ

x

y

2

3

ta bài toán khó hơn sau:
Bài toán 1.8: Cho 6x = 4y = 3z vµ x + y + z = 36, tìm x, y, z.
Gợi ý:
ĐÃ có dÃy tỉ số bằng nhau ch-a? Làm thế nào để có dÃy tØ sè b»ng nhau?

BCNN( 6;4;3 ) = ?
H·y chia c¸c vế của đẳng thức cho BCNN( 6;4;3 )
Hng dn: : T 6x = 4y= 3z

6x
12

Đến đây ta ó a bài toán 1.8 v bài toán 1.5
Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết :
Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn x còn v-ớng - 4, y v-ớng
- 6 và z v-ớng - 8. Cứ bình tĩnh và làm nh- bình th-ờng xem sao?
Giải:
p dụng tính chất của dÃy tỉ sè b»ng nhau ta cã :
x4

2

x

4
2

x

8

y

z

VËy x = 8 ; y= 12; z = 16
Bài toán 1.9: Tìm x,y,z biết :

2x

( Đề thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng mơn tốn 7 năm học 2010 – 2011 )
HD: Ta có :

HS tính được:


Bài toán 1.10: Tìm x, y, z biết
Hng dn: áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã
6 x3 z

2
6x

Hay 6x = 4y = 3z sau ®ã giải tiếp nh
8
Bài toán 1.11: Tìm x, y, z biết
Hng dẫn: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta cã

5 x3 z3 y

6x

x

y
6x

3

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh- bà
Có thể ra bài tập 1.11 d-ới dạng gộp hai điều kiện lại một nh- sau :

Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biết
Bài chØ cho d·y tØ sè b»ng nhau chø kh«ng cho thêm mối quan hệ
khác nh-những bài tr-ớc, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế nào? Liệu
có làm xuất hiƯn mèi quan hƯ kh¸c tõ d·y tØ sè b»ng nhau không?
Hng dn:
áp dụng tính chất của dÃy tỉ số b»ng nhau ta cã
5 x3 z

3y

x
6x

3z

Bà i to¸n trë vỊ Bài toán 1.11

Bài toán 1
( thi HSG huyn Thanh Ch-¬ng mơn tốn 7 năm học 2008 – 2009 )


HD : Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau từ 2 tỷ số đầu ta có:
2x

13 y

2

5

+ Nếu: 2 x

3y

+ Nu: 2 x

3y

Giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai
, ta có các bài toán sau:
Bài toán 1.13: Tìm 3 sè x, y, z biÕt

x

y

2

3

z

vµ 2x + 3y –5z = -28
4

Gợi ý:
Để áp dụng đ-ợc 2x+3y-5z = - 28 thì trên tử của các tỉ số

x

,

y

,

z

phải

xuất
2

3

4

hiện thêm các thừa số nào ?( Trên tử phải xuất hiện các tích 2x , 3y và 5z )

9

Muèn xuÊt hiÖn 2x , 3y v 5z trên tử các tỉ số
2

( Nhân cả tử và mẫu của các tỉ số trên lần l-ợt với 2 , 3, và 5 ta đ-ợc dÃy tỉ số bằng

nhau mới
Giải tóm tắt:
Từ
áp dụng tính chất của dÃy tỉ số bằng nhau ta có:
2x

4
x

Tổng quát lên ta có Bài toán:
Bài toán 1.14 :
là các số khác 0 cho tr-ớc và m a
Ph-ơng pháp giải nh- sau: ta có


¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho dÃy tỉ số
mx

ny

ma

nb

Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z .
Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ
kiện thứ hai, ta có bài toán thứ hai khó hơn nh- sau:
Bài toán 1.15 :T×m 3 sè x, y, z biÕt
Hƣớng dẫn : Muèn áp dụng đ-ợc dữ kiện x2+y2+z2= 464 thì Hc sinh phải bình

ph-ơng các tỉ số
Giải:
x

Ta có:

2

áp dụng tính chất dÃy tØ sè b»ng nhau cïng víi d÷ kiƯn x 2+y2+z2=464 ta đ-ợc

10

x2

y2

4

Vậy tồn tại 2 cặp giá trị (x, y, z) tha mÃn đề bài là:
( x= 8; y=12; z= 16) vµ (x= - 8; y= -11; z = - 16)

9


Bài toán 1.16: Tìm 3 số x, y, z biết
Qua bi tp trờn hc sinh ó bit bình ph-ơng các tØ sè
2

b»ng nhau míi

x

2

y

2

z

. Đến đây các em làm xuất hiện các hệ số 2, 3 ,5 một


cỏch phự hp ỏp dng 2 x
Giải:

2

x

Từ
2

3

4

4

9

16

8

27

áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

Suy ra

2x2

8


4

9

16

VËy x= 8; y = 12; z = 16 hc x = - 8; y = -12; z = -16. ( vì x, y, z cùng dấu )

Tổng quát lên ta có bài tập :
Bài tập 1.17 : Tìm x, y, z biÕt x
a

y

z

b

Víi a , b , c , d , m , n , p , d , k
sao cho m a
Ph-ơng pháp giải nh- sau:
Từ

ny

k

nb

k

c

v

à

mx

k

ny

k

nb

ma
k

ma

k

d

0 là các số cho tr-ớc và k
k

áp dụng tính chất dÃy tỉ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè

mx

pz k

k

mx

pc

k

N

0

ny

k

k

nb

k

pc

k

11


Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z

Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ
kiện thứ hai, ta có bài toán nh- sau:

Giải:
x

Từ

2

Từ đó tìm đ-ợc y = 12; z = 16 .
Thay đổi cả hai dữ kiện của bài toán 1.5 tôi đ-a ra cho học sinh các bài toán sau:

Bài toán 1.19: Cho 3x=2y ;4y=3z và 2x + 3y 5z = - 28, tìm x,y,z.
Nhận xét: Rõ ràng học sinh đà biết đ-ợc cách biến đổi 3x=2y ;4y=3z thành dÃy tỉ

số bằng nhau
Bài toán 1.20: Tỡm x, y, z bit rằng 21x = 9y ; 15x = 12z và 2x – y + z = 33
( Đề thi HSG Thành phố Vinh mơn tốn 7 năm học 2010 – 2011 )
Với bài này ngoài cách giải bằng phương pháp thế, Thông qua các bài trên học
sinh dẽ dàng biến đổi 21x = 9y ; 15x = 12z thành dãy tỉ s bng nhau :
x

V suy ra

12

Từ đó tìm đ-ợc x = 36; y = 84; z = 45 .
Bài toán 1.20: Đề thi HSG huyện Thanh Ch-¬ng năm học 2012 – 2013
Tìm x, y, z biết rằng : 2x = 3y; 4y = 5

HD: Từ: 2x= 3y; 4y = 5z
x
1

1

8

12

x = 12.

y

1
8

x
2

y
3

z
4

. Đến đây lại quay về giải như bài tập 1.13

=

Cũng tương tự bài tốn này học sinh có thể dễ dàng giải bài toán sau :

12


Bài toán 1.22:

Cho : 2000x = 5000y = 10000z vaứ x – 2y + 5z = 12. Tìm x, y

,z ?
(GVDG huyện Thanh Ch-ơng năm học 20082009;Tân Kỳ năm học 2009–2010

)
Bài này để áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , học sinh sẽ có suy nghĩ
việc đổi 2000x = 5000y = 10000z về dãy tỉ số bng nhau, v bi lm tng t
Bài
toán 1.21
Gii túm tt :
Ta có 2000x = 5000y = 10000z

x

y

5

2

z

¸p dơng tÝnh chÊt dÃy tỉ số bằng nhau ta có
x
z
5

2

Từ đó tìm đ-ợc x = 10; y = 4; z = 2 .

Bµi toán 1.23: Tìm x, y,z biết:
( Đề thi Học Sinh giỏi Toán 7 Thành Phố Vinh năm 2013 )
ở đây vì dÃy tỉ số đà cho có dạng không thuận tiƯn cho viƯc ¸p dơng
tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau. Vậy làm thế nào để sử dụng dÃy tỉ số
bằng nhau đà cho cho phù hợp.
Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số

Giải:
Từ
áp dụng tính chất dÃy tỉ số bằng nhau ta đ-ợc:
x

y

18

Tiếp tục khai thác Bài toán 1.19 , thay d÷ kiƯn 2x + 3y –5z = -28 thành dữ kiện
2 x 23 y 25 z 2

Bài to¸n 1.24:

16


ở bài toán này học sinh đà biết cách biến ®ỉi 3x = 2y ;4y = 3z thµnh d·y tØ sè

b»ng nhau
2

§ến đây giải như bài tốn 1.16
13


Dạng bài tập này t-ơng đối phức tạp, nếu không trình bày cẩn thận thì
rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nh-ng rất cần
đến khả năng quan sát các hệ số của 2 dự kiện và kĩ năng biến đổi các dự
kiện một cách phù hợp để áp dụng giả thiết. Cũng cần đến sự khéo léo đa bài toán về dạng quen thuộc. Tóm lại từ bài toán cơ bản th-ờng gặp sau:

Bài toán: Tìm các số x, y, z thoả mÃn :
và x +y + z =d (2)
tr-ớc)
Có nhiều cách giải nh-ng xin đ-a ra 2 cách giải th-ờng áp dụng :
Cách 1: ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau ta có
x

y

z

a

b

c

Cách 2: đặt

Ta có k.a + k.b + k.c = d

Từ đó tìm đ-ợc x
Cách 3: Từ
a
y

x

;z

b

Từ đó tìm đ-ợc x
H-ớng khai thác từ bài trên nh- sau :
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) theo 5 hƣớng nh- sau:
*a
*b

1

1

a2 y;a3y

x

b2y

a4z

b3z

x

x

*

y

y

z

;
a1

a2


*
*

b

x

a
b

1

1

1

x

a

+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) theo 3 hƣớng nh- sau:
*

k

14


*

k

1

x

2

k2 y2

k3z2

f

x.y.z = g
Thay đổi cả hai điều kiện
*

+

Bi tp t gii
Bài 1: Tìm x,y,z.
x

y

a)

y
;

2

3

x

b)

5

1
2

Bài 2:
x11

=x22
9

Bài 3: Tìm x, y,z biÕt:
a)

x

y

3

4

z

5

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 3 x

2y ,7y

c) 2 x

3y

e)

yz

5z
1

x

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ
THỨC A . Phƣơng Pháp :
Để chứng minh tỉ lệ thức:
Phƣơng pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phƣơng pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

z